Basisness of Fucik eigenfunctions for the Dirichlet Laplacian
University of Rostock（罗斯托克大学）；Ufa Federal Research Centre, RAS（乌法联邦研究中心，俄罗斯科学院）
本文改进了Fucik特征值序列的充分条件，证明其对应的特征函数在$ L^2(0,π) $中构成Riesz基。
2021-11-16 math.AP math.CA math.SP
Critical set of eigenfunctions of the Laplacian
给出了紧致解析黎曼流形上拉普拉斯算子的特征函数的临界集的$(n-1)$维Hausdorff测度的一个上界.这是H的类似物。Donnely和C.关于本征函数节集的February man结果。
2011-05-26 math.AP math.DG
On the number of critical points of the second eigenfunction of the Laplacian in convex planar domains
本文研究了凸区域中具有Dirichlet边界条件的Laplacian算子的第二特征函数。如果区域有\emph{large eccentricity}，那么特征函数有\emph{exactly}两个非退化的临界点（当然它们是一个最大值和一个最小值）。证明使用Jerison（[Jer 95 a]）和Grieser-Jerison（[GJ 96]）证明的一些估计，并结合拓扑度参数。文[GJ 09]在类矩形区域中证明了高阶本征函数的类似结果。
2021-07-05 math.AP
Basisness and completeness of Fucik eigenfunctions for the Neumann Laplacian
University of Rostock（罗斯托克大学）；Ufa Federal Research Centre, RAS（乌法联邦研究中心，俄罗斯科学院）
研究Neumann拉普拉斯算子Fucik特征函数的基性质，证明其在$ L^2(0,π) $中的完备性及Riesz基性质，并描述双正交系统。
2022-04-13 math.AP math.CA math.SP
A note on limit of first eigenfunctions of $p$-Laplacian on graphs
本文研究了具有Dirichlet边界条件的图的有限子集上的（离散）$p$ -Laplacian的第一特征函数的极限，即$p\to 1.$.证明了在一定的子序列上，它们收敛于图的Cheeger割的特征函数之和.我们给出一个例子来说明极限可能不是单个Cheeger割的特征函数。
2018-12-19 math.AP
The principal eigenfunction of the Dirichlet Laplacian with prescribed numbers of critical points on the upper half of a topological torus
本文考虑拓扑环面上半部分上Laplace-Beltrami算子在Dirichlet边界条件下的主本征值问题。我们提出了一种结构的上半部分的拓扑环面，承认的主要特征函数具有确切的临界点的数量。此外，我们设法明确地确定所有的临界点的主要特征函数的位置。
2021-09-07 math.AP
On the nodal line of a second eigenfunction of the Laplacian-Dirichlet in some annular domains with dihedral symmetry
设$Ω$是$\mathbb{R}^2$中的有界环形$C^{1,1}$区域，在$\mathbb{R}^2$的等距的二面体群$D_n$的作用下，$Ω$是左不变的.在$\frac{\partial}{\partial θ}$上的适当条件下，证明了第二Dirichlet本征函数的节线必与$Ω$的边界相交.
2014-11-02 math.AP
On the structure of the second eigenfunctions of the p-Laplacian on a ball
本文证明了$p$ -拉普拉斯算子的第二本征函数$p>1$在$\mathbb{R}^N,$中的单位球上对任何$N\ge 2.$都不是径向的。我们还构造了一个无穷序列的特征对$\{τ_n,Ψ_n\}$，使$Ψ_n$是非径向的，并有确切的$2n$节点域。同时也提出了一些相关的问题。
2015-06-17 math.AP
Generalized elliptic functions and their application to a nonlinear eigenvalue problem with $p$-Laplacian
推广了Jacobi椭圆函数，并将其应用于一个具有$p$ -Laplacian的非线性本征值问题.本征值和相应的本征函数表示的公共参数，并得到一个完整的描述的频谱和相应的本征函数的封闭形式表示。作为该表示的副产品，证明了一种解也是另一个具有$p/2$ -Laplacian的本征值问题的解。
2010-01-19 math.AP math.CA
Global Hölder regularity for eigenfunctions of the fractional $g$-Laplacian
本文证明了满足 $Δ_2$ 条件的分数阶 $g$-Laplacian 在 Dirichlet 边界条件下特征函数的全局 Hölder 正则性，并将结果推广到一般半线性方程。
2023-04-13 math.AP
Topological aspects of $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ eigenfunctions for the Laplacian on $S^2$
本文研究了$S^2$中偶数点补上实线丛截面空间上球面Laplacian的特征函数和特征值的性质。特别感兴趣的是如何改变这些特征值和特征向量时，被视为功能的配置空间的点。
2022-07-25 math.AP math.DG
On nodal and generalized singular structures of Laplacian eigenfunctions and applications in $\mathbb{R}^3$
本文是我们最近关于Laplacian本征函数的几何结构及其在逆散射问题中的应用的工作[3]的继续和推广。在文献[3]中，研究了拉普拉斯本征函数在两条节点或广义奇异线相交点处的解析行为。它揭示了一个有趣的性质，即本征函数在交点处的消失阶与相交角的合理性有关。在本文中，我们认为这样一个研究的3D对应的拉普拉斯特征函数的节点或广义奇异平面相交的地方研究的分析行为。与2D情况相比，几何情况更加复杂：两个平面的相交生成边角，而三个以上平面的相交生成顶点角。我们为所有这些病例提供了全面的特征描述。此外，我们应用谱结果为通过相关散射远场测量恢复形状以及（可能的）表面阻抗参数的几何逆问题建立了一些新颖的唯一可识别性结果。
2019-09-23 math.AP
On the parity of the number of nodal domains for an eigenfunction of the Laplacian on tori
本文讨论了T. Hoffmann-Ostenhof关于平坦环面上拉普拉斯算子的非常数本征函数的节点域个数的奇偶性。我们提出了两个结果。我们首先证明了在环面$(\mathbb{R}/2π\mathbb{Z})^{2}$上，一个非常数的本征函数具有偶数个节点域。然后，我们考虑环面$(\mathbb{R}/2π\mathbb{Z})\times(\mathbb{R}/2ρπ\mathbb{Z})\,$，与$ρ=\frac{1}{\sqrt{3}}\,$，并在其上构造一个具有三个节点域的本征函数。
2015-07-14 math.AP math.SP
The nodal line of the second eigenfunction of the Robin Laplacian in $\mathbb{R}^2$ can be closed
我们在$\mathbb{R}^2$中构造了一个多连通区域，其中具有Robin边界条件的Laplacian算子的第二特征函数具有内部节点线。在这个过程中，我们适应的Donnelly-Fergusman型的边界，以获得一个统一的估计的大小的一个序列的解的一个序列的椭圆型方程的内部区域，这并不直接依赖于任何边界行为。这也给出了Dirichlet情形下例子的节线性质的一个新证明。
2010-09-24 math.AP
Nodal sets of eigenfunctions of sub-Laplacians
本文首次研究紧流形上次拉普拉斯算子特征函数的节点集，揭示其各向异性行为，并给出反例说明其豪斯多夫测度不能被 Yau 猜想的 $\sqrtλ$ 所界定。
2023-09-19 math.AP
On the vanishing of eigenfunctions of the Laplacian on tori
本文研究环面上拉普拉斯算子特征函数在小球上$L^2$-范数的下界问题，利用整数点分布、多项式性质及Nazarov--Turán型估计给出部分回答，并应用于量子极限与控制理论。
2025-09-21 math.AP math.OC
On some unexpected properties of radial and symmetric eigenvalues and eigenfunctions of the $p$-Laplacian on a disk
讨论了球上的$p$ -Laplacian算子在零Dirichlet边界条件下的特征值和特征函数的若干性质。在主要结果中，在二维空间中，我们证明了对应于径向本征值的非径向本征函数的存在性。我们还证明了存在的本征函数的形状的节点集不能出现在线性情况下$p=2$。此外，还研究了一些特征值如$p \to 1+$和$p \to +\infty$的极限行为.
2017-03-27 math.AP math.FA
Homotopies of Eigenfunctions and the Spectrum of the Laplacian on the Sierpinski Carpet
考虑平面（或更一般的任何欧几里得空间）中的一族有界域$Ω_{t}$，它们解析地依赖于参数$t$，并考虑每个域上的普通诺依曼拉普拉斯算子$Δ_{t}$。然后，我们可以将所有本征函数组织成连续族$u_{t}^{(j)}$，其中本征值$λ_{t}^{(j)}$也随$t$连续变化，尽管本征值的相对大小在$λ_{t}^{(j)}=λ_{t}^{(k)}$的交叉处随$t$变化。我们称这些族为本征函数同伦。我们研究两个明确的例子。第一个例子中，$Ω_{0}$等于一个正方形，$Ω_{1}$等于一个圆;在这两种情况下，本征函数都是显式已知的，所以我们的同伦连接了这两个显式族。在第二个例子中，我们从一个正方形开始近似谢尔宾斯基地毯，并不断删除不同大小的子正方形。(Data全文可查阅www.math.cornell.edu/cnsmh82）
2009-08-20 math.AP
Asymptotic structure of almost eigenfunctions of drift Laplacians on conical ends
我们使用的加权变体的频率函数介绍Almgren证明尖锐的渐近估计几乎本征函数的漂移拉普拉斯相关的高斯权重的渐近圆锥形结束。作为结果，我们得到了L的一个结果的纯椭圆证明。Wang关于渐近于给定锥的中曲率流的自收缩的唯一性。另一个结果是一个独特的连续性的自膨胀的中曲率流从一个圆锥。
2017-12-13 math.AP math.DG
Global regularity for solutions of the Navier-Stokes equation sufficiently close to being eigenfunctions of the Laplacian
在本文中，我们将证明一个新的，规模临界正则性准则的解决方案的Navier-斯托克斯方程，是足够接近的拉普拉斯算子的本征函数。该估计将需要对具有$2\leq α<\frac{5}{2},$的$u,$的$\dot{H}^α$范数进行控制的先前正则性准则改进为需要对$\dot{H}^α$范数乘以用于嵌入$\dot{H}^{α-2}\cap\dot{H}^α \hookrightarrow \dot{H}^{α-1}.$的插值不等式中的赤字进行控制的正则性准则。Navier-斯托克斯方程的位势爆破解与湍流理论中的Kolmogorov-Obhukov谱之间存在某种联系的可能性。
2020-08-12 math.AP
Geometrical structure of Laplacian eigenfunctions
总结了有界欧几里得整环上Laplace算子在Dirichlet、Neumann或Robin边界条件下的特征值和特征函数的性质。我们将演示文稿保持在从数学到物理和计算机科学的各个学科的科学家可以访问的水平。主要的焦点是放在多个复杂的关系域的形状和本征函数的几何结构。
2013-02-08 math-ph math.AP math.MP
Nonradiality of second eigenfunctions of the fractional Laplacian in a ball
University of West Bohemia（西波希米亚大学）；Institute of Mathematics, Ufa Federal Research Centre, RAS（俄罗斯科学院乌法联邦研究中心数学研究所）；Masaryk University（马萨里克大学）
研究显示，在单位球中，分数拉普拉斯算子的第二特征函数非径向，其节点集为球体的赤道截面。
2022-03-02 math.AP math.SP
Nodal Sets of Laplacian Eigenfunctions with an Eigenvalue of Multiplicity 2
该研究针对重数为2的简并拉普拉斯特征值，分析矩形单边边界形变对结点集的影响，明确了小扰动下结点集的几何性质变化规律，证明一般形变下内部交叉破裂并给出结点集的位置与正则性估计。
2025-01-14 math.AP
Boundedness of Laplacian eigenfunctions on manifolds of infinite volume
在Hadamard流形$M$中，证明了如果$u$是属于$L^p(M)$的Laplacian的$λ$ -特征函数，则对于某个$p \ge 2$，$u$是有界的，并且是$\|u\|_{\infty} \le C \|u\|_p,$，其中$C$只依赖于$p$，$λ$和$M$的维数.这个结果是在更一般的情况下得到的一个完整的黎曼流形赋予一个等周函数$H$满足一些可积性条件。在这种情况下，常数$C$取决于$p,λ$和$H.$
2014-08-07 math.AP math.DG
Small order asymptotics of the Dirichlet eigenvalue problem for the fractional Laplacian
本文研究了分数阶Laplacian $(-Δ)^s$在有界开Lipschitz集上的Dirichlet特征值和特征函数在小阶极限$s \to 0^+$下的渐近性.虽然很容易看出，所有的特征值收敛到$1$作为$s \to 0^+$，我们表明，在这些渐近的一阶校正是由对数拉普拉斯算子的特征值，即，符号为$2\log|ξ|$的奇异积分算子。由此推广了Chen和第三作者的一个仅限于主特征值的结果。此外，我们证明了对应于第$k$个特征值的$(-Δ)^s$的$L^2$ -正规化Dirichlet特征函数是一致有界的，并且收敛于对数拉普拉斯算子的$L^2$ -正规化特征值集.为了得到这些谱渐近，我们需要建立新的一致的正则性和边界衰减估计的Dirichlet特征函数的分数拉普拉斯算子。作为副产品，我们还得到了相应的对数拉普拉斯特征函数的正则性。
2021-03-05 math.AP
Asymptotics of Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin domains in R^d
考虑R^d中区域上具有Dirichlet边界条件的Laplace算子，研究在一个方向上执行缩放对本征值和相应本征函数作为缩放参数在零附近的函数的影响。这推广了我们以前的结果在两个维度，并在这种情况下，使我们能够获得一个近似的Dirichlet特征值为一大类域，在非常温和的假设。作为应用，我们导出了d维椭球第一特征值的三项渐近展开。
2009-08-17 math.AP math.SP
Zonal states and improved $L^\infty$ bounds for eigenfunctions of magnetic Laplacians on hyperbolic surfaces
Ecole Normale Supérieure（巴黎高等师范学院）；Université Paris-Saclay, CNRS, Laboratoire de mathématiques d’Orsay（巴黎萨克雷大学，法国国家科学研究中心，奥赛数学实验室）
本文研究了双曲面上磁拉普拉斯算子特征函数的改进 $L^\infty$ 绝对值界，并提出了磁区域态的概念，这些态在临界能量下饱和霍尔曼德界。
2026-10-20 math.AP math.DG math.SP
Laplacian Eigenproblems on Product Regions and Tensor Products of Sobolev Spaces
给出了乘积域上拉普拉斯算子的特征值和特征函数的特征。当零Dirichlet，Robin或Neumann边界条件被指定在每个因子上时，则乘积域上的本征函数恰好是各个因子上本征函数的乘积。在第二个因子上指定Steklov边界条件时，有一个相关的结果。这些结果使得某些Hilbert-索伯列夫空间可以刻画为张量积，并刻画了这类空间的某些正交基.还发现了迹空间的一个不同的特征。
2015-11-05 math.AP
On the first eigenvalue and eigenfunction of the Laplacian with mixed boundary conditions
本文研究混合 Dirichlet-Neumann 边界条件下拉普拉斯算子的第一特征值问题，通过建立新的变分原理证明第一特征函数的单调性，并由此得到混合边界热点猜想变体及对偶问题特征值不等式。
2025-02-05 math.AP math.SP
An Eigenvalue problem for the Infinity-Laplacian
研究了有界区域上无穷Laplacian的一个本征值问题。我们证明了主特征值和相应的正特征函数的存在性。当方程中的参数小于第一本征值时，该工作也包含存在性结果。还证明了适用于这些问题的比较原理。特别地，在星形区域和C^2区域上，高阶本征函数改变了符号。当区域为球时，我们证明了第一特征函数有一个符号，径向主特征函数存在且直到标量乘法是唯一的，以及存在无穷多个特征值。
2013-02-01 math.AP
Dirichlet p-Laplacian eigenvalues and Cheeger constants on symmetric graphs
本文研究了图上具有Dirichlet边界条件的$p$ -Laplacian算子的特征值和特征函数。通过符号条件刻画了二部图的第一特征函数和最大特征函数。利用$p$的第一特征函数的唯一性，作为$p\to 1,$，我们把对称图的Cheeger常数与商图的Cheeger常数等同起来.利用这种方法，我们计算了球对称图的各种Cheeger常数。
2018-12-23 math-ph math.AP math.CO
Spectrum of the Laplacian on Regular Polyhedra
研究了四种正多面体：四面体、八面体、二十面体和立方体表面上拉普拉斯算子的特征值和特征函数。我们展示了两种类型的本征函数：非奇异的，是光滑的顶点，升降机上的平面上的周期函数和三角多项式表示的;和奇异的，没有这些属性。我们给出了本征值计数函数的猜测渐近估计的数值证据。我们描述了一种放大现象，某些本征函数的八面体，按比例缩小本征值的一个因素的$\frac{1}{3}$。
2018-09-26 math.AP
On multiplicity of eigenvalues and symmetry of eigenfunctions of the $p$-Laplacian
研究了对称域$Ω\subset \mathbb{R}^N$上齐次Dirichlet边界条件下$p$ -Laplacian高阶特征值和特征函数的重数和对称性.通过拓扑参数，我们展示了如何对称性的$Ω$有助于构建子集的$W_0^{1,p}(Ω)$适当高Krasnosel'ski \u？特别是，如果$Ω$是一个球$B \subset \mathbb{R}^N$，我们得到以下链的不等式：$$ λ_2(p;B) \leq \dots \leq λ_{N+1}(p;B) \leq λ_\ominus(p;B). $$这里$λ_i(p;B)$是变分特征值的$p$ -拉普拉斯算子的$B$，和$λ_\ominus(p;B)$是本征值，它有一个相关的本征函数，其节点集是赤道部分的$B$。如果$λ_2(p;B)=λ_\ominus(p;B)$，正如它对$p=2$成立一样，结果意味着第二特征值的重数至少是$N$。在$N=2$的情况下，我们可以推导出圆盘上$p$-Laplacian的任何第三本征函数是非径向的。还考虑了其它对称域的情形和极限情形$p=1$，$p=\infty$.
2017-04-11 math.AP math.SP
Exponential Decays of Steklov Eigenfunctions for the Magnetic Laplacian
Institute for Theoretical Sciences, Westlake University（西湖大学理论科学研究所）
针对有界Lipschitz区域上带有限型磁场的磁薛定谔算子对应的Dirichlet-to-Neumann映射，证明场强足够大时其基态在磁场最大阶消失边界子集邻域外呈指数衰减。
2026-11-09 math.AP
Uniform bounds for eigenfunctions of the Laplacian on manifolds with boundary
设$u$是具有Dirichlet或Neumann边界条件的紧致带边流形上Laplacian算子的本征函数，$-λ^2$是相应的本征值.我们考虑的问题，估计最大的$u$的$λ$方面，为大$λ$，假设$u$是$L^2$规范化。我们证明了$\max_M u\leq C_M λ^{(n-1)/2}$，这是最优的某些$M$ .我们的证明简化了以前用于此类问题的一些参数。为了使非专业人士的文章，我们回顾了“波动方程法”（这已成为标准的渐近本征值问题），并讨论了一些特殊情况下，可以处理更多的直接法。
2002-05-22 math.AP math.SP
$L^p$ Estimates for Eigenfunctions of a Generalized Landau Magnetic Laplacian
本文研究了广义 Landau 磁拉普拉斯算子特征函数，利用半经典分析和新共轭论证，证明了其 $L^\infty$ 范数由 $L^2$ 范数界定且与特征值无关，并改进了 $L^6$ 范数。
2025-06-30 math.AP
Constructing Riemannian metrics with prescribed nodal sets for Laplacian eigenfunctions
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
该研究构造了具有预设节点集的黎曼度量，使得拉普拉斯特征函数的零集与给定配置一致，并证明了特征值与体积的关系。
2025-12-21 math.AP math.DG math.SP
Closed nodal lines and interior hot spots of the second eigenfunction of the Laplacian on surfaces
我们在总面积固定的单位圆盘上建立了一个单参数S^{1}-不变度量族，其中Laplace算子的第二本征值在Neumann和Dirichlet边界条件下都是简单的，并且有一个具有封闭节线的本征函数.在Neumann边界条件下，我们还证明了该特征函数在一个内点处达到极大值，从而为单连通曲面上的热点猜想提供了一个反例.这是一个更强的结果，在这个家庭的度量任何给定的（有限）数量的S^{1}不变的特征值可以是任意小，而非不变的频谱变得任意大。
2000-09-15 math.AP math.SP
Analysis of the Laplacian and Spectral Operators on the Vicsek Set
我们研究了一个家庭的分形$\mathcal{VS}_n$，其中包括Vicsek集的$n=2$，扩展早期的研究Sierpinski垫片上的拉普拉斯谱分解。我们实现了一个算法[24]用于拉普拉斯算子的本征函数的谱抽取，并显式计算这些本征函数及其一些性质。给出了一种计算特征函数内积的算法。我们显式计算解决方案的热方程和波动方程的诺依曼边界条件。我们研究了特征值和特征值簇的比值中的间隙。我们给出了$\mathcal{VS}_n$上格林函数的一个显式公式。最后，我们解释了在$\mathcal{VS}_n$上的拉普拉斯算子的谱是如何以$n \to \infty$的形式收敛到在两条交叉线上的拉普拉斯算子的谱的（集合$\mathcal{VS}_n$的极限）。
2009-09-06 math.AP
Introducing the p-Laplacian Spectra
在这项工作中，我们开发了一个非线性分解，与非线性特征函数的p-Laplacian为p \in（1，2）。通过这种分解，我们可以处理不同平滑度的信号。我们首先分析由γ-齐次算子γ \in R生成的尺度空间的解。一个分析解制定的尺度空间初始化与相应的运营商的非线性本征函数。我们证明了对于γ \in [0，1），流在有限时间内灭绝.本研究的一个主要创新点是分数阶齐次算子，这需要分数阶微积分的数学框架。所提出的变换严格定义了分解，重建，滤波和频谱的概念。该理论适用于p-Laplacian算子，在这个框架中开发的工具进行了演示。关键词：非线性谱，滤波，保形流，p-Laplacian，非线性特征函数。
2019-09-17 math.AP
Average $L^q$ growth and nodal sets of eigenfunctions of the Laplacian on surfaces
在最近的一篇论文中，我们展示了表面上拉普拉斯本征函数的平均局部增长与其节点集的大小之间的联系。在该文件中，平均本地增长计算使用均匀或$L^\infty$-生长指数的波长半径的磁盘。本文的目的是用$q \in (1, \infty)$证明更广泛的一类$L^q$增长指数的类似结果。更准确地说，我们表明，节点集的大小是有界的平均本地$L^q$增长与频率的产品以上和以下。我们简要地讨论了这个新结果与丘氏关于节点集大小猜想之间的关系。
2015-10-08 math.AP math.SP
On the Dual Geometry of Laplacian Eigenfunctions
University of California, San Diego（加利福尼亚大学圣迭戈分校）；Yale University（耶鲁大学）
本文讨论了紧流形$(M,g)$和组合图$G=(V,E)$上Laplacian特征函数$-Δϕ= λϕ$的几何性质。拉普拉斯本征函数的“对偶”几何在$\mathbb{T}^d$（等同于$\mathbb{Z}^d$）和$\mathbb{R}^n$（自对偶）上得到了很好的理解。对偶几何在纯数学和应用数学的各个领域都有着巨大的作用。我们的论文的目的是指出一个概念的相似性特征函数，允许重建的几何形状。本征函数$ϕ_λ$和$ϕ_μ$之间的“相似性”$ α(ϕ_λ, ϕ_μ)$的度量由局部相关性的全局平均值$$ α(ϕ_λ, ϕ_μ)^2 = \| ϕ_λ ϕ_μ \|_{L^2}^{-2}\int_{M}{ \left( \int_{M}{ p(t,x,y)( ϕ_λ(y) - ϕ_λ(x))( ϕ_μ(y) - ϕ_μ(x)) dy} \right)^2 dx},$$给出，其中$p(t,x,y)$是经典热核，而$e^{-t λ} + e^{-t μ} = 1$是局部相关性的全局平均值。这个概念恢复了所有经典的对偶概念，但同样适用于其他（粗糙）几何和图形;许多数值例子在不同的连续和离散设置说明了结果。
2018-04-25 cs.LG eess.SP math.AP
Eigenfunction and Bochner Riesz estimates on manifolds with boundary
本文的目的是给出具有边界$\partial M$的维数为$n\ge 2$的光滑紧致黎曼流形$(M,g)$上的Dirichlet Laplacian的特征函数的$L^\infty$估计的一个简单证明，然后利用这些估计证明了在这种情况下Bochner Riesz平均的新估计.我们的本征函数估计涉及估计的$L^2\to L^\infty$映射属性的运营商$χ_λ$项目到单位频带的频谱的平方根的拉普拉斯算子。这些结果推广了D. Grieser的个别特征函数。我们使用Grieser的一个想法，即使用Seeley，Pham The Lai和Hörmander的早期估计来估计远离边界的情况，然后使用最大值原理证明边界附近的估计。我们对Bochner Riesz估计的证明与C的欧几里德情形的一个论证有关。一个是无边界黎曼情形，一个是作者提出的。这里，与无边界黎曼情形不同，我们不能使用波动方程的参数，而是依赖于一个更经济的论证，只使用波动方程的本征函数估计和有限传播速度。
2002-03-06 math.AP math.CA
PPW and Chitti type inequalities for the Robin Laplacian operator
本文证明了Robin本征值问题的两个结果。一个是前两个特征值之比的上界，它可以用来恢复M. S. Ashbaugh和R. D. Benguria证明的PPW猜想;另一个是第一特征函数的反向Holder不等式，它是Dirichlet Laplacian第一特征函数的Chiti反向Holder不等式的自然推广.
2014-02-11 math.AP
$L^p$ Norms of Eigenfunctions on Regular Graphs and on the Sphere
证明了正则图上离散拉普拉斯算子的特征函数的$L^p$范数的上界。然后，我们应用这些想法来研究联合本征函数的拉普拉斯算子和平均算子的$L^p$规范的代数旋转的$2$球的有限集合。在温和的条件下，这样的联合特征函数满足大$p$相同的边界上的非正曲率的表面上的拉普拉斯特征函数。
2017-10-30 math.AP math.SP
On nodal and generalized singular structures of Laplacian eigenfunctions and applications to inverse scattering problems
在本文中，我们提出了一些新的和有趣的发现的几何结构的拉普拉斯本征函数和它们的深层关系的定量行为的本征函数在二维空间。本文引入了拉普拉斯本征函数的广义奇异线的概念，并对这些奇异线和节点线进行了详细的研究。研究表明，两条直线的相交角与本征函数在交点处的消失阶数密切相关。我们建立了一个准确和全面的定量表征的关系。粗略地说，如果相交角是{ \it无理}，则消失阶一般是无限的，如果相交角是有理的，则消失阶是有限的。事实上，在后一种情况下，消失的顺序是合理性的程度。的理论研究结果是原始的和显着的兴趣在光谱理论。此外，它们还直接应用于一些重要的物理问题，包括逆障碍物散射问题和逆衍射光栅问题。结果表明，在一定的多边形设置，人们可以恢复的未知散射体的支持以及表面阻抗参数由许多远场图案。实际上，对于某些重要的应用，最多两个远场图案就足够了。在逆散射理论中，由多个远场方向图唯一可识别性一直是一个极具挑战性的基本数学问题。
2019-06-29 math.AP math.SP
Spectral shape optimization for the Neumann traces of the Dirichlet-Laplacian eigenfunctions
We consider a spectral optimal design problem involving the Neumann traces of the Dirichlet-Laplacian eigenfunctions on a smooth bounded open subset $Ω$ of $\R^n$ . The cost functional measures the amount of energy that Dirichlet eigenfunctions concentrate on the boundary and that can be recovered with a bounded density function . We first prove that, assuming a $L^1$ constraint on densities, the so-called { \it Rellich functions} maximize this functional.Motivated by several issues in shape optimization or observation theory where it is relevant to deal with bounded densities, and noticing th…
2018-09-14 math.AP math.OC
High-energy eigenfunctions of the Laplacian on the torus and the sphere with nodal sets of complicated topology
设$Σ$是球面$\mathbb{S}^n$或平面环面$\mathbb{T}^n$，$n\geq 3$中的定向紧致超曲面.在环面的情况下，进一步假设$Σ$包含在$\mathbb{T}^n$的可收缩子集中。我们证明了对于任何足够大的奇数$N$，存在一个拉普拉斯算子在$\mathbb{S}^n$或$\mathbb{T}^n$上的本征函数$ψ$满足$Δψ=-λψ$（$λ=N(N+n-1)$或$N^2$分别在$\mathbb{S}^n$或$\mathbb{T}^n$上），并且$ψ$的节点集的连通分量由~ $Σ$给出，直到环境同构。
2018-10-19 math.AP math.DG math.SP
Hessian estimates for Dirichlet and Neumann eigenfunctions of Laplacian
本文借助 Riemannian 流形上的随机分析，建立带边界紧流形中 Laplacian 的 Dirichlet 特征函数 Hessian 上下界及尖锐增长估计，并推广至 Neumann 情形。
2023-11-03 math.AP math.PR
An observation on eigenfunctions of the Laplacian
本文推广了Rellich关于亥姆霍兹方程的经典结果，证明在空腔外区域中，若拉普拉斯算子本征函数的$p$次幂（$0<p\leq 2n/(n-1)$）可积则必恒为零，且该$p$的上界是最优的。
2023-11-10 math.AP
Approximating Pointwise Products of Laplacian Eigenfunctions
我们考虑具有Dirichlet条件的$d-$维有界域$M$（或$d-$维紧致流形$M$）上的拉普拉斯本征函数.这些算子产生本征函数序列$(e_\ell)_{\ell \in \mathbb{N}}$。我们研究了所有点态积$$ A_n = \mbox{span} \left\{ e_i(x) e_j(x): 1 \leq i,j \leq n\right\} \subseteq L^2(M).$$的子空间。显然，向量空间有维数$\mbox{dim}(A_n) = n(n+1)/2$。我们证明了特征函数的乘积$e_i e_j$在某种意义上是简单的：对于任何$\varepsilon > 0$，存在一个几乎包含所有乘积的低维向量空间$B_n$。更准确地说，表示正交投影$Π_{B_n}:L^2(M) \rightarrow B_n$，我们有$$ \forall~1 \leq i,j \leq n~ \qquad \|e_ie_j - Π_{B_n}( e_i e_j) \|_{L^2} \leq \varepsilon$$和空间$\mbox{dim}(B_n)$的大小是相对较小的：对于每个$δ> 0$，$$ \mbox{dim}(B_n) \lesssim_{M,δ} \varepsilon^{-δ} n^{1+δ}.$$我们获得了相同类型的边界的产品的任意长度，以及近似在$H^{-1}$规…
2018-11-26 math.AP math.SP
Spectrum of the Laplacian on the Vicsek Set "with no loose ends"
我们研究了从标准Vicsek集VS得到的分形VNLE的谱性质，通过确定可数个点，使VS中的所有线段成为VNLE中的圆。我们表明，标准的拉普拉斯算子VNLE满足频谱抽取与相同的立方重整化多项式VS，从而给出了一个完整的描述的所有特征函数的拉普拉斯算子。然后，我们研究的限制本征函数的大圆圈VNLE和证明，这些都是Lipschitz功能。
2016-11-04 math.AP
Localized Eigenfunctions: Here You See Them, There You Don't
本文探讨了紧域的拉普拉斯本征函数局部化问题。我们工作的背景下，一个特定的数值确定的，本地化的，低频本征函数。
2009-09-04 math.AP
Exponential Decay of Eigenfunctions and Accumulation of Eigenvalues on Manifolds with Axial Analytic Asymptotically Cylindrical Ends
在本文中，我们继续我们的研究的拉普拉斯流形上的轴解析渐近圆柱形结束开始在~arXiv：1003.2538。利用复尺度方法和Phragmén-Lindelöf原理，证明了Laplacian函数的非阈值特征值对应的特征函数的指数衰减性.在有（非紧）边界的流形的情况下，它是狄利克雷拉普拉斯算子或诺依曼拉普拉斯算子。我们表明，指数衰减的本征函数的速率规定的距离从相应的本征值到下一个阈值。根据我们的假设的行为度量在无穷大积累孤立和嵌入的特征值发生。本征函数的衰减结果与Perry的紧性论证相结合，意味着本征值只能在阈值处积累，并且只能从下面积累。特征值是有限重数的。
2010-07-25 math-ph math.AP math.DG
