大型Toeplitz矩阵的渐近特征值分布
Asymptotic eigenvalue distribution of large Toeplitz matrices
摘要：
研究了由奇异符号生成的Toeplitz矩阵的渐近特征值分布。Widom已经证明，对于一般符号，特征值收敛于符号的图像。在本文中，我们问的特征值如何收敛到图像。对于一个给定的Toeplitz矩阵$T_n(a)$的大小$n$，我们采取标准的方法来看待$\det(ζ-T_n(a))$，其中的渐近信息是由费舍尔-哈特维希定理。对于一个单跳符号，我们得到的本征值的分布作为一个扩展涉及$1/n$和$\log n/n$。为了证明我们的结果的有效性，我们比较我们的结果对使用纯Fisher-Hartwig符号的数值。
英文摘要：
We study the asymptotic eigenvalue distribution of Toeplitz matrices generated by a singular symbol. It has been conjectured by Widom that, for a generic symbol, the eigenvalues converge to the image of the symbol. In this paper we ask how the eigenvalues converge to the image. For a given Toeplitz matrix $T_n(a)$ of size $n$, we take the standard approach of looking at $\det(ζ-T_n(a))$, of which the asymptotic information is given by the Fisher-Hartwig theorem. For a symbol with single jump, we obtain the distribution of eigenvalues as an expansion involving $1/n$ and $\log n/n$. To demonstrate the validity of our result we compare our result against the numerics using a pure Fisher-Hartwig symbol.
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