Julia Robinson通过公式$(\forall \exists \forall \exists)(F=0)$给出了有理数$\mathbb Q$中的有理数$\mathbb Z$的一阶定义，其中$\forall$ -量词在总共8个变量上运行，并且其中F是多项式。我们表明，对于一个大类的数域，不包括$\mathbb Q$，对于每一个$ε>0$，存在一组素数$\cal S$的自然密度超过$1-ε$，这样$\mathbb Z$可以被定义为一个子集的“大”的子环$$\{x \in K : \ord_{\mathfrak p}x >0, \forall \mathfrak p \not \in \cal S \}$$的K的公式的形式$(\exists \forall \exists)(F=0)$只有一个$\forall$ -量词，和F是一个多项式。
英文摘要：
Julia Robinson has given a first-order definition of the rational integers $\mathbb Z$ in the rational numbers $\mathbb Q$ by a formula $(\forall \exists \forall \exists)(F=0)$ where the $\forall$-quantifiers run over a total of 8 variables, and where F is a polynomial.
We show that for a large class of number fields, not including $\mathbb Q$, for every $ε>0$, there exists a set of primes $\cal S$ of natural density exceeding $1-ε$, such that $\mathbb Z$ can be defined as a subset of the ``large'' subring $$\{x \in K : \ord_{\mathfrak p}x >0, \forall \mathfrak p \not \in \cal S \}$$ of K by a formula of the form $(\exists \forall \exists)(F=0)$ where there is only one $\forall$-quantifier, and where F is a polynomial.
我们考虑结构$(\mathbb{Z},+,0,|_{p_{1}},\dots,|_{p_{n}})$，其中$x|_{p}y$表示$v_{p}(x)\leq v_{p}(y)$，而$v_p$是$p$ -adic赋值.我们证明了它的理论在语言$\{+,-,0,1,(D_{m})_{m\geq1},|_{p_{1}},\dots,|_{p_{n}}\}$中有量词消去，其中$D_m(x)\leftrightarrow \exists y ~ my = x$，并且它有dp秩$n$。此外，我们还证明了一个一阶结构的论域$\mathbb{Z}$是$(\mathbb{Z},+,0)$的一个展开和$(\mathbb{Z},+,0,|_{p})$的一个约化，它必须与它们之一互定义.对Conant关于$(\mathbb{Z},+,0,<)$的类似结果给出了另一种证明.
