整数变量上丢番图方程的混合量词前缀
Mixed quantifier prefixes over Diophantine equations with integer variables
AI总结：
该研究回顾希尔伯特第十问题，并分析整数变量丢番图方程的混合量词前缀，证明 ∀²∃⁴ 及若干受界全称量词情形不可判定，且提出 ∀²∃² 不可判定猜想。
摘要：
本文首先回顾希尔伯特第十问题的历史，随后研究整数变量上丢番图方程的混合量词前缀。例如，我们证明 Z 上的 ∀²∃⁴ 是不可判定的；也就是说，不存在算法能够判定任意 P(x₁,…,x₆)∈Z[x₁,…,x₆] 是否满足 ∀x₁∀x₂∃x₃∃x₄∃x₅∃x₆(P(x₁,…,x₆)=0)，其中 x₁,…,x₆ 为整数变量。我们还得到若干全称量词受界的类似不可判定结果，例如 Z 上 ∀ 受界的 ∃²∀²∃² 不可判定。我们猜想 Z 上的 ∀²∃² 不可判定。
英文摘要：
In this paper we first review the history of Hilbert's Tenth Problem, and then study mixed quantifier prefixes over Diophantine equations with integer variables. For example, we prove that $\forall^2\exists^4$ over $\mathbb Z$ is undecidable, that is, there is no algorithm to determine for any $P(x_1,\ldots,x_6)\in\mathbb Z[x_1,\ldots,x_6]$ whether $$\forall x_1\forall x_2\exists x_3\exists x_4\exists x_5\exists x_6(P(x_1,\ldots,x_6)=0),$$ where $x_1,\ldots,x_6$ are integer variables. We also have some similar undecidable results with universal quantifies bounded, for example, $\exists^2\forall^2\exists^2$ over $\mathbb Z$ with $\forall$ bounded is undecidable. We conjecture that $\forall^2\exists^2$ over $\mathbb Z$ is undecidable.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
