Disjoint compatibility graph of non-crossing matchings of points in convex position
令$X_{2k}$为平面中凸位置的一组$2k$标记点。我们考虑$X_{2k}$的几何不相交直线完美匹配。两个这样的匹配，$M$和$M'$，如果它们没有公共边，并且没有$M$的边与$M'$的边相交，则是不相交兼容的。用$\mathrm{DCM}_k$表示其顶点对应于这样的匹配的图，并且两个顶点相邻当且仅当对应的匹配是不相交相容的。我们表明，对于每个$k \geq 9$，连接组件的$\mathrm{DCM}_k$形式正是三个同构类-即，有一定数量的同构小组件，一定数量的同构中组件，和一个大组件。精确地确定了中小型部件的数量和结构。
2014-03-21 cs.CG cs.DM math.CO
Two Disjoint Alternating Paths in Bipartite Graphs
一个二部图B称为支撑，如果它是连通的，且B中每一个不大于2的匹配都包含在B的某个完美匹配中，B中的圈C称为共形的，如果B-V（C）有一个完美匹配.我们表明，不存在两个不相交的交替路径，形成一个交叉的共形循环C在一个支撑B的当且仅当一个可以减少B，通过应用匹配理论模拟的小团和，一个平面支撑H中，C边界的一个面。然后，我们利用这个结果，并提供了一个多项式时间算法，解决了2-链接问题的交替路径的二部图完美匹配。
2021-10-05 cs.DM math.CO
On some Graphs with a Unique Perfect Matching
我们表明，决定是否一个给定的图$G$的大小$m$有一个唯一的完美匹配，以及发现匹配，如果它存在，可以在时间$O(m)$，如果$G$是一个cograph，或分裂图，或区间图，或无爪。此外，我们还给出了具有唯一完美匹配的无爪图的一个构造性刻画。
2017-12-12 cs.DM math.CO
Supermodularity in Unweighted Graph Optimization I: Branchings and Matchings
本文的主要结果是由以下两个显然无关的图最优化问题激发的：（A）作为Edmonds的不相交分支定理的推广，刻画了包含$k$不相交分支$B_i$的有向图，每个分支具有指定数目的弧$μ_i$，（B）作为Ryser的最大项秩公式的推广，确定满足度约束的简单二部图的最大可能匹配数。这些问题的解决方案和他们的推广将得到一个新的极小极大定理覆盖的一个简单的度约束二部图的超模函数。结果的一个具体特点是，它的最小成本扩展已经是NP完全的。因此，经典的多面体工具本身肯定不足以解决这个问题，即使他们在我们的方法中做出了一些很好的服务。
2017-09-04 cs.DM math.CO
Augmenting Geometric Graphs with Matchings
研究了不相交几何图及其不交相容几何匹配。给定一个圈（一个多边形）P，我们想画一组两两不相交的直线边，其端点在P的顶点上，使得这些新边既不交叉也不包含多边形的任何边。我们证明了决定是否存在这样的完美匹配的NP-完全性。对于n > 3的n顶点多边形，证明了边数小于小于n/7的匹配不是最大的，即它可以被另一个相容的匹配边扩张.我们还构造多边形的最大兼容匹配n/7边缘，证明了这个界的紧密性。对于{0，1，2}中的每一个d，也得到了d-正则几何图族的最小最大相容匹配的大小的紧界.最后，我们考虑一个相关的问题。我们证明了判定一个非交叉几何图G是否存在一组相容的非交叉边使得G连同这些边的最小度为5是NP-完全的。
2020-08-19 cs.DM math.CO
Constructive Characterization for Bidirected Analogue of Critical Graphs I: Principal Classes of Radials and Semiradials
本文是第一个从系列文件，提供建设性的特点，称为径向和半径向的双向图类。在本文中，我们提供了五个主要类别的径向和半径向的建设性特征，用于一般的径向和半径向的特征。双向图是其中每条边的每一端具有符号$+$或$-$的图。双向图是有向图和符号图的一种常见推广。定义了一个新的径向概念，作为匹配理论中一个经典概念临界图的推广。径向图也是一类称为流图的有向图的推广。我们还定义了半半径，这是一个宽松的概念半径。我们进一步定义了特殊的径向和半径向，即绝对半径向，强和几乎强径向，线性半径向和次线性径向。我们为这五类双向图提供了建设性的刻画。我们的系列论文是建立双向图的强分量分解的一系列工作的一部分。
2019-12-31 cs.DM math.CO
Two problems on matchings in set families - in the footsteps of Erdős and Kleitman
如果不存在满足$|F_1\cup\ldots\cup F_s|\le q.$的成对不相交的$F_1\in \mathcal F_1,\ldots, F_s\in\mathcal F_s$，则族$\mathcal F_1,\ldots, \mathcal F_s\subset 2^{[n]}$称为$q$依赖的.我们确定所有值$n\ge q,s\ge 2$的$\max |\mathcal F_1|+\ldots +|\mathcal F_s| $.这个结果是Kleitman的一个重要经典结果的推广。著名的Erd \H os Matching Conjecture提出了一个没有$s$两两不相交集的家族$\mathcal F\subset {[n]\choose k}$的最大尺寸。50多年后，它的全面解决仍然遥遥无期。本文在较宽的范围内，特别是对于$n\ge (2+o(1))sk$和$o(1)$仅依赖于$s$的情形，给出了Erdsps匹配猜想的Hilton-Milner型稳定性定理.这是一个相当大的改进的经典结果由于Bollobás，Daykin和Erdés。我们应用我们的结果推进以下反拉姆齐型问题，由Özkahya和Young提出。令$ar(n,k,s)$是颜色的最小数目$x$，使得在具有$x$（非空）颜色的$[n]$的$k$元素子集的任何着色中，存在大小为$s$的\textit{rai…
2018-10-15 cs.DM math.CO
Families without $s$-matchings: the other end
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）；Innopolis University（因诺波利斯大学）
研究确定了在n=ms+c时，不含s个不相交集合的最大家族大小，该结果是非均匀的Erdős匹配猜想在极端 clique 情况下的类比。
2026-05-01 cs.DM math.CO
Maximum Matchings in Random Bipartite Graphs and the Space Utilization of Cuckoo Hashtables
我们在随机图中研究以下问题。我们给出了两个不相交集$L,R$与$|L|=n=αm$和$|R|=m$。我们通过允许每个$x\in L$在$R$中选择$d$随机邻居来构造随机图$G$。讨论的问题是关于$G$中最大匹配的大小$μ(G)$。当在布谷鸟散列的上下文中考虑时，一个关键问题是$μ(G)=n$何时是whp？当$d$至少为4时，我们精确地回答这个问题。我们还建立了一个精确的阈值时，阶段1的Karp-Sipser贪婪匹配算法足以计算最大匹配的whp。
2009-11-17 cs.DM cs.DS
Uniquely restricted matchings and edge colorings
如果没有其他匹配覆盖完全相同的顶点集，则图中的匹配是唯一受限的。这个概念是由Golumbic，赫斯特和Lewenstein定义的，并在许多文章中进行了研究。我们的贡献是双重的。本文给出了计算某些二部图的最大尺寸唯一限制匹配的近似算法。特别是，我们实现了$9/5$的比率为亚立方二部图，改进了Mishra提出的$2$近似算法。此外，我们还研究了图的唯一限制色指数，定义为图的边集可划分的唯一限制匹配的最小数目。我们提供了严格的上界的最大程度和特征的极值图。我们的建设性证明产生了有效的算法来确定相应的边缘着色。
2016-11-21 cs.DM cs.DS math.CO
Finding Perfect Matchings in Bipartite Hypergraphs
Haxell条件是Hall条件的一个自然的超图模拟，Hall条件是二部图允许完美匹配的充分必要条件。也就是说，当Haxell条件成立时，它迫使二部超图中存在完美匹配。然而，与图中不同的是，没有已知的多项式时间算法来找到在满足Haxell条件时保证存在的超图完美匹配。我们证明了存在一个有效的算法，找到完美匹配的二部超图时，一个更强的版本的哈塞尔的条件。我们的算法可以被看作是一个推广的经典匈牙利算法在二分图中找到完美匹配。我们用来实现这一结果的技术可以更普遍地用于超图的不相交结构是至关重要的其他组合问题，例如集包装。
2016-12-05 cs.DM cs.DS
A New Perspective on Vertex Connectivity
边连通度和点连通度是图论中的两个基本概念。虽然到目前为止，基于图的边连通性对图的结构有了很好的理解，但我们在顶点连通性方面的知识要有限得多。在捕捉边连接的一个重要工具是边不相交的生成树。Tutte和Nash-Williams的著名结果表明，边连通的图$λ$包含$\floor{λ/2}$边不交生成树.我们提出了连接支配集（CDS）的划分和包装的工具，类似于边不相交的生成树，并帮助我们更好地掌握基于其顶点连通图的结构。CDS划分问题的目标是将图的节点划分为尽可能多的连通支配集。CDS包装问题是相应的分数松弛，其中CDS被允许重叠，只要通过分配适当的权重来补偿。CDS划分和CDS包装可以被看作是边不相交生成树的对应物，重点是顶点不相交而不是边不相交。我们构造性地证明了每一个具有$n$节点的$k$ -顶点连通图都有一个大小为$Ω(k/\log n)$的CDS填充和一个大小为$Ω(k/\log^5 n)$的CDS划分.我们证明了$Ω(k/\log n)$ CDS packing界是存在最优的。利用CDS填充，证明了如果$k$ -点连通图的顶点以概率$p$独立采样，则由采样点导出的图具有点连通性$\tildeΩ(kp^2)$ .此外，使用我们的$Ω(k/\log n)$ CDS包装，我们得到了一个存储和转发广播算法的最佳吞吐量的网络模型中，在每一轮，每个节点可以发送一个有限大小的消息到所有的邻…
2013-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
Excluding a Planar Matching Minor in Bipartite Graphs
匹配子式是子式的一种特殊化，适合于研究具有完美匹配的图。匹配子图的概念被用来对二部图进行结构描述，在此基础上，McCuaig等人在1999年给出了Little的一个结果.本文将Robertson和Seymour的图子级数的基本思想推广到具有完美匹配的二部图的设置.我们介绍了一个版本的Erdos-Posa属性匹配未成年人，并找到这个属性和平面性之间的直接联系。由此得到一类具有完美匹配的二部图具有有界完美匹配宽度当且仅当它不包含一个平面匹配子图。我们还提出了算法二部图的有界完美匹配宽度的匹配版本的不相交路径问题，匹配未成年人的包容性，并计算完美匹配的数量。从结构上得到了判定二部图G是否含有固定平面图G有匹配子图和计算排除固定可平面图作为匹配子图的二部图的完美匹配数都是多项式时间可解的.
2021-06-01 cs.DM math.CO
Graphs, Disjoint Matchings and Some Inequalities
本文研究图的最大k边可染色子图大小ν_k(G)，推导已有不等式的蕴含关系，改进多类立方图的ν_2(G)相关下界，并给出少环图的ν_k(G)下界及相关猜想。
2017-01-26 cs.DM math.CO
On disjoint crossing families in geometric graphs
几何图是在平面上绘制的图，其顶点由点和边表示为直线段。一个几何图包含一个（k，l）-交叉族，如果存在一对边子集E_1，E_2，使得|E_1| = k，|E_2| = 1，E_1中的边是两两交叉的，E_2中的边是两两交叉的，且E_1中的每条边与E_2中的每条边不相交.我们猜想，对任意固定的k，l，每个n-顶点几何图不含（k，l）-交叉族，至多有c_{k,l} n条边，其中c_{k,l}是只依赖于k和l的常数.本文通过证明几何图F的极值函数与F的两个完全不相交副本的极值函数之间的关系的一个更一般的结果，证明了每个不含（k，k）-交叉族的n-顶点几何图至多有c_kn \log n条边，其中c_k是只依赖于k的常数.我们还解决了不含（2，1）-交叉族的几何图的猜想。作为一个直接应用，这意味着对于任何3个顶点的圆图F，每个不包含其交图是F的匹配的n-顶点几何图至多有O（n）条边。
2011-03-25 cs.DM math.CO
