Generating mapping class groups of nonorientable surfaces with boundary
Michal Stukow
我们得到了具有穿孔和/或边界的不可定向曲面的各种映射类群的简单生成集。我们还计算了这些映射类群的阿贝尔化。
We obtain simple generating sets for various mapping class groups of a nonorientable surface with punctures and/or boundary. We also compute the abelianizations of these mapping class groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Secondary homological stability for mapping class groups of nonorientable surfaces
利用胞腔$E_2$ -代数的Galatius-Kupers-Randal-Williams框架，证明了不可定向曲面映射类群的一个次稳定性定理.作为推论，我们得到了不可定向曲面的映射类群关于添加环面洞的同调的一个新的最佳已知稳定范围。
The first homology group of the mapping class group of a nonorientable surface with twisted coefficients
确定了系数在H_1（N;Z）中的不可定向曲面N的映射类群M（N）的第一同调群.
The hyperelliptic mapping class group of a nonorientable surface of genus $g\geq 4$ has a faithful representation into $GL(g^2-1,\mathbb{R})$
证明了亏格为$g\geq 4$的不可定向曲面的超椭圆映射类群在$\mathbb{R}$上具有维数$g^2-1$的忠实线性表示.
Outer Automorphisms of Mapping Class Groups of Nonorientable Surfaces
设Ng是亏格g >= 5的连通闭不可定向曲面，Mod（Ng）表示Ng的映射类群.证明了若g为奇数，则Mod（Ng）的外自同构群为平凡或Z;若g为偶数，则Mod（Ng）的外自同构群注入到四洞球面的映射类群中.
A finite presentation for the hyperelliptic mapping class group of a nonorientable surface
我们得到了不可定向曲面N的超椭圆映射类群$M^h(N)$的一个简单表示。作为应用，我们用$H_1(N;Z)$中的系数计算了$M^h(N)$的第一同调群.
A finite generating set for the level 2 mapping class group of a nonorientable surface
得到了亏格为$g\ge 3$的闭不可定向曲面的水平2映射类群的生成元的有限集。这个集合由Lickorish的Y-同胚的合痕类组成，也称为crosscap slides。
Generators of the Mapping Class Group of a Nonorientable Punctured Surface
设$\textrm{Mod}(N_{g, p})$表示亏格为$p$的$g$的不可定向曲面的映射类群.对于$g\geq14$，我们证明了$\textrm{Mod}(N_{g, p})$可以由五个元素或六个对合生成。
A presentation for the mapping class group of a nonorientable surface
令$N_{g,n}$表示具有$n$边界分量的属$N_{g,n}$的不可定向曲面，$M(N_{g,n})$表示其映射类群。对于$n=0,1$和所有的$g$，我们得到了$M(N_{g,n})$的显式有限表示，使得$g+n>3$ .
Generating the mapping class group of a nonorientable surface by crosscap transpositions
一个横截面转置是一个不可定向曲面的映射类群的元素，它由一个支撑在一个单孔克莱因瓶上的同胚表示，并交换两个横截面。证明了亏格为$g\ge 7$的紧致不可定向曲面的映射类群是由一个交叉转置的共轭生成的。在曲面是封闭的或只有一个边界分量的情况下，给出了生成映射类群的$g+2$交叉换位的显式集合。
Generators for the mapping class group of a nonorientable surface
本文证明了不可可定向曲面的映射类群的Szepietowski生成元系是由Dehn扭和$Y$ -同胚构成的极小生成元集。
The twist subgroup of the mapping class group of a nonorientable surface
设T（N）是由绕双边圆的扭曲生成的不可定向曲面N（可能有穿孔和/或边界分量）的映射类群的子群。我们得到了T（N）的一个简单生成集。作为应用，我们计算了T（N）的第一同调群（阿贝尔化）.
Generating the Mapping Class Group of a Nonorientable Surface by Two Elements or By Three Involutions
证明了对于$g\geq19$，亏格为$g$的不可定向曲面的映射类群$\textrm{Mod}(N_g)$可以由两个元素生成，其中一个元素是$g$阶的.我们还证明了对于$g\geq26$，如果$g\geq26$，则$\textrm{Mod}(N_g)$可以由三个对合生成。
Crosscap slides and the level 2 mapping class group of a nonorientable surface
横截滑动是亏格至少为2的不可定向曲面的同胚，它是由Lickorish以Y-同胚的名称引入的，作为映射类群中不能表示为Dehn扭曲的乘积的元素的一个例子。本文证明了由所有横截面滑动生成的闭不可定向曲面N的映射类群的子群等于由平凡作用于H_1（N;Z_2）的映射类构成的水平2子群。我们还证明了这个子群是由对合生成的。
A finite presentation for the twist subgroup of the mapping class group of a nonorientable surface
设$N_{g,s}$表示亏格为g且边界分量为s的不可定向曲面。最近Paris和Szepietowski得到了曲面$N_{g,s}$的映射类群$M(N_{g,s})$的显式有限表示，其中$s\in{0,1}$和$g+s>3$ .在这项工作之后，我们得到了一个有限的介绍为子群$T(N_{g,s})$的$M(N_{g,s})$产生的Dehn扭曲。
Generating the mapping class group of a nonorientable surface of genus $g \geq 13$ by two elements
研究证明 genus $g \geq 13$ 的非定向曲面映射类群可由两个元素生成，改进了此前 $g \geq 19$ 的结论。
A finite presentation for the mapping class group of a nonorientable surface with Dehn twists and one crosscap slide as generators
设N_{g,s}表示亏格为g且边界分量为s的不可定向曲面。最近Paris和Szepietowski得到了曲面N_{g,s}的映射类群M（N_{g,s}）的显式有限表示，其中s \in{0,1}且g+s>3.在这项工作之后，我们得到了有限的介绍映射类群M（N_{g,s}）与发电机是德恩扭曲和一个crosscap幻灯片。
Generating the mapping class group of a nonorientable surface by three torsions
证明了亏格$g$不等于4的闭不可定向曲面的映射类群$\mathcal{M}(N_g)$由三个挠元生成。此外，对于形式为$g=pk+2q(k-1)$或$g=pk+2q(k-1)+1$的每个偶数$k\ge 12$和$g$，其中$p,q$是非负整数并且$p$是奇数，$\mathcal{M}(N_g)$由三个$k$阶共轭元素生成。对于由Dehn扭曲生成的$\mathcal{M}(N_g)$的子群，也证明了类似的结果.
Automorphisms of the mapping class group of a nonorientable surface
设$S$是亏格为$n\ge 0$的一个不可定向曲面，$\Mcg(S)$是它的映射类群.我们定义$S$的复杂度为$\Mcg(S)$的自由阿贝尔子群的最大秩。假设$S_1$和$S_2$是两个具有相同复杂度的曲面。证明了每个同构$\Mcg(S_1)\to\Mcg(S_2)$都是由一个同构$S_1\to S_2$诱导的.这是Ivanov关于可定向曲面的映射类群的自同构定理的一个类似定理，也是第一作者以前结果的推广和改进。
Automorphisms of the pants graph of a nonorientable surface
本文证明除低复杂度情形外，不可定向曲面的裤分解图自同构群与其映射类群同构。
Golden ratio on nonorientable surfaces
在奇亏格$g \geq 5$的每个不可定向曲面上，给出了一个映射类，它在不变子曲面上的伸缩是黄金比例。
Low dimensional linear representations of the mapping class group of a nonorientable surface
设$f$是从亏格为$g$的不可定向曲面的映射类群$\mathcal{M}(N_{g,n})$到$\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$的同态.我们证明了如果$g\ge 5$，$n\le 1$和$m\le g-2$，那么$f$因子通过$\mathcal{M}(N_{g,n})$的阿贝尔化，即对于$g\in\{5,6\}$是$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$，对于$g\ge 7$是$\mathbb{Z}_2$。如果$g\ge 7$，$n=0$和$m=g-1$，那么要么$f$有有限的图像（如果$g\ne 8$，最多2阶），要么它共轭于四个“同调表示”之一。作为应用，我们证明了对于$g\ge 5$和$h<g$，每个同态$\mathcal{M}(N_{g,0})\to\mathcal{M}(N_{h,0})$因子都是通过$\mathcal{M}(N_{g,0})$的阿贝尔化得到的.
Minimal Generation of Mapping Class Groups: A Survey of the Nonorientable Case
本文综述了非定向面映射类群的最小生成理论，揭示了生成集的几何与代数关系，并扩展至有孔面，提供显式生成器和证明。
On finite index subgroups of the mapping class group of a nonorientable surface
设$M(N_{h,n})$表示亏格为$h\ge 7$和$n\le 1$边界分量的紧致不可定向曲面的映射类群，$T(N_{h,n})$表示由所有Dehn扭曲生成的$M(N_{h,n})$的子群.已知$T(N_{h,n})$是索引为$2$的$M(N_{h,n})$的唯一子群。我们证明了$T(N_{h,n})$（也$M(N_{h,n})$）包含一个唯一的子群的指数$2^{g-1}(2^g-1)$共轭，和一个唯一的子群的指数$2^{g-1}(2^g+1)$共轭，其中$g=\lfloor(h-1)/2\rfloor$。$T(N_{h,n})$和$M(N_{h,n})$的其它真子群的指数均大于$2^{g-1}(2^g+1)$。特别地，$T(N_{h,n})$的真子群的最小指数是$2^{g-1}(2^g-1)$。
Automorphisms of complexes of curves on odd genus nonorientable surfaces
设$N$是亏格为$g$的连通不可定向曲面，其中有$n$穿刺.假设$g$是奇数，而$g+n \geqslant 6$。证明了$N$的曲线复形的自同构群与$N$的映射类群$\mathcal M_{N}$同构.
Minimal Penner dilatations on nonorientable surfaces
对任意不可定向的闭曲面，确定了由Penner构造而成的伪Anosov映射类之间的最小伸缩.我们推导出极小Penner曲面序列恰好有两个聚点，而可定向曲面只有一个聚点。我们的关键技术之一是将伪Anosov变换表示为相邻链路的Alexander多项式的根，并利用Alexander多项式的skein关系比较变换。
The mapping class group of a nonorientable surface is quasi-isometrically embedded in the mapping class group of the orientation double cover
本文证明了不可定向曲面到其定向双重覆盖的映射类群嵌入是拟等距嵌入，并推广至任意不可定向曲面包含关系诱导的映射类群嵌入情形。
Dehn twists on nonorientable surfaces
设t_a为可定向曲面上绕圆a的Dehn扭转。众所周知，对于每个圆b和整数n，I（t_a^n（b），b）= |n| I（a，b）^2，其中I（，）是几何相交数。证明了不可定向曲面上圆的一个类似公式。作为推论，我们证明了不可定向曲面上扭曲的一些代数性质。我们还证明了：如果M（N）是不可定向曲面N的映射类群，则直到有限个例外，由扭曲生成的M（N）的子群的中心化子等于M（N）的中心，并且是由绕与N的边界分量同素的圆的扭曲生成的.
McShane-type identities for quasifuchsian representations of nonorientable surfaces
证明了不可定向尖点双曲曲面N的Norbury McShane恒等式推广到了pi_1（N）的拟fuchsian表示以及N给出的具有奇异纤维的伪Anosov映射克莱因瓶.
Injective Simplicial Maps of the Arc Complex on Nonorientable Surfaces
证明了从一个紧致的、连通的、具有非空边界的不可定向曲面的弧复形到其自身的单射映射是由该曲面的一个同胚诱导的。我们还证明了弧复形的自同构群同构于曲面的映射类群通过其中心的商。
Geometric representations of the braid group on a nonorientable surface
本文分类了从 $n$ 股辫群到亏格为 $g$ 的不可定向曲面纯映射类群的同态，证明了在特定参数条件下此类同态必为循环映射或映射至特定几何元素。
Generating the Level 2 Subgroup by Involutions
得到了闭不可定向曲面的映射类群的2级子群的对合的极小生成集。
Lefschetz fibrations on nonorientable 4-manifolds
设$W$是一个不可定向的$4$-维实体，没有$3$-和$4$-句柄。证明了$W$在$2$-圆盘上存在Lefschetz纤维化，其正则纤维为具有非空边界的不可定向曲面.这是一个类似的结果Harer在定向的情况下获得。作为推论，我们得到了一个$4$维证明，证明了每个不可定向的闭$3$-流形都有一个开卷分解，这是Berstein和Edmonds首先用分支覆盖证明的。此外，对于给定的$3$-流形，我们得到的开书的单值性属于开书的映射类群的扭曲子群.特别地，我们构造了一个明确的最小开书的连接和任意多个副本的产品的圆与真正的射影平面。我们还得到了一个相对的三分图$W$，基于我们构建的nonorientable Lefschetz纤维化，类似于定向的情况下，卡斯特罗首先研究。作为推论，我们通过对$W$进行二次化，得到了某些闭$4$-流形的三分图，例如$2$-球面与实射影平面的乘积。此外，如果$X$是一个闭的不可定向的$4$-流形，它允许一个在$2$-球面上的Lefschetz纤维化，并配有一个正方形截面$\pm 1$，那么我们构造了一个由Lefschetz纤维化的消失圈决定的$X$的三分图.最后，我们包括一些简单的意见，低亏格Lefschetz纤维化的封闭不可定向$4$-流形。
Generating the Twist Subgroup by Involutions
对于不可定向曲面，扭曲子群是映射类群的指数2子群。它是由Dehn关于两侧简单闭曲线的扭曲生成的。本文研究了twist子群的对合生成元。我们给生成集的对合与最小数目的元素，我们的方法允许。
Right-angled Artin groups and curve graphs of nonorientable surfaces
本文研究不可定向曲面映射类群的子群结构，证明了曲面双侧简单闭曲线诱导的曲线图的有限完全子图对应的直角Artin群可嵌入映射类群，还发现非完全子图对应的直角Artin群也存在可嵌入的情况。
What's wrong with the growth of simple closed geodesics on nonorientable hyperbolic surfaces
Mirzakhani的一个著名的结果表明，如果$(S,m)$是一个有限面积的\emph{orientable}双曲曲面，那么$(S,m)$上长度小于$L$的简单闭测地线的数量渐近等价于一个正常数乘以$L^{\dim\mathcal{ML}(S)}$，其中$\mathcal{ML}(S)$表示$S$上测量的叠层的空间。我们观察到，在一些显式的例子，这一结果并不适用于\emph{nonorientable}双曲曲面。这篇文章的目的是解释这一令人惊讶的现象。设$(S,m)$为有限面积\emph{nonorientable}双曲曲面。我们证明了具有封闭单侧叶的测量叠层集合具有一种特殊的结构。因此，映射类群在测得的叠层的射影空间上的作用不是极小的。我们确定了它的轨道闭合的部分分类，我们推断，长度小于$(S,m)$上的$L$的简单闭测地线的数量与$L^{\dim\mathcal{ML}(S)}$相比可以忽略不计。我们将这个结果推广到一般的多重曲线。然后，我们集中在模空间的几何。我们证明了它的Teichmüller体积是无穷大的，并且Teichmüller流不是遍历的。我们还考虑了一个体积形式介绍了诺伯里。我们证明了它是Weil-Petersson体积形式的正确推广。体积的模空间相对于这种体积形式再次是无限的（如所示的诺伯里），但子集的双曲曲面的单边测地线长度至少$\varepsilon>0$有…
A minimal generating set of the level 2 mapping class group of a non-orientable surface
构造了亏格$g$的不可定向曲面的第二层映射类群的极小生成集，并确定了它对$g\ge4$的阿贝尔化.
Roots of Dehn twists on nonorientable surfaces
Margalit和Schleimer观察到可定向曲面上的Dehn扭曲有非平凡根。研究亏格为g的不可定向曲面N_g的映射类群M（N_g）中关于不可分离圆c的Dehn扭t_c的根问题.我们探讨根的存在，并按照麦卡洛，Rajeevsarathy和Monden的工作，给一个简单的算术描述他们的共轭类。我们还研究了极大次根，证明了如果固定一个奇数n>1，则对任意充分大的g，t_c在M（N_g）中有一个n次根.此外，对于任意可能的次数n，我们给出了N_g中关于非分离圆的一类特殊的Dehn twists根的显式表达式.
On the commutator length of a Dehn twist
我们证明了在亏格至少为7的不可定向曲面上，Dehn扭曲的任何幂都等于映射类群中的单个交换子，在附加的假设下，对于扭曲子群也是如此，对于亏格至少为3的可定向曲面的扩展映射类群也是如此。
Torsion Generators of the Twist Subgroup
证明了亏格为$g\geq13$的闭连通不可定向曲面的映射类群的扭曲子群可以由两个对合和一个$g$或$g-1$阶元生成，这取决于$g$是奇数还是偶数.
Every $S^2$-Bundle over a positive genus($g>1$) Surface has Mapping Class Group of Infinite Rank
本文研究了非平凡 $S^2$ 纤维丛的映射类群，证明其到 $\mathbb{Z}^{\infty}$ 的映射为满射，并基于Dax不变量的推广进行证明。
Commensurability of geometric subgroups of mapping class groups
设M是一个曲面（可能是不可定向的），它具有穿孔和/或边界分量。本文研究了M的映射类群的"几何子群"，即对应于包含子曲面（可能不连通）的子群。我们把导致几乎阿贝尔几何子群的子曲面重新构造。给出了两个几何子群可交换的代数和几何条件。我们还描述了一个几何子群的稳定子的下伏地下。最后，我们展示了我们的分析的映射类群的不可约酉表示理论的一些应用。
Low-dimensional linear representations of mapping class groups
最近，John Franks和Michael Handel证明了，对于$g\geq 3$和$n\leq 2g-4$，从亏格$g$的可定向曲面的映射类群到$\GL (n,\C)$的每个同态都是平凡的。我们将这个结果推广到$n\leq 2g-1$，也覆盖了$g=2$的情况。作为应用，我们证明了不可定向曲面的相应结果。另一个应用是关于从亏格$g$的闭曲面的映射类群到$\Aut (F_n)$或到$\Out (F_n)$为$n\leq 2g-1$的同态的平凡性。
Isotopic tiling theory for hyperbolic surfaces
在本文中，我们开发了所需的数学工具，探索合痕类的平铺双曲曲面有限亏格，可能nonorientable，边界，穿孔。更具体地说，我们推广的结果Delaney-Dress组合平铺理论使用的扩展映射类群的orbifolds，反过来用这个研究平铺覆盖空间的orbifolds。此外，我们还研究了这些映射类群的有限子群。我们的结果可以用来扩展的Delaney-Dress组合编码的瓷砖，以产生一个有限的符号编码的复杂性的同伦类的瓷砖。本文的结果提供了一个完整的和明确的计数的双曲曲面的同位素不同的tilings的基础。
Enumerating Isotopy Classes of Tilings guided by the symmetry of Triply-Periodic Minimal Surfaces
我们提出了一种技术枚举的所有同位素不同的方式平铺双曲曲面有限属，可能nonorientable和穿孔和边界。这是Delaney-Dress组合镶嵌理论在同位素镶嵌理论基础上的一个推广。为了实现这一点，我们得到的映射类群的轨道相关的对称群中的对称群的外自同构的平铺。我们明确地给出某些子群的映射类群和平铺装饰orbifolds，即那些是相称的原始，钻石和陀螺三尖周期极小曲面的描述。我们使用这个明确的描述给出了一系列的例子，同位素不同的平铺的双曲平面与旋转产生的对称性，概述了该方法如何产生一个明确的枚举。
Generating the mapping class group by three involutions
证明了亏格$g$的闭连通可定向曲面的映射类群是由$g\geq 6$的三个对合生成的.
Coarsely bounded generating sets for mapping class groups of infinite-type surfaces
本文通过示例探讨了无限型曲面映射类群是否具有粗有界生成集，以阐明Mann和Rafi的相关假设背景。
Small torsion generating sets for hyperelliptic mapping class groups
证明了超椭圆映射类群和广义超椭圆映射类群都是由两个扭元生成的。计算了由对合生成的超椭圆映射类群的子群的指数，证明了广义超椭圆映射类群是由三个方向反转的对合生成的.
The Torsion Generating Set Of The Extended Mapping Class Groups In Low Genus Cases
证明了对于亏格$g=3,4$，扩展映射类群$\text{Mod}^{\pm}(S_g)$可以由两个有穷级的元素生成.但对于$g=1$，$\text{Mod}^{\pm}(S_1)$不能由两个有穷级的元素生成。
Generating the spin mapping class group by Dehn twists
设f是亏格g>3的闭曲面S上的Z/2 Z-自旋结构。在S的由Dehn扭构成的映射类群中，确定了f关于S中一个2g+1曲线集的稳定子的生成集。如果g=3，则我们还确定了由Dehn扭曲组成的奇Z/2 Z自旋结构关于6条曲线集合的稳定子的生成集。
Generating mapping class group by two torsion elements
证明了亏格$g$的闭连通可定向曲面的映射类群是由$g\geq 6$的两个$g$阶元生成的.此外，对于$g\geq 7$，我们找到了一个生成集的两个元素，顺序$g$和$g'$，这是最小的因子$g$，使$g'>2$。进一步证明了它是由两个$g/\gcd (g,k)$阶元生成的，对于$g\geq 3k^2+4k+1$和任意正整数$k$ .
On minimal generating sets for the mapping class group of a punctured surface
设$Σ_{g,p}$是亏格为$g$的有向连通曲面，其中有$p$穿刺.我们用$\mathcal{M}_{g,p}$和$\mathcal{M}_{g,p}^\pm$分别表示$Σ_{g,p}$的映射类群和扩展的映射类群。本文证明了$\mathcal{M}_{g,p}$和$\mathcal{M}_{g,p}^\pm$是由$g\geq 3$和$p\geq 0$的两个元素生成的。
Generating twist subgroup of mapping class group of non-orientable surface by involutions
设$N_{g}$表示亏格$g$的闭不可可定向曲面，${\mathcal M} _g$表示$N_{g}$的映射类群.令${\mathcal T} _g$表示${\mathcal M} _g$的扭曲子群，它是由所有Dehn扭曲生成的${\mathcal M} _g$的子群。本文证明了${\mathcal T} _g$是由$g \geq 16$或$g = 14$的六个对合生成的。
Generating the mapping class group of a non-orientable punctured surface by involutions
用$N_{g,n}$表示亏格为$g$的不可定向闭曲面，用${\mathcal N}_{g,n}$表示$N_{g,n}$的映射类群. Szepietowski证明了${\mathcal N}_{g,n}$是由多个对合生成的。在他的生成集中元素的数量线性地依赖于$g$和$n$。在$n=0$的情况下，Szepietowski发现了一个对合生成集，其元素的数量不依赖于$g$，表明${\mathcal N}_{g,0}$是由四个对合生成的。在这篇论文中，我们证明了当$n \geq 0$是奇数时，${\mathcal N}_{g,n}$是由8个对合生成的，当$g \geq 14$是偶数时，是由11个对合生成的。
Generating the liftable mapping class groups of cyclic covers of spheres
本文推导球面有限叶正则分支循环覆盖的可提升映射类群的有限生成集，给出相关算法，确定同构类，恢复两类覆盖的生成集，推进映射类群研究。
Generating the Extended Mapping Class Group by Three Involutions
证明了亏格为$g$的连通可定向曲面的扩展映射类群$\rm Mod^{*}(Σ_{g})$可以由$g\geq 5$的三个对合生成.在存在穿孔的情况下，我们证明了$\rm Mod^{*}(Σ_{g,p})$可以由$g\geq 10$和$p\geq 6$的三个对合生成（除了对于$g\geq 11$，$p$应该至少是$15$）。
Generating the mapping class groups by torsions
设$S_g$是亏格g的闭定向曲面，$\text{Mod}(S_g)$是映射类群.当亏格为至少3时，$\text{Mod}(S_g)$可以由扭元产生。我们证明了以下结果。对于$g \geq 4$，$\text{Mod}(S_g)$可以由4个扭元产生。三个生成元是对合，第四个生成元是3阶元。$\text{Mod}(S_3)$可由5个扭元产生。四个生成元是对合，第五个生成元是3阶元。
Generating Mapping Class Groups by Involutions
用$Σ_{g,b}$表示具有$b$穿孔的闭定向曲面亏格$g$，用$Mod_{g,b}$表示它的映射类群. Luo证明了如果亏格至少为3，则群$Mod_{g,b}$由对合生成。他还问是否存在一个通用上界，独立于属和穿刺的数量，为扭元/对合需要产生$Mod_{g,b}$的数量。Brendle和Farb通过描述一个由7个对合组成的生成集，在闭曲面和有一个穿刺的曲面的情况下给出了部分答案。我们的主要结果推广了上述结果的情况下，多个穿刺。我们还证明了映射类群可以由较少的对合生成。更确切地说，我们证明了，如果亏格$g$足够大，映射类群可以由4个对合生成。没有太多的空间来改进这个界，因为要生成这个群，我们至少需要3个对合。在亏格较小（但至少为3个）的情况下，为了生成整个映射类群，我们需要更多的对合。
On generating mapping class groups by pseudo-Anosov elements
本文证明闭定向曲面的映射类群可由两个伪 Anosov 元素生成，并在高亏格下得到共轭、伸缩率任意大等更强结论，同时推广至超椭圆映射类群。
Homeomorphisms of surfaces in $4$-manifolds
本文建立单连通4维流形中局部平坦扭结曲面等价的充要条件，推广Lee-Wilczynski结果，证明射影平面等的相关结论，确定拓扑可延拓映射类群。
Generating the mapping class group by torsion elements of small order
我们证明亏格至少为3的闭定向曲面的映射类群是由3个3阶元素和4个4阶元素生成的。注意，如果亏格等于1或2，则映射类群不能由相同阶数的1/2个扭元生成。
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