Category of Noncommutative CW Complexes
Do Ngoc Diep
给出了非交换CW复形的概念，定义了非交换（NC）映射柱和NC映射锥，证明了非交换逼近定理.还导出了与任意态射相关的长正合同伦序列。
We expose the notion of noncommutative CW (NCCW) complexes, define noncommutative (NC) mapping cylinder and NC mapping cone, and prove the noncommutative Approximation Theorem. The long exact homotopy sequences associated with arbitrary morphisms are also deduced.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Category of Noncommutative CW Complexes. II
本文引入了非对易塞尔纤维化（简称NCSF）的概念，并证明了在同伦之前，每个NCCW复态射都是某个非对易塞尔纤维化。然后，我们推导出一个六项精确序列的周期循环同调和K-理论的任意非交换塞尔纤维化。我们还展示了如何使用这种技术来计算K-理论和循环理论的一些非交换矩阵。
Noncommutative algebras associated to complexes and graphs
这是第一次我们的论文致力于“非交换拓扑和图论“。它的起源是论文数学。QA/0002238由我。Gelfand，V. Retakh，and R.L. Wilson在这里引入了一类新的非交换代数$Q_n$.代数$Q_n$与将除代数上的一般多项式$n$分解为线性因子密切相关。
Category of Noncommutative CW complexes. III
本文证明了Leray谱序列定理的一个非交换形式，进而证明了非交换Serre纤维化的Leray-Serre谱定理：对于NC Serre纤维化，存在$\E^2$项为$\E^2_{p,q} = \HP_p(A; \HP_q(B,A)) \Longrightarrow \HP_{p+q}(B)$和$\E^2_{p,q} = \HP_p(A;\K_q(B,A)) \Longrightarrow \K_{p+q}(B)$的收敛谱序列.
Some Noncommutative Constructions and Their Associated NCCW Complexes
介绍了NC映射锥和NC映射柱映射柱等非交换拓扑对象。我们将看到，这些物体都具有[PEDERSEN]的NCCW复结构。作为推广，我们介绍了数控映射圆柱和圆锥望远镜的概念。研究了它们与锥、柱NC映射的关系.得到了它们的K_0和K_1群的一些结果，证明了它们的k-群的循环六项正合序列定理。最后解释了它们的NCW复结构以及它们具有NCW复结构的条件。
Noncommutative tori and the Riemann-Hilbert correspondence
通过一类$\mathbb{C}^*$上的等变微分模研究了非交换环面与非交换椭圆曲线之间的相互作用。我们泛函地将这个范畴与Polishchuk和Schwarz所引入的非对易环面上的全纯向量丛范畴联系起来，并研究了相应的K-理论之间的诱导映射。另外，Soibelman和Vologodsky的非交换椭圆曲线范畴也有一个遗忘函子，$\mathbb{C}^*$上具有正则奇异联络的向量丛范畴也有一个遗忘函子.我们考虑的范畴具有Tannakian范畴的良好性质，因此它等价于仿射群方案的表示范畴。通过黎曼-希尔伯特对应的等变形式，我们确定这个群概型是$\mathbb{Z}^2$（的代数壳）。我们还得到了非对易环面的全纯丛范畴的一个满子范畴，它等价于$\mathbb{Z}$的表示范畴.这个群体是建议的拓扑基本群的非交换环面（理解为退化的椭圆曲线），我们研究诺里的概念的étale基本群在这方面。
Noncommutative differential operators, Sobolev spaces and the centre of a category
考虑由向量场生成的非交换代数$A$上的微分算子.这些被证明形成一个微分算子的酉结合代数，并作用于具有共变导数的$A$ -模$E$。利用文中给出的重微分给出了具有连通和厄米特内积的模的非交换Sobolev空间的定义。具有修正的双模结构和双模联络的向量场的张量代数被证明位于双模联络范畴${}_A\mathcal{E}_A$的中心，并且实际上是一个在中心的代数。范畴中心定义中的交叉自然变换与带联络双模上的微分算子的作用有关。
Simplicial Structure on Complexes
当链复形具有满足$d^2 = 0$的微分$d$时，它们的被称为$N$ -复合物的推广具有满足$d^N = 0$的微分$d$。本文证明了链复形范畴的松弛神经与$N$ -复形的单纯范畴的décalage是点态伴随等价的。这揭示了链复形范畴的松弛神经上的额外单纯结构，它提供了链复形的三角化同伦范畴的分类。我们研究这一现象的一般和目前的证据表明，公理的三角范畴有单纯的起源。
Duality and equivalence of module categories in noncommutative geometry II: Mukai duality for holomorphic noncommutative tori
这是第二次在一系列文件旨在建立一个框架，研究范畴的模块在非交换几何的背景下。在\cite{mem}中我们引入了基本DG范畴$\Pc_{\A^\bullet}$，它是$\A^\bullet$的完美范畴，对应于复流形上的凝聚层范畴.在本文中，我们扩大这一范畴，包括对象对应于准相干层。然后，我们应用这个框架来证明一个等价的类别之间的导出范畴的非交换复环面和对偶复环面上的全纯gerbe。
Homological mirror symmetry on noncommutative two-tori
同调镜像对称是一种猜想，即在A-模型中构造的范畴和在B-模型中构造的范畴在某种意义上是等价的。我们构造了非交换双环面上的全纯向量丛的循环微分分次范畴作为B-模型侧的范畴。我们在A-模型的一侧定义了相应的Rehanaya范畴，并在循环范畴的水平上证明了这两个范畴的等价性。我们进一步写下来明确费曼规则更高的梅西产品来自循环DG类。作为这些论点的背景，一个物理解释的镜像对称的非交换两环面也给出了。
Categories of holomorphic vector bundles on noncommutative two-tori
本文研究了非交换二环面上的标准全纯向量丛范畴。构造了一个从这类丛的导出范畴到椭圆曲线上凝聚层的导出范畴的函子，并证明了它与稳定对象的子范畴是等价的.通过椭圆曲线的同调镜像对称性，这意味着非交换2-torus上的全纯丛的导出范畴与相应的辛（交换）torus上的全纯丛范畴等价。
Structures on the Category of N-Complexes
该研究将链复形和分次对象的张量积推广到$N$-复形情形，探究了$N$-复形导出范畴的多种实现方式，丰富了$N$-复形理论的范畴结构研究。
Minimal $\mathfrak{sl}_N$ Complexes of Rational Tangles via the Fukaya Category
该研究利用3穿孔圆盘的拓扑Fukaya范畴计算定向有理缠结的极小$\frak{sl}_N$复形，证明其稳定化后可定义有理缠结的HOMFLY-PT同调。
Holomorphic bundles on 2-dimensional noncommutative toric orbifolds
本文定义了非交换环面orbifold $T_θ/G$上的全纯丛的概念，它与无理旋转代数上有限循环群$G$的作用有关.我们证明了这类全纯丛的范畴是阿贝尔的，并且它的导出范畴等价于有限维代数$Λ$上模的导出范畴。作为应用，我们完成了Kumjian，Walters和Buck提出的描述上述轨道折叠的交叉积代数的$K_0$ -群的计算。另外，我们在$Λ$ -模范畴中描述了一个扭对，使得关于这个扭对的倾斜给出了$T_θ/G$上的全纯丛范畴。
On synthetic interpretation of quantum principal bundles
量子主丛或主余模代数被重新解释为主丛的框架内的综合非交换微分几何。更具体地说，引入了辫状幺半范畴中的非交换主丛的概念，并证明了与向量空间范畴相反的范畴中的非交换主丛与忠实平坦的Hopf-Galois扩张相同.
Differential calculi on noncommutative bundles
引入一类非交换丛。为了建立这一范畴的几何学，我们在这些丛上构造了合适的非交换微分演算，并研究了它们的基本性质。此外，我们定义的概念，一个连接相对于微分，并考虑问题的存在性和唯一性。最后，将这些构造应用于余拟三角Hopf代数上的非交换丛的基本例子.
The fundamental group of a noncommutative space
本文引入并分析了非交换空间的基本群的一般概念，它由微分分次代数描述。为此，我们考虑了微分分次代数上的平坦生成投射双模上的联络，并证明了这类模上的平坦联络范畴形成了Tannakian范畴。因此，这个范畴可以实现为仿射群模式$G$的表示范畴，在经典情况下，它是通常的基本群的（亲代数完成）。这促使我们定义$G$为所考虑的非对易空间的基本群。对微分分次代数的必要假设在非交换微分几何中是相当温和和完全自然的。我们建立了这个基本群的适当的函子性质、同伦和Morita不变性。作为一个例子，我们发现非交换环面的基本群可以描述为拓扑群$(\mathbb Z+θ\mathbb Z)^2$的代数壳。
Kernels for Noncommutative Projective Schemes
本文给出了两个非交换射影概形之间dg-范畴的同伦范畴中的内部Hom dg-范畴的一个非交换几何刻划。作为直接的应用，我们给出了一个非交换的投影导出Morita声明沿着Rickard和Orlov的路线。
Classification of holomorphic vector bundles on noncommutative two-tori
证明了非交换二环面$T$上的全纯向量丛都可以由数学QA/0211262中考虑的标准全纯丛通过逐次延拓得到。这意味着$T$上的全纯丛范畴等价于椭圆曲线上相干层的导出范畴上的某个$t$ -结构的中心。
Quasicoherent sheaves on complex noncommutative two-tori
在复非对易二环面$T$上引入拟相干层的概念，作为$T$上全纯向量丛范畴中的一个ind-object.推广了math.QA/0211262和math.QA/0308136的结果，证明了$T$上的拟相干层的导出范畴等价于相应的椭圆曲线上的通常拟相干层的导出范畴.我们定义了可以取任意非负实值的拟相干层的秩。我们研究范畴$\Qcoh(η_T)$，它是通过取拟相干层范畴与秩为零的对象的子范畴（称为挠层）的商而得到的。我们表明，有限秩的投射对象在$\Qcoh(η_T)$分类到同构的秩。我们还证明了$\Qcoh(η_T)$中有限秩对象的子范畴等价于半遗传代数上的有限表示模范畴。
Noncommutative differential forms and quantization of the odd symplectic category
奇泊松超流形上的微分形式有一个简单而自然的量子化，对于任意两个函数f和g，由关系[f，dg]={f，g}给出。我们注意到，这个非交换的微分代数有一个几何实现作为一个卷积代数的辛广群集成泊松流形。这种量子化只是奇辛范畴（其中对象是奇辛超流形，态射是Lagrange关系）用Z_2-分次链复形量子化的一部分.这是H. Khudaverdian。
Odd two-variable Soergel bimodules and Rouquier complexes
我们考虑Soergel双模范畴的奇类比。在奇数情况下，并且已经有两个变量，转置双模不能合并到生成Soergel双模中，迫使一个进入一个幺半范畴范畴，与偶数情况相比，具有更大的Grothendieck环。我们建立了适当的函子的双伴性，并发展了奇Soergel范畴和相关的奇异Soergel 2-范畴在2-变元情况下的图形演算。我们描述了奇模拟的Rouquier复合物，并建立其可逆性的同伦范畴。对于三个变量，生成的Soergel双模的张量积的直和分解的缺乏为Reidemeister III关系在同伦范畴中保持提出了障碍。
Tensor product of N-complexes and generalization of graded differential algebras
分次微分代数的概念与复形的幺半范畴中的幺半群的概念是一致的。利用M. Kapranov对于$N$ -复形范畴，我们定义了相应的分次微分代数的推广作为这个范畴的幺半群。结果表明，这种推广与以前引入和研究过的分次$q$ -微分代数的概念是一致的。
N-complexes as functors, amplitude cohomology and fusion rules
我们考虑N-复体作为函子在一个适当的线性范畴，以表明第一，Krull-Schmidt定理成立，然后证明振幅上同调只消失在内射函子提供一个定义良好的函子的稳定范畴。对于左截断的N-复合物，我们表明，振幅上同调歧视同构类的投影函子和项。证明了正N-复形的振幅上同调同构于阿贝尔函子范畴内不可分解N-复形的Ext函子。最后，我们证明了对于N-复形的么半群结构，Clebsch-Gordan公式成立，换句话说，可以确定N-复形的融合规则。
Noncommutative geometry and dual coalgebras
在arXiv：math/0606241 v2 M中。Kontsevich和Y. Soibelman认为非交换（瘦）方案范畴等价于余代数范畴。我们提出在这种对应下k-代数A的仿射概型是对偶余代数A^o，并得出一些结论。特别地，我们用所有简单有限维A-表示在Yoneda-空间上的A-无穷结构来描述A的对偶余代数A^o。
Coherent algebras and noncommutative projective lines
一个著名的猜想说，每一个单关联群都是相干的。本文给出并部分证明了分次结合代数的一个类似命题。特别地，证明了全局维数为2的Gorenstein代数$A$是分次凝聚的.这使我们能够定义一个非交换的类似物的射影线$\PP^1$作为一个非交换计划的基础上的相干非交换谱$\cohp A$的这样一个代数$A$，即范畴的相干$A$ -模的扭转。这个范畴总是交换的外有限遗传的，具有塞尔对偶，就像$\PP^1$上的凝聚层范畴。这样，我们得到了两两非同构非交换格式序列$\PP^1_n $（$n\ge 2$），它推广了$\PP^1 = \PP^1_2$格式。
Quantum generalized Kac--Moody algebras via Hall algebras of complexes
我们建立了对称广义Kac-Moody代数的量子包络代数嵌入到局部Hall代数的$\mathbb Z_2$ -分次复形的表示与（可能的）循环。为了克服无穷维投射对象存在的困难，我们考虑了有限表示范畴和有限同调射影的$\mathbb Z_2$ -分次复形范畴.
Highest weight modules at the critical level and noncommutative Springer resolution
在arXiv：1001.2562中，从半单代数群开始定义了某个非交换代数$A$，使得$A$ -模的导出范畴等价于Springer（或Grothendieck-Springer）分解上相干层的导出范畴。设$\hat{\g}$是对应于Langlands对偶李代数的仿射李代数。利用Frenkel和Gaitsgory arXiv：0712.0788的结果，我们证明了在临界水平上Iwahori可积且具有固定中心特征标的$\hat{\g}$模的范畴等价于由中心特征标定义的$A$的商上的模的范畴.这意味着岩堀可积模在临界水平上的数值由斯普林格纤维的$K$ -群中的典范基控制，这是由Lusztig在arXiv：1001.2562中详细描述并构造的。
Derived categories of noncommutative quadrics and Hilbert squares
二次曲面的非对易变形通常用三维三次Artin-Schelter正则代数来描述。本文证明了对于这样的代数，它的有界导出范畴嵌入到二次曲面上两点Hilbert方案的交换变形的有界导出范畴中.这是支持奥尔洛夫猜想的第二个例子。基于这个例子，我们制定了一个无穷小版本的猜想，并提供了一些证据的情况下，光滑的射影曲面。
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