Long-time behavior of awesome homogeneous Ricci flows
本文证明非紧流形上令人惊叹的齐性度量在里奇流下保持不变，并在万有覆盖不可缩时证实有限灭绝时间及动力学阿列克谢耶夫斯基猜想，同时分析了流的长时间极限。
2025-07-07 math.DG
Uryson Width, Asymptotic Dimension and Ricci Curvature
一个黎曼n-流形M有k维Uryson宽度，其界为常数c >0，如果存在一个从M到k维多面体空间P的连续映射f，使得P中所有点p的拉回f^{-1}（p）的直径界为c。证明了n维黎曼流形M的里奇曲率的至少n-k个特征值由一个正的常数（n-1）b下有界，M的k维Uryson宽度由一个常数c >0上有界.常数c只取决于b。特别地，可以得出一个具有数量曲率S的黎曼n-流形M，其下边界为一个正的常数n（n-1）s，它具有（n-1）维的Uryson宽度，其上边界为一个常数c >0，该常数仅依赖于s。这个结果证实了M.格罗莫夫
2020-05-01 math.DG
Finite time collapsing of the Kähler-Ricci flow on threefolds
我们证明了如果在紧致Kahler三重流形上存在Kahler-里奇流的一个解，且该解遇到一个有限时间坍缩奇点，则该流形存在Fano纤维化.此外，如果存在有限时间灭绝，则流形是Fano，并且初始类是第一个Chern类的正倍数。
2016-10-04 math.CV math.DG
Correction to Section 19.2 of Ricci Flow and the Poincare Conjecture
本文纠正了原书中关于环境里奇流中曲线收缩流的全曲率发展方程的一个错误。由此得到的全曲率演化的上界是时间上的指数界。变化涉及乘法常数。在这里，我们表明，它取决于初始全曲率和初始长度，而不是仅仅是在初始全曲率之前断言。这种变化并不影响应用这些结果证明有限时间灭绝时，第三个同伦群的流形是非平凡的。
2015-12-02 math.DG
Width, Ricci curvature and minimal hypersurfaces
设$(M,g_0)$是一个闭黎曼流形，其维数为$n$，对于$3 \leq n \leq 7$，且具有非负的里奇曲率。令$g = ϕ^2 g_0$是$g_0$的共形类中的度量。证明了在体积为$C V^{\frac{n-1}{n}}$的$(M,g)$中存在光滑的闭嵌入极小超曲面，其中$V$是$(M,g)$的总体积，$C$是只依赖于$n$的常数.当$Ric(M,g_0) \geq -(n-1)$时，我们得到了一个类似的结合常数$C$仅取决于$n$和$(M,g_0)$的体积。我们的第二个结果涉及流形$(M,g)$的积极里奇曲率。我们得到了F的一个定理的有效形式。Coda Marques和A. Neves关于$(M,g)$上无穷多极小超曲面的存在性。我们证明了对于任何这样的流形，存在体积至多为$C_n V \left( sys_{n-1}(M)\right)^{-\frac{1}{n-1}} k ^ {\frac{1}{n-1}}$的$k$极小超曲面，其中$V$表示$(M,g_0)$的体积，$sys_{n-1}(M)$是非平凡极小超曲面的最小体积.
2015-10-09 math.DG
Minimal surfaces with arbitrary genus in 3-spheres of positive Ricci curvature
本文研究正Ricci曲率三维球面中的极小曲面，证明对任意亏格g，存在面积不超过第一Simon-Smith宽度两倍的嵌入极小曲面。
2025-08-08 math.AP math.DG math.GT
Optimal curvature estimates for homogeneous Ricci flows
证明了齐次里奇流的一致曲率估计：对于定义在$[0,t]$上的解，在$t$时刻的曲率张量的范数由$C(n)/t$和$C(n) ( scal(g(t)) - scal(g(0)) )$的最大值所约束.这是用来表明有限灭绝时间的解决方案是I型，不朽的解决方案是III型和古老的解决方案是I型，其中所有涉及的常数只依赖于尺寸$n$。进一步的结果是，一个紧致齐性空间上的非坍缩齐性古解来自同一空间上的唯一爱因斯坦度量。利用齐性空间上Ricci平坦性的间隙定理证明了上述曲率估计。这个间隙定理的证明是矛盾的，并使用了局部$W^{2,p}$收敛结果，它在没有对称性假设的情况下成立。
2016-06-01 math.DG
Ancient solutions of the homogeneous Ricci flow on flag manifolds
对紧致单李群$G$的任意旗流形$M=G/K$，我们描述了齐次非正规化里奇流的非坍缩古不变解.这样的解决方案出现从一个不变的爱因斯坦度量$M$，并通过[BöLS 17]他们必须发展一个I型奇点在其灭绝有限的时间，也到过去。为了说明这种情况，我们从事自己的全球研究的动力系统引起的非正规化里奇流的任何旗流形$M=G/K$与第二贝蒂数$b_{2}(M)=1$，为一个通用的初始不变度量。我们描述了相应的动力系统，并提出了非崩溃的古代解决方案，其$α$ -极限集由无穷远点的${\mathscr{M}}^G$。基于庞加莱紧化方法，我们表明，这些不动点对应于不变的爱因斯坦度量，我们研究其稳定性，从而照亮系统的相空间的结构。
2021-08-01 math.DG math.DS
The catenoid estimate and its geometric applications
我们证明了一个尖锐的面积估计悬链，使我们能够排除在最小最大理论在几个设置的多重性现象。我们应用它证明了：i）具有正里奇曲率的三流形的宽度是由可定向的极小曲面实现的; ii）这类流形中的极小亏格Heegaard曲面可以保序为极小曲面; iii）Kapouleas-Yang的Clifford环面的“double”可以通过等变min-max过程变分构造.在高维情形下，我们还证明了具有正里奇曲率的流形的宽度是由一个指数为1的可定向极小超曲面来获得的。
2016-01-18 math.AP math.DG math.GT
Area and boundary length of surfaces diffeomorphic to annuli
本文证明了Perelman关于里奇流的有限消亡时的一个结论。我们的证明借鉴了不同的技术，从摩根田的论述，是外在的性质，它依赖于共同面积公式，而不是高斯-邦纳定理，并有可能推广到更高的维度。
2021-07-01 math.DG
Width and flow of hypersurfaces by curvature functions
本文给出了R^{n+1}中紧致严格凸凸超曲面的消亡时的一个界，该超曲面由一个几何流演化，其中速度由曲率给出.这一结果将Colding和Minicozzi关于中曲率流解的定理推广到了Ben Andrews研究的更广泛的一类流。在证明中，我们使用了超曲面的宽度的概念，由Colding和Minicozzi引入。利用2-宽度，我们将结果推广到2-凸超曲面.
2008-05-07 math.DG
Stability of cigar soliton
本文利用Kähler几何公式研究了$R^2$上里奇流的整体行为。我们的里奇流的几何特征是它具有有限的宽度。我们的目的是确定L. F. Wu得到的极限度规（对应于永恒的里奇流）。利用Daskalopoulos-Sesum的分类结果，给出了L. F. Wu的极限度量是雪茄孤子度量的一个充分条件.
2015-09-28 math.AP math.DG
Deep Learning as Ricci Flow
The Alan Turing Institute（图灵研究所）；Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学）；Roche Pharmaceuticals（罗氏制药）；University of Southampton（南安普顿大学）；University College London Hospitals, NHS Foundation Trust（伦敦大学学院医院 NHS 基金会信托）
本文提出 DNN 在分类任务中的几何变换类似于 Hamilton 的 Ricci 流，通过计算框架量化数据通过 DNN 层的几何变化，引入“全局 Ricci 网络流”概念，并在超过 1,500 个 DNN 上验证其与分类准确性的相关性，为深度学习可解释性提供新工具。
2024-04-22 cs.LG math.DG
Width and mean curvature flow
给定同伦$n$ -球面上的一个黎曼度量，用一个连续的单参数闭曲线族将其扫过，这些曲线起始于点曲线，结束于点曲线。以连续的方式，尽可能地拉紧每个曲线，同时保持清料，从而拉紧清料。我们展示：在收紧的扫掠中，其长度接近于扫掠中最长曲线的长度的每条曲线本身必须接近于闭测地线。特别是，在扫掠中存在接近于闭测地线的曲线。利用扫掠法在2-球面上寻找闭测地线的工作可以追溯到1917年的伯克霍夫。作为一个应用，我们从上面的限制，由一个负常数，宽度的变化率的单参数家庭的凸超曲面，流动的中曲率。宽度是松散地说，直到一个常数的平方最短的闭曲线需要"拉过“$M$的长度。这种估计是精确的，并导致对消亡时的精确估计;参见。[CM1]，[CM 2]，其中对于由里奇流演化的同伦3-球，示出了二维宽度的变化率的类似界限（也参见Perelman）。
2007-06-13 math.AP math.DG math.GT
Intrinsic ultracontractivity for domains in negatively curved manifolds
设$M$是一个完备的、非紧的、连通的黎曼流形，其里奇曲率由一个负常数下有界.给出了$M$中开连通集$D$是Dirichlet热半群的一个充分条件，使得相应的Dirichlet热半群是内在超压缩的.这个条件是用电容宽度来表示的。结果表明，作用于$L^2(D)$的Dirichlet Laplacian谱底的倒数和$D$的挠函数的上确界都与$D$的电容宽度的平方相当，只要后者足够小.技术关键成分是体积加倍性质，Poincaré不等式和有限尺度Dirichlet热核的Li-Yau Gaussian估计。
2021-03-22 math.AP math.DG
Minimizer of an isoperimetric ratio on a metric on $\R^2$ with finite total area
设$g=(g_{ij})$是$\R^2$上的完备黎曼度量，$\R^2$具有有限的总面积，$I_g=\inf_γI(γ)$具有$I(γ)=L(γ)(A_{in}(γ)^{-1}+A_{out}(γ)^{-1})$，其中$γ$是$\R^2$中的任意闭简单曲线，$L(γ)$是$γ$的长度，$A_{in}(γ)$和$A_{out}(γ)$分别是$γ$内部和外部区域相对于度量$g$的面积.我们证明了$I_g$极小的存在性。作为推论，我们得到了当度量$g(t)=g_{ij}(\cdot,t)=uδ_{ij}$是Ricci流方程$\1 g_{ij}/\1 t=-2R_{ij}$在$\R^2\times (0,T)$ \cite{DH}上的最大解时，$I_{g(t)}$对任何$0<t<T$都存在极小元的新证明，其中$T>0$是解的熄灭时间.
2011-04-09 math.DG
