Survey on eigenvalues of the Dirac operator and geometric structures
Marcos Jardim, Rafael F. Leao
本文综述了黎曼自旋流形的限制完整性与其Dirac算子谱的下界之间的关系，并对Kirchberg的一个结果给出了新的证明.
We give a survey of results relating the restricted holonomy of a Riemannian spin manifold with lower bounds on the spectrum of its Dirac operator, giving a new proof of a result originally due to Kirchberg.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The second Dirac eigenvalue of a nearly parallel $G_2$-manifold
研究了含有Killing旋量的黎曼流形上的第二Dirac本征值.在小维中，整个狄拉克谱依赖于函数和1-形式的特殊本征值。我们计算并讨论了维数$n = 7$中的公式。
The first eigenvalue of the Dirac operator on locally reducible Riemannian manifolds
证明了具有正数量曲率的紧致局部可约黎曼自旋流形上Dirac算子第一特征值的一个较低估计。我们还确定的流形上的最小可能的特征值达到的通用覆盖。
The First Eigenvalue of the Dirac Operator on Compact Spin Symmetric Spaces
本文给出了作用于自旋紧不可约对称空间$G/K$旋量场的Dirac算子的第一本征值的一个公式。
Extrinsic eigenvalue estimates for Dirac operator
本文利用共形量和外生量证明了某些环境流形中子流形的Dirac算子的上下上界。
Extrinsic eigenvalue estimates of the Dirac operator
对于等距嵌入到欧几里得空间中的紧致自旋流形$M$，我们得到了Dirac算子本征值的上下外估计，它依赖于嵌入的第二基本型.我们还显示的特征值之比的界限。
Eigenvalue Estimates For The Dirac Operator On Kaehler-Einstein Manifolds Of Even Complex Dimension
在正数量曲率和偶数复维数的Kähler-Einstein情形下，给出了Dirac算子第一特征值的一个改进的下界.它是由一个一般的建设，有流形，这个新的下界本身是第一个特征值。
Eigenvalues Estimates For The Dirac Operator In Terms Of Codazzi Tensors
我们证明了紧黎曼自旋流形上狄拉克算子第一特征值的一个下界依赖于数量曲率以及选择的Codazzi张量。该不等式推广了[2]中的经典估计。
Upper bounds for the first eigenvalue of the Dirac operator on surfaces
本文证明了等距浸入曲面$M^2 \hookrightarrow {\Bbb R}^3$上Dirac算子特征值的新的外上界以及亏格为零和亏格为一的二维紧致流形的内界.此外，我们比较了Dirac算子的特征值的不同估计的特殊家庭的度量。
Dirac eigenvalues for generic metrics on three-manifolds
我们证明了在三维闭自旋流形上的广义黎曼度量的狄拉克算子只有简单的本征值。
The First Eigenvalue of the Dirac Operator on Compact Outer Spin Symmetric Spaces
在以前的两篇论文中，我们开始研究紧致自旋对称空间上狄拉克算子的第一本征值，对于“内部”型对称空间，提供了一个公式，根据所涉及的群的代数数据给出第一本征值。在这里，我们通过给出“外”紧自旋对称空间的第一本征值的显式表达式来结束研究。
Dirac eigenvalues estimates in terms of symmetric tensors
我们回顾了最近关于Dirac算子下特征值估计的一些结果[6，7].我们证明了弗里德里希不等式可以通过某些精心选择的对称张量来改进，并提供了对Sasakian自旋流形的应用。
Lower Bounds for the Eigenvalues of the Dirac Operator on $Spin^c$ Manifolds
本文推广了关于无边界$Spin^c$流形上Dirac算子特征值的Hijazi不等式，其中包含能量动量张量.然后研究了极限情况，并给出了一个例子。
Prescribing eigenvalues of the Dirac operator
本文证明了：每个$\geq 3$维的紧致自旋流形都可以被赋予一个黎曼度量，使得Dirac算子谱的有限部分由任意规定的重数为1的本征值组成.
Eigenvalue estimates for Dirac operator with the generalized APS boundary condition
在两种边界条件下，即广义Atiyah-Patodi-Singer边界条件和修正的广义Atiyah-Patodi-Singer边界条件下，得到了具有非空边界的紧致自旋流形上基本Dirac算子的特征值的下界.
Optimal eigenvalues estimate for the Dirac operator on domains with boundary
在$\MIT$袋边界条件下，给出了黎曼自旋流形紧致区域上Dirac算子本征值的一个下界.极限情况的特征在于存在一个假想的Killing旋量。
Curvature dependent lower bounds for the first eigenvalue of the Dirac operator
使用Weitzenböck技术在任何紧黎曼自旋流形，我们得到的不等式，涉及一个真正的参数，并加入狄拉克算子的特征值与曲率项。对这些不等式的讨论给出了Dirac算子$D$的核的消灭定理和当曲率满足一定条件时$D^2$的谱的下界.
Eigenvalues of the basic Dirac operator on quaternion-Kahler foliations
本文给出了四元数Kahler叶上基本Dirac算子特征值的一个最优下界。极限情况的特征在于存在四元数Kahler Killing旋量。最后，我们给出了一些例子。
Optimal eigenvalue estimate for the Dirac-Witten operator on bounded domains with smooth boundary
在四种自然边界条件（MIT、APS、修正的APS和手征性条件）下，给出了类空超曲面的有界域（具有光滑边界）上Dirac-Witten算子的特征值估计.这个结果是弗里德里希不等式对于通常的狄拉克算子的推广。极限情况也进行了研究。
Eigenvalue estimates of the Dirac operator depending on the Ricci tensor
利用精化Weitzenböck技巧证明了紧致黎曼自旋流形上Dirac算子第一特征值的一个新的下界.它适用于具有调和曲率张量的流形，并依赖于Ricci张量。示例显示了它与其他已知边界相比的行为。
Lower bounds of the Dirac eigenvalues on compact Riemannian spin manifolds with locally product structure
研究了几乎积黎曼结构和几乎厄米特结构之间的一些相似性。受相似性的启发，我们证明了狄拉克算子在具有局部乘积结构的紧致黎曼自旋流形上的下特征值估计。我们还提供了一些例子（极限流形）的极限情况下的估计。
Eigenvalue estimates for the Dirac operator depending on the Weyl curvature tensor
我们证明了紧流形上Dirac算子第一特征值的新下界，其Weyl张量或曲率张量分别是发散自由的。在爱因斯坦流形的特殊情况下，我们得到的估计依赖于外尔张量。
Eigenvalue estimates for the Dirac operator and harmonic 1-forms of constant length
提交人撤回了来文。arXiv：math/0305140
Eigenvalue estimates of the Kohn-Dirac operator on CR manifolds
本文在紧致CR流形上建立Kohn-Dirac算子的新特征值估计，刻画等式情形为CR扭量旋量的存在，并分类此类流形，构造例子。
A note on generalized Dirac eigenvalues for split holonomy and torsion
研究了紧黎曼自旋流形$M$上的Dirac谱，其中度量联络$\nabla$具有斜挠$T\inΛ^3 M$，且切丛在$\nabla$的完整性下分裂，且$\nabla$的挠是“分裂”型的.我们证明了Dirac算子第一特征值的最优下界，推广了Friedrich的经典黎曼估计。
A formula for the First Eigenvalue of the Dirac Operator on Compact Spin Symmetric Spaces
设$G/K$是一个单连通的自旋紧致内不可约对称空间，并赋予了由$G$的Killing形式所诱导的度量.给出了Dirac算子第一本征值的平方与$G$的根系的关系式。作为应用的一个例子，我们给出了具有四元数Kähler结构的自旋紧不可约对称空间的第一特征值列表。
A comparison of the eigenvalues of the Dirac and Laplace operator on the two-dimensional torus
我们比较了二维环面上Dirac和Laplace算子在平凡自旋结构下的本征值。特别是，我们计算它们的变化高达4阶变形后的平坦度量，研究相应的哈密顿量，并讨论了几个家庭的例子。
Eigenvalues of the transversal Dirac operator on Kahler foliations
本文证明了任意Kahler自旋叶理的Kirchberg不等式。它们的极限情况下，然后其特征在于作为横向最小爱因斯坦叶理。重点是引入横截的kahler扭量算子。
Eigenvalue Estimate of the Dirac operator and Rigidity of Poincare-Einstein Metrics
利用共形Laplace算子和共形中曲率算子的第一特征值重新讨论了有边自旋流形上Dirac算子的特征值估计. Hijazi-Montiel-Zhang和Raulot在较早的时候研究了这些问题，我们在边界手征算子存在的较弱假设下重新证明了它们。此外，在这些带边界的自旋流形上，我们证明了当Dirac算子的第一非零特征值达到最小值时，某些Poincare-Einstein度量的任何$C^{3,α}$共形紧化必是标准半球，和某些Poincare的任何$C^{3,α}$共形紧化，当边界Dirac算子的第一正特征值达到一定值时，Einstein度规必然是欧几里得空间中的扁球在两种情况下，Poincare-Einstein度量是标准双曲度量。
Dirac eigenvalues and total scalar curvature
最近有人证明，在维数为$n\ge 3$的闭黎曼自旋流形$M$上的狄拉克算子的本征值$λ$可以由总数量曲率从下面估计：$$ λ^2 \ge \frac{n}{4(n-1)} \cdot \frac{\int_M S}{vol(M)}. $$我们通过例子表明，这样的估计是不可能的。
Eigenvalue estimates for the Dirac operator and harmonic 1-forms of constant length
本文证明了在一个含有非平凡调和1-形式的紧致$n$维自旋流形上，Dirac算子的每个特征值$λ$满足不等式$λ^2 \geq \frac{n-1}{4(n-2)}\inf_M Scal$ .在极限情况下，流形的万有覆盖与$R\times N$等距，其中$N$是允许Killing旋量的流形。
Eigenvalue estimates for the Dirac-Schrödinger operators
本文利用内禀能量动量张量、中曲率和数量曲率对超曲面Dirac算子的本征值给出了新的估计。我们还讨论了它们的极限情况以及X. Zhang和O. [13]和[10]中的Hijazi。我们比较这些限制的情况下，相应的Friedrich和Hijazi不等式。最后，我们将这些结果与Dirac-Schrödinger算子D_f = D - f/2的内禀估计进行了比较。
The Dirac operator on locally reducible Riemannian manifolds
本文利用Laplace-Beltrami算子的特征值和数量曲率，得到了局部可约黎曼流形上Dirac算子的高阶特征值的估计.这些估计是尖锐的，在这个意义上说，对于第一个特征值，他们减少到亚历山德罗夫的结果。
The first eigenvalue of Dirac and Laplace operators on surfaces
设$(M,g,σ)$是具有自旋结构$σ$的紧致黎曼曲面.对于$M$上的任何度量$\tilde{g}$，我们表示为$μ\_1(\tilde{g})$（分别为$λ\_1(\tilde{g})$）拉普拉斯算子的第一正特征值（分别为狄拉克算子）关于度量$\tilde{g}$。在本文中，我们证明了$$\inf \frac{λ\_1(\tilde{g})^2}{μ\_1(\tilde{g})} \leqslant {1/2}.$$，其中下确界是采取的度量$\tilde{g}$共形$g$。这回答了阿格里科拉、阿曼和弗里德里希提出的问题
On a characteristic of the first eigenvalue of the Dirac operator on compact spin symmetric spaces with a Kähler or Quaternion-Kähler structure
证明了在具有Kähler或四元数-Kähler结构的紧致自旋对称空间上，Dirac算子的第一特征值与完整性的“最低”作用相联系，由该完整性所表征的标准形式的旋量上的纤维作用给出。结果也验证了对称空间$\mathrm{F}_4/\mathrm{Spin}_9$，证明它是有效的所有的“{{可能}”的Berger的列表中的holonomies发生在该上下文中。证明需要一个表征的第一本征值的狄拉克运营商这是在Commun。数学物理\textbf{259}（2005），n.~ 1，71-78。顺便说一句，我们在那篇文章的证明中回顾了一个不正确的陈述。
Dirac eigenvalue estimates on surfaces
我们证明了具有Arf不变量等于1的自旋结构的闭曲面的Dirac特征值下界。除了面积之外，只有一个几何量进入这些估计，自旋切割直径取决于自旋结构的选择。它可以用曲面上的各种距离来表示，或者用某些上同调类的稳定范数来表示。在2-环面的情况下，我们得到了所有黎曼度量和所有非平凡自旋结构的正下界。相应的估计也适用于有限面积非紧完整曲面上狄拉克算子的$L^2$ -谱。作为推论，我们得到了嵌入在$R^3$中的所有2-环面的Willmore积分的正下界.
Existence of Dirac Eigenvalues of higher Multiplicity
本文证明了：在任意m维同余0，6，7 mod 8的紧自旋流形上，存在一个度量，使得相应的Dirac算子至少有一个重数至少为2的本征值.我们证明了这一点，通过捕捉所需的度量在一个子空间的黎曼度量的循环，是不是同伦平凡。我们展示了如何可以做到这一点的领域与一个循环的度量引起的家庭的旋转。最后，我们通过推广有关自旋流形上手术理论的一些已知结果，将这个循环转移到任意流形（具有适当的维度）。
Eigenvalue Estimates for the Dirac Operator on Quaternionic Kaehler Manifolds
我们考虑紧四元数Kaehler流形上的Dirac算子，并证明了其谱的一个下界。这个估计是尖锐的，因为它是狄拉克算子在四元数射影空间上的第一本征值。
Eigenvalue Estimates of the ${\rm spin}^c$ Dirac Operator and Harmonic Forms on Kähler-Einstein Manifolds
我们建立了定义在正数量曲率的紧致Kähler-Einstein流形上的Dirac算子的特征值的一个下界，并赋予了特殊的${\rm spin}^c$结构.极限情形的特征是在旋量丛的某个子丛中存在Kählerian Killing ${\rm spin}^c$旋量。此外，我们证明了一个有效的调和形式和一个Kählerian Killing ${\rm spin}^c$旋量场之间的Clifford乘法为零。这将A的结果推广到${\rm spin}^c$的情况。Moroianu指出，在一个紧凑的凯勒-爱因斯坦流形的复杂尺寸$4\ell+3$携带一个复杂的切触结构，克利福德乘法之间的有效谐波形式和凯勒的Killing旋量是零。
On eigenvalue estimates for the Dirac operator
我们给出了子流形Dirac算子的特征值的内在和外在曲率表达式的下界。我们还表明，极限情况下产生的一类推广的杀旋。最后，我们翻译这些结果的内在扭曲狄拉克运营商。
Dirac eigenvalues and the hyperspherical radius
本文证明闭连通黎曼 spin 流形上 Dirac 最小特征值由超球半径控制的上界，并结合已知下界推出数量曲率刚性、环面猜想及多类流形的超球半径改进估计。
Spectrum of the Dirac operator on Compact Riemannian Manifolds
本文研究紧黎曼流形上Dirac算子的特征值问题，通过外在估计推导出任意连续n个特征值之和的不等式，并应用于欧氏空间、单位球面和射影空间中的紧子流形，同时给出曲率条件下的普适界及Atiyah-Singer Laplacian特征值和的上界估计。
The First Dirac Eigenvalue on Manifolds with Positive Scalar Curvature
我们证明了在每一个紧致自旋流形上，通过适当地选择度量，可以使Dirac算子的Friedrich本征值估计在任意小的给定误差范围内是精确的，且该度量具有正数量曲率.
Extrinsic Bounds for Eigenvalues of the Dirac Operator
本文给出了欧几里得空间、球面或双曲空间中具有Killing旋量的闭超曲面的Dirac算子的特征值上界。边界涉及Willmore泛函。与Willmore不等式的关系进行了简要的讨论。在高余维情形下，我们得到了与法丛的旋量丛扭曲的子流形的Dirac算子的特征值的界。
Dirac Eigenvalues of higher Multiplicity
设M是一个具有固定拓扑自旋结构的至少为3维的闭自旋流形。对于任何黎曼度量，我们可以构造相应的狄拉克算子。这个狄拉克算子的谱当然取决于度规。在2005年，达尔提出M可以被给定一个度量，使得谱的有限部分由任意规定的任意（有限）重数的本征值组成。唯一的限制是零特征值的例外（由于Atiyah-Singer指数定理），在某些维度上，特征空间的四元数结构和谱的对称性。达尔还证明了他的猜想的情况下，所有的特征值有简单的多重性。这个问题，如果一个人可以规定任意的多重性，或者如果存在的本征值的更高的多重性可能会以某种方式拓扑阻碍，一直开放至今。在这篇论文中，我们证明了在任意m维同余0，6，7 mod 8的闭自旋流形上，存在至少一个特征值具有较高重数的度量。为了证明，我们引入了一种技术，它“捕捉”所需的度量与所有黎曼度量的空间中的一个循环。我们将在球面上构造这样一个环，并通过推广Bär和Dahl的一些经典的外科手术理论结果，将它转移到一般流形上。作为准备，我们将表明，狄拉克频谱可以描述的一个连续的家庭的空间上的黎曼度量的功能和旋量场丛的各种度量组装成一个连续丛的希尔伯特空间。这些结果本身可能是有用的。
The smallest Dirac eigenvalue in a spin-conformal class and cmc-immersions
在紧致流形$M$上固定一个共形类$[g_0]$和一个自旋结构$σ$。对于任何$g\in [g_0]$，令$λ^+_1(g)$是$(M,g,σ)$上狄拉克算子$D$的最小正特征值。在以前的文件中，我们已经表明，$$λ_{min}(M,g_0,σ):=\inf_{g\in [g_0]} λ_1^+(g)\vol(M,g)^{1/n}>0.$$在本文中，我们扩大了共形类的某些奇异度量。我们将证明，如果$λ_{min}(M,g_0,σ)<λ_{min}(S^n)$，那么下确界是在扩大的共形类上达到的。为了证明这一点，我们必须解决一个系统的半线性偏微分方程，涉及一个非线性临界指数：$$Dϕ= λ|ϕ|^{2/(n-1)}ϕ.$$这个问题的解决方案有许多类似的解决方案的Yamabe问题。然而，我们的推理比Yamabe问题更复杂，因为Dirac算子的本征值倾向于$+\infty$和$-\infty$。使用Weierstraß表示，该方程在2维中的解提供了构造新的周期性常平均曲率曲面的工具。
Total mean curvature and first Dirac eigenvalue
本文结合正质量定理和拟球度量的构造，证明了欧几里得空间中某些超曲面的第一Dirac特征值的一个最优上界.作为这个估计的直接结果，我们得到了三维渐近平坦流形中大球面上Dirac算子第一特征值的渐近展开。我们还研究了三维黎曼流形中小测地球面的这种展开。最后我们讨论了如何将这种方法应用于双曲空间以得到类似的结果。
Dirac Eigenvalue Optimisation and Harmonic Maps to Complex Projective Spaces
本文通过建立 Dirac 特征值临界度量与到复射影空间调和映射的联系，证明环面多类共形结构中平坦度量最小化首个非零 Dirac 特征值，并几何重证 Bär 球面定理。
Eigenvalue estimate for the Dirac-Witten operator on locally reducible Riemannian manifolds
本文研究局部可约类空子流形上Dirac-Witten算子的特征值问题，利用内蕴与外蕴表达式给出最优下界，并分析了极限情形。
A brief note on the spectrum of the basic Dirac operator
本文证明了定义在黎曼叶理$(M,\mathcal{F})$上的基本Dirac算子的谱关于类黎曼度量的变化的不变性。然后，我们建立了新的估计其特征值的自旋流的O'Neill张量和第一特征值的狄拉克操作$M$。我们讨论的例子，并定义了一个新版本的基本拉普拉斯算子，其频谱不依赖于选择的类似斗争的度量。
A universal lower bound for the first eigenvalue of the Dirac operator on quaternionic Kaehler manifolds
计算了正数量曲率的紧致四元数Kaehler流形M上Dirac算子第一正特征值的一个普适下界。证明了它等于四元数射影空间上的第一正特征值。为此，我们考虑了M上标准SO（3）-丛上的水平切丛具有超凯勒结构，并考虑了相应的水平旋量丛的分裂.所需的估计是通过在水平旋量的hyperkaehlerian扭量运营商。
Eigenvalues of the Dirac Operator on Manifolds with Boundary
在标准局部边界条件或某些整体APS边界条件下，我们得到了紧自旋流形上Dirac算子特征值的下界.极限情形的特征在于存在真实的Killing旋量和边界的极小性。
The First Eigenvalue of the Dirac Operator on Quaternionic Kaehler Manifolds
在前一篇文章中，我们证明了四元数Kaehler流形上Dirac算子谱的一个下界。在本文中，我们表明，唯一的流形在极限情况下，即唯一的流形的下界是作为一个特征值，是四元数射影空间。我们使用的四元数的Killing方程的等效配方，并表明，一个非平凡的解决方案定义了一个平行旋量的相关hyperkaehler流形。
Lower bounds for the eigenvalue estimates of the submanifold Dirac operator
利用内禀和外禀表达式得到了局部可约黎曼流形上子流形Dirac算子特征值的最优下界.极限情况也进行了研究。作为推论，人们在这个方向上得到几个已知的结果。
Manifolds with small Dirac eigenvalues are nilmanifolds
考虑一类具有有界截面曲率和有界直径以及几乎非负数量曲率的n维黎曼自旋流形。设r=1，如果n= 2，3，且r=2^{[n/2]-1}+1，如果n \geq 4。我们证明了如果Dirac算子的平方在这样的流形上有$r$小的特征值，则该流形是一个零流形，并且具有平凡的自旋结构。等价地，如果M不是一个nilmanifold或如果M是一个具有非平凡自旋结构的nilmanifold，则Dirac算子平方的第r个特征值存在一个一致的下界.如果一个几乎非负数量曲率的流形有一个小的Dirac本征值，并且如果体积不太小，那么我们证明了这个度量接近于M上具有平行旋量的Ricci平坦度量。在4维中，这意味着M要么是环面要么是K3-曲面。
Conformally critical metrics and optimal bounds for Dirac eigenvalues on spin surfaces
本文研究了在固定共形类下Dirac算子本征值的极小化问题，推导了闭合流形上极小解存在的条件，并推导了二维球面上Dirac算子的等周不等式及其共形谱特征。
On the eigenvalues of the twisted Dirac operator
给定一个具有正数量曲率的紧致黎曼自旋流形，我们在一个足够高秩的平凡向量丛上找到了$t\in[0,1]$的一族联络$\nabla^{A_t}$，使得扭曲狄拉克算子$D_{A_t}$的第一本征值不为零，并且变得任意小为$t\to1$。然而，如果限制所考虑的扭转连接类，则非零下界确实存在。我们通过建立黎曼曲面上厄米-爱因斯坦连接扭曲的狄拉克算子的非零下界来说明这一事实。
First boundary Dirac eigenvalue and boundary capacity potential
本文研究非负标量曲率自旋渐近平坦流形中超曲面的第一 Dirac 特征值，利用边界容量势与容量建立新的几何下界，并通过奇异度量紧流形的特征值估计完成证明。
Quaternionic holomorphic geometry: Pluecker formula, Dirac eigenvalue estimates and energy estimates of harmonic 2-tori
本文发展了四元数全纯曲线理论的基本原理。该理论中的全纯函数是从黎曼曲面到四维球面的共形映射，即，四元数投影线证明了四元数全纯向量丛的Riemann-Roch定理、线性系的Kodaira嵌入和Pluecker关系等基本结果。解释这些结果的微分几何曲面在3-和4-空间暗示在整个文件。应用于估计的Willmore功能的常数中曲率环面，分别能量估计的调和2环面，和狄拉克特征值估计的黎曼自旋丛在2维。
Twistorial eigenvalue estimates for generalized Dirac operators with torsion
本文利用扭量理论研究了紧黎曼自旋流形$M$上的Dirac谱，该流形具有带有斜挠$T\inΛ^3M$的度量联络$\nabla$.给出了Dirac算子第一特征值的一个最优下界，推广了Friedrich的经典黎曼估计.我们还确定了一个新的扭量和Killing方程的挠率，并使用它来讨论的情况下，达到最小的界限。
A note on twisted Dirac operators on closed surfaces
本文导出了一类扭曲Dirac算子在闭曲面上的节点集与特征值之间的一个不等式，并指出了这个不等式是如何作为$\rm Spin^c$ Dirac算子的特征值估计而自然产生的.这使我们能够获得的扭曲狄拉克算子的狄拉克调和映射及其扩展的背景下出现的特征值估计，从我们也得到了几个刘维尔型结果。
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