The maximum number of digons formed by pairwise crossing pseudocircles
本研究将Grünbaum关于两两相交伪圆排列中二角形最大数量为2n−2的猜想，从柱面排列、几何圆情形推广至任意简单两两相交伪圆排列，给出了该猜想的完整证明，解决了悬置五十余年的公开问题。
2024-12-13 cs.CG math.CO
On the number of digons in arrangements of pairwise intersecting circles
本文证明了 Grünbaum 于1972年提出的长期猜想，即平面上任意由 $n$ 个两两相交圆构成的简单排列中最多有 $2n-2$ 个二角形。
2024-06-04 cs.CG math.CO
Extending drawings of complete graphs into arrangements of pseudocircles
受几何学在证明$K_n$的“伪线性”图的Harary-Hill猜想中的成功应用的启发，我们引入了图的“伪球面”图。图$G$的球面图是单位球面$\mathbb{S}^2$中的图，其中$G$的顶点表示为点-在大圆上没有三个-并且$G$的边是连接顶点对的$\mathbb{S}^2$中最短的弧。这样的绘图有三个性质：（1）每条边$e$都包含在一条简单的闭合曲线$γ_e$中，使得$γ_e$中仅有的顶点是$e$的端点;（2）如果$e\ne f$，则$γ_e\capγ_f$恰好有两个交叉点;（3）如果$e\ne f$，则$e$与$γ_f$相交至多一次，或者在$e$的交叉点或者在$e$的端点。我们使用性质（1）-（3）来定义$G$的伪球面图。我们的主要结果是，对于完全图，性质（1）-（3）等价于相同的三个性质，只是把（2）中的“恰好两个交叉点”替换为“至多两个交叉点”。证明需要一个结果的几何横向理论安排的pseudocircles。这是证明使用的令人惊讶的结果，没有特殊的弧（连贯的螺旋）在安排简单的封闭曲线的特点，任何两个曲线的安排有最多两个交叉点的事实。我们的研究提供了必要的想法，展示了一个图纸的$K_{10}$，没有扩展到一个安排的pseudocircles和图纸的$K_9$，并扩展到一个安排的pseudocircles，但没有这样的扩展有所有对pseudocircles交叉两次。
2021-04-19 cs.CG math.CO
Arrangements of Pseudocircles: On Digons and Triangles
本文研究两两相交伪圆简单排列的胞腔结构，证明了 Grünbaum 关于二角形或触点最大数量猜想在含三两两相触伪圆时成立，并构造无此结构的极值非柱面排列；同时证明无二角形和触点排列中三角形最小数为 $\lceil \frac{4}{3}n \rceil$。
2025-01-28 cs.CG math.CO
$k$-arrangements of pseudolines and pseudocircles
Charles University（查理大学）；Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo（伊达尔戈自治大学）；Universidad Autónoma de San Luis Potosí（圣路易斯波托西自治大学）
本文证明对每个$m\ge 3$，大小为$m$的不可避免的简单$k$-伪直线排列数量随$k$指数增长，且对偶数$k$，伪圆的$k$-排列也有类似结果。
2026-10-02 cs.CG math.CO
Flip Graph Connectivity for Arrangements of Pseudolines and Pseudocircles
本文研究伪线和伪圆排列的翻转图连通性，证明伪线翻转图连通性等于最小度n-2，伪圆翻转图在相交排列及柱面相交排列上连通，并证明两类翻转图直径均为Θ(n^3)。
2023-10-30 cs.CG cs.DM math.CO
Coloring circle arrangements: New $4$-chromatic planar graphs
Felsner，Hurtado，Noy和Streinu（2000）证明了简单大圆排列图的色数至多为$3$。基于这一猜想，我们研究了不同类别的（伪）圈排列图的可着色性。本文对$\triangle$ -饱和伪圆排列证明了这个猜想，即，对于其中面的2-着色的一个色类仅由三角形组成的布置，以及对于（伪）圆布置的其它类。这些结果是补充建设映射$\triangle$饱和安排与五边形面安排4-色4-定期安排图。这种“冠状”结构与Koester（1985）提出的冠状结构相似。基于详尽的实验与小的安排，我们提出了三个加强原来的猜想。我们还研究了分数着色。证明了两两相交伪圆的每一种排列$\mathcal{A}$的排列图都“接近”于$3$ -可着色.更准确地说，排列图的分数色数$χ_f(\mathcal{A})$由$χ_f(\mathcal{A}) \le 3+O(\frac{1}{n})$从上界定，其中$n$是$\mathcal{A}$的伪圈的数目。进一步，我们构造了一类分数$3$ -可着色的$4$ -边临界$4$ -正则可平面图.这证明了Gimbel，Kündgen，Li和Jumassen（2019）的一个猜想是错误的。
2022-05-17 cs.CG cs.DM math.CO
On the number of regions and multiplicities of vertices in plane arrangements
对于实射影平面中的$n$伪线的布置，让我们用$t_i$表示入射到$i$线的顶点的数目。得到了一个类似于Hirzebruch不等式的线性$t_i$不等式，但给出了初等证明.我们提出了一个算法，用于产生下界的区域数的线性$t_i$不等式的基础上，如上述。下界出现在与Martinov定理的所有可能的区域数的集合，我们展示了如何新的界限可能会被应用于它。
2012-03-06 math.CO math.GT
Efron's coins and the Linial arrangement
我们描述的比赛是一组（不公平的）硬币的优势图，其中每个硬币以更大的概率显示其较大的一面。这些竞赛图的类与其顶点可以以使它们成为半循环的方式编号的竞赛图的类重合，如Postnikov和Stanley所定义的。我们提供了一个在九个顶点上的锦标赛的例子，它不能被做成半循环的，但是它可以被表示为硬币的优势图，如果我们也允许硬币以更大的概率显示它们的较小的一面。最后，我们以一个具有$81$顶点的锦标赛为例，该锦标赛不是任何硬币系统的优势图。
2016-06-14 math.CO
Interpreting the two variable Distance enumerator of the Shi hyperplane arrangement
给出了在$n$维中Shi超平面排列$\Sh_n$的距离计数器的双变量精化$D_{\Sh_n}(q,t)$的系数的解释.这个两个变量的细化是由Stanley \cite{stan-rota}为一般的$r$ -扩展的施超平面安排定义的。当$r=1$ .我们定义了数$(n+1)^{n-1}$的三个自然三维划分。第一个产生于停车功能的长度$n$，第二个从特殊偏序集上的$n$顶点定义的Athanasiadis和第三个从生成树上的$n+1$顶点。我们把这三种划分分别称为停车划分、树偏序集划分和生成树划分。我们发现，停车分区的部分之一是相同的边缘标记树的数量与标签集$\{1,2,...,n\}$上$n+1$未标记的顶点。我们证明了停车分区majorises树偏序集分区和猜想，生成树分区也majorises树偏序集分区。
2006-10-26 math.CO
Half domination arrangements in regular and semi-regular tessellation type graphs
研究了由平面的正则或半正则镶嵌生成的顶点传递无限图中顶点的半控制集问题。在某些情况下，得到的结果是尖锐的，在其余的，我们显示了半控制集的顶点的平均密度的上界。
2012-01-23 math.CO math.OC
The Hypercube of Resistors, Asymptotic Expansions, and Preferential Arrangements
基于超立方体中顶点间电阻的求解问题，我们推导了这些电阻的精确表达式、生成函数和渐近展开，并研究了这些渐近展开中系数的组合解释.
2009-04-10 math.CO
Vertex-weighted graphs and freeness of $ ψ$-graphical arrangements
设$ G $是由$ \ell $顶点$ \{1, \dots, \ell \} $和边集$ E_{G} $组成的简单图.图形排列$ \mathcal{A}_{G} $由超平面$ \{x_{i}-x_{j}=0\} $组成，其中$ \{i, j \} \in E_{G} $。众所周知，$ G $的弦性、$ \mathcal{A}_{G} $的超可解性和$ \mathcal{A}_{G} $的游离性这三个性质是等价的。最近，Richard P. Stanley介绍了$ ψ$ -图形排列$ \mathcal{A}_{G, ψ} $作为图形排列的一般化。Lili Mu和Stanley刻画了$ ψ$ -图排列的超可解性，并证明了$ ψ$ -图排列的自由度与超可解性是等价的.在本文中，我们将证明该猜想。
2017-04-20 math.CO
The sum of edge lengths in random linear arrangements
空间网络是其中节点位于配备有度量的空间中的网络。通常，空间是二维的，直到最近和传统上，通常考虑的度量是欧几里得距离。在空间网络中，链路的成本取决于边的长度，即定义边的节点之间的距离。假设存在减少网络边长度的压力需要空模型，例如，网络顶点的随机布局。本文研究了顶点随机线性排列的边长和分布的性质，它在不同的领域有着广泛的应用。随机线性排列由网络的节点的元素的排序组成，所有可能的排序都是同等可能的。两个顶点之间的距离是1加上排序中中间顶点的数量。对于任意图和树，得到了关于零的一阶和二阶矩以及边长和方差的紧公式。我们还分析了该方差在Erdos-Renyi图中的演化及其在均匀随机树中的缩放。各种发展和应用，为未来的研究提出了建议。
2019-05-08 math.CO math.PR physics.soc-ph
Deformations of Coxeter hyperplane arrangements
我们研究了几个超平面安排，可以被视为变形的Coxeter安排。特别地，我们证明了Linial和Stanley的一个猜想，即排列x_i - x_j = 1，1 \leq i<j \leq n的区域数等于n+1个顶点上交错树的数目.值得注意的是，这些数字在二叉树、偏序集和竞赛方面有几个额外的组合解释。更一般地，我们给出了A_{n-1}型仿射Coxeter排列的某些有限子排列的区域数和Poincar多项式的公式。这些公式使我们能够证明一个关于Poincar多项式零点位置的“黎曼假设“。我们还考虑了A_{n-1}型Coxeter安排的一些一般变形。
1997-12-02 math.CO
Counting Independent Sets in Graphs of Hyperplane Arrangements
本文研究了一类图$G(\mathcal{A},q)$与超平面排列$\mathcal{A}$相关联的独立集的个数，它是图排列构造的推广.证明了当$\mathcal{A}$的参数满足一定条件时，当$q_i$是足够大的素数的幂时，不交并$G(\mathcal{A},q_1)\cup\cdots\cup G(\mathcal{A},q_s)$的独立集个数仅取决于$\mathcal{A}$的系数和顶点总数$\sum_i q_i$.此外，只要$\mathcal{A}$是中心的并且系数是乘法独立的，它就与系数无关。
2019-11-19 math.CO
Edge crossings in random linear arrangements
在空间网络中，顶点在一定的空间中排列，边可以交叉。当在1维网格中排列顶点时，当在顶点序列上方绘制时，边可能会交叉，就像在语言和生物网络中发生的那样。在这里，我们调查的一般问题的随机安排的顶点的边缘交叉点的分布。我们推广现有的公式期望这个数字在随机线性安排的树到任何网络，并推导出一个表达式的方差的数量的交叉在任意布局依赖于一个新的表征的代数结构的方差在任意空间。给出了完全图、完全二部图、圈图、单正则图和各种树（星树、拟星树和线性树）的期望和方差的紧致公式。在这些网络中，作为网络规模的函数的期望和方差的缩放是渐近幂律的随机线性安排。我们的工作为进一步研究和应用一维格或研究高维格或其他嵌入中交叉数的分布铺平了道路。
2020-02-21 cs.DM math.CO physics.soc-ph
On the Average Complexity of the $k$-Level
令${\cal L}$是$n$线在欧几里得平面中的排列。${\cal L}$的\emph{$k$-level}由排列的所有顶点$v$组成，这些顶点恰好具有在$v$下面通过的${\cal L}$的$k$线。已经广泛地研究了行排列中$k$ -级的复杂性（最大尺寸）. 1998年Dey证明了$O(n\cdot (k+1)^{1/3})$的一个上界。由于平面中的线与球面上的大圆之间的对应关系，渐近边界延续到球面上的大圆的排列，其中$k$级别表示距离标记单元\emph{south pole}至多$k$的顶点。我们证明了一个上限的$O((k+1)^2)$的预期复杂性的$k$ -水平的大圆安排，如果南极是随机均匀地选择在所有的细胞。我们还考虑安排的大$(d-1)$ -球上的领域$\mathbb{S}^d$正交于一组随机点上$\mathbb{S}^d$。在这个模型中，我们证明了$k$ -级别的期望复杂度是$Θ((k+1)^{d-1})$阶。
2020-03-09 cs.CG math.CO
A combinatorial statistic for labeled threshold graphs
考虑$\mathbb{R}^n$中超平面的集合，其定义方程由$\{x_i + x_j = 0\mid 1\leq i<j\leq n\}$给出。这种排列被称为阈值排列，因为它的区域与$n$顶点上的标记阈值图是双射的。Zaslavsky的定理意味着这个安排的区域的数量是该安排的特征多项式的系数之和。在本文中，我们给出了一个组合的意义，这些系数的数量标记阈值图具有一定的性质，从而回答了斯坦利提出的一个问题。
2021-08-07 math.CO
Syzygies of Unimodular Lawrence Ideals
从交换代数的观点研究了顶点构成格的无限超平面排列。这种安排模格作用的商表示相关的二项式理想的最小自由分解，它定义了一个复曲面子簇的投影线的产品。连接到图形安排和贝林森的谱序列进行了探讨。
1999-12-31 math.AG math.CO
From weakly separated collections to matroid subdivisions
我们研究的安排略有倾斜的热带超平面，称为叶片由A。Ocneanu，在超单形$Δ_{k,n}$的顶点上，我们研究了由此产生的诱导多面体细分。我们发现，放置一个刀片上的顶点$e_J$诱导$\ell$分裂拟阵细分的$Δ_{k,n}$，其中$\ell$是循环间隔的数量在$k$元素子集$J$。我们证明了一个给定的集合的$k$元素子集是弱分离的，在这个意义上的工作的Leclerc和Zelevinsky准交换家庭的量子未成年人，当且仅当安排的刀片$((1,2,\ldots, n))$上的相应顶点的$Δ_{k,n}$诱导拟阵（事实上，一个positroid）细分。在这种方式中，我们得到一个兼容性标准（平面）多重分裂的超单形，推广规则已知的2分裂。我们研究了$(k,n) = (3,7)$的情况下，一组安排的$(k-1)(n-k-1)$弱分离点的$Δ_{k,n}$的一个扩展的例子。
2022-06-01 hep-th math.CO
On the number of vertices of projective polytopes
令$X$为$\mathbb{R}^d$中的$n$点的配置。在所有可能的允许的射影变换$T$中，$conv(T(X))$可以具有的最大顶点数是多少？在本文中，我们调查这个和相关的问题。在提出了几个上界，我们研究了一个密切相关的问题（通过盖尔变换）关于一组点的最小Radon分区的数量。然后，我们提出了一些界限，这个数字，使我们能够部分回答一个问题，由于帕奇和Szegedy。我们还讨论了另一个相关的问题，关于超平面安排的topes的大小。
2021-07-06 math.CO
An Efficient Algorithm for Vertex Enumeration of Arrangement
针对排列顶点枚举问题，提出基于新型Zero主元规则的高效算法，该规则具备无目标函数、终止唯一等特性，算法复杂度优于现有方法，实验验证其高效可靠。
2025-03-25 math.CO math.OC
On Triangles in Colored Pseudoline Arrangements
Institut für Mathematik, Technische Universität Berlin（柏林工业大学数学研究所）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics and ELTE Eötvös Loránd University（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所和布达佩斯罗兰大学）
研究双色伪直线排列中是否存在双色三角形，并证明了相关超图的独立数上限。
2026-01-28 cs.CG math.CO
On the matching arrangement of a graph, improper weight function problem and its application
本文应用有限域方法计算图匹配排列的特征多项式，引入非正常权函数问题并证明其NP完全性，进而构造了基于该问题的类背包公钥密码系统。
2025-01-22 cs.CR cs.DM math.CO
Evolution of Cooperation for Multiple Mutant Configurations on All Regular Graphs with $N \leq 14$ players
我们研究了结构化群体中合作的出现，在进化图上有任何合作者和背叛者的安排。使用结构系数定义的配置描述这样的安排，任何数量的突变体，我们提供的结果弱选择有利于合作，在任何定期图上的缺陷与$N \leq 14$顶点。此外，特别是促进合作的图的属性进行了分析。结果表明，一定长度的图圈的数量是一个很好的预测的结构系数的值，从而有利于合作的趋势。特别是合作促进正则图的另一个性质是，它们被构造成具有由割顶点和/或铰链顶点连接的突变体簇的块。
2019-11-09 cs.NE math.CO q-bio.PE
Simplicial vertices in graphs with no induced four-edge path or four-edge antipath, and the $H_6$-conjecture
设$\mathcal{G}$是所有没有导出四边路或四边反路的图的类。Hayward和Naidian \cite{MS}证明了$\mathcal{G}$中不同构于长度为5的圈的每一个素图要么是分裂图，要么包含某种有用的单纯顶点和反单纯顶点的排列。本文给出了他们猜想的一个反例，并证明了一个较弱的版本。此外，应用第一作者和Seymour \cite{grow}的一个结果，我们给出了Fouquet关于$\mathcal{G}$中包含的无牛图子类的结构的结果\cite{C5}的一个简短证明.
2013-05-28 cs.DM math.CO
Polyhedra with hexagonal and triangular faces and three faces around each vertex
本文研究了由六边形和三角形组成且每个顶点有三个面的3-正则平面图（trihexes），通过signature标记法建立了其与等价类的双射，并据此限制了给定顶点数下的trihexes数量及证明了无六边形“belts”的猜想。
2023-06-27 math.CO math.GT
Broken Bracelets and Kostant's Partition Function
受Amdeberhan，可以，和Moll的工作破碎的项链，我们定义一个破碎的手镯作为一个线性排列的标记和未标记的顶点，并介绍了一个泛化称为$n$ -星级，这是一个集合的$n$破碎的手镯，其最终（未标记）的顶点被确定。通过这些组合的对象，我们提供了一个新的框架，研究Kostant的分拆函数，计数的方式来表示一个向量作为一个李代数的正根的非负整数线性组合的数量。我们的主要结果建立，（反射）的数量与固定数量的未标记的顶点与非连续的标记顶点的破碎手镯给出了一个上界的价值Kostant的分拆函数的倍数的最高根的李代数类型$A$。我们连接这项工作的多重杂耍序列，研究贝内代蒂，哈努萨，哈里斯，莫拉莱斯和辛普森，通过提供一个对应的等价关系$n$ -明星。
2022-02-03 math.CO
Bounds on Characteristic Polynomials
假设$G$是一个单图，它有$n$顶点、$m$边和秩$r$。设$χ_G(t)=a_0t^n-a_1t^{n-1}+\cdots +(-1)^ra_rt^{n-r}$为$G$的色多项式。对于$q,k\in \Bbb{Z}$和$0\le k\le q+r+1$，我们得到了系数序列的部分二项和的一个尖锐的双边界，即\[ {r+q\choose k}\le \sum_{i=0}^{k}{q\choose k-i}a_{i}\le {m+q\choose k}. \]。事实上，这个界对超平面排列和拟阵的特征多项式成立，它的弱形式可以推广到环面排列和算术拟阵的特征多项式。我们还提出了一个问题的几何解释上的界限。
2015-09-02 math.CO
Digraphs with exactly one Eulerian tour
本文给出了点集$[n]$上无孤立点且只有一个欧拉环直到循环移位的无环有向图的个数为$\frac{1}{2}(n-1)!C_{n}$的两个组合证明，其中$C_{n}$表示$n$ -th Catalan数.我们构造了一个双射与一组标记的有根平面树和一组有效的括号安排。
2021-05-05 math.CO
Fast calculation of the variance of edge crossings in random arrangements
针对随机嵌入图的边交叉数方差计算需求，本文基于新型算术表达式，提出了适用于多种随机布局的高效算法，分别将任意图和森林的计算复杂度优化至$O(nm)$与$O(n)$，为相关应用提供支撑。
2023-07-25 cs.DM cs.DS math.CO
Rooted spanning forests in wheel graphs: Fibonacci-Lucas formulas and extremal root configurations
Okegawa West Junior High School（尾高西初中）；Faculty of Science and Technology, Oita University（大分大学理工学部）
本文研究轮图中的根生成森林，给出基于Fibonacci和Lucas数的计数公式，并解决根配置的极值问题。
2026-09-25 math.CO
Drawing graphs using a small number of obstacles
图$G$的障碍表示是表示$G$的顶点的平面中的点的集合，连同多边形障碍的集合，使得当且仅当对应点之间的线段避开所有障碍时，$G$的两个顶点通过$G$中的边连接。$G$的障碍数${\rm obs}(G)$是$G$的障碍表示中的障碍的最小数目。通过证明每个$n$ -顶点图$G$满足${\rm obs}(G) \leq n\lceil\log{n}\rceil-n+1$，给出了图的障碍数的第一个非平凡一般上界.这反驳了Mukkamala、Pach和Pálvölgyi的一个猜想。对于色数有界的$n$ -顶点图，我们将此界改进为$O(n)$ .即使要求障碍物是凸的，这两个界限也适用。我们还证明了一个下界$2^{Ω(hn)}$的$n$顶点图的障碍数最多$h$的$h<n$和一个下界$Ω(n^{4/3}M^{2/3})$的复杂性收集的$M \geq Ω(n\log^{3/2}{n})$面临的安排线段与$n$端点。后一个界限紧到一个乘法常数。
2017-07-17 math.CO
Toward the Rectilinear Crossing Number of $K_n$: New Drawings, Upper Bounds, and Asymptotics
Scheinerman和Wilf（1994）指出：“确定完全图K_n的直交数是图嵌入研究中的一个重要公开问题。“K_n的直线图是平面上n个顶点的排列，每对顶点都由一条线段边连接。我们假设没有三个顶点是共线的，并且没有三条边相交于一个点，除非该点是所有三条边的端点。K_n的直线交叉数是在K_n的所有直线图上可达到的最少边交叉数。对于每个n，我们构造一个直线图K_n，具有最少的边交叉和最好的渐近已知的日期。此外，我们还给出了K_n的几种具有良好渐近性的可供选择的无穷图族.最后，我们提到了一些新老问题。
2000-09-28 cs.CG cs.DM math.CO
