Brauer-Siegel theorem for elliptic surfaces
B. E. Kunyavskii, M. A. Tsfasman
我们考虑高维类似物的经典Brauer-Siegel定理专注于全球功能领域的阿贝尔簇的情况下。我们证明了这样一个类似的情况下，常数家庭的椭圆曲线和阿贝尔簇。
We consider higher-dimensional analogues of the classical Brauer-Siegel theorem focusing on the case of abelian varieties over global function fields. We prove such an analogue in the case of constant families of elliptic curves and abelian varieties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Brauer-Siegel and Tsfasman-Vladut Theorems for Almost Normal Extensions of Number Fields
经典的Brauer-Siegel定理指出，如果$k$贯穿$\mathbb{Q}$的正规扩张序列，使得$n_k/\log|D_k|\to 0,$，则$\log h_k R_k/\log \sqrt{|D_k|}\to 1.$首先，本文将Brauer-Siegel定理和Tsfasman-Vlaughman定理推广到几乎正规数域的情形.其次，使用Hajir和Maire的方法，我们构造了几个关于渐近好的数域塔中的Brauer-Siegel比的新例子。这些例子给出的Brauer-Siegel比的值比Tsfasman和Vllaughduduelman给出的值小
Effective Brauer-Siegel on some curves in $Y(1)^n$
本文通过 Yves André 的 G 函数方法，在某些 $Y(1)^n$ 曲线上建立了二次虚数域类数的有效 Siegel 下界。
Infinite global fields and the generalized Brauer--Siegel theorem
本文有两个目的。首先，我们开始发展一个无限全球领域的理论，即，${\mathbb{Q}}$或${\mathbb{F}}_r(t)$的无限代数扩张。我们给出了这类域的一系列不变量，并引入和研究了这类域的一种zeta函数。其次，序列的号码字段与增长的判别式，我们证明推广的Odlyzko-塞尔界和布劳尔-西格尔定理，考虑到非阿基米德的地方。这导致渐近界的比率${{\log hR}/\log\sqrt{| D|}}$有效，没有标准的假设${n/\log\sqrt{| D|}}\to 0,$，因此包括，特别是，非分歧塔的情况下。然后，我们产生的例子类域塔，表明这一假设确实是必要的布劳尔-西格尔定理举行。作为一个简单的结果，我们改进了现有的限制监管机构。
The Brauer group of Kummer surfaces and torsion of elliptic curves
我们将库默尔曲面的Brauer群与相应阿贝尔曲面的Brauer群联系起来。对于许多对有理数上的椭圆曲线，证明了它们的乘积所对应的Kummer曲面具有平凡的Brauer群.
The elliptic sieve and Brauer groups
塞尔的一个定理指出，几乎所有的平面二次曲线在$\mathbb{Q}$没有有理点。我们证明了一个类似的二次曲线族参数化的椭圆曲线使用椭圆整除序列和版本的Selberg筛椭圆曲线。我们也给出了更一般的结果专业化的布劳尔群，从而产生应用规范形式方程。
Brauer groups of conic bundles over elliptic curves
本文研究数域上椭圆曲线的正则圆锥丛的Brauer群，在奇异纤维位于2-可除点且分歧域同构的条件下给出显式计算，并应用于一类Châtelet型曲面，进而分析实位点产生的Brauer-Manin障碍对弱逼近的影响。
Transcendental Brauer-Manin obstruction on a pencil of elliptic curves
本文给出了超越Brauer-Manin对弱逼近的阻碍的一个显式例子。它有两个特点，这是唯一以前已知的例子，这种障碍没有：类在布劳尔组负责的障碍是可分的，和基本的代数品种是一个椭圆曲面（一个K3曲面）。
Transcendental Brauer elements via descent on elliptic surfaces
超越布劳尔元素是出了名的难以计算。工作的维滕贝格，后来，Ieronymou，给出了一种方法，计算2-扭转超越类的表面上有一个属1纤维化与合理的2-扭转的雅可比纤维化。我们使用Poonen和Schaefer的一个下降文件的想法，以消除这种假设的合理2-扭转。
The Brauer group of the moduli stack of elliptic curves
我们计算了整数上的椭圆曲线的模栈的Brauer群，整数的局部化，奇特征的有限域，特征非$2$的代数闭域.所涉及的方法包括Legendre曲线的参数空间和具有全（朴素）层$2$结构的曲线的模栈的使用，平展上同调的下降谱序列和fppf上同调的Leray谱序列的研究，$S_3$在某种整表示下的群上同调的计算，有理数域的三次Galois扩张的分类，在素数$2$和$3$的分歧情况下希尔伯特符号的计算，以及寻找具有特定性质的$p$ -adic椭圆曲线。
Explicit descent on elliptic curves and splitting Brauer classes
我们证明了新的结果分裂Brauer类的亏格1曲线，特别是解决的情况下，度7类全球领域。虽然我们的方法本质上是上同调的，并且通过考虑分裂$μ_N$ -gerbes的更困难的问题来进行，但是我们使用来自模曲线算法的关键输入和椭圆曲线上的显式$N$ -下降。
Siegel modular forms of genus 2 attached to elliptic curves
本文的目的是构造一类有算术意义的亏格为2的全纯Siegel尖点形式F，它们既不是Saito-Kurokawa型，也不是Yoshida型，在Saito-Kurokawa型的情况下，4次旋量L-函数L（s，F）可被交换L-函数整除，在Yoshida型的情况下，L（s，F）是一对椭圆尖点形式的L-级数的乘积.两个关键的例子是由有理数上的非CM椭圆曲线E的对称立方定义的形式F，以及由这样的E到虚二次域K的基变化的反分圆扭曲（偶非零权重）定义的形式F。其中一个主要成分是GL（4）上的尖点形式π到GSp（4）的转移，尽管是间接的，但具有许多预期的性质，这可能是独立的兴趣。当π是正则的并且与一个\ell -adic伽罗瓦表示相关联时，转移信息是完整的.我们还呼吁（独立）的结果Laumon和Weissauer的zeta函数的西格尔模块化的三倍。
Prime Torsion in the Brauer Group of an Elliptic Curve
我们给出了一个算法，以明确确定所有元素的$q$ -扭转（$q$的奇素数）的Brauer群的椭圆曲线在任何基域的特征不同于$q$，包含一个原始的$q$ -th单位根的单位。Brauer群的这些元素作为椭圆曲线的函数域上的符号代数的张量积给出。我们给充分条件，以确定是否出现的Brauer类是平凡的。使用我们的算法，我们得到了一个上界上的符号长度的$\mathrm{Br}(E)/\mathrm{Br}(k)$的素扭转。
Abelian $n$-division fields of elliptic curves and Brauer groups of product Kummer & abelian surfaces
设$Y$是$\mathbb{Q}$的扩张上的阿贝尔曲面或K3曲面的主齐性空间。在2008年，Skorobogatov和Zarhin证明了Brauer群模代数类$\text{Br}\, Y/ \text{Br}_1\, Y$是有限的。我们研究这个商的家庭的表面是几何同构的产品的同构的非CM椭圆曲线，以及相关的家庭的几何库默尔表面，这两个家庭的特点是他们的几何Néron-Severi格。在特征$0$域上，证明了$\text{Br}\, Y / \text{Br}_1\, Y$的奇挠率大小的强一致界的存在性等价于整数$n$的强一致界的存在性，对于整数$n$，存在具有交换$n$ -整除域的非CM椭圆曲线.使用相同的方法，我们表明，对于一个固定的素数$p$，一个数域$k$的固定度$r$，和一个固定的判别几何Néron-Severi格，$(\text{Br}\, Y / \text{Br}_1\, Y)[p^\infty]$是有界的常数，只依赖于$p$，$r$，和判别。
Siegel's theorem via the Lawrence-Venkatesh method
在最近的论文arXiv：1807.02721中，B. Lawrence和A. Venkatesh通过研究基簇上的族的几何，发展了一种证明算术几何中有限性定理的方法。他们的结果包括一个新的证明$S$单位定理和Faltings'定理，通过构造和研究适当的交换有限家庭$\mathbb{P}^1\setminus\{0,1,\infty\}$和超过任意曲线的亏格$\geq 2$分别获得。本文将这一策略应用于Siegel定理的再证明：在穿孔椭圆曲线上构造有限阿贝尔族，证明椭圆曲线上的$S$ -整点的有限性.
The Brauer Group of $\mathscr{Y}_0(2)$
本文通过结合Antieau-Meier和Shin的方法，确定了$\mathscr{Y}_0(2)$的Brauer群。
Explicit uniform bounds for Brauer groups of singular K3 surfaces
设$k$为数字字段。我们给出了一个明确的界限，仅依赖于$[k:\mathbf{Q}]$和Néron-Severi格的判别式，上的Brauer群的大小的K3表面$X/k$，是几何同构的Kummer表面连接到一个产品的同构CM椭圆曲线。作为一个应用程序，我们表明，布劳尔-Manin集这样的品种是有效的可计算的。在GRH的条件下，我们也可以使显式界仅依赖于$[k:\mathbf{Q}]$，并删除了椭圆曲线是同构的条件。此外，我们展示了如何获得一个界，只依赖于$[k:\mathbf{Q}]$，在$k$上定义的奇异K3曲面的$\mathbf{C}$ -同构类的数量，从而证明了一个有效的版本的强Shafarevich猜想奇异K3曲面。
Transcendental Brauer-Manin obstructions on singular K3 surfaces
本文研究具有复乘的椭圆曲线乘积的Kummer曲面Y的Brauer群，并利用这些曲面构造了弱逼近的超越Brauer-Manin障碍的新例子。
Elliptic genus of Calabi-Yau manifolds and Jacobi and Siegel modular forms
本文研究了两类关系：一类是Calabi-Yau流形的椭圆亏格与Jacobi模形式之间的关系，另一类是第二量子化椭圆亏格、Siegel模形式与Lorentzian Kac-Moody李代数之间的关系。我们还确定了具有整傅里叶系数的弱Jacobi形式的分次环的结构。它给了我们一些应用理论的椭圆亏格和第二个量化的椭圆亏格。
Elliptic curves and their principal homogeneous spaces: splitting Severi--Brauer varieties
本文研究哪些椭圆曲线可作为分裂Severi--Brauer簇的亏格一曲线的雅可比簇，给出三个新例子：刻画了完美域扩张下主齐性空间分裂Severi--Brauer簇的循环代数条件，构造了次数最小且不可再降的嵌入例子，并将Saltman关于曲面的结果推广到任意偶数维。
On the transcendence degree of the differential field generated by Siegel modular forms
椭圆模函数满足一个三阶代数微分方程，且不满足低阶方程，这是一个经典事实。我们展示了如何推广到西格尔模函数的任意程度。其关键思想是，它们所满足的偏微分方程是由高斯-马宁联络所支配的，其单值群是众所周知的。模θ函数对我们的结果提供了一个具体的解释，并且我们在2次的情况下详细研究了它们的微分性质。
Non-abelian reciprocity laws and higher Brauer-Manin obstructions
我们重新解释金的非阿贝尔互惠地图代数品种的阻碍塔的映射空间的etale同伦类型，删除技术假设，如全球基点和上同调约束。然后，我们扩展理论，考虑替代自然系列的扩展，其中之一给出了一个障碍塔，其第一阶段是布劳尔-马宁障碍，使我们能够确定金的地图恢复布劳尔-马宁轨迹。即使对于Shimura变种，基于相对完备化的塔也会产生非平凡的互惠映射;对于堆叠模曲线，这些取模形式的伽罗瓦上同调的值，并对具有全局Tate模的adelic椭圆曲线产生障碍，该全局Tate模是全局椭圆曲线的基础。
Some remarks on Brauer groups of K3 surfaces
我们讨论了K3曲面上与椭圆纤维化相关的亏格1纤维化的几何性质。我们证明了一般椭圆纤维化的Brauer群的双挠子群自然同构于与该纤维化相关的曲线的Jacobian的双挠子群。我们注意到这与Recillas的三角构造有关。最后讨论了具有二阶极化的一般K3曲面的Brauer群的二挠。
p-adic L-functions and Selmer varieties associated to elliptic curves with complex multiplication
我们展示了如何非零的p-adic L函数控制的尺寸Selmer品种与补充的原点在一个椭圆曲线CM。作为推论，我们得到了Siegel定理在这类曲线上的π_1-证明.
$\mathbb{A}^1$-connected stacky curves and the Brauer group of moduli of elliptic curves
本文提出商叠动机连通分支 Nisnevich 层的计算公式，据此分类 $\mathbb{A}^1$-连通叠曲线并证明椭圆曲线模叠的 $\mathbb{A}^1$-连通性，同时建立光滑代数叠同伦纯性并恢复 Picard 群计算。
On a canonical class of Green currents for the unit sections of abelian schemes
我们证明了在复拟投射光滑簇上的任意阿贝尔格式上，零截面存在一个格林流，这一格林流可公理化地确定为$\partial$和$\bar\partial$ -精确微分形式.该电流推广了定义在椭圆曲线上的Siegel函数。我们证明了西格尔函数经典性质的推广，例如分布关系、极限公式和互惠定律。
The special Brauer group and twisted Picard varieties
本文通过引入Grothendieck的特殊Brauer群，将带截面椭圆K3曲面的Tate-Shafarevich群概念推广至赋予线性系统的K3曲面，为处理扭曲层模空间提供了有效方法。
On Tate's conjecture for elliptic modular surfaces over finite fields
对于$N\geq 3$，我们证明了泰特猜想的椭圆模表面$E(N)$的水平$N$在$\mathbb{F}_p$为一个素数$p$满足$p\equiv 1\mod N$以外的一组素数的密度为零。在假定$E(N)$的形式Brauer群具有有限高度的条件下，我们还证明了关于特征$p$与$N$互素的任何有限域上的$E(N)$的Tate猜想的一个强形式.
On some Siegel threefold related to the tangent cone of the Fermat quartic surface
设$Z$是van Geemen和Nygaard研究过的Siegel模三重数$\mathcal{A}^{\rm sa}(2,4,8)$的商.他们给出了一个含义，一些6元组$F_Z$的θ常数这又是已知的克林根型爱森斯坦系列的重量3应有关的全纯微分$(2,0)$ -形式的$Z$。簇$Z$与标题中Fermat四次曲面的切锥是双有理等价的。本文首先计算了$Z$的两个光滑分解的L-函数。其中之一，表示为$W$，是一种Igusa紧化，使得边界$\partial W$是严格正规交叉因子。L-函数的主要部分由权为3的椭圆形新形式$g$描述。然后，我们构建了一个自守表示$Π$的${\rm GSp}_2(\A)$相关的$g$和一个显式向量$E_Z$坐在$Π$创建一个向量值（非尖点）西格尔模形式的重量$(3,1)$，使$F_Z$符合$E_Z$在$H^{2,0}(\partial W)$下的庞加莱剩余映射和各种标识的上同调。
CHL Calabi-Yau threefolds: Curve counting, Mathieu moonshine and Siegel modular forms
CHL模型是$\mathrm{K3} \times E$与阶$N$自同构的商，该阶自同构辛地作用在K3曲面上并且通过移位椭圆曲线$E$上的$N$ -扭点来作用。我们猜想椭圆CHL模型的原始Donaldson-Thomas分拆函数是Siegel模形式，即Mathieu moonshine中出现的相应扭曲椭圆类的Borcherds提升.猜想相匹配的预测弦理论的大卫，Jatkar和森。我们使用拓扑顶点证明几个基本情况下的猜想。通过退化到$\mathrm{K3} \times \mathbb{P}^1$，我们还将DT分拆函数表示为Fock空间上算子的扭曲迹。这产生了进一步的计算证据。一个扩展的猜想，非几何CHL模型进行了讨论。我们详细考虑了$N=2$阶CHL模型。本文给出了二阶CHL模型在所有曲线类中的Donaldson-Thomas不变量的一个计算公式。该猜想是用两个Siegel模形式表示的。其中之一，西格尔形式的岩堀子群，有我们的知识尚未出现在物理学。这一差异在附录中与Sheldon Katz讨论。
Elliptic K3 surfaces with p^n-torsion sections
本文对具有$p^n$ -挠截面的特征$p$中的椭圆K3曲面进行了分类。对于$p^n\geq3$，我们验证了Artin和Shioda的猜想，计算了他们的形式Brauer群以及超奇异情况下的Artin不变量和Mordell-Weil群的高度。
Effective André-Oort for non-compact curves in Hilbert modular varieties
在André-Oort猜想的大多数证明中，有两个不同的步骤，其有效性不清楚：使用Brauer-Siegel的推广和使用Pila-Wilkie。目前只有${\bf C}^2$中曲线的情况是有效已知的（通过其他方法）。本文给出了非紧曲线的André-Oort定理的一个有效的证明，证明了在小类属简单性条件下，非紧曲线是Hilbert模曲面和奇亏格的Hilbert模簇中的非紧曲线.特别是，我们表明，在这些情况下，第一步可以取代自同态估计的Wüstholz和第二作者连同专业化方法的安德烈通过G-功能，和第二步可以有效使用的Q-功能的Novikov，Yakovenko和第一作者。
Arithmetic of Châtelet surface bundles revisited
将Lagrange插值应用于纤维化，研究数域上代数簇的算法。假设某条椭圆曲线的Tate-Shafarevich群是有限的，我们证明了对于曲线上的Châtelet曲面丛，由Brauer-Manin障碍引起的对Hasse原理的违反在基域的任意有限扩张下不是不变的.
Masur-Veech volumes and intersection theory on moduli spaces of abelian differentials
该研究建立了Masur-Veech体积、面积Siegel-Veech常数与阿贝尔微分层相交数的联系，算出大亏格极限及所有层的鞍连接Siegel-Veech常数，且结论适用于自旋和超椭圆分量。
Cohomology of local systems on the moduli of principally polarized abelian surfaces
设A_2是主极化阿贝尔曲面的模叠加，V是A_2上的光滑l-adic层，对应于Sp（4）的一个不可约有理有限维表示。我们给出了V的上同调的一个明确的表达在任何程度的Tate型类和伽罗瓦表示附加到椭圆和Siegel尖点形式。这证实了Faber和van der Geer的一个猜想。作为应用，我们证明了由Ibukiyama提出的权为3的Sp（4，Z）的向量值Siegel尖点形式的维数公式.
Relations between conjectural eigenvalues of Hecke operators on submotives of Siegel varieties
由于Langlands-Arthur的工作，Shimura簇的子模的$L$ -函数与相应约化群的自守表示之间存在着关系的图解公式.本文利用这些公式得到了$X$是Siegel簇时，$p$ -Hecke算子（$X$的$p$ -Hecke代数的生成元）在这些子模的上同调空间上的特征值之间的显式关系.因此，该结果也是合理的：没有使用与使用Selberg迹公式对$X$的约化计数点相关的方法。结果表明，上述关系是线性的，它们的系数是$p$中的多项式，满足一个简单的递推公式。同样的结果可以很容易地得到任何志村品种。这一结果是一个中间步骤的推广Kolyvagin的定理有限的泰特- Shafarevich群的椭圆曲线的分析秩0，1以上$Q$，的情况下，子动机的其他志村品种，特别是西格尔品种的属3。
Enriques Surfaces and jacobian elliptic K3 surfaces
本文提出了一种新的Enriques曲面的尺规作图法。它的出发点是K3表面的雅可比椭圆纤维化所产生的有理椭圆曲面的二次基变化。以这种方式获得的Enriques表面的特征在于椭圆纤维化的有理曲线作为平分分裂成两个部分的覆盖K3表面上。该构造可用于研究具有特定自同构的Enriques曲面。它还使我们能够回答一个问题的博维尔恩里克表面的布劳尔集团表现出一种特殊的行为。在即将发表的论文中，我们将研究我们的构造的算术后果。
Large unions of generalized integral sections on elliptic surfaces
设$f \colon X \to B$是非等平凡复椭圆曲面，$\mathcal{D} \subset X$是控制$B$的整因子.研究了$X$的广义$(S, \mathcal{D})$ -积分截面$σ\colon B \to X$的有限性相关性质.这些积分部分$σ$对应于$A(K)$中满足集合论条件$f ( σ(B) \cap \mathcal{D})\subset S$的有理点，其中$S \subset B$是任意给定子集。对于$S \subset B$有限，根据著名的Siegel定理，$X$的$(S, \mathcal{D})$ -积分截面的集合是有限的.在这篇文章中，我们建立了一个一般的定量有限性结果的几个大联盟的$(S, \mathcal{D})$ -积分部分，其中的子集$S$和除数$\mathcal{D}$允许不同的家庭，特别是$S$不一定是有限的，也不可数。给出了函数域上广义单位方程的一些应用。
Obstruction classes for moduli spaces of sheaves and Lagrangian fibrations
本文研究 K3 曲面上层模空间的障碍类，明确确定其 Brauer 群中的阶，建立联系模空间与底层 K3 曲面 Brauer 群的短正合列，并给出模空间精细性的判据及 Beauville-Mukai 系统双有理等价的完整刻画。
Explicit CM-theory for level 2-structures on abelian surfaces
对于一个复阿贝尔簇$A$，其自同态环同构于四次CM-域$K$的极大序模，Igusa不变量$j_1(A), j_2(A),j_3(A)$生成$K$的反射域的阿贝尔扩张。本文给出了这个反射场的类群在$j_1(A),j_2(A),j_3(A)$上的伽罗瓦作用的一个明确的描述。我们给出了一个几何描述，可以表示为各种西格尔模品种之间的映射。我们可以明确地计算这个行动的理想的小范，这使我们能够改善CRT方法计算Igusa类多项式。此外，我们发现循环的阿贝尔曲面的等距图，从而意味着“等距火山”算法计算正常椭圆曲线的自同态环在有限域没有一个简单的推广计算阿贝尔曲面的自同态环在有限域。
Local and local-to-global Principles for zero-cycles on geometrically Kummer $K3$ surfaces
研究$p$进域上几何Kummer $K3$曲面的零环Chow群结构，证明其可分解为可除群与有限群的直和，并给出局部到全局原理的首次无条件证据。
The Analogue of the Dedekind Eta Function for CY Manifolds I
这是一系列文章中的第一篇，我们将研究具有固定极化的CY流形的模空间上的（0，q）形式上的Calabi Yau度量的拉普拉斯算子的正则化行列式。众所周知，在椭圆曲线的情形下，Kronecker极限公式给出了椭圆曲线上具有固定体积的平坦度量的正则化行列式的显式公式.下面的公式在这种情况下成立;正则化行列式是西格尔上半平面中复数的虚部与戴德金η函数的乘积。众所周知，幂为24的戴德金η函数是与椭圆曲线的判别式相关的权12的尖点自守形式。由此可知，正则化行列式是椭圆曲线的（1，0）型上同调类的线丛在其模空间上的某个幂的截面的范数.我们的目的是推广这一事实的情况下，CY流形。本文将建立CY流形上Kronecker极限公式的局部模拟。
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