An Upper bound on the growth of Dirichlet tilings of hyperbolic spaces
证明了实双曲空间$\mathbb{H}^d, d>2,$的任意$k$面Dirichlet镶嵌的增长率$(\lim_r |B(r)|^{1/r})$至多为$k-1-ε$，对于一个$ε> 0$，仅依赖于$k$和$d$ .我们不知道是否有一个通用的$ε_u > 0$，这样，$k-1-ε_u$上限的增长率为任何$k$ -定期平铺，当$ d > 2$？
2015-06-02 math.GR math.MG
Optimal monohedral tilings of hyperbolic surfaces
六边形是欧几里得平面上任何给定面积的最小周长瓦片。在双曲曲面上，这个“等周”问题对于每个给定的区域都不同，因为解不成比例。Cox证明了一个规则的120度角的$k$ -平行四边形是等周的。对于区域$π/3$，正七边形具有120度角，因此平铺许多双曲曲面。对于其他领域，我们展示了许多瓷砖的存在，但没有提供约束最优。在封闭的双曲曲面上，我们通过使用剪切和粘贴变换和凸包的简化论证来验证正则$7$ -边形是$3\leq n \leq 10$的最优$n$ -面积为$π/3$的边形.然而，对于$n>10$，很难排除不规则平铺的非凸$n$ -片。
2019-11-11 math.MG
Optimally Dense Packings for Fully Asymptotic Coxeter Tilings by Horoballs of Different Types
本文的目的是确定双曲三维空间$\mathbb{H}^3$中所有四种完全渐近Coxeter镶嵌（Coxeter honeycombs）的最优Horoball填充排列及其密度。要求水平球的中心位于构成镶嵌的规则多面体单元的顶点处。我们允许不同类型的horoball在不同的顶点。我们的结果是通过推广的投影方法双曲空间。主要结果表明，已知的Böröczky-弗洛里安密度上界的“全等horoball”包装的$\mathbb{H}^3$仍然有效的类完全渐近Coxeter平铺，即使包装条件放宽，允许horoball的不同类型下规定的对称群。这一显着的结果的后果进行了讨论，为各种考克斯特瓷砖。
2012-07-12 math.MG
Visualization of sphere and horosphere packings related to Coxeter tilings generated by simply truncated orthoschemes with parallel faces
在本文中，我们描述和可视化的dennial球和horoball包装配置属于简单的截断$3$维双曲Coxeter正交格式的平行面。这些美丽的包装排列描述并展示了上述正交方案和相应的考克斯特群的非常有趣的结构。我们使用$3$维双曲空间$\boldsymbol{H}^3$的Beltrami-Cayley-Klein球模型进行可视化，并使用Python软件制作了图片。
2021-10-26 math.MG
Hyperball packings in hyperbolic $3$-space
在以前的工作\cite{Sz06-1}，\cite{Sz06-2}，\cite{Sz13-3}和\cite{Sz13-4}中，我们研究了$n$维双曲空间$\HYN$（$ 3 \le n \in \mathbb{N})$）中全等超球（超球）对正则棱柱镶嵌的稠密填充和最小稠密覆盖.本文研究了$3$维双曲空间中的一大类超球（超球）填充，它们可以由截断单纯形镶嵌（如\cite{S14}，\cite{MPSz}）导出。显然，为了得到上述超球填充的密度上界，在局部确定密度上界就足够了，例如在截断单形中。因此，我们研究了截顶单形（即截顶四面体）中的超球填充，并证明了如果截顶四面体是正则的，则超球填充的密度是$\approx 0.86338$ .这比球和horoball（horospheres）\cite{B--F64}的Böröczky-Florian密度上限大，但我们的局部最优超球填充配置不能扩展到整个双曲空间$\mathbb{H}^3$。但是我们的正截四面体构造，在具有顶密度$\approx 0.82251$的扩展Coxeter群$[3, 3, 7]$下，似乎足够好（表1）。此外，我们还证明了与正$p$ -正棱柱镶嵌\cite{Sz06-1}相关的已知的超球堆积也可以由正截四面体镶嵌对偶实现.
2016-03-03 math.MG
Planar pseudo-triangulations, spherical pseudo-tilings and hyperbolic virtual polytopes
我们希望提请注意两种理论之间有趣和有希望的相互作用。一方面，\textbf{pseudo-triangulations}理论对于隐式地解决卡彭特规则问题是有用的，并且后来被证明为图嵌入提供了一个很好的工具。另一方面，它是双曲虚多面体理论，它产生于一个古老的关于凸体的唯一性猜想（A. D. Alexandrov的问题：假设一个常数$C$在任何地方（非严格地）分离光滑三维凸体$K$的主曲率半径。那么$K$必然是一个半径为$C$的球。两个关键思想是：通过从平面伪三角形到球面伪平铺，我们避免了非点顶点。相反，我们使用伪二进制。给出了球面嵌入Laman加1图的一个定理。构造双曲多面体的困难问题可以归结为求球面嵌入图的问题。
2006-07-06 math.CO math.MG
Aperiodic colorings and tilings of Coxeter groups
构造了双曲群的极限非周期染色。此外，我们还构造了极限强非周期严格平衡平铺的戴维斯复形的所有Coxeter群。
2007-03-30 math.GR math.MG
Embedding of regular tilings and star-honeycomb
我们审查的d-球，欧几里德d-空间，双曲d-空间和Coxeter的定期双曲蜂窝（无限或星形细胞或顶点图形）的定期平铺与可能的嵌入，等距到一个规模，他们的骨架到一个m-立方体或m-维立方晶格。在第2节中，决定了最后剩下的二维情况：对于任何奇数m>6，星形蜂窝{m，m/2}是可嵌入的，而{m/2，m}是不可嵌入的（对于2维非嵌入的唯一情况）。作为一个球形的类似物，这些蜂窝，我们列举，在第3节，36黎曼曲面代表所有9个正多面体的领域。在第四节中，我们证明了其余所有星蜂窝（在3-球面和双曲4-空间上）的不可嵌入性。在最后的第5节中，识别了维度d>2的嵌入的所有情况。除了超单形和超八面体之外，它们就是那些具有二部骨架的超立方体、立方格和双曲3-、4-、5-空间的8，2，1镶嵌（其中只有两个，{435}和{4335}是紧的）。
1999-06-10 math.CO math.MG
Congruent and non-congruent hyperball packings related to doubly truncated Coxeter orthoschemes in hyperbolic $3$-space
在\cite{Sz17-2}中我们考虑了$3$维双曲空间中的超球填充.我们开发了一个分解算法，为每个饱和的超球包装提供了一个分解的$\HYP$到截断四面体。为了得到超球填充的密度上界，确定截断单形中超球填充的密度上界就足够了。因此，在本文中，我们研究了双截断Coxeter正交方案平铺和相应的全等和非全等超球填充。证明了与Coxeter镶嵌相关的紧全等超球填充的密度是$\approx 0.81335$，也就是与之相关的非全等超球填充的密度的上界.
2018-11-07 math.MG
New Horoball Packing Density Lower Bound in Hyperbolic 5-space
本文描述了$5$维双曲空间的渐近Koszul型Coxeter单纯形镶嵌的最优时球填充，其中填充的对称性由Coxeter群生成.我们发现，$δ_{opt}=0.59421\dots$的最佳horoball堆积密度实现在一个完整的可扩展类的算术Coxeter平铺。十一个最佳安排是通过将horoball放置在相应的Coxeter单纯形的渐近顶点，给出了基本区。在算术Coxeter群的情况下，当允许多个horoball类型时，最优horoball类型的相对堆积密度是$δ_{opt}$的有理约数，对应于堆积的Dirichlet-Voronoi胞密度。本文给出的填充是迄今为止双曲$5$ -空间中已知的填充。
2018-09-13 math.MG
The optimal hyperball packings related to the smallest compact arithmetic 5-orbifolds
最小的三个双曲紧致算术5-轨道折叠可以从两个紧致Coxeter多面体导出，它们是五维双曲空间$\mathbf{H}^5$中的组合单纯棱柱（或次数为$d=1$的完全正交方案）（参见\cite{BE}和\cite{EK}）。相应的双曲平铺是由反射通过其定界超平面产生的，这些超平面涉及到与全等超球相关的密超球（超球）填充的研究。在双曲空间$\mathbf{H}^n$ $(n=3,4)$的\cite{Sz06-1}和\cite{Sz06-2}中讨论了类似的问题.在本文中，我们将这一过程推广到确定上述5维棱柱镶嵌的最优超球填充。计算了它们的度量数据和最优超球填充的密度，并对5维双曲空间$\mathbf{H}^5$中的最优超球填充的候选项提出了一个猜想.
2013-06-18 math.MG
New Lower Bounds for Optimal Horoball Packing Density in Hyperbolic $n$-space for $6 \leq n \leq 9$
本文针对双曲空间6至9维Koszul型Coxeter单纯形镶嵌，确定了最优极限球堆积密度，从而为各维最优堆积密度提供了新的下界，并用与Busemann函数相关的参数刻画了不同最优构型的等距不变量。
2021-09-27 math.MG
Packings with horo- and hyperballs generated by simple frustum orthoschemes
本文研究了$n$维双曲空间$\HYN$（$n=2,3$）中由次球和超球导出的填充（简称hyp-hor填充），它们构成了一类新的经典填充问题.在$2-$和$3-$维双曲空间中构造了由$1$次完全Coxeter平铺生成的hyp-hor填充，即这些平铺的基本域是简单的截头正交格式，并确定了它们的密度填充构型和密度.我们证明了在双曲平面（$n=2$）上，上述超填充的密度任意逼近超圈或超圈填充密度$\frac{3}π$的泛上界，在$\HYP$上，最优构形属于密度为$\approx 0.83267$的$[7,3,6]$ Coxeter平铺.此外，我们还研究了截断正交矩阵$[p,3,6]$ $(6< p < 7, ~ p\in \bR)$中密度函数在$[6.05,6.06]$区间内达到最大值的Hyp-hor填充，并且在此区间内的参数密度大于$\approx 0.85397$ .这意味着这些局部最优的hyp-hor配置提供了更大的密度，Böröczky-Florian密度上限$(\approx 0.85328)$的球和horoball包装，但这些hyp-hor包装配置不能扩展到整个双曲空间$\mathbb{H}^3$。
2015-05-13 math.MG
Horoball packings related to hyperbolic $24$ cell
本文研究了扩展双曲空间$\overline{\mathbf{H}}^4$中与双曲24胞腔有关的等球填充，其中我们允许{ \it不同类型的等球}以24胞腔的各个顶点为中心.我们确定，引入广义多面体密度函数的概念，局部denominalhoroball包装安排和它的密度相对于上述定期平铺。最大密度是$\approx 0.71645$，它等于\cite{KSz14}中给出的双曲4-空间中已知的最大球填充密度.
2015-02-07 math.MG
Optimal ball and horoball packings generated by $3$-dimensional simply truncated Coxeter orthoschemes with parallel faces
在本文中，我们考虑的球和horoball包装属于$3$维Coxeter平铺，是由简单的截断正交计划与平行面。本文的目的是确定双曲三维空间$\mathbb{H}^3$中所有Coxeter镶嵌的最优球和horoball填充排列及其密度。要求horoball的中心位于构成平铺的多面体细胞的理想顶点处，并且我们允许不同类型的horoball在各个顶点处。证明了上述情形的密度填充是由与$\{\infty;3;6;\infty \}$相关的horoball和密度为$\approx 0.8413392$的$\{\infty;6;3;\infty \}$平铺实现的.
2021-07-18 math.MG
Penny graphs in the hyperbolic plane
研究双曲平面中n个等径圆排列时最大触碰圆对数e_d(n)，通过螺旋构造和三角镶嵌分析，提出极值猜想及下界估计。
2025-12-31 math.CO math.MG
Area and diameter gaps for hyperbolic monotiles
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
本文针对双曲平面及闭曲面上的测地线单调瓦片，证明了直径与面积的正下界，并给出显式常数，同时构造了边数可任意大但直径趋于零的示例，表明边数需附加条件限制。
2026-10-06 math.CO math.MG
Characterization of the Two-Dimensional Five-Fold Lattice Tiles
在1885年，Fedorov发现一个凸区域可以形成欧几里得平面的格子镶嵌当且仅当它是一个中心对称的六边形。已知在欧氏平面中没有其他凸区域可以形成二重、三重或四重格块，但是存在中心对称的凸十边形可以形成五重格块。本文刻画了所有能构成欧氏平面五重格点镶嵌的凸区域。
2018-03-17 math.MG
Characterization of the Two-Dimensional Five-Fold Translative Tiles
在1885年，Fedorov发现一个凸区域可以形成欧几里得平面的格子镶嵌当且仅当它是一个中心对称的六边形。已知在欧氏平面上不存在其它凸区域可以形成二重、三重或四重平移镶嵌，但存在中心对称的凸八边形和凸十边形可以形成五重平移镶嵌。本文刻画了所有能构成欧氏平面五重平移拼接的凸区域。
2018-03-17 math.MG
Undecidability of Translational Tiling of the 4-dimensional Space with a Set of 4 Polyhypercubes
本文证明用一组5个三维多立方体铺砌三维空间不可判定，并通过提升技术进一步证明用4个四维瓦片铺砌四维空间不可判定，为固定维数下单一瓦片平移铺砌不可判定猜想提供新证据。
2024-10-04 cs.CC math.CO math.MG
Undecidability of Translational Tiling of the 3-dimensional Space with a Set of 6 Polycubes
本文证明了用6个多立方体集合对三维整数格进行平移平铺的不可判定性，扩展了已知的二维结果，并推进了该领域的研究。
2024-08-05 cs.CC math.CO math.MG
On the Undecidability of Tiling the $3$-dimensional Space with a Set of $3$ Polycubes
本文针对单块平移平铺不可判定性的相关猜想，证明了用3个多立方体集合对3维空间进行平移平铺是不可判定的，为该猜想的证明提供了低维少瓦片的支撑结果。
2025-07-31 cs.CG math.CO math.MG
Homological aperiodic tilings of 3-dimensional geometries
我们构造了两个顺从的三维李群的第一个非周期瓦片：Sol和Heisenberg群。我们的建设依赖于使用高维一致有限的同源性。特别地，我们完全解决了几何化猜想中出现的所有三维流形的非紧几何的非周期瓦片的存在性。
2012-05-16 math.DS math.GR math.GT
Generalized $β$-expansions, substitution tilings, and local finiteness
对于一个相当普遍的类的二维平铺替代，我们证明了，如果长度扩展$β$是一个Pisot数，那么由替代定义的平铺必须是局部有限的。我们还给出了一个矩形瓦片上二维替换的简单示例，具有非Pisot长度扩展$β$，使得替换所允许的瓦片都不是局部有限的。这两个结果的证明是有效的一维，并涉及到某种类型的广义$β$ -变换的想法。
2005-11-08 math-ph math.DS math.MG
Holographic Foliations: Self-Similar Quasicrystals from Hyperbolic Honeycombs
本研究从纯几何层面揭示双曲空间正则镶嵌可衍生自相似准晶边界几何，完善替换规则并拓展至高维，提出全息叶理概念，发现新型2D准晶体，列出开放问题。
2025-02-22 cond-mat.str-el hep-th math-ph
