Computing Extensions of Linear Codes
Markus Grassl
本文讨论了通过在生成矩阵上增加一列或多列来增加线性码的最小距离的问题。给出了几种计算线性码扩张的方法。已经发现了许多改进先前已知的最小距离的下限的代码。
This paper deals with the problem of increasing the minimum distance of a linear code by adding one or more columns to the generator matrix. Several methods to compute extensions of linear codes are presented. Many codes improving the previously known lower bounds on the minimum distance have been found.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Computing the distance distribution of systematic non-linear codes
最重要的非线性码族是系统码。暴力检查是唯一已知的计算它们的权重分布和距离分布的方法。另一方面，它还输出代码中所有最接近的单词对。在黑盒复杂度模型中，检查在最接近的算法中是最优的。在本文中，我们提供了一个Groebner基础技术来计算任何系统的非线性码的重量/距离分布。此外，我们的技术输出所有最接近的对。与检查不同，我们的方法可以扩展到代码族。
Decoding and Computing Algorithms for Linear Superposition LDPC Coded Systems
本文研究线性叠加系统，其中叠加信号的所有分量都用一个相同的二进制低密度奇偶校验码（LDPC）进行编码。
Construction of Cyclic Codes over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$ for DNA Computing
我们用$u^2=0$构造环$\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$上的码.这些代码被设计用于DNA计算应用。所得到的码满足逆补约束、$GC$内容约束和避免了二级结构。它们是从环$\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$上的循环补可逆码导出的。我们还构造了一个无限的BCH DNA码族。
Computing coset leaders and leader codewords of binary codes
本文利用二进制线性码$\mathcal C$的Gröbner表示给出了计算陪集首码全集（记为$\mathrm{CL}(\mathcal C)$）和首码码字集（记为$\mathrm L(\mathcal C)$）的有效算法.第一种算法不仅可以提供$\mathcal C$的牛顿和覆盖半径，而且可以确定陪集首权重分布。此外，提供了一组领导码字，我们有一个测试集的梯度解码算法解码。本文的另一个贡献是建立了零邻居和前导码字之间的关系。
Coded Distributed Computing: Performance Limits and Code Designs
我们考虑编码的分布式计算的问题，其中一个大的线性计算工作，如矩阵乘法，分为$k$较小的任务，使用$(n,k)$线性代码编码，并在$n$分布式节点上执行。目标是减少计算作业的平均执行时间。我们提供了一个连接之间的问题，表征编码的分布式计算系统的平均执行时间和分析的错误概率的代码长度$n$擦除通道使用的问题。因此，我们提出了使用二进制随机线性代码的执行时间和最佳执行时间的任何线性编码的分布式计算系统可以实现的封闭形式的表达式。它还表明，存在良好的二进制线性码，达到，渐近，最佳性能的任何线性码，不一定是二进制，可以实现。我们还研究了编码的分布式计算系统的性能，使用极性和Reed-Muller（RM）码，可以受益于低复杂度解码，和优越的性能，分别，以及明确的建设。在本文中提出的框架可以使有效的设计分布式计算系统的丰富的文献中的信道编码理论。
Entanglement-Assisted Quantum Error Correcting Codes From RS Codes and BCH Codes with Extension Degree 2
本文研究了由Reed-Solomon码和BCH码构造的纠缠辅助量子纠错码。本文给出了一个完整的、明确的公式，给出了任意Reed-Solomon码的EAQECC的参数，并给出了任意BCH码的EAQECC的参数，其中BCH码的扩展度为$2$，且具有连续的分圆陪集，对于Euclidean和Hermitian两种度量.在这项工作中的主要任务是计算一个完全通用的公式$c$，所需的最大纠缠量子态的最小数量。
MacWilliams Extension Theorem for MDS additive codes
MacWilliams扩张定理指出，线性码的每个线性等距都可以扩张到单项式映射。与线性码不同，加法码一般不具有扩张性质。本文在可加MDS码的情形下证明了可加码扩张定理的一个类似定理。更准确地说，它表明，几乎所有的添加剂MDS码的添加剂等距扩展到周围空间的等距。
Computing coset leaders of binary codes
本文提出了一种计算二进制码$\mathcal C \subset \mathbb{F}_2^n$的所有陪集首集的算法。该方法是从一些相关的计算与代码相关的Gröbner表示的技术。该算法提供了一个Gröbner表示的二进制代码和陪集领导$\mathrm{CL}(\mathcal C)$的集合。它的效率表现在其复杂度与$\mathrm{CL}(\mathcal C)$的元素数成线性关系，比$\mathbb{F}_2^n$中的穷举搜索要小。
Computing sharp recovery structures for Locally Recoverable codes
局部可恢复码是一种纠错码，使得码字的单个坐标中的任何擦除可以从其它坐标的小子集恢复。本文提出了一种计算任意线性码$\mathcal{C}$的恢复结构的算法和实现该算法的恢复方法，该算法还提供了$\mathcal{C}$的局部性和对偶距离。复杂性问题也在研究之中。包括几个例子。
Coded Iterative Computing using Substitute Decoding
在本文中，我们提出了一种新的编码计算技术称为“替代解码”一般迭代分布式计算任务。在本文的第一部分中，我们使用PageRank作为一个简单的例子来说明替代解码可以使幂迭代计算稀疏矩阵上的PageRank对分布式系统中的擦除具有鲁棒性。对于这些稀疏矩阵，具有密集生成器矩阵的代码可以显著增加存储成本，并且优选具有低密度生成器矩阵（LDGM）的代码。令人惊讶的是，我们通过理论分析和仿真表明，当使用替代解码，编码迭代计算与极低密度的代码（2或3个非零在每行的生成矩阵）可以实现几乎相同的收敛速度无噪声技术，尽管差的纠错能力的LDGM码。在论文的第二部分，我们讨论了替代解码在解决线性系统和PageRank之外的应用。这些应用包括（1）计算特征向量，（2）计算截断奇异值分解（SVD），以及（3）梯度下降。这些例子表明，替代译码算法有着广泛的应用。
Algorithms for Computing the Free Distance of Convolutional Codes
本文提出高效计算任意码率及任意域上卷积码自由距离的算法，并指出某声称高效的算法之错误。
Computing efficiently a parity-check matrix for Zps-additive codes
本文针对 Zps-加性码，提出两种从标准生成矩阵高效计算校验矩阵的方法，并在 Magma 中进行性能比较与时间复杂度分析。
MacWilliams' Extension Theorem for rank-metric codes
针对秩度量码中线性等距通常无法扩张到环境空间的问题，本文系统梳理扩张障碍的实例，并给出一项正面成立条件。
An Algorithm for Computing the Covering Radius of a Linear Code Based on Vilenkin-Chrestenson Transform
我们提出了一个推广的Walsh-Hadamard变换，适用于编码理论的应用，特别是计算的重量分布和覆盖半径的线性码在有限域上。本文所用的变换是Vilenkin-Chrestenson变换的一种改进。我们取一个最大的非比例向量集，而不是使用所考虑的空间中的所有向量，这降低了计算复杂性。
Geometric approach to the MacWilliams Extension Theorem for codes over modules
麦克威廉斯扩张定理指出，线性码的每个线性汉明等距都可以扩张到一个单项式映射。本文观察到模字母表上线性码的扩张定理的一个类似定理。描述了等距可拓性的几何方法。对于一个矩阵模字母表，我们找到了一个不可扩展的汉明等距存在的代码的最小长度。我们还证明了模字母表上MDS码的一个扩张定理。
Low Complexity Distributed Computing via Binary Matrices with Extension to Stragglers
我们考虑MapReduce的分布式计算框架，它包括三个阶段，Map阶段，Shuffle阶段和Reduce阶段。对于这个框架，我们建议使用称为\textit{computing matrices}的二进制矩阵（具有$0,1$条目）来描述映射阶段和洗牌阶段。类似的二进制矩阵最近被提出用于编码缓存框架。二进制计算矩阵中的1和0的结构捕获了MapReduce框架的map阶段。我们提出了一个新的简单的编码数据洗牌计划，这个二进制矩阵模型的基础上，计算矩阵的\textit{identity submatrix cover}。这种新的编码混洗方案通常具有比现有方案更大的通信负载，但是在文件分割和所需的相关联的索引和协调方面具有比文献中的公知的早期方案更少的复杂度开销的优点。我们还表明，存在一个二进制矩阵为基础的分布式计算计划与我们的新的数据洗牌计划，严格小于两倍的通信负载比已知的最佳方案在文献中。这种新方案的结构使其能够以简单的方式应用于具有离散者的MapReduce框架，从无离散者的情况中借用其优点和缺点。最后，使用来自组合设计的二进制矩阵，我们展示了特定类别的计算方案，具有非常低的\textit{file complexity}（文件中的子文件的数量），与同等参数的最佳方案相比，通信负载略高。
Computing the minimum distance of nonbinary LDPC codes using block Korkin-Zolotarev method
本文提出了用分组Korkin-Zolotarev（BKZ）来度量二、三进制线性分组码的码距算法。利用BKZ方法证明了非系统线性分组码在不同分组长度下的码距标度常数的上界。所介绍的方法显示线性减少的运行时间从线程的数量和工作特别好，在不密集格的LDPC代码。这些性质允许使用该算法来测量长度为几千的代码的最小距离。该算法可以通过格枚举剪枝技术转化为概率算法来进一步改进
Mobile Communications, Computing and Caching Resources Optimization for Coded Caching with Device Computing
边缘缓存和计算被认为是解决无线频谱紧缩问题的有效方法。在本文中，我们设计了一个通用的编码缓存与设备计算策略的内容计算，例如，虚拟现实（VR）渲染，以在每个移动终端的缓存容量和能量约束以及每个任务的最大可容忍延迟约束的情况下最小化平均传输带宽。关键使能器是因为编码数据和存储数据都可以是计算之前或之后的数据，所以所提出的方案具有对应于不同带宽要求的许多边缘计算和缓存路径。因此，我们制定了一个联合编码缓存和计算优化问题，以决定是否移动设备缓存输入数据或输出数据，哪些任务要编码缓存和哪些任务本地计算。该优化问题是一个0-1非凸非光滑规划问题，可以分解为计算规划和编码缓存规划。利用交替方向乘子法（ADMM）证明了计算规划问题的收敛性，并得到了一个稳定点。对于编码缓存编程，我们设计了一个低复杂度的算法，以获得一个可接受的解决方案。数值结果表明，该方案提供了一个显着的带宽节省充分利用移动设备的缓存和计算能力。
Computing Symmetrized Weight Enumerators for Lifted Quadratic Residue Codes
基于不交权枚举数的概念，给出了一种确定$p^m$ -线性码的对称权枚举数的方法.对于任意正的$m$，给出了长度为24模$2^m$和模$3^m$的提升二次剩余码的对称权计数器.
Linear Codes, Target Function Classes, and Network Computing Capacity
我们研究了使用线性码的网络计算在单接收器网络与各类目标函数的源消息。这类函数包括有限域上的可约、内射、半内射和线性目标函数。计算能力的界限和可扩展性相对于这些目标函数类的网络代码，使用路由，线性编码，或非线性编码。
Algebraic Geometric Rook Codes for Coded Distributed Computing
针对有限域上工作节点数受域大小限制的问题，本文提出代数几何Rook码，支持一般矩阵乘法的分布式容错计算，并给出与亏格相关的恢复阈值界。
Computing the Low-Weight codewords of Punctured and Shortened Pre-Transformed polar Codes
本文提出一种确定性算法，通过评估和丢弃无关陪集来计算打孔和缩短预变换极化码的低重量码字，具有广泛适用性并降低计算复杂度。
Dual skew codes from annihilators: Transpose Hamming ring extensions
本文提出了一个研究斜循环码对偶的框架。转置汉明环扩张是基于斜多项式环之间代数的反同构的存在性。我们的构造应用于左理想卷积码，斜常循环码和斜Reed-Solomon码，表明这些码的对偶属于同一类。
Distributed Scalar Quantization for Computing: High-Resolution Analysis and Extensions
量化信息的通信之后经常是计算。我们认为情况的\emph{distributed functional scalar quantization}：分布式标量量化（可能相关）的来源，然后集中计算的功能。平滑条件下的源和功能，压扩标量量化器的设计，以尽量减少均方误差（MSE）的计算功能的量化器分辨率允许增长。在没有考虑函数的情况下设计的量化器的显著改进是可能的，并且在熵约束设置中比在固定速率设置中更大。作为基本分析的扩展，我们描述了一个大类的功能，定期量化就足够了，考虑某些功能的渐近最优性，而无需任意精细量化，并允许有限的源编码器之间的合作。在熵约束设置中，编码器之间通信的每个样本的单个比特可以对函数失真具有任意大的影响。相比之下，这种通信在固定速率设置中具有非常小的效果。
Multi-point Codes over Kummer Extensions
本文研究了由Kummer扩张定义的代数几何码的构造问题。在这类码的研究中，刻画与全分歧库相关的Riemann-Roch空间的基起着重要的作用。沿着这一思路，我们给出了Weierstrass半群和纯间隙的一个明确的特征。此外，我们确定了由Maharaj，Matthews和Pirsic引入的某种类型的除数的地板。最后，我们应用这些结果来寻找具有良好参数的多点码。作为示例之一，所呈现的具有参数$ [254,228,\geqslant 16] $ over $ \mathbb{F}_{64} $的代码产生新记录。
Coded Computing Meets Quantum Circuit Simulation: Coded Parallel Tensor Network Contraction Algorithm
针对并行张量网络收缩算法易受节点故障影响的问题，本文首次将编码计算引入该算法，提出2节点编码与超边编码两种方案，分别提升量子模拟的容错增益与通用性。
A New Class of Geometric Analog Error Correction Codes for Crossbar Based In-Memory Computing
针对电阻交叉开关上的模拟内存计算，提出一类几何模拟纠错码，通过几何分析表征其m-高度分布，可处理多个异常值。
Coded Computing via Binary Linear Codes: Designs and Performance Limits
我们考虑编码分布式计算的问题，其中一个大的线性计算工作，如矩阵乘法，分为$k$较小的任务，使用$(n,k)$线性代码编码，并在$n$分布式节点上执行。目标是减少计算作业的平均执行时间。我们提供了一个连接之间的问题，表征编码的分布式计算系统的平均执行时间和分析的错误概率的代码长度$n$擦除通道使用的问题。因此，我们提出了使用二进制随机线性代码的执行时间和最佳执行时间的任何线性编码的分布式计算系统可以实现的封闭形式的表达式。它还表明，存在\textit{good}二进制线性码，不仅达到（渐近）的最佳性能，任何线性码（不一定是二进制）可以实现，但也是数值稳定的对不可避免的舍入误差在实践中。然后，我们开发了一个低复杂度的算法解码Reed-Muller（RM）码擦除信道。我们的解码器只涉及加法，减法，{和最多$\log n+1$的尺寸相对较小的矩阵的求逆}，并使编码计算实值数据。广泛的数值分析的基本结果，以及RM和极性编码的计算方案证明了卓越的RM编码的计算，在实现接近最佳的性能，同时具有低复杂度的解码和明确的建设。鉴于信道编码理论中丰富的文献，本文提出的框架能够有效地设计分布式计算系统。
An Extension to Basis-Hypervectors for Learning from Circular Data in Hyperdimensional Computing
超维计算（HDC）是一种基于高维随机空间性质的计算框架。它对于资源受限环境中的机器学习特别有用，例如嵌入式系统和物联网，因为它在准确性，效率和鲁棒性之间实现了良好的平衡。信息到超空间的映射，称为编码，是HDC中最重要的阶段。其核心是基础超向量，负责表示有意义信息的最小单元。在这项工作中，我们提出了一个详细的研究基础超向量集，这导致实际的贡献HDC一般：1）我们提出了一个改进的水平超向量，用于编码实数; 2）我们介绍了一种方法来学习循环数据，一个重要的信息类型从来没有在机器学习与HDC。实证结果表明，这些贡献导致更准确的分类和回归模型与循环数据。
Protograph LDPC Codes with Block Thresholds: Extension to Degree-1 and Generalized Nodes
针对二进制擦除信道（BEC）和二进制加性高斯白噪声（BIAWGN）信道，利用原图低密度奇偶校验（LDPC）设计了近容量低速率码。针对度为1的变量节点的原模图和双广义LDPC码，给出了保证误比特门限和误块门限相等的条件。利用这一条件，低速率码的块错误阈值接近容量的设计，并显示有更好的出错率性能比其他现有的代码。
Explicit Constructions of Sum-Rank Metric Codes from Quadratic Kummer Extensions
本文通过二次库默扩展显式构造了求和-秩度量码，提高了块长并确定了参数，同时讨论了其渐进行为和与现有界的比较。
Extension theorems for self-dual codes over rings and new binary self-dual codes
本文将扩张定理推广到环上的自对偶码，作为应用，从环F_2^m+uF_2^m（m = 1，2）上的自对偶码中得到了许多新的二元自对偶极值码。利用从F4 + uF 4到（F2 + uF 2）^2和（F4）^2的保对偶和保距离Gray映射，得到了二进制Gray像是[64，32，12]-极值自对偶的自对偶码.利用F_2+uF_2-扩张，得到了178个长度为68的二元自对偶极值码。特别是首次得到了gamma=3的码的例子，以及许多罕见的gamma= 4，6参数的码的例子。此外，还从F_4 + uF_4上的四循环码中得到了250个具有新的权元的双偶自对偶[96，48，16]-码。利用二元四元循环码的F_2+uF_2-提升，还找到了新的长度为80和88的极值二元双偶码，并给出了相应的3-设计结果。
Rateless Codes for Low-Latency Distributed Inference in Mobile Edge Computing
我们考虑移动边缘计算场景，其中用户想要针对某个网络侧矩阵$\boldsymbol{W}$对本地数据$\boldsymbol{x}$执行线性推断操作$\boldsymbol{W} \boldsymbol{x}$。推理以分布式方式在网络边缘的多个服务器上执行。对于这种情况下，我们提出了一种编码方案，结合了无比率的代码，以提供对离散服务器的弹性-从而减少计算延迟-和不规则重复代码，以提供空间多样性-从而减少通信延迟。我们进一步推导出总延迟的下限-包括计算延迟，通信延迟和解码延迟。该方案执行显着接近的界限，并产生显着降低延迟比计划的基础上最大距离可分离码最近提出的Zhang和Simeone。
A Method to Reduce the Complexity of Computing the Complete Weight Distribution of Polar Codes
本文通过定义递减单项式码下三角仿射群的新子群并证明其传递性，提出一种增强方法，可将极化码完整权重分布的计算复杂度降低数倍以上。
Deep holes and MDS extensions of Reed-Solomon codes
研究了Reed-Solomon码的深洞分类问题。我们表明，这个问题是等价的问题分类MDS扩展的里德-所罗门码由一个数字。这种等价性使我们能够改进前一个问题的最近结果。特别是，我们分类的Reed-Solomon码的尺寸大于一半的字母大小的深孔。我们还对具有三个冗余度的里德所罗门码的深孔进行了完整的分类。
Polar Coded Computing: The Role of the Scaling Exponent
我们考虑使用极化码的编码分布式计算的问题。编码计算系统的平均执行时间与Soleymani，Jamali和Mahdavifar最近的工作中通过二进制擦除信道传输的错误概率有关，其中研究了二进制线性码的性能。在本文中，我们专注于极化码，并揭示了平均执行时间和代码族的标度指数$μ$之间的联系。标度指数已经成为极化码的有限长度表征中的中心对象，并且它捕获了容量的收敛速度。特别地，我们表明（i）极化码的归一化平均执行时间与最优MDS码的归一化平均执行时间之间的差距是$O(n^{-1/μ})$，以及（ii）通过考虑具有大内核的极化码，该上限可以被改进为大致$O(n^{-1/2})$。我们推测，这些界限可以提高到$O(n^{-2/μ})$和$O(n^{-1})$，分别，并提供了一个启发式的参数，以及支持这一观点的数值证据。
MacWilliams Extension Theorems and the Local-Global Property for Codes over Rings
研究了有限Frobenius环上各种权函数的MacWilliams扩张定理。这个问题是重新制定的一般线性群的子群的局部-全局性质。除其他事项外，它表明，扩展定理成立偏序集的权重，当且仅当底层偏序集是层次的。具体来说，向量码的Rosenbloom-Tsfasman权满足扩张定理，而矩阵码的Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman权不满足扩张定理。著名的齐次权的MacWilliams扩张定理的一个简短的特征理论证明。此外，它表明，扩展定理结转到直接产品的重量，但不对称产品。
Adelic Extension Classes, Atiyah Bundles and Non-Commutative Codes
本文件由三部分组成。首先，我们给出了与曲线上局部自由层的扩张相关的经典扩张类的一个广义解释。然后，在第二，我们使用这个结构上的adelic扩展类写显式adelic表示在$GL_r(A)$的Atiyah束$I_r$椭圆曲线。所有这些工作在任何基本领域都有意义。最后，作为应用，对于$m\geq 1$，我们构造了$I_r(mQ)$在局部项下的全局部分，并将其应用于基于我们早期论文[Codes and Stability]中介绍的码空间$C_{F;r}(D; I_r(mQ))$的秩$r$ MDS码。
On geometric Goppa codes from Elementary Abelian $p$-Extensions of $\mathbb{F}_{p^{s}}(x)$
设$p$为素数，$s> 0$为整数。本文研究了$\mathbb{F}_{p^{s}}(x)$的初等交换$p$ -扩张的单点几何Goppa码.我们确定它们的尺寸和在一些情况下的确切的最小距离。这些码是弱Castle码的一个特例。我们还列出了在某些情况下这些码的第二广义Hamming重量的精确值。简单的准则的自对偶性和拟自对偶的这些代码也提供了。此外，我们构造量子码，卷积码，和本地可恢复的代码的函数字段上的例子。
Index Coding: Rank-Invariant Extensions
由一个服务器和多个具有不同边信息和需求集的接收器组成的索引编码（IC）问题可以使用拟合矩阵等效地表示。给定IC问题的标量线性索引码是表示消息符号的传输线性组合的矩阵。索引代码的长度则是传输的数量（或等价地，索引代码中的行数）。如果一个IC问题${\cal I}_{ext}$的拟合矩阵是${\cal I}_{ext}$的拟合矩阵的子矩阵，则称该IC问题是另一个IC问题${\cal I}$的扩展.首先，我们提出了一个简单的$m$ \textit{-order}扩展${\cal I}_{ext}$的IC问题${\cal I}$的索引代码是通过连接的索引代码的${\cal I}$的$m$副本。对于${\cal I}$和${\cal I}_{ext}$，代码的长度是相同的，并且如果用于${\cal I}$的索引代码具有最佳长度，则用于${\cal I}_{ext}$的扩展代码也具有最佳长度。更一般地，具有与${\cal I}$相同的最佳长度的${\cal I}$的扩展IC问题被称为是${\cal I}$的\textit{rank-invariant}扩展。然后，我们专注于$2$顺序秩不变的${\cal I}$的扩展，并提出这种扩展的对合置换矩阵的基础上的建设。
Ideal codes over separable ring extensions
本文研究了可分环扩展的理论代数概念在循环卷积码或更一般的理想码领域中的应用。我们在非常温和的条件下工作，涵盖了所有以前已知的以及新的非平凡的例子。本文证明了理想码是作为基础非交换代数的左理想的直和项，类似于循环分组码。这意味着，特别是，它们是由一个幂等元生成的。因此，通过使用一个合适的可分性元素，我们设计了一个有效的算法来计算这样的幂等元之一。
AG codes and AG quantum codes from cyclic extensions of the Suzuki and Ree curves
研究了由Skabelund最近构造的有限域上的极大曲线族$\tilde{\mathcal S}_q$和$\tilde{\mathcal R}_q$作为Suzuki和Ree曲线的循环覆盖而构造的几类线性码.给出了这类曲线的平面模型，证明了Weierstrass半群$H(P)$在$\mathbb{F}_{q}$ -有理点$P$上是对称的.
Numerically Stable Polynomially Coded Computing
我们研究了基于多项式的编码方法的数值稳定性，它已经成为编码计算领域中提供落伍和容错的一类强有力的技术。我们的贡献如下：1）我们构造了新的矩阵乘法码，实现了与以前构造的MatDot码和Polynomial码相同的容错性。与以前的代码，使用多项式扩展在单项式的基础上，我们的代码使用正交多项式的基础。2)我们表明，每个$m \times m$子矩阵的$m \times n, n \geq m$ Chebyshev-Vandermonde矩阵的条件数，评价$n$点Chebyshev网格，增长为$n > m$的$O(n^{2(n-m)})$。该结果的含义是，当Chebyshev-Vandermonde矩阵用于编码计算时，对于固定数量的冗余节点$s=n-m,$，条件数最多随节点数量$n$而多项式增长。3)通过将我们的正交多项式构造专门化为Chebyshev多项式，并使用我们对Chebyshev-Vandermonde矩阵的条件数界，我们构造了新的数值稳定的编码矩阵乘法技术。我们的经验表明，我们的建设有显着较低的数值误差相比，以前的方法，涉及范德蒙矩阵的逆。我们概括了我们的构造来探索计算/通信和容错之间的权衡。4)我们提出了一个数值稳定的专业化拉格朗日编码计算。出于我们的条件数界，我们的方法涉及到的评价点的选择和一个合适的解码过程，涉及到一个适当的Chebyshev-Vandermonde矩阵的…
Non-special Divisors, LCPs of Codes, and LCD Codes on Kummer Extensions
研究库默尔扩张上非特殊因子的算术刻画，基于此在GK曲线上构造度g-1的非特殊因子，并利用纯间隙构造度g的有效非特殊因子族，进而建立代数几何码的LCP和LCD码的通用框架。
Algebraic Geometric codes from Kummer Extensions
对于由$y^m = f (x)$定义的Kummer扩张，其中$f (x)$是有限域$\mathbb{F}_q$上的可分多项式，我们计算了两个完全分歧处的Weierstrass间隙数.对于许多完全分歧的地方，我们给出了一个标准，找到纯差距在这些点和目前的家庭纯差距。然后，我们应用我们的结果来构造具有良好参数的多点代数几何码。
Straggler Resilient Serverless Computing Based on Polar Codes
提出了一种基于极化码的无服务器分布式计算机制。无服务器计算是一种新兴的基于云的计算模型，允许用户在云上运行其功能，而无需配置或管理服务器。我们提出的方法是一个混合计算框架，它使用无服务器计算执行计算成本高昂的任务，例如涉及大规模数据的线性代数运算，并在本地执行其余处理。我们解决了无服务器平台的局限性和可靠性问题，例如使用编码理论的离散工人，从最近的编码计算文献中汲取思想。所提出的机制使用极化码来以计算有效的方式确保离散恢复力。我们提供了大量的证据表明极化码优于其他编码方法。我们设计了一个专门用于全精度输入和输出的擦除信道中极化码的顺序解码器。此外，我们已经将所提出的方法扩展到矩阵乘法的情况下，两个矩阵相乘的编码。所提出的编码计算方案在AWS Lambda上实现。实验结果中提出的编码计算技术的性能进行了测试，通过梯度下降优化。最后，我们引入了部分极化的思想，它减少了编码和解码的计算负担，代价是离散恢复。
Codes with locality from cyclic extensions of Deligne-Lusztig curves
最近，Skabelund定义了新的极大曲线，它们是Suzuki和Ree曲线的循环扩张。以前，现在众所周知的GK曲线被发现作为厄米曲线的循环扩展。在本文中，我们考虑从这些新的曲线构造的局部可恢复代码，补充GK曲线。本地可恢复的代码允许通过仅访问形成所谓的恢复集的少数其他符号来恢复单个符号。如果每个符号至少有两个不相交的恢复集，则称该码具有可用性。三个结构描述，因为每一个最适合一个特定的情况。第一个采用原始建设的本地可恢复的代码从曲线的塔莫和巴格。第二种方法通过使用Haymaker、Malmskog和Matthews所描述的纤维产品来产生具有可用性的代码，而第三种方法通过使用代码本身的产品来实现可用性。我们看到，循环扩展的Deligne-Lusztig曲线提供的代码比那些通常在文献中发现的更小的局部性。
Branching MERA codes: a natural extension of polar codes
我们介绍了一类新的电路，用于构建有效的可解码的纠错码，最近发现的可收缩张量网络的基础上。我们对一个特定的例子进行了深入的研究，这个例子可以被认为是Arikan极化码的扩展。值得注意的是，我们的数值模拟表明，这种代码极化的逻辑通道更强烈，同时保留使用连续消除解码器的对数线性解码复杂度。这些代码也显示出改进的纠错能力，只有一个很小的影响解码复杂性。有效的解码是利用量子多体物理学领域开发的强大的图形演算工具实现的。在配套文件中，我们将我们的建设推广到量子设置，并更深入地描述经典和量子纠错和张量网络的图形演算之间的关系。
An extension of the order bound for AG codes
得到代数几何码最小距离下界的最成功的方法是阶界，它推广了Feng-Rao界。我们提供了一个显着的扩展的界限，提高了顺序界限Beelen和Duursma和公园。我们包括一个详尽的数值比较的不同界限的10168两点代码的铃木曲线上的属g=124超过32个元素。关键词：代数几何码，阶数界，铃木曲线.
(l,s)-Extension of Linear Codes
我们构造了新的具有高最小距离d的线性码。在至少12种情况下，这些码改进了对于固定参数n，k的先前已知的最佳线性码的最小距离。在这些新的码中，有一个最佳三元[88，8，54]码。我们开发了一种算法，它开始于已经很好的代码C，即代码具有高的最小距离d为给定的长度n和维度k在域GF（q）。该算法基于新定义的（l，s）-扩张。这是在奇数最小权重的二进制线性码的情况下添加奇偶校验位的公知方法的推广。（l，s）-扩展试图通过添加l列来扩展C的生成矩阵，其中添加到C中的最小权重的码字中的每一个的l个字母中的至少s不同于0。如果找到这样的列，则扩展码的最小距离是d + s，前提是C中第二小的权重至少是d + s。这种柱子是否存在的问题可以用丢番图方程组来解决。
On the Design of Codes for DNA Computing: Secondary Structure Avoidance Codes
在这项工作中，我们研究了一个具有挑战性的问题，这一直被认为是一个重要的标准，在设计码字的DNA计算的目的，即避免在单链DNA分子的二级结构。简而言之，二级结构是指单链DNA序列折叠回自身的趋势，从而在计算过程中变得不活跃。虽然Milenkovic和Kashyap（2006）提出了一些降低二级结构形成可能性的设计标准，但这项工作的主要贡献是提供了一种明确的DNA密码子构建，完全避免了任意茎长度的二级结构。形式上，给定码字长度n和任意整数m>=2，我们提供了有效的方法来构建长度为n的DNA代码，避免任何茎长度大于或等于m的二级结构。特别地，当m = 3时，我们的构建产生速率为1.3031比特/nt的DNA编码家族，而现有技术中发现的最高速率为1.1609比特/nt。此外，对于m>=3log n + 4，我们提供了一个有效的编码器，只产生一个冗余符号。
Generalized Lagrange Coded Computing: A Flexible Computation-Communication Tradeoff for Resilient, Secure, and Private Computation
针对分布式计算中任意多元多项式评估，提出广义拉格朗日编码计算（GLCC）码，同时实现弹性、安全和隐私，并较LCC码在训练时间上加速达2.5-3.9倍。
Rate-Matching Deep Polar Codes via Polar Coded Extension
本文针对深度极化码码长受限于2的幂次的问题，提出基于分层码字级联的编码扩展速率匹配方法，并配套软输出SCL解码算法和贪心多层配置算法，在中高码率下显著优于传统方法。
Multiple-Error-Correcting Codes for Analog Computing on Resistive Crossbars
本文研究电阻式交叉开关模拟计算中的多错误定位问题，提出基于球形码和稀疏析取矩阵的多纠错码构造，并给出高效译码方法及行最大汉明重量的改进界。
Systematic Non-Binary Extension of LDPC-CSS Codes Preserving Orthogonality
该研究针对LDPC-CSS码，提出系统构造方法，扩展至任意CSS码以保持二元支撑与正交性，实现有限域推广。
Parallel Implementations for Computing the Minimum Distance of a Random Linear Code on Multicomputers
线性码的最小距离是信息论中的一个重要概念。因此，它的计算所需的时间是非常重要的，在这方面的许多问题。在本文中，我们介绍了一个家庭的Brouwer-Zimmermann算法的分布式存储器架构的实现，用于计算F2上的随机线性码的最小距离。目前的商业和公共领域软件都只能在单核架构或共享内存架构上工作，这在计算中使用的核心/处理器数量上受到限制。我们的实现集中在分布式存储器架构，从而能够采用数百甚至数千个核心的最小距离的计算。我们的实验结果表明，我们的实现速度快得多，甚至高达几个数量级，比目前广泛使用的实现。
Generating Binary Optimal Codes Using Heterogeneous Parallel Computing
最优码的生成是编码理论中的一个众所周知的问题。在文献中存在许多计算方法来寻找破纪录的代码。然而，使用串行算法生成具有长长度$n$的代码在计算上是非常昂贵的，例如，贪心算法的最坏情况时间复杂度是$\mathcal{O}(n\; 4^n)$。为了提高长代码生成的效率，我们提出并研究了一些基于通用图形处理器（GPGPU）的并行算法。本文研究了基于GPGPU-CUDA（Computed Unified Device Architecture）框架的并行贪心算法的实现，并讨论了各种优化技术对GPU代码的加速。优化并行实现的性能比串行实现快两到三个数量级以上，显示了GPGPU在编码理论应用领域的巨大潜力。
A Droplet Approach Based on Raptor Codes for Distributed Computing With Straggling Servers
我们提出了一种基于Raptor码的编码分布式计算方案来解决离散问题。特别是，我们考虑一个方案，其中每个服务器计算中间值，称为液滴，要么存储在本地或通过网络发送。一旦收集到足够的液滴，计算就可以完成。与文献中的方案相比，我们提出的方案实现了较低的计算延迟时，考虑到解码时间。
Block-Diagonal and LT Codes for Distributed Computing With Straggling Servers
我们提出了两个编码方案的分布式计算问题乘以一组向量的矩阵。第一种方案是基于将矩阵划分成子矩阵，并对每个子矩阵应用最大距离可分离（MDS）码。对于这个方案，我们证明了直到给定的分区数，通信负载和计算延迟（不包括编码和解码延迟）与Li等人最近提出的方案相同，基于单个长MDS码。然而，由于使用较短的MDS码，我们的计划产生一个显着降低的整体计算延迟时，编码和解码引起的延迟也被考虑。我们进一步提出了第二个编码方案的基础上，鲁比变换（LT）码下失活解码。有趣的是，LT码可以以增加的通信负载为代价来减少分区方案上的延迟。我们还考虑了分布式计算下的最后期限和数值计算表明，所提出的计划优于其他计划在文献中，与LT码为基础的计划产生的最佳性能的情况下考虑。
Rank-metric codes over arbitrary Galois extensions and rank analogues of Reed-Muller codes
本文推广了带有任意伽罗瓦群$G = \mathrm{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K})$的扩域$\mathbb{L}$上的秩度量码的研究。我们提出了一个框架，研究这些代码作为子空间的群代数$\mathbb{L}[G]$，我们认为这一点与通常的概念秩度量码在$\mathbb{L}^N$或$\mathbb{K}^{N\times N}$，其中$N = [\mathbb{L} : \mathbb{K}]$。然后，我们适应这个上下文中的纠错对的概念，以提供一个非平凡的解码算法，这些代码。然后，我们专注于$G$是阿贝尔的情况下，这使我们看到码字的多元斜多项式环的元素。我们证明，我们可以绑定这些多项式的零向量空间的维数，取决于他们的程度。这个结果可以被看作是阿隆-富雷迪定理的一个类似物--并通过施瓦茨-齐佩尔引理--在秩度量中。最后，我们构造了Reed-Muller码在秩度量下的对应码，并给出了它们的参数。我们还显示了这些代码和经典的Reed-Muller码的情况下，$\mathbb{L}$是一个Kummer扩展之间的连接。
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