Bayesian uncertainty relation for a joint measurement of canonical variables
我们提出了一个联合测量不确定关系的正则变量的均方偏差对高斯分布的量子光学态的平均。我们的贝叶斯公式是免费的无偏性假设，并使我们能够量化实验实施的联合测量设备通过喂养一组适度的相干态。我们的结果也再现了最翔实的限制的情况下，纯高斯态的相空间位移的量子估计。
2017-04-18 quant-ph
Uncertainty reconciles complementarity with joint measurability
互补性和不确定性的基本原则被证明是有关的可能性联合unsharp测量对noncommuting量子观测。提出了一种新的互补观测量联合测量方案。观测量被表示为正算子值测度（POVMs），其内在的模糊参数被发现满足一个有趣的回报关系，反映互补性。同时，这个关系也代表了海森堡测不准关系在测量不精确时的一个例子。一个模型独立的考虑表明，这种不确定性关系是逻辑上连接的POVM的联合可测性的问题。
2002-11-12 quant-ph
Entropic measures of joint uncertainty: effects of lack of majorization
我们计算了二维量子系统中两个互补观测量的噪声同时观测统计的Rényi熵。两个状态之间的不确定性的相对量取决于所使用的不确定性度量。这些结果不能用更标准的对偶关系来再现。我们发现，这些行为是一致的，缺乏相应的统计量之间的优势关系。
2015-11-16 quant-ph
The uncertainty relation for joint measurement of position and momentum
我们证明了一个不确定性关系，它对任何位置和动量的联合测量施加了约束。它的形式是$(ΔP)(ΔQ)\geq C\hbar$，其中“不确定性”量化了联合测量的边际与相应的理想可观测值之间的差异。应用到一个近似的位置测量，然后是一个动量测量，不确定性成为位置测量的精度$ΔQ$，和扰动$ΔP$的共轭变量引入这样的测量。我们还确定了最佳常数$C$，这是一个独特的相空间协变测量。
2004-05-30 quant-ph
Uncertainty relations and joint numerical ranges
非对易性是量子理论的核心，在物理学和数学中提供了丰富的有趣问题。在这项工作中，我通过联合数值范围（JNR）的概念提出了其中的一些-一组同时可达到的量子观测值的平均值，一般不需要交换。随着量子系统维数的增加，JNR几何的完整描述很快变得复杂。在这篇论文中，我介绍了JNR理论中已有的结果，形式主义的推广和JNR在相变和不确定关系理论中的应用。
2017-07-11 quant-ph
Optimal estimates and joint measurement uncertainty relations
通常，人们希望确定某个可观察A，但只能测量某个（希望相关的）可观察M。这可能会出现，例如，在量子窃听，或当研究实验室的预算不够大，100%的效率光电探测器。当人们试图通过某个测量M来联合确定两个互补的可观测量时，也会出现这种情况。这就引出了三个自然的问题：（1）从M出发，A的最佳可能估计是什么？（二）这种估计有多“嘈杂”？是否有任何普遍有效的联合估计的不确定性关系？简要回顾了相当一般的答案以及在外差检测和EPR联合测量中的应用。
2005-02-05 quant-ph
Entropic uncertainty relations and the measurement range problem, with consequences for high-dimensional quantum key distribution
测量范围的问题，其中一个不能确定的数据范围外的检测器，限制了表征纠缠在高维量子系统时，除其他工具，从信息论，熵的不确定性关系。在实际应用中，测量范围问题削弱了基于纠缠的大字符集量子密钥分发（QKD）的安全性，该量子密钥分发采用了包括时频或电场正交等自由度。我们提出了一个修改的熵不确定性关系，在一定条件下，避免了测量范围的问题，并将其应用到著名的量子密钥分配协议。对于时频量子密钥分配，虽然我们的界限是一个改进，我们发现，高信道损耗提出了一个问题，其可行性。在连续变量量子密钥分配中，我们发现我们的界限提供了一种定量的方法来监测饱和攻击。
2018-12-12 quant-ph
Quantum Limits of Measurements and Uncertainty Principle
在本文中，我们将展示如何罗伯逊不确定关系给出某些内在的量子限制的测量中最普遍和严格的数学处理。建立了非对易观测量联合测量中均方根测量误差乘积的一般下界。本文给出了重复测量标准量子限（SQL）成立的严格条件，并证明了如果测量仪器的均方根误差不大于测量误差，则它服从SQL。如前所示，我们甚至可以构建许多线性模型的位置测量，绕过SQL的这个条件。
2015-05-19 quant-ph
Universal joint-measurement uncertainty relation for error bars
我们制定并证明了一个新的，普遍有效的不确定性关系的必要误差栏宽度在任何近似联合测量的位置和动量。
2007-07-28 math-ph math.MP quant-ph
Universality of Sequential Quantum Measurements
由量子测量引起的非均匀扰动意味着在进行某些测量之后，可实现的后续测量变得有限。人们无法通过顺序或任何其他方法规避的明显的一般限制是，实际实现的测量必须是联合可测量的。在这项工作中，我们表明，任何联合可测量的观测值对可以在一个连续的测量方案中获得，即使第二个可观测值将决定后，第一次测量。这种普遍性特征仅适用于具有特定结构的测量方案。作为补充的结果，我们提供了一个表征的所有可能的联合测量缺乏普遍性的顺序测量。
2014-02-18 quant-ph
Information-Theoretic Uncertainty Relation and Random-Phase Entropy
Dunkel和Trigger [Phys.Rev.A {71}，052102（2005）]表明，对于自由粒子的初始最大经典高斯波包，Leipnik联合熵单调增加。在将二次哈密顿量的广义高斯波包的联合熵表示为$S (t) = ln (e/2) + ln (2 Delta x (t) Delta p (t)/hbar)$后，我们证明了一类广义高斯波包的联合熵不单调增加.我们提出，随机相位熵相对于压缩角总是单调增加，即使是非最大经典状态。
2010-01-18 quant-ph
Joint measurability, steering and entropic uncertainty
在量子理论中，测量不相容的概念与相应的经典观点形成鲜明对比，在经典观点中，所有的物理可观测量都是联合可测量的。研究量子场景中两个或多个测量的结果是否可以从经典的角度来感知，或者它们仍然表现出非经典的特征，是很有意义的。显然，可交换的可观测量可以联合使用投影测量和他们的统计结果可以辨别经典。然而，这种简单的思想协会的兼容性的测量与交换性原来是有限的扩展框架，其中通常的概念，尖锐的投影值测量的自伴观测得到扩大，包括非尖锐的测量构成正算子值的措施（POVM）的广义观测。最近有一个研究活动的浪潮，通过非尖锐的可观测量的联合可测性来获得新的物理见解。在这里，我们探索了当鲍勃的纠缠量子存储器仅限于记录联合可测量的POVMs的结果时（爱丽丝系统的）一对离散可观测量的熵不确定性关系。在联合可测性制度，与爱丽丝的测量结果相关联的熵的总和-条件的结果登记在鲍勃的结束-受到约束，以服从一个熵转向不等式。在这种情况下，鲍勃的不可操纵性反映了他无法以更好的精度预测爱丽丝的一对非对易观测值的结果，即使它们共享纠缠态。作为进一步的结果，量子优势设想的安全证明在密钥分发的建设失去了，当鲍勃的测量被限制到联合可测性制度。
2014-12-02 quant-ph
Towards Quantum Stochastic Optimization for Energy Systems under Uncertainty: Joint Chance Constraints with Quantum Annealing
NTNU（挪威科技大学）
本文研究了在不确定性下的能量系统量子随机优化问题，通过混合量子经典方法解决机会约束单元调度问题，并探讨了量子退火器的局限性。
2025-12-03 quant-ph
Unsharp measurements and joint measurability
我们给出了一个概述的联合unsharp测量的非对易观测值使用正算子值的措施（POVM）。研究了在存在Bob纠缠量子记忆的情况下，Alice的非对易观测量对的熵不确定关系中POVM的联合可测性所起的作用。我们表明，鲍勃应该记录的结果不兼容（非联合可测）POVM在他的量子存储器，以击败熵的不确定性界。换句话说，除了存在纠缠的Alice-Bob状态之外，在Bob端实现不兼容的POVM是必要的，以击败不确定性界，从而以更高的精度预测非交换可观测量的结果。我们还探讨了联合可测性的影响{ \em validate}的矩矩阵构造从平均成对相关的三个二分法的非交换量子比特观测。我们证明，当且仅当使用兼容的POVMs时，可以实现经典可接受的矩矩阵--该矩矩阵确定所有三个二分可观测量的结果是否存在合法的联合概率分布。
2015-05-16 quant-ph
Measurement uncertainty relation for three observables
在这项工作中，我们严格地建立了一个测量不确定性关系（MUR）的三个无偏量子比特观测，这是以前证明成立的一些假设下。三元组MUR指出，由目标观测量和联合实现的观测量之间的总统计距离量化的不确定性是由反映联合测量条件的不兼容性度量下界的。我们得到了三重态MUR饱和的充分必要条件和相应的最佳测量。为了便于实验测试的MURs，我们提出了一个简单的实现最佳的联合测量。当对应的三重态MUR不饱和时，解析计算了某些对称三重态的不相容性测度的精确值。我们期望我们的工作可以丰富量子不相容性的理解方面的MURs和启发进一步的应用在量子信息科学。这项工作提出了一个完整的理论相关的平行工作[Y.- L. Mao等人，在实验测试中测试海森堡三个观测量的测量不确定性关系，arXiv：2211.09389]。
2022-11-24 quant-ph
Single-qubit measurement of Heisenberg uncertainty lower bounds for three incompatible observables
作为量子理论中的质心概念之一，海森堡测不准关系所施加的基本约束在一般量子力学观测量的联合测量中一直是一个备受关注和具有挑战性的课题。特别是近年来对原有不确定关系的扩展，在量子力学和量子信息处理中抓住了一个鲜明的研究热点，成为一个新的上升目标。在目前的工作中，我们探讨了联合测量的三个不兼容的可观的，以下的基本思想的一个新提出的误差权衡关系。与两个不相容观测量的测量相比，三个不相容观测量的联合测量更加复杂，并且在理解量子力学测量方面具有更重要的意义。基于Heisenberg在1927年提出的原始思想，我们发展了相容观测量的误差折衷关系，以分类逼近三个不相容观测量。实现这些关系，我们证明了三个不兼容的观测值使用一个单一的超冷$^{40}Ca^{+}$离子在谐波电位的联合测量的第一个实验证人。我们期望我们的研究对量子精密测量和其他相关的量子信息技术具有重要意义。
2019-09-20 quant-ph
A solution to the soccer ball problem for generalised uncertainty relations
提出了一种新的方法来产生广义不确定关系，包括广义不确定原理（GUP），扩展的不确定原理（EUP），和扩展的广义不确定原理（EGUP），以前提出的量子引力文献中，不修改海森堡代数。我们的方法是兼容的等效原理，并与本地庞加莱{\' e}不变性的相对论极限，从而规避了许多问题与GURs来自修改的对易关系。特别是，它不需要动量的非线性附加定律的存在。这使得合理的多粒子态被构建，其中总动量是宏观的，即使单个粒子的动量是由普朗克动量的限制，从而提供了一个解决方案的“足球问题”困扰目前的方法GURs。
2019-12-15 gr-qc quant-ph
Heisenberg's Uncertainty Principle
海森伯的不确定原理通常被用来表达由量子力学施加的操作可能性的限制。在这里，我们证明，这一原则的全部内容还包括其积极的作用，作为一个条件，确保相互排斥的实验选项可以调和，如果一个适当的权衡被接受。不确定原理以不确定关系的形式表现为三种形式：任何量子态中位置和动量分布的宽度;这些量的任何联合测量的不准确性;以及其中一个量的测量不准确性和随之而来的另一个量分布的扰动。虽然概念上不同，这三种不确定性关系被证明是密切相关的正式。最后，我们综述了位置和动量联合测量的模型和实验实现，并简要评论了不确定原理的实验检验状况。
2007-10-30 quant-ph
Complementarity-based complementarity: the choice of mutually unbiased observables shapes quantum uncertainty relations
Paderborn University, Integrated Quantum Optics, Institute for Photonic Quantum Systems (PhoQS)（帕德博恩大学集成量子光学光子量子系统研究所）；QUIT Group, Physics Department, Univ. Pavia, INFN Sez. Pavia（帕维亚大学物理系QUIT小组，INFN帕维亚分部）
针对MUBs导出的量子不确定性关系被认为与观测变量选择无关的问题，本文通过实验与数值方法证明5维系统中不同三MUB集合会导致不同的熵与方差互补界限。
2025-10-21 quant-ph
Stronger Reverse Uncertainty Relation for Multiple Incompatible Observables
针对现有反向不确定关系上界易趋于无穷的问题，构建新的更强反向不确定关系，证明其与常规不确定关系统一于同一框架，可实现任意紧度的多可观测量反向不确定关系，并探讨了其在纯度检测中的应用。
2023-08-25 quant-ph
Dynamic Investigation of the New Quantum-Control-Assisted Reverse uncertainty relation
本文构造量子控制辅助反向不确定性关系，研究其在含Dzyaloshinskii-Moriya相互作用海森堡模型中的动力学，发现不确定性与混合度存在单值关系，并揭示该关系是两类不确定性关系的共同本质。
2025-07-21 quant-ph
Measurement uncertainty relations: characterising optimal error bounds for qubits
在不确定原理的标准表述中，两个基本特征通常被描述为不可能性陈述：两个不可对易的观测量通常不能同时被明确定义（对于同一状态），也不能被联合测量。量子力学的先驱们敏锐地意识到了这一事实，并对此感到困惑，这促使海森堡寻求一种缓解，他在1927年的开创性论文中阐述了这一点。他提供了直观的论据表明，价值观，说，位置和动量的粒子至少可以不明确的定义，他们可以一起测量提供一些近似误差是允许的。直到现在，90年后，近似联合测量的工作理论正在形成，导致相关的误差权衡关系的严格和实验测试配方。在这里，我们简要地回顾这一新的发展，解释的概念和步骤，在建设的最佳联合近似对不兼容的可观测量。作为一个案例研究，我们推导出测量不确定性关系的量子比特可观测量使用两个不同的误差措施。我们提供了一个操作的错误界的解释，并讨论了一些第一次实验测试这种关系。
2018-05-24 quant-ph
Operationally-Motivated Uncertainty Relations for Joint Measurability and the Error-Disturbance Tradeoff
我们推导出新的海森堡型不确定性关系的联合可测性和误差干扰权衡的任意可观的有限维系统。这些关系是用一个直接的操作量来表示的，即通过任何可能的测试程序来区分一个装置的实际操作与其假设的理想操作的概率。此外，它们可以直接应用于信息处理设置中，例如推断可以忠实地发送关于一个可观测量的信息的设备不会将关于共轭可观测量的任何信息泄露给环境。虽然从海森堡的原始论证中直观地显而易见，但以前只有更有限的版本形式化了这一陈述。
2014-02-26 math-ph math.MP quant-ph
Quantum root-mean-square error and measurement uncertainty relations
近年来，海森堡著名的误差-扰动关系引起了广泛的争论。在这里，我们通过分析量子力学中测量误差和扰动的可能概念化来解决这一冲突。我们讨论了两种方法来适应经典的概念，均方根误差的量子测量。一种是基于噪声算子的概念，其自然的操作内容是联合测量的两个观测值的平均偏差，因此其适用性仅限于这种联合测量可用的情况。第二个误差度量量化了在单独的测量运行中获得的两个概率分布之间的差异，并且具有不受限制的适用性。我们表明，有没有非平凡的无条件的联合测量范围{ \em状态相关}的错误在这里讨论的概念框架，而海森堡型测量不确定性关系{ \em状态无关}的错误已被证明。
2014-10-10 quant-ph
Generalised Uncertainty Relations and the Problem of Dark Energy
我们概述了一个新的模型，其中广义的不确定性关系，支配微观世界的行为，和暗能量，决定了宇宙的大规模演化，是内在联系通过时空的量子特性。在这种方法中，背景被视为一个真正的量子对象，与相关的状态矢量，和额外的波动的几何自然引起的扩展广义不确定原理（EGUP）。一个有效的暗能量密度，然后出现从外地，最小化修改后的不确定性关系。这些结果是通过正则量子算符的修改而得到的，但没有修改正则海森堡代数，从而避免了与现有GUP模型相关的许多众所周知的问题。
2022-07-05 gr-qc hep-ph quant-ph
Optimal joint measurements of complementary observables by a single trapped ion
由维尔纳·海森堡在近90年前开创的不确定关系，对互补观测量的联合可测性设置了根本限制。这种限制长期以来一直是一个争论的主题，最近由于新提出的测量不确定度关系形式而重新点燃。目前的工作是与一个新的误差权衡关系的兼容观测量近似两个不兼容的观测量，在保持海森堡的原始思想的精神，1927年。我们报告的第一个\textsl{direct}测试和确认的紧边界所规定的这样一个错误的权衡关系，基于实验实现的最佳联合测量的互补观测使用一个单一的超冷$^{40}Ca^{+}$离子被困在谐波电位。我们的工作提供了一个原型的最终联合测量误差界的潜在应用在量子信息科学的高精度测量和信息安全。
2017-05-03 quant-ph
Quantum enhanced joint measurement of multiple non-commuting observables with SU(1,1) interferometer
量子力学中的海森堡测不准关系对非对易观测量的测量精度设置了限制，使我们无法同时对它们进行精确测量。然而，在某些应用中，信息被嵌入在两个或多个非对易观测量中。另一方面，量子纠缠使我们能够通过Einstein-Podolsky-Rosen关联来推断两个共轭观测量，其精度优于海森堡测不准关系所允许的精度。利用新研制的SU（1，1）干涉仪，实现了对光场多个非对易观测量中编码的信息进行联合测量的方案，同时对所有测量量的信噪比比标准量子极限提高了约20%。该方案可推广到任意数目不可对易观测量信息的联合测量。
2017-12-14 quant-ph
Experimental test of Heisenberg's measurement uncertainty relation based on statistical distances
不相容的观测量可以用联合测量中的相容观测量来近似，或者顺序测量，具有海森堡的不确定原理的原始公式所暗示的约束精度。最近，Busch、Lahti和Werner提出了基于测量结果的概率分布之间的统计距离的不准确性权衡关系[Phys. Rev. Lett. 111，160405（2013）; Phys.Rev.A89，012129（2014）]。在这里，我们改革他们的理论框架，推导出一个改进的量子比特测量关系，并进行自旋系统的实验测试。该关系揭示了最坏情况下的不准确度从下面被目标观测量的不兼容性紧密地限制，并且通过采用联合测量的实验来验证，在该实验中，同时测量一个量子比特上的两个兼容但典型地非交换的观测量。
2016-04-25 quant-ph
Entropic uncertainties for joint quantum measurements
我们调查的不确定性与联合量子测量的两个组成部分的自旋的自旋1/2粒子和量化的熵。我们考虑两个熵量：联合熵和边际熵的总和，并获得这些量的下界。对于联合测量的情况下，我们测量每个自旋观察同样好，这些下限是紧的。
2009-09-11 quant-ph
Uncertainty relations and information loss for spin-1/2 measurements
我们建立了自旋为1/2系统的熵测量不确定关系。当不兼容的观测近似联合测量，我们使用相对熵来量化近似中丢失的信息，我们证明了这样的损失的正下界：有一个不可避免的信息损失。首先，我们只允许协变近似联合测量，我们发现两个或三个正交自旋1/2组件的状态相关的MUR。其次，我们考虑任何可能的近似联合测量，我们发现两个或三个自旋1/2组件的状态无关的MUR。特别是，我们研究如何MURs取决于两个自旋方向之间的角度。最后，我们将我们的方法扩展到无限多个不相容的可观测量，即在所有可能的方向上的自旋分量。在每种情况下，我们总是考虑最佳近似联合测量的特征。
2018-05-10 cs.IT math.IT quant-ph
Gaussian Formalism: Joint Measurement for Heisenberg's Uncertainty Relation for Errors by Squeezed Coherent States
本文提出高斯波包形式可实现位置与动量的联合测量，基于POVM在投影测量间平滑插值，首次获得LT误差与精化Lee误差，发现精化Lee不确定性关系提供与海森堡值一致的常数下界。
2025-04-01 gr-qc hep-ph hep-th
Incorporating Heisenberg's Uncertainty Principle into Quantum Multiparameter Estimation
由于量子力学中的海森堡不确定原理，量子多参数估计与经典多参数估计有很大的不同。当不同参数的最佳测量不兼容时，它们不能联合执行。在测量不确定度关系的背景下，我们发现了用于估计未知参数的测量不准确度与测量误差之间的对应关系。以此对应关系为桥梁，通过给出不同参数估计的测量误差之间的折衷关系，将海森堡的不确定原理引入到量子多参数估计中.对于纯量子态，这种折衷关系是紧密的，因此它可以揭示在这种情况下的个人估计误差的真实量子限制。我们应用我们的方法来获得可达到的估计的实部和虚部的相干状态编码的复杂信号的误差之间的折衷，并获得联合测量达到的折衷关系。我们还表明，我们的方法可以很容易地用来获得联合估计的相移和相位扩散之间的权衡，而不明确参数化量子测量的错误。
2021-03-27 physics.data-an quant-ph
Can Intense Quantum Light Beat Classical Uncertainty Relations?
Universidad Autónoma de Madrid（马德里自治大学）；Université de Montpellier（蒙彼利埃大学）
该研究探讨了高强度量子光在超越经典不确定性关系中的潜力，揭示了非经典光子态中量子优势的强度标度及纠缠与光子统计的相互作用。
2025-12-10 physics.optics quant-ph
Number and phase: complementarity and joint measurement uncertainties
我们证明了数和正则相位（单模光场）是互补观测量。我们还限制了它们的近似联合测量的测量不确定性区域。
2017-02-07 math-ph math.MP quant-ph
Composite particles with minimum uncertainty in spacetime
复合粒子--原子、分子或微球--是检验量子和广义相对论效应、量子力学的宏观极限和寻找新物理的独特工具。然而，所有对这些粒子自由传播的研究都发现，它们离域成单独的内能分量，破坏了它们的空间相干性。这使得它们不适合实验应用，以及理论研究，其中它们被用作理想化的测试质量或时钟。在这里，我们通过引入一类新的状态来解决这个问题，这些状态在时空中具有最小的不确定性，完全克服了离域性。相关的物理学来自于最小化位置和速度之间的不确定性，而不是位置和动量之间的不确定性，同时直接将质量作为算子。我们的研究结果澄清了复合粒子的性质，为量子和相对论现象的联合基础研究提供了一个目前缺失的理论工具，消除了可能限制不久的将来使用复合粒子进行量子测试的障碍。
2020-11-10 gr-qc quant-ph
Measurement uncertainty relations for position and momentum: Relative entropy formulation
海森伯的不确定原理最近导致了量子系统的一般测量不确定关系：不相容的可观测量可以联合测量，或者只有在某些不可避免的近似下才能按顺序测量，这些近似可以以各种方式量化。相对熵是当一个“真实”的概率分布被一个近似的概率分布所取代时，信息损失的自然理论量化器。在本文中，我们提供了一个下界的信息量，是通过替换的分布的尖锐的位置和动量可观的，因为它们可以得到两个单独的实验，由任何模糊的联合测量的边缘丢失。通过引入熵误差函数，并在适当的协变近似联合测量类上对其进行优化，得到了该界。我们充分利用两种情况下的目标可观测量：（1）$n$维的位置和动量矢量;（2）两个组件的位置和动量沿不同的方向。在（1）中，我们将量子束缚与维度$n$联系起来;在（2）中，从平行方向到正交方向，我们展示了从高度不相容的可观测量到相容的可观测量的转变。为了简单起见，我们只发展高斯态和测量的理论。
2017-05-28 cs.IT math-ph math.IT
Measurement uncertainty relations for discrete observables: Relative entropy formulation
基于测量概率之间的相对熵概念，我们引入了一种新的量子测量不确定关系的信息论表述。在有限维系统的情况下，对于两个目标离散观测量的任何近似联合测量，我们将熵散度定义为手头近似中发生的信息的最大总损失。对于固定目标观测量，研究了使熵散最小的联合观测量，证明了其最小值的一般性质。这样的最小值就是我们的不确定性下限：用目标观测值的最佳近似值替换目标观测值所损失的总信息，在最坏的可能状态下进行评估。这个界限也是熵不相容度，也就是说，一个很好的信息论不相容度量：事实上，它消失当且仅当目标观测量是相容的，它是状态无关的，并且它享有所有的不变性属性，这是这样一个度量所希望的。在这种情况下，我们指出一般的近似联合测量和顺序近似联合测量之间的差异，要做到这一点，我们引入一个单独的指数之间的权衡的第一次测量的误差和第二个的干扰。通过利用目标观测量的对称性，在两个不同的具体例子中计算了精确值、下界和最佳近似：（1）一对自旋为1/2的分量（不一定正交）;（2）两个素数幂维的傅立叶共轭互无偏基.最后，熵不相容度直接推广到许多可观测量的情况下，仍然保持其所有相关属性;我们明确计算三个正交自旋1/2分量。
2018-01-09 math-ph math.MP quant-ph
On the Use of Minimum Volume Ellipsoids and Symplectic Capacities for Studying Classical Uncertainties for Joint Position-Momentum Measurements
我们研究了相空间中点云的最小体积椭球估计。作为一个自然的测量不确定性的协方差椭球的辛能力，我们发现，经典的不确定性服从的关系，发现在非标准的量子力学。
2010-08-28 math-ph math.MP math.ST
