Shor量子因子分解算法

Variational Quantum Factoring

Integer factorization has been one of the cornerstone applications of the field of quantum computing since the discovery of an efficient algorithm for factoring by Peter Shor. Unfortunately, factoring via Shor's algorithm is well beyond the capabilities of today's noisy intermediate-scale quantum (NISQ) devices. In this work, we revisit the problem of factoring, developing an alternative to Shor's algorithm, which employs established techniques to map the factoring problem to the ground state of an Ising Hamiltonian. The proposed variational quantum factoring (VQF) algorithm starts by simplify…

Scalable semi-classical implementation of Shor factoring using time-multiplexed degenerate optical parametric oscillators

A scheme to encode arbitrarily long integer pairs on degenerate optical parametric oscillations multiplexed in time is proposed. The classical entanglement between the polarization directions and the phases of the oscillating pulses, regarded as two computational registers, furnishes the integer correlations within each pair. We show the major algorithmic steps, modular exponentiation and discrete Fourier transform, of Shor's quantum factoring algorithm can be executed in the registers as pulse interferences under the assistance of external logics. The factoring algorithm is thus rendered equi…

Shor量子因子分解算法的伪模拟

A pseudo-simulation of Shor's quantum factoring algorithm

本文介绍了一个计算机程序，写在枫树，允许用户模拟某些方面的肖尔的量子因子分解算法在台式机或笔记本电脑上。该程序并不模拟量子计算机执行的幺正操作，但确实忠实地模拟了其在寻序过程中关键的“读出”步骤的输出。该程序只需要用户输入两个参数--要分解的数字（最多可以是10位数）和要在分解中使用的量子位数（给出了有用的提示）。然后，程序返回一个详细的历史记录，记录它对数字进行因子分解的所有尝试，从各种不成功的尝试开始，到最终成功的尝试，最终导致正确的因子。结构的模拟，它所产生的一个典型的输出，并讨论了限制其性能的因素。这个模拟的目的是为用户提供一些“动手”体验，了解量子因子分解如何处理比今天的量子计算机所能处理的更大的整数。

Shor因子分解算法成功概率的改进

Improving the Success Probability for Shor's Factoring Algorithm

给定n=p*q，其中p和q是Z_{p*q} ^* 中的n和y。Shor算法计算y的阶数r，即y^r=1（mod n）。如果r=2k是偶数，并且y^k \ne -1（mod n），我们可以很容易地计算n的一个非平凡因子：gcd（y^k-1，n）。在原来的文件中，它表明，一个随机选择的y是可用的因式分解与概率{1/2}。本文将证明一种有效的可能性，通过只选取Z_n^* 中的特殊y，将此概率的下界提高到{3/4}，从而使最坏情况下的故障概率从{1/2}降低到{1/4}。

Shor量子因式分解与离散对数算法的尖锐噪声阈值

A Sharp Noise Threshold for Shor's Quantum Factoring and Discrete Log Algorithms

本研究为Shor量子因式分解与离散对数算法确定了尖锐且趋于零的噪声阈值，低于阈值算法在期望多项式时间内成功，高于阈值则对正密度素数集合可证明失败。

Demonstration of Shor's factoring algorithm for N=21 on IBM quantum processors

We report a proof-of-concept demonstration of a quantum order-finding algorithm for factoring the integer 21. Our demonstration involves the use of a compiled version of the quantum phase estimation routine, and builds upon a previous demonstration by Martín-López et al. in Nature Photonics 6, 773 (2012). We go beyond this work by using a configuration of approximate Toffoli gates with residual phase shifts, which preserves the functional correctness and allows us to achieve a complete factoring of N=21. We implemented the algorithm on IBM quantum processors using only 5 qubits and successfull…

An Experimental Study of Shor's Factoring Algorithm on IBM Q

We study the results of a compiled version of Shor's factoring algorithm on the ibmqx5 superconducting chip, for the particular case of $N=15$, $21$ and $35$. The semi-classical quantum Fourier transform is used to implement the algorithm with only a small number of physical qubits and the circuits are designed to reduce the number of gates to the minimum. We use the square of the statistical overlap to give a quantitative measure of the similarity between the experimentally obtained distribution of phases and the predicted theoretical distribution one for different values of the period. This …

Shor因子分解算法的一个积分形式

An integral version of Shor's factoring algorithm

我们考虑一个版本的肖尔的量子因子分解算法，这样的量子傅里叶变换被替换为一个非常简单的分解系数只采取值的$1,i,-1,-i$。在迄今为止进行的大量计算中，我们的算法令人惊讶地稳定，从未失败过。有数值的迹象表明，该算法给出的周期发现的概率是要因式分解的数字的缓慢下降的函数，并且通常小于Shor算法。另一方面，能够实现我们算法的量子计算机（QC）将需要更少的资源，并且比标准QC对错误的敏感度要低得多。我们还提出了一个修改的Coppermith的近似快速傅立叶变换。数值结果表明，即使在一次后积分近似下，概率也被显著放大。我们的算法在量子计算机开发的早期阶段非常有用。

一种用于量子因式分解的近似傅里叶变换

An approximate Fourier transform useful in quantum factoring

我们定义了一个近似版本的傅立叶变换的$2^L$元素，这是计算上的吸引力，在一定的设置，这可能会发现应用程序的问题，因式分解整数与量子计算机，目前正在调查的彼得肖尔。(1994 IBM内部报告）

利用量子位循环的Shor量子因子分解算法的实验实现

Experimental realisation of Shor's quantum factoring algorithm using qubit recycling

量子计算算法利用量子力学来解决问题，比最好的经典算法快指数。Shor的快速数字分解的量子算法是一个关键的例子，也是国际上实现量子计算机的主要动力。然而，由于所需资源巨大，迄今为止只举行了四次小规模示威。在这里，我们解决了这个资源需求，并展示了一个可扩展版本的Shor算法，其中n量子位控制寄存器被一个被回收n次的单个量子位所取代：量子位的总数是标准协议所需的三分之一。将工作寄存器编码在更高维的状态中，我们实现了因子N=21的双光子编译算法。与以前的演示相比，算法输出与噪声是可区分的。这些结果指向Shor算法的大规模实现，通过利用适用于所有物理架构的可扩展资源减少。

具有操作延迟的Shor因子分解算法中的动态相位效应

Effects of dynamical phases in Shor's factoring algorithm with operational delays

理想量子算法通常假设量子计算是通过一系列幺正变换连续进行的。然而，在实际的量子计算过程中，连续操作之间总是存在空闲的有限时间间隔。在这些延迟期间，相干“误差”将从叠加的波函数的动态相位累积。在这里，我们将探讨肖尔的量子因子分解算法的敏感性，这样的错误。我们的研究结果清楚地表明了严重的敏感性Shor的因式分解算法之间的连续酉变换的延迟时间的存在。具体地，在存在这些{ \it相干“错误”}的情况下，获得正确答案的概率随着工作寄存器的量子位的数量呈指数下降。本文提出了一种特别简单的相位匹配方法，以{ \it避免}或抑制这些{ \it相干错误}时，使用Shor的算法因式分解整数。这个相位匹配条件的鲁棒性进行评估分析或数值分解的几个整数：$4, 15, 21$，和33。

基于Shor因子分解算法的量子多计算机体系结构

Architecture of a Quantum Multicomputer Optimized for Shor's Factoring Algorithm

量子多计算机由大量的小节点和用于在节点之间产生纠缠态的量子总线互连组成。选择的主要度量是这样一个系统在Shor算法上的性能，用于分解大数：具体地说，量子模幂运算步骤是计算瓶颈。本文介绍了模幂运算的一些优化方法。我的算法减少了延迟或电路深度，以完成n位数的模幂运算，从O（n^3）到O（n^2 log n）或O（n^2 log n），具体取决于体系结构。计算表明，当分解一个6,000位的数字时，这些算法的速度分别快100万倍和13000倍，具体取决于体系结构。扩展到量子多计算机，五种不同的qubus互连拓扑被认为是，和两种形式的进位纹波加法器被发现是最快的广泛的性能参数。量子多计算机中的链路是串行的;并行链路只能在系统可靠性和性能方面提供非常有限的改进。Steane [[23，1，7]]纠错码的两个级别将充分保护我们的数据，即使当量子比特传送失败率为1%时，也可以分解1，024位数。

利用核磁共振实验实现Shor量子因子分解算法

Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance

任何经典计算机为了找到$l$ -位整数$N$的素因子所需的步骤数随着$l$呈指数增长，至少使用目前已知的算法。因此，大整数的因式分解在经典上是难以处理的，这是广泛使用的密码的安全性的基础。然而，量子计算机可以在多项式时间内分解整数，使用Shor的量子分解算法。虽然对量子计算机的研究很重要，但这种算法的实验证明是难以捉摸的。在这里，我们报告一个最简单的实例Shor的算法：分解${N=15}$（其素因子是3和5）。我们使用一个分子中的七个自旋为1/2的原子核作为量子比特，可以用室温液态核磁共振技术来操纵。这种使用原子核来存储量子信息的方法原则上可扩展到许多量子比特系统，但是这种可扩展性并不被本工作所暗示。我们工作的意义在于演示复杂量子计算机精确控制和建模的实验和理论技术。特别是，我们提出了一个简单的，无参数的，但在我们的系统中的退相干效应的预测模型。

周期态的纠缠、量子傅里叶变换和Shor因子分解算法

Entanglement of Periodic States, the Quantum Fourier Transform and Shor's Factoring Algorithm

Shor算法的预处理阶段生成一类称为周期态的量子态，对其应用量子傅立叶变换。这种状态在依赖于量子傅里叶变换的其他量子算法中也起着重要作用。由于纠缠被认为是量子计算加速的必要资源，我们分析了周期态的纠缠以及量子傅里叶变换对纠缠的影响。为此，我们推导出一个公式，评估周期态的Groverian纠缠措施。利用这个公式，我们解释了令人惊讶的结果，即在预处理阶段建立的周期态的Groverian纠缠只受到量子傅里叶变换的轻微影响。

Shor因式分解算法与模幂运算算子

Shor's Factoring Algorithm and Modular Exponentiation Operators

本文是关于Shor因式分解算法的教学讲义，详细推导了模幂运算算子理论及连分数法，并通过Qiskit模拟器分解多个数字验证了截断近似算子的有效性，表明实现Shor算法可能比预期更容易。

Shor分解算法的容错、面积有效结构

A Fault Tolerant, Area Efficient Architecture for Shor's Factoring Algorithm

我们优化了Shor因子分解的面积和延迟，同时通过以下方式提高容错能力：（1）平衡辅助生成器的使用，（2）积极优化纠错，以及（3）调整核心加法器电路。我们的定制CAD流程可生成物理组件的详细布局，并利用仿真分析电路的面积、延迟和成功概率。我们引入了一个度量，称为ADCR，这是经典的面积延迟产品的概率等价。我们的纠错优化可以将ADCR降低一个数量级或更多。与传统的智慧相反，我们表明，优化的量子线路的面积并不完全由纠错主导。此外，我们的加法器评估表明，量子超前进位加法器（QCLA）击败纹波进位加法器在ADCR，尽管更大，更复杂。我们得出了我们认为是1024位Shor分解所需的面积和延迟的最准确估计之一：最小电路的$^{2}$为7659 mm，最快电路的$6 * 10^8$为$6 * 10^8$秒。

量子计算与Shor因子分解算法

Quantum Computing and Shor`s Factoring Algorithm

量子计算讲座。内容：算法。量子线路。量子傅里叶变换数论的基础。模幂运算。Shor的算法，用于查找订单。Schor算法的计算复杂度。因式分解整数NP完全问题

从周期查找到格采样：Shor和Regev因式分解算法的实验洞察

From Period Finding to Lattice Sampling: Experimental Insights into Shor's and Regev's Factoring Algorithms

在N=15的量子硬件上实验比较Shor和Regev因式分解算法，分析噪声、电路深度和有限采样对一维与高维傅里叶采样的影响，揭示算法鲁棒性与失效模式。

On quantum factoring using noisy intermediate scale quantum computers

We study the performance and resource usage of the variational quantum factoring (VQF) algorithm for different instance sizes and optimization algorithms. Our simulations show better chance of finding the ground state when using VQE rather than QAOA for optimization. In gradient-based optimization we find that the time required for quantum circuit gradient estimation is a significant problem if VQF is to become competitive with classical factoring algorithms. Further, we compare entangled and non-entangled circuits in VQE optimization and fail to see significant evidence in favour of including…

用于计算短离散对数和分解 RSA 整数的量子算法

Quantum algorithms for computing short discrete logarithms and factoring RSA integers

本文推广了 Ekerå 计算短离散对数的量子算法，实现执行次数与复杂度的权衡，并将分解 RSA 整数等问题转化为短离散对数问题，提出比 Shor 算法对量子计算机要求更低的分解算法。

验证小规模量子信息处理技术的简化因子分解算法

Simplified Factoring Algorithms for Validating Small-Scale Quantum Information Processing Technologies

层析成像在表征新的量子器件方面已经达到了其实际极限，并且需要一种新的手段来表征和验证该领域的新技术进步。我们提出了一个不同的验证方案的基础上编译版本的肖尔的因子分解算法，可以扩展到大型电路在未来。由于模幂运算的瓶颈，一般版本的Shor算法在实验上一直难以实现。迄今为止的实验只能执行后一种操作的编译版本。文中还提供了一些新的编译电路供实验工作者在不久的将来使用。我们还证明了可以使用经典操作添加额外的编译层，这将减少给定编译电路中所需的量子位和门的数量。

经典计算、量子计算和Shor因子分解算法

Classical computing, quantum computing, and Shor's factoring algorithm

这是为布尔巴基研讨会写的一个临时演讲。在简要介绍之后，第1节用范畴语言讨论了经典确定性计算的结构。回顾了P/NP问题复杂性的基本概念。第二节介绍量子并行的概念，并解释了量子计算的主要问题。第三节介绍了四个量子子程序：初始化，经典布尔函数的量子计算，量子傅里叶变换和Grover搜索算法。中心部分4解释肖尔的因式分解算法。第五节将Kolmogorov复杂性与可计算函数的谱性质联系起来。附录有助于量子计算的史前史。

假装在量子计算机上分解大数

Pretending to factor large numbers on a quantum computer

在量子计算机\cite{Shor}上的多项式时间分解的Shor算法给出了所有已知的经典分解算法的巨大优势。我们演示了如何使用编译版本的肖尔的量子因子分解算法的大素数的产品的因素。我们的技术可以分解$p,q$的所有乘积，使得$p,q$是大于2的不等素数，在恒定时间内运行，并且只需要两个相干量子比特。这说明了在实现Shor算法时，正确的困难度量不是分解的数字的大小，而是找到的周期的长度。

Shor分解算法中反常涨落态的出现及其稳定性

Appearance and Stability of Anomalously Fluctuating States in Shor's Factoring Algorithm

我们分析量子计算机执行肖尔的因式分解算法，注意渐近性质的数量L的量子比特的增加。利用数值模拟和一般理论的多体量子态的稳定性，我们表明：异常涨落态（AFS），其中有异常大的波动的加法运算，出现在不同阶段的计算。对于大的L，他们以惊人的速度退相干的弱噪声，模拟在真实系统中的噪声。一些AFS的退相干对计算结果是致命的，而另一些AFS的退相干对计算结果没有很大的影响。当这样一个至关重要的AFS消球差时，得到正确计算结果的概率大约与L^2成正比地降低。因此，即使当与噪声的耦合常数相当小时，随着L的增加，减小也变得非常大。因此，量子计算应该以这样的方式进行改进，即算法中出现的所有AFS不会在现有噪声中以如此大的速率退相干。

用于量子因子分解的高效网络

Efficient Networks for Quantum Factoring

我们考虑如何在操作量子计算机时优化内存使用和计算时间。特别地，我们使用Shor建议的算法估计了存储器量子位的数量和执行因子分解所需的操作数量。可以使用能够存储$5K+1$量子位的机器将$K$位数分解为$K^3$阶的时间。模指数函数（Shor算法的瓶颈）的计算可以用大约$72 K^3$基本量子门来实现;使用线性离子阱的实现需要大约$396 K^3$激光脉冲。量子因子分解（15的因子分解）的原理证明可以仅用6个捕获的离子和38个激光脉冲进行。虽然离子阱可能永远不会成为一台有用的计算机，但它将是一个强有力的设备，用于实验探索纠缠量子态的性质。

利用受限点QAOA在囚禁离子量子处理器上实验分解整数

Experimental factoring integers using fixed-point-QAOA with a trapped-ion quantum processor

本研究利用囚禁离子量子处理器，通过改进的QAOA方法实现了整数分解，展示了实验和模拟结果，探讨了该方法的可扩展性。

Odd orders in Shor's factoring algorithm

Shor's factoring algorithm (SFA) finds the prime factors of a number, $N=p_1 p_2$, exponentially faster than the best known classical algorithm. Responsible for the speed-up is a subroutine called the quantum order finding algorithm (QOFA) which calculates the order -- the smallest integer, $r$, satisfying $a^r \mod N =1$, where $a$ is a randomly chosen integer coprime to $N$ (meaning their greatest common divisor is one, $\gcd(a, N) =1$). Given $r$, and with probability not less than $1/2$, the factors are given by $p_1 = \gcd (a^{\frac{r}{2}} - 1, N)$ and $p_2 = \gcd (a^{\frac{r}{2}} + 1, N)…

Shor量子因子分解算法的光子量子比特演示

Demonstration of Shor's quantum factoring algorithm using photonic qubits

我们报告了一个实验演示的编译版本的肖尔的算法使用四个光子量子比特。我们选择了该算法的最简单实例，即周期为$r=2$的N=15的因式分解，利用一个简化的线性光网络相干实现了模指数执行和半经典量子傅里叶变换的量子线路。在这个计算过程中，观察到真正的多粒子纠缠，这很好地支持了它的量子性质。这个实验代表了Shor算法和可扩展线性光学量子计算的完全实现的一步。

Shor量子因数分解算法的大规模模拟

Large-Scale Simulation of Shor's Quantum Factoring Algorithm

本研究利用GPU超级计算机大规模模拟Shor量子因数分解算法，发现其实际成功率高于理论预期，提出可将单次运行成功率趋近于1的后处理流程，验证了算法的误差韧性，并分解出大尺寸半素数，提出更高难度的量子分解挑战。

扩展 Regev 的因子分解算法以计算离散对数

Extending Regev's factoring algorithm to compute discrete logarithms

本文将 Regev 的 d 维量子因子分解算法自然扩展至离散对数计算、阶求解及完全因子分解，并重点分析了各算法在实际实现中后处理的鲁棒性。

Factoring semi-primes with (quantum) SAT-solvers

The assumed computationally difficulty of factoring large integers forms the basis of security for RSA public-key cryptography, which specifically relies on products of two large primes or semi-primes. The best-known factoring algorithms for classical computers run in sub-exponential time. Since integer factorization is in NP, one can reduce this problem to any NP-hard problem, such as Boolean Satisfiability (SAT). While reducing factoring to SAT has proved to be useful for studying SAT solvers, attempting to factor large integers via such a reduction has not been found to be successful. Shor'…

耗散量子计算机中的因式分解

Factoring in a Dissipative Quantum Computer

我们描述了一个量子门阵列，在量子计算机中实现素因子分解的Shor算法。该阵列包括用于模幂运算的电路，该电路具有几个子组件（诸如受控乘法器、加法器等），这些子组件在基本Toffoli门方面被描述。我们提出了一个简单的分析损耗和退相干的影响，这个量子因子电路的性能。为此，我们模拟了一台量子计算机，该计算机在与耗散环境交互的同时运行因子N = 15的程序。作为这种相互作用的结果，随机选择的量子比特可以自发地衰变。使用我们的数值模拟的结果，我们分析了一些简单的纠错技术的效率。

用8个量子位分解51和85

Factoring 51 and 85 with 8 qubits

我们构造简化的量子线路的Shor的顺序发现算法的复合N的产品的费马素数3，5，17，257，和65537。这种复合材料，包括以前研究的情况下15，以及51，85，771，1285，4369，.具有简化的性质，即对于每个基a与N互质的模N的阶数是2的幂，显著地降低了通常的相位估计精度要求。51和85的素因子分解可以只用8个量子比特和一个由不超过4个CNOT门组成的模幂电路来证明。

分布式量子计算：一种分布式Shor算法

Distributed quantum computing: A distributed Shor algorithm

我们提出了一个分布式量子网络模型上的Shor的量子因子分解算法的分布式实现。该模型为小容量量子计算机提供了一种方法，可以模拟大容量量子计算机。在本文中，纠缠被用来作为一个资源，实现两个或多个量子计算机之间的非局域操作。这些非局部操作用于实现具有多项式多个门的分布式因式分解电路。Shor算法的这种分布式版本需要额外的O（（log N）^2）通信复杂度的开销，其中N表示要分解的整数。

Shor算法的算子不精确性与尺度

Operator Imprecision and Scaling of Shor's Algorithm

Shor算法（英语：Shor's algorithm，简称SA）是一种用于整数分解的量子算法。由于SA具有多项式复杂度，而最好的经典因式分解算法是次指数，SA被引用作为量子计算机比经典计算机更强大的证据。SA是严格依赖于量子傅里叶变换（QFT），它是已知的，在量子态输入到它的错误是敏感的。在本文中，我们表明，SA的多项式标度被破坏的QFT部分的算法的输入错误。我们还表明，量子纠错码（QECC）是不能够抑制由于运营商的不精确性和运营商精度误差的传播是足以严重降低SA的有效性的错误。此外，我们还证明了Calderbank-Shor-Steane QECC纠错电路中的算子不精确性在数学上等价于寄存器中每个物理量子比特上的退相干。我们的结论是，由于运算精度误差的影响，物理上可实现的量子计算机很可能无法比经典计算机更有效地分解整数。

量子因式分解、离散代数和隐子群问题

Quantum factoring, discrete logarithms and the hidden subgroup problem

其中最显着的成功量子计算是肖尔的有效量子算法的计算任务的整数因式分解和评估的离散矩阵。在这篇文章中，我们回顾了这些算法的基本成分，并得出了所谓的阿贝尔隐子群问题的统一推广。这涉及到量子物理的形式主义与群表示和有限群上的傅立叶变换的优雅数学理论的出乎意料的和谐一致。最后，我们考虑了非阿贝尔隐藏子群问题，其中提到了一些开放的问题，未来的量子算法可能会产生重大影响。

基于电路综合的快速量子数分解

Faster Quantum Number Factoring via Circuit Synthesis

实现Shor的量子数分解算法的一个主要障碍是模幂电路的大尺寸。我们减少了这个瓶颈定制可逆电路的模乘个人运行的肖尔算法。我们的电路合成程序利用乘法运算符的频谱特性，并从适当的GCD算法的执行轨迹构造优化电路。从经验上讲，门数减少了4-5倍，电路延迟减少了更大的因素。

NMR实现高和分解大数：抑制幽灵因子

NMR implementation of Factoring Large Numbers with GaußSums: Suppression of Ghost Factors

基于Schleich等人开发的算法，可以通过各种实验技术来找到整数的因子，它使用高斯和的特定属性。实验限制通常需要截断这些系列，但如果截断参数太小，就不再可能区分因子和所谓的“幽灵”因子。在这里，我们讨论两种区分真因子和虚因子的技术，同时保持和中的项数不变或仅缓慢增加。我们实验测试这些修改后的算法在核自旋系统中，使用NMR。

Factoring integers with sublinear resources on a superconducting quantum processor

Shor's algorithm has seriously challenged information security based on public key cryptosystems. However, to break the widely used RSA-2048 scheme, one needs millions of physical qubits, which is far beyond current technical capabilities. Here, we report a universal quantum algorithm for integer factorization by combining the classical lattice reduction with a quantum approximate optimization algorithm (QAOA). The number of qubits required is O(logN/loglog N), which is sublinear in the bit length of the integer $N$, making it the most qubit-saving factorization algorithm to date. We demonstra…

空间优化与实现Regev量子因数分解算法

Space-Optimized and Experimental Implementations of Regev's Quantum Factoring Algorithm

本文提出了一种量子比特复用方法，优化Regev算法的空间复杂度，通过实验验证了其在量子计算机上的可行性。

对《在超导量子处理器上用亚线性资源分解整数》的评论

A comment on "Factoring integers with sublinear resources on a superconducting quantum processor"

本研究针对Yan等人称用372量子比特、结合QAOA改进Schnorr格分解算法可破解2048位RSA的结论，通过开源实现验证发现该混合算法仅能分解至多70位整数，该结论不成立，同时为相关混合算法研究提供测试平台。

Analyzing the Performance of Variational Quantum Factoring on a Superconducting Quantum Processor

In the near-term, hybrid quantum-classical algorithms hold great potential for outperforming classical approaches. Understanding how these two computing paradigms work in tandem is critical for identifying areas where such hybrid algorithms could provide a quantum advantage. In this work, we study a QAOA-based quantum optimization algorithm by implementing the Variational Quantum Factoring (VQF) algorithm. We execute experimental demonstrations using a superconducting quantum processor and investigate the trade-off between quantum resources (number of qubits and circuit depth) and the probabil…

Shor算法的实现：特定约束下4096位整数的分解

Implementation of Shor Algorithm: Factoring a 4096-Bit Integer Under Specific Constraints

针对量子计算实用化需求，研究聚焦Shor算法实现，通过提升模运算效率，在特定约束下完成4096位整数分解，相比SOTA方法效率显著提升且支持更长整数分解。

Factoring with Qutrits: Shor's Algorithm on Ternary and Metaplectic Quantum Architectures

We determine the cost of performing Shor's algorithm for integer factorization on a ternary quantum computer, using two natural models of universal fault-tolerant computing: (i) a model based on magic state distillation that assumes the availability of the ternary Clifford gates, projective measurements, classical control as its natural instrumentation set; (ii) a model based on a metaplectic topological quantum computer (MTQC). A natural choice to implement Shor's algorithm on a ternary quantum computer is to translate the entire arithmetic into a ternary form. However, it is also possible to…

因数分解的真实成本：在Shor算法中连接魔法与数论复杂性

The true cost of factoring: Linking magic and number-theoretic complexity in Shor's algorithm

研究揭示Shor算法中非稳定性（魔法）与数论问题难度的内在联系，提出基于资源的度量方法，补充传统电路成本分析。

流式Regev量子因式分解算法

Streaming Regev's Quantum Factoring Algorithm

本文解决Regev量子因式分解算法的流式问题，通过叠加掩码和斐波那契幂相位估计，将空间占用降至$n+M(n)+O(\sqrt{n})$，实现最低空间实例化。

原子光学量子计算机对容错因子分解的要求

Requirements for fault-tolerant factoring on an atom-optics quantum computer

量子信息处理及其相关技术在它们的发展中已经达到了一个有趣和及时的阶段，其中已经进行了许多不同的实验来建立基本的构建块。未来的挑战是扩大到更大尺寸的量子机器，能够执行今天不可能完成的任务。这就提出了一些有趣的问题，比如：这些机器需要多大？会消耗多少资源？这一问题需要紧急解决。在这里，我们估计所需的资源执行肖尔的分解算法的分布式原子光学量子计算机架构。我们确定量子计算机的运行时间和所需的大小作为问题大小和物理错误率的函数。我们的研究结果表明，一旦实验精度达到容错阈值以下的水平，计算性能和资源的进一步优化在很大程度上是算法和电路如何实现的问题，而不是物理量子硬件

连续变量Shor算法

A Continuous Variable Shor Algorithm

在本文中，我们使用quant-ph/0201095中的方法来创建Shor量子因子分解算法的连续变量模拟。这是一个量子隐子群算法，它可以找到函数F：R-->R从实数R到实数R的周期P，其中F属于一个非常一般的函数类，称为容许函数类。创建这种连续变量量子算法的一个目的是使Shor的因子分解算法的结构在数学上更加透明，从而对Shor原始算法的内部工作原理有一些了解。这种连续量子算法也让我们对Hallgren的Pell方程算法的内部工作原理有了一些了解。有两个关键问题仍然没有答案。这种量子算法比经典的连续变量算法更有效吗？这个量子算法或它的某种近似值是可实现的吗？

一种高效的量子因式分解算法

An Efficient Quantum Factoring Algorithm

本文提出一种高效量子因式分解算法，通过独立运行包含$\tilde{O}(n^{3/2})$个门的量子电路$\sqrt{n}+4$次并结合多项式时间经典后处理来分解$n$位整数，其正确性依赖于数论启发式假设。

通过分解半对称性来降低QAOA电路深度

Reducing QAOA Circuit Depth by Factoring out Semi-Symmetries

本文提出了QUBO矩阵中半对称性的概念及其分解到辅助量子比特的算法，理论上保持相同能谱，实验表明该算法能将耦合数量减少高达49%，电路深度减少高达41%。

一种模块化、自适应且可扩展的量子因数分解算法

A Modular, Adaptive, and Scalable Quantum Factoring Algorithm

本文提出一种模块化量子因数分解算法，通过将相位估计拆分为浅层独立电路块，减少所需量子位数，提升NISQ硬件兼容性。

雅可比因式分解电路：具有近线性门、亚线性空间和深度的量子因式分解

The Jacobi Factoring Circuit: Quantum Factoring with Near-Linear Gates and Sublinear Space and Depth

提出用于分解一大类整数的紧凑量子电路，对特定形式整数用亚线性空间和深度及近线性门实现因式分解，这是首个为经典难因式分解问题实现亚线性量子比特数的多项式时间电路，核心是新的计算雅可比符号的算法。

最近用于因数分解和计算离散对数的量子算法的无条件正确性

Unconditional correctness of recent quantum algorithms for factoring and computing discrete logarithms

本文通过解析数论工具证明了Regev改进的量子算法在因数分解和计算离散对数问题上的无条件正确性。

量子计算机、因子分解和退相干

Quantum Computers, Factoring, and Decoherence

在量子计算机中，输入的任何叠加都统一地演化为相应的输出叠加。最近已经证明，这种计算机可以显着加快寻找大数因子的任务-一个具有重大实际意义的问题，因为它的密码应用。最快的经典算法所需的近似指数（$\sim \exp L^{1/3}$，对于具有$L$数字的数字）时间，量子算法给出了$L$（$\sim L^2$）中时间多项式的因子。这种巨大的加速在原则上是可能的，因为量子计算可以同时遵循与不同经典输入相对应的所有路径，作为备选方案之间相干量子干涉的结果获得解决方案。因此，量子计算机是复杂的干涉装置，并且其量子态在操作过程中保持相干是必不可少的。在这份报告中，我们研究了退相干对量子因子分解算法的影响，并根据每个操作步骤所遭受的退相干，建立了一个"量子因子分解“$L$的上限。