Shor's Factoring Algorithm and Modern Cryptography. An Illustration of the Capabilities Inherent in Quantum Computers
通过广泛使用的RSA公钥加密系统编码的消息的安全性取决于使用经典（即，传统的）计算机。然而，在1994年，彼得·肖尔（Peter Shor）指出，对于足够大的N，量子计算机将有望以更少的计算工作来执行因式分解。本文试图以非专业读者可以理解的方式解释：（i）RSA加密协议;（ii）构成Shor算法的各种量子计算机操作;（iii）Shor算法如何执行因子分解;及（iv）精确的意义上说，量子计算机采用肖尔算法可以说是完成了非常大的数字的因式分解，比传统计算机的计算量要大。显然，分解$N$通常需要多次连续运行该算法。然而，本文的仔细分析表明，在单次运行中实现成功因子分解的概率大约是文献中通常引用的两倍。
2004-11-25 quant-ph
Entangled Quantum States Generated by Shor's Factoring Algorithm
分析了Shor因式分解算法在运算过程中产生的多量子比特的中间量子态。它们的纠缠度是用Groverian测度来计算的。结果表明，纠缠是在算法的预处理阶段产生的，在量子傅里叶变换阶段纠缠几乎保持不变。纠缠被发现与量子算法相比，经典算法实现的加速比。
2005-10-06 quant-ph
Shor's quantum factoring algorithm on a photonic chip
肖尔的量子因式分解算法比任何其他已知的方法都要快得多，这是现代信息安全的核心任务，特别是在互联网上。这种算法需要一台量子计算机，一种利用量子叠加和量子比特（或量子比特）纠缠所提供的“大规模并行性”的设备。我们报告的示范编译版本的肖尔算法的集成波导硅芯片上，引导四个单光子量子比特通过计算因子15。
2009-11-06 quant-ph
An integral version of Shor's factoring algorithm
我们考虑一个版本的肖尔的量子因子分解算法，这样的量子傅里叶变换被替换为一个非常简单的分解系数只采取值的$1,i,-1,-i$。在迄今为止进行的大量计算中，我们的算法令人惊讶地稳定，从未失败过。有数值的迹象表明，该算法给出的周期发现的概率是要因式分解的数字的缓慢下降的函数，并且通常小于Shor算法。另一方面，能够实现我们算法的量子计算机（QC）将需要更少的资源，并且比标准QC对错误的敏感度要低得多。我们还提出了一个修改的Coppermith的近似快速傅立叶变换。数值结果表明，即使在一次后积分近似下，概率也被显著放大。我们的算法在量子计算机开发的早期阶段非常有用。
2001-09-20 quant-ph
Variational Quantum Factoring
自从Peter Shor发现了一种有效的因式分解算法以来，量子因式分解一直是量子计算领域的基石应用之一。不幸的是，通过Shor算法进行因子分解远远超出了当今嘈杂的中间尺度量子（NISQ）设备的能力。在这项工作中，我们重新审视的问题，因式分解，开发一种替代肖尔的算法，采用既定的技术来映射的因式分解问题的基态的伊辛哈密顿量。所提出的变分量子因子分解（VQF）算法首先在预处理步骤中简化布尔变量上的方程，以减少哈密顿量所需的量子位数。然后，它寻求一个近似的基态的伊辛哈密顿量的训练变分电路使用量子近似优化算法（QAOA）。我们基准的VQF算法的各种情况下的因式分解，并提出其性能的数值结果。
2018-08-27 quant-ph
Scalable semi-classical implementation of Shor factoring using time-multiplexed degenerate optical parametric oscillators
提出了一种在时间复用简并光参量振荡上对任意长整数对进行编码的方案。振荡脉冲的偏振方向和相位之间的经典纠缠，被看作是两个计算寄存器，消除了每对中的整数相关。我们显示的主要算法步骤，模幂运算和离散傅立叶变换，Shor的量子因子分解算法可以在寄存器中执行的脉冲干扰下的外部逻辑的协助下。因此，该因子分解算法相当于一个半经典的光路实现，是可扩展的和消相干的自由。所寻求的乘法阶，从其中的素因子推导出，确定从四孔干涉测量在路径的末端产生的二维条纹图像。
2022-05-24 quant-ph
A pseudo-simulation of Shor's quantum factoring algorithm
本文介绍了一个计算机程序，写在枫树，允许用户模拟某些方面的肖尔的量子因子分解算法在台式机或笔记本电脑上。该程序并不模拟量子计算机执行的幺正操作，但确实忠实地模拟了其在寻序过程中关键的“读出”步骤的输出。该程序只需要用户输入两个参数--要分解的数字（最多可以是10位数）和要在分解中使用的量子位数（给出了有用的提示）。然后，程序返回一个详细的历史记录，记录它对数字进行因子分解的所有尝试，从各种不成功的尝试开始，到最终成功的尝试，最终导致正确的因子。结构的模拟，它所产生的一个典型的输出，并讨论了限制其性能的因素。这个模拟的目的是为用户提供一些“动手”体验，了解量子因子分解如何处理比今天的量子计算机所能处理的更大的整数。
2002-06-16 quant-ph
Improving the Success Probability for Shor's Factoring Algorithm
给定n=p*q，其中p和q是Z_{p*q} ^* 中的n和y。Shor算法计算y的阶数r，即y^r=1（mod n）。如果r=2k是偶数，并且y^k \ne -1（mod n），我们可以很容易地计算n的一个非平凡因子：gcd（y^k-1，n）。在原来的文件中，它表明，一个随机选择的y是可用的因式分解与概率{1/2}。本文将证明一种有效的可能性，通过只选取Z_n^* 中的特殊y，将此概率的下界提高到{3/4}，从而使最坏情况下的故障概率从{1/2}降低到{1/4}。
2002-08-29 quant-ph
A Sharp Noise Threshold for Shor's Quantum Factoring and Discrete Log Algorithms
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；IT University of Copenhagen（哥本哈根科技大学）
本研究为Shor量子因式分解与离散对数算法确定了尖锐且趋于零的噪声阈值，低于阈值算法在期望多项式时间内成功，高于阈值则对正密度素数集合可证明失败。
2026-09-22 quant-ph
Demonstration of Shor's factoring algorithm for N=21 on IBM quantum processors
我们报告了一个概念验证演示的量子秩序发现算法因式分解的整数21。我们的演示涉及使用量子相位估计例程的编译版本，并建立在Martín-López等人在Nature Photonics 6，773（2012）中的先前演示的基础上。我们超越了这项工作，通过使用近似Toffoli门与残余相移的配置，它保留了功能的正确性，并允许我们实现一个完整的因式分解N=21。我们在IBM量子处理器上仅使用5个量子位实现了该算法，并成功验证了控制和工作寄存器量子位之间存在纠缠，这是该算法总体加速的必要条件。我们采用的技术可能是有用的，在执行肖尔的算法较大的整数，或其他算法的系统与有限数量的噪声量子位。
2022-09-19 quant-ph
An Experimental Study of Shor's Factoring Algorithm on IBM Q
我们研究的编译版本的Shor的因式分解算法的ibmqx5超导芯片上的结果，为特殊情况下的$N=15$，$21$和$35$。该算法采用半经典量子傅里叶变换实现，只需要少量的物理量子比特，电路的设计使门的数目减少到最少。我们使用的统计重叠的平方给出一个定量的措施之间的相似性实验获得的相位分布和预测的理论分布的不同值的周期。这使我们能够在不使用连分数算法的情况下为实验数据分配一个周期。然后，重叠系数给出了我们分配周期时的误差的定量估计。
2019-05-14 quant-ph
Experimental realisation of Shor's quantum factoring algorithm using qubit recycling
量子计算算法利用量子力学来解决问题，比最好的经典算法快指数。Shor的快速数字分解的量子算法是一个关键的例子，也是国际上实现量子计算机的主要动力。然而，由于所需资源巨大，迄今为止只举行了四次小规模示威。在这里，我们解决了这个资源需求，并展示了一个可扩展版本的Shor算法，其中n量子位控制寄存器被一个被回收n次的单个量子位所取代：量子位的总数是标准协议所需的三分之一。将工作寄存器编码在更高维的状态中，我们实现了因子N=21的双光子编译算法。与以前的演示相比，算法输出与噪声是可区分的。这些结果指向Shor算法的大规模实现，通过利用适用于所有物理架构的可扩展资源减少。
2012-10-24 quant-ph
Effects of dynamical phases in Shor's factoring algorithm with operational delays
理想量子算法通常假设量子计算是通过一系列幺正变换连续进行的。然而，在实际的量子计算过程中，连续操作之间总是存在空闲的有限时间间隔。在这些延迟期间，相干“误差”将从叠加的波函数的动态相位累积。在这里，我们将探讨肖尔的量子因子分解算法的敏感性，这样的错误。我们的研究结果清楚地表明了严重的敏感性Shor的因式分解算法之间的连续酉变换的延迟时间的存在。具体地，在存在这些{ \it相干“错误”}的情况下，获得正确答案的概率随着工作寄存器的量子位的数量呈指数下降。本文提出了一种特别简单的相位匹配方法，以{ \it避免}或抑制这些{ \it相干错误}时，使用Shor的算法因式分解整数。这个相位匹配条件的鲁棒性进行评估分析或数值分解的几个整数：$4, 15, 21$，和33。
2004-08-04 quant-ph
Quantum Computing and Shor`s Factoring Algorithm
量子计算讲座。内容：算法。量子线路。量子傅里叶变换数论的基础。模幂运算。Shor的算法，用于查找订单。Schor算法的计算复杂度。因式分解整数NP完全问题
2001-09-02 hep-th math-ph math.MP
Architecture of a Quantum Multicomputer Optimized for Shor's Factoring Algorithm
量子多计算机由大量的小节点和用于在节点之间产生纠缠态的量子总线互连组成。选择的主要度量是这样一个系统在Shor算法上的性能，用于分解大数：具体地说，量子模幂运算步骤是计算瓶颈。本文介绍了模幂运算的一些优化方法。我的算法减少了延迟或电路深度，以完成n位数的模幂运算，从O（n^3）到O（n^2 log n）或O（n^2 log n），具体取决于体系结构。计算表明，当分解一个6,000位的数字时，这些算法的速度分别快100万倍和13000倍，具体取决于体系结构。扩展到量子多计算机，五种不同的qubus互连拓扑被认为是，和两种形式的进位纹波加法器被发现是最快的广泛的性能参数。量子多计算机中的链路是串行的;并行链路只能在系统可靠性和性能方面提供非常有限的改进。Steane [[23，1，7]]纠错码的两个级别将充分保护我们的数据，即使当量子比特传送失败率为1%时，也可以分解1，024位数。
2006-07-11 quant-ph
Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance
任何经典计算机为了找到$l$ -位整数$N$的素因子所需的步骤数随着$l$呈指数增长，至少使用目前已知的算法。因此，大整数的因式分解在经典上是难以处理的，这是广泛使用的密码的安全性的基础。然而，量子计算机可以在多项式时间内分解整数，使用Shor的量子分解算法。虽然对量子计算机的研究很重要，但这种算法的实验证明是难以捉摸的。在这里，我们报告一个最简单的实例Shor的算法：分解${N=15}$（其素因子是3和5）。我们使用一个分子中的七个自旋为1/2的原子核作为量子比特，可以用室温液态核磁共振技术来操纵。这种使用原子核来存储量子信息的方法原则上可扩展到许多量子比特系统，但是这种可扩展性并不被本工作所暗示。我们工作的意义在于演示复杂量子计算机精确控制和建模的实验和理论技术。特别是，我们提出了一个简单的，无参数的，但在我们的系统中的退相干效应的预测模型。
2001-12-30 quant-ph
Shor's Factoring Algorithm and Modular Exponentiation Operators
本文是关于Shor因式分解算法的教学讲义，详细推导了模幂运算算子理论及连分数法，并通过Qiskit模拟器分解多个数字验证了截断近似算子的有效性，表明实现Shor算法可能比预期更容易。
2023-09-18 quant-ph
Quantum factoring, discrete logarithms and the hidden subgroup problem
其中最显着的成功量子计算是肖尔的有效量子算法的计算任务的整数因式分解和评估的离散矩阵。在这篇文章中，我们回顾了这些算法的基本成分，并得出了所谓的阿贝尔隐子群问题的统一推广。这涉及到量子物理的形式主义与群表示和有限群上的傅立叶变换的优雅数学理论的出乎意料的和谐一致。最后，我们考虑了非阿贝尔隐藏子群问题，其中提到了一些开放的问题，未来的量子算法可能会产生重大影响。
2000-12-17 quant-ph
A Fault Tolerant, Area Efficient Architecture for Shor's Factoring Algorithm
我们优化了Shor因子分解的面积和延迟，同时通过以下方式提高容错能力：（1）平衡辅助生成器的使用，（2）积极优化纠错，以及（3）调整核心加法器电路。我们的定制CAD流程可生成物理组件的详细布局，并利用仿真分析电路的面积、延迟和成功概率。我们引入了一个度量，称为ADCR，这是经典的面积延迟产品的概率等价。我们的纠错优化可以将ADCR降低一个数量级或更多。与传统的智慧相反，我们表明，优化的量子线路的面积并不完全由纠错主导。此外，我们的加法器评估表明，量子超前进位加法器（QCLA）击败纹波进位加法器在ADCR，尽管更大，更复杂。我们得出了我们认为是1024位Shor分解所需的面积和延迟的最准确估计之一：最小电路的$^{2}$为7659 mm，最快电路的$6 * 10^8$为$6 * 10^8$秒。
2009-09-11 quant-ph
Efficient classical simulations of quantum Fourier transforms and normalizer circuits over Abelian groups
量子傅里叶变换（QFT）有时被认为是各种指数量子加速的来源。在本文中，我们介绍了一类量子线路，它不能优于经典计算机，即使QFT构成的一个重要组成部分。更准确地说，我们考虑归一化电路。有限阿贝尔群上的规范化电路是包括群上的QFT、计算自同构的门和实现群上的二次函数的门的任何量子线路。我们证明了所有的正规化电路多项式时间的经典模拟。证明使用的线性丢番图方程求解算法和单项式矩阵形式主义介绍了我们的早期工作。我们随后讨论了归一化电路的几个方面。首先，我们证明了我们的结果推广了Gottesman-Knill定理。此外，我们强调连接肖尔的分解算法和阿贝尔隐藏子群的问题一般。最后，我们证明了量子因式分解不能实现为一个正规化电路，由于其模幂子程序。
2012-01-23 quant-ph
Implementation of the Quantum Fourier Transform
量子傅里叶变换（QFT）已在三位核磁共振（NMR）量子计算机上实现，为Shor因子分解等量子算法的实现迈出了第一步。QFT的实现与保真度的措施，和状态层析成像。实验上实现QFT清楚地证明了NMR控制量子系统的能力。
1999-06-16 quant-ph
From Period Finding to Lattice Sampling: Experimental Insights into Shor's and Regev's Factoring Algorithms
AIR Institute（AIR研究所）；International University of La Rioja（里奥哈国际大学）
在N=15的量子硬件上实验比较Shor和Regev因式分解算法，分析噪声、电路深度和有限采样对一维与高维傅里叶采样的影响，揭示算法鲁棒性与失效模式。
2026-06-17 quant-ph
Simplified Factoring Algorithms for Validating Small-Scale Quantum Information Processing Technologies
层析成像在表征新的量子器件方面已经达到了其实际极限，并且需要一种新的手段来表征和验证该领域的新技术进步。我们提出了一个不同的验证方案的基础上编译版本的肖尔的因子分解算法，可以扩展到大型电路在未来。由于模幂运算的瓶颈，一般版本的Shor算法在实验上一直难以实现。迄今为止的实验只能执行后一种操作的编译版本。文中还提供了一些新的编译电路供实验工作者在不久的将来使用。我们还证明了可以使用经典操作添加额外的编译层，这将减少给定编译电路中所需的量子位和门的数量。
2013-11-14 quant-ph
Quantum Algorithms and the Fourier Transform
量子算法的Deutsch，西蒙和肖尔描述的方式，突出了他们的依赖傅立叶变换。概述了阿贝尔群上傅立叶变换的一般构造，这为理解这些算法的有效性提供了一个统一的方法。最后，我们描述了一个有效的量子因子分解算法的基础上的Kitaev的一般形式主义和对比其结构的成分肖尔算法。
1997-07-17 quant-ph
Pretending to factor large numbers on a quantum computer
在量子计算机\cite{Shor}上的多项式时间分解的Shor算法给出了所有已知的经典分解算法的巨大优势。我们演示了如何使用编译版本的肖尔的量子因子分解算法的大素数的产品的因素。我们的技术可以分解$p,q$的所有乘积，使得$p,q$是大于2的不等素数，在恒定时间内运行，并且只需要两个相干量子比特。这说明了在实现Shor算法时，正确的困难度量不是分解的数字的大小，而是找到的周期的长度。
2013-01-29 quant-ph
Appearance and Stability of Anomalously Fluctuating States in Shor's Factoring Algorithm
我们分析量子计算机执行肖尔的因式分解算法，注意渐近性质的数量L的量子比特的增加。利用数值模拟和一般理论的多体量子态的稳定性，我们表明：异常涨落态（AFS），其中有异常大的波动的加法运算，出现在不同阶段的计算。对于大的L，他们以惊人的速度退相干的弱噪声，模拟在真实系统中的噪声。一些AFS的退相干对计算结果是致命的，而另一些AFS的退相干对计算结果没有很大的影响。当这样一个至关重要的AFS消球差时，得到正确计算结果的概率大约与L^2成正比地降低。因此，即使当与噪声的耦合常数相当小时，随着L的增加，减小也变得非常大。因此，量子计算应该以这样的方式进行改进，即算法中出现的所有AFS不会在现有噪声中以如此大的速率退相干。
2004-02-06 quant-ph
Quantum algorithms for computing short discrete logarithms and factoring RSA integers
本文推广了 Ekerå 计算短离散对数的量子算法，实现执行次数与复杂度的权衡，并将分解 RSA 整数等问题转化为短离散对数问题，提出比 Shor 算法对量子计算机要求更低的分解算法。
2017-02-01 cs.CR quant-ph
Classical computing, quantum computing, and Shor's factoring algorithm
这是为布尔巴基研讨会写的一个临时演讲。在简要介绍之后，第1节用范畴语言讨论了经典确定性计算的结构。回顾了P/NP问题复杂性的基本概念。第二节介绍量子并行的概念，并解释了量子计算的主要问题。第三节介绍了四个量子子程序：初始化，经典布尔函数的量子计算，量子傅里叶变换和Grover搜索算法。中心部分4解释肖尔的因式分解算法。第五节将Kolmogorov复杂性与可计算函数的谱性质联系起来。附录有助于量子计算的史前史。
1999-03-02 math.QA quant-ph
Efficient Networks for Quantum Factoring
我们考虑如何在操作量子计算机时优化内存使用和计算时间。特别地，我们使用Shor建议的算法估计了存储器量子位的数量和执行因子分解所需的操作数量。可以使用能够存储$5K+1$量子位的机器将$K$位数分解为$K^3$阶的时间。模指数函数（Shor算法的瓶颈）的计算可以用大约$72 K^3$基本量子门来实现;使用线性离子阱的实现需要大约$396 K^3$激光脉冲。量子因子分解（15的因子分解）的原理证明可以仅用6个捕获的离子和38个激光脉冲进行。虽然离子阱可能永远不会成为一台有用的计算机，但它将是一个强有力的设备，用于实验探索纠缠量子态的性质。
1996-02-21 quant-ph
Experimental factoring integers using fixed-point-QAOA with a trapped-ion quantum processor
P.N. Lebedev Physical Institute of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院列别捷夫物理研究所）；Russian Quantum Center（俄罗斯量子中心）；National University of Science and Technology “MISIS”（国立科技大学 MISIS）
本研究利用囚禁离子量子处理器，通过改进的QAOA方法实现了整数分解，展示了实验和模拟结果，探讨了该方法的可扩展性。
2025-03-13 quant-ph
Odd orders in Shor's factoring algorithm
Shor的因子分解算法（SFA）找到一个数的素因子，$N=p_1 p_2$，比最著名的经典算法快指数。负责加速的是一个称为量子寻序算法（QOFA）的子程序，它计算阶数--满足$a^r \mod N =1$的最小整数$r$，其中$a$是随机选择的与$N$互质的整数（意味着它们的最大公约数是1，$\gcd(a, N) =1$）。给定$r$，且概率不小于$1/2$，则因子由$p_1 = \gcd (a^{\frac{r}{2}} - 1, N)$和$p_2 = \gcd (a^{\frac{r}{2}} + 1, N)$给出。对于奇数$r$，假设无法找到因子（因为$a^{\frac{r}{2}}$通常不是整数），并且使用不同的$a$值重新启动QOFA。但最近的一篇论文[E。Martin-Lopez：Nat Photon { \bf 6}，773（2012）]指出，如果互质是平方的，则有时可以从奇数阶找到因子。这就提出了通过考虑奇数订单来提高SFA成功概率的问题。我们表明，改进是可能的，虽然它是小的。我们提出了两种技术检索的顺序显然是无用的运行的QOFA：不丢弃奇怪的订单，并寻找新的顺序发现关系的情况下失败。在效率方面，使用我们的技术相当于避免平方互素和忽略奇数阶，这在实践中更简单。尽管如此，我们的技术在不久的将来可能会有用，而演示仅限于分解小数。QOFA最令人信服的证明是那些返回非2的幂…
2015-01-13 quant-ph
Factoring an integer with three oscillators and a qubit
School of Computation, Information and Technology, Technical University of Munich（慕尼黑工业大学计算、信息与技术学院）；School of Natural Sciences, Technical University of Munich（慕尼黑工业大学自然科学学院）；Munich Center for Quantum Science and Technology（慕尼黑量子科学与技术中心）
本文提出了一种基于连续变量傅里叶变换的因数分解算法，利用单量子比特和三个振子系统实现多项式时间复杂度的整数因数分解，不同于Shor算法及基于量子比特-振子编码的连续变量实现。
2024-12-17 quant-ph
Sampling Fourier Transforms on Different Domains
我们隔离和推广的技术隐含在许多量子算法，包括Shor的算法分解和离散日志。特别是，我们表明，在${\mathbb Z}_p$傅立叶变换后采样的分布可以有效地近似通过变换在${\mathbb Z}_q$的任何q在一个大的范围内。我们的结果没有任何限制的叠加变换，推广的结果隐含在肖尔只适用于周期性叠加。此外，我们的证明很容易推广到多维变换的任何常数数量的维度。
1998-12-21 quant-ph
Demonstration of Shor's quantum factoring algorithm using photonic qubits
我们报告了一个实验演示的编译版本的肖尔的算法使用四个光子量子比特。我们选择了该算法的最简单实例，即周期为$r=2$的N=15的因式分解，利用一个简化的线性光网络相干实现了模指数执行和半经典量子傅里叶变换的量子线路。在这个计算过程中，观察到真正的多粒子纠缠，这很好地支持了它的量子性质。这个实验代表了Shor算法和可扩展线性光学量子计算的完全实现的一步。
2007-12-16 physics.optics quant-ph
Large-Scale Simulation of Shor's Quantum Factoring Algorithm
本研究利用GPU超级计算机大规模模拟Shor量子因数分解算法，发现其实际成功率高于理论预期，提出可将单次运行成功率趋近于1的后处理流程，验证了算法的误差韧性，并分解出大尺寸半素数，提出更高难度的量子分解挑战。
2023-10-09 physics.comp-ph quant-ph
Factoring semi-primes with (quantum) SAT-solvers
大整数分解的假设计算难度形成了RSA公钥密码学的安全性基础，RSA公钥密码学特别依赖于两个大素数或半素数的乘积。经典计算机中最著名的因子分解算法在次指数时间内运行。由于整数分解是NP问题，因此可以将此问题简化为任何NP困难问题，例如布尔可满足性（SAT）。虽然将因子分解简化为SAT已被证明对研究SAT求解器有用，但通过这种简化来分解大整数的尝试并不成功。Shor的量子因子分解算法在多项式时间内对任何整数进行因子分解，尽管目前还没有能够实现Shor算法的大规模容错量子计算机，因此通过Shor算法进行因子分解的相关基准测试实验还不可能。然而，近年来，一些作者尝试在量子处理器的帮助下，通过简化到NP难问题来进行因式分解。虽然这种方法可能会揭示一些算法的量子解决方案的NP难题的方法，在本文中，我们研究和质疑这种方法的实际有效性，分解大的数字。我们没有发现任何证据表明这是一条可行的途径来分解大量的数字，即使是可扩展的容错量子计算机，以及各种量子退火或其他特殊用途的量子硬件。
2019-10-23 cs.CR quant-ph
Factoring in a Dissipative Quantum Computer
我们描述了一个量子门阵列，在量子计算机中实现素因子分解的Shor算法。该阵列包括用于模幂运算的电路，该电路具有几个子组件（诸如受控乘法器、加法器等），这些子组件在基本Toffoli门方面被描述。我们提出了一个简单的分析损耗和退相干的影响，这个量子因子电路的性能。为此，我们模拟了一台量子计算机，该计算机在与耗散环境交互的同时运行因子N = 15的程序。作为这种相互作用的结果，随机选择的量子比特可以自发地衰变。使用我们的数值模拟的结果，我们分析了一些简单的纠错技术的效率。
1996-01-23 quant-ph
Factoring 51 and 85 with 8 qubits
我们构造简化的量子线路的Shor的顺序发现算法的复合N的产品的费马素数3，5，17，257，和65537。这种复合材料，包括以前研究的情况下15，以及51，85，771，1285，4369，.具有简化的性质，即对于每个基a与N互质的模N的阶数是2的幂，显著地降低了通常的相位估计精度要求。51和85的素因子分解可以只用8个量子比特和一个由不超过4个CNOT门组成的模幂电路来证明。
2013-03-30 quant-ph
Distributed quantum computing: A distributed Shor algorithm
我们提出了一个分布式量子网络模型上的Shor的量子因子分解算法的分布式实现。该模型为小容量量子计算机提供了一种方法，可以模拟大容量量子计算机。在本文中，纠缠被用来作为一个资源，实现两个或多个量子计算机之间的非局域操作。这些非局部操作用于实现具有多项式多个门的分布式因式分解电路。Shor算法的这种分布式版本需要额外的O（（log N）^2）通信复杂度的开销，其中N表示要分解的整数。
2004-03-23 quant-ph
Operator Imprecision and Scaling of Shor's Algorithm
Shor算法（英语：Shor's algorithm，简称SA）是一种用于整数分解的量子算法。由于SA具有多项式复杂度，而最好的经典因式分解算法是次指数，SA被引用作为量子计算机比经典计算机更强大的证据。SA是严格依赖于量子傅里叶变换（QFT），它是已知的，在量子态输入到它的错误是敏感的。在本文中，我们表明，SA的多项式标度被破坏的QFT部分的算法的输入错误。我们还表明，量子纠错码（QECC）是不能够抑制由于运营商的不精确性和运营商精度误差的传播是足以严重降低SA的有效性的错误。此外，我们还证明了Calderbank-Shor-Steane QECC纠错电路中的算子不精确性在数学上等价于寄存器中每个物理量子比特上的退相干。我们的结论是，由于运算精度误差的影响，物理上可实现的量子计算机很可能无法比经典计算机更有效地分解整数。
2008-04-18 quant-ph
Fast parallel circuits for the quantum Fourier transform
我们给出了量子傅里叶变换（QFT）的电路复杂度的新的界限。我们给出了计算QFT关于模2^n的近似的电路深度的O（log n + log log（1/n））的上界，误差由n限制。因此，即使是指数小的错误，我们的电路有深度O（log n）。最好的深度边界是O（n），即使对于具有常数误差的近似。时间复杂度为O（n log（n/n））。我们还给出了模2^n的精确QFT的电路大小的O（n（log n）^2 log log n）的上界，其最佳先前界为O（n^2）。作为上述深度界的应用，我们表明，Shor的因子分解算法可以基于量子线路的深度只有O（log n）和多项式的大小，结合经典的多项式时间的预处理和后处理。在计算复杂性的语言中，这意味着因式分解属于复杂性类ZPP^BQNC，其中BQNC是可通过具有多对数深度和多项式大小的量子线路以有界错误概率计算的一类问题。最后，我们证明了一个欧米茄（log n）下界的深度复杂性近似的QFT与常数误差。这意味着上面的上限是渐近最优的（对于合理范围的值）。
2000-06-01 quant-ph
Faster Quantum Number Factoring via Circuit Synthesis
实现Shor的量子数分解算法的一个主要障碍是模幂电路的大尺寸。我们减少了这个瓶颈定制可逆电路的模乘个人运行的肖尔算法。我们的电路合成程序利用乘法运算符的频谱特性，并从适当的GCD算法的执行轨迹构造优化电路。从经验上讲，门数减少了4-5倍，电路延迟减少了更大的因素。
2013-01-15 cs.DS cs.ET quant-ph
Factoring with Qutrits: Shor's Algorithm on Ternary and Metaplectic Quantum Architectures
我们使用两种自然的通用容错计算模型来确定在三进制量子计算机上执行整数因式分解的Shor算法的成本：（i）基于魔态蒸馏的模型，该模型假设三进制Clifford门的可用性，投影测量，经典控制作为其自然仪器集;（ii）基于元拓扑量子计算机（MTQC）的模型。在三进制量子计算机上实现Shor算法的一个自然选择是将整个算术转换为三进制形式。然而，也可以通过在三级系统中编码每个量子位来模拟算法的标准二进制版本。我们比较了这两种方法，并分析了在这两个模型中实现Shor的周期发现功能的复杂性。我们还强调了这样一个事实，即在MTQC架构中通过幻态实现普适性的成本渐近低于通用三进制的情况。
2017-04-08 cs.ET quant-ph
Implementation of Shor Algorithm: Factoring a 4096-Bit Integer Under Specific Constraints
针对量子计算实用化需求，研究聚焦Shor算法实现，通过提升模运算效率，在特定约束下完成4096位整数分解，相比SOTA方法效率显著提升且支持更长整数分解。
2025-05-16 cs.CR math.NT quant-ph
The true cost of factoring: Linking magic and number-theoretic complexity in Shor's algorithm
École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)（洛桑联邦理工学院）
研究揭示Shor算法中非稳定性（魔法）与数论问题难度的内在联系，提出基于资源的度量方法，补充传统电路成本分析。
2026-05-06 physics.comp-ph quant-ph
Extending Regev's factoring algorithm to compute discrete logarithms
本文将 Regev 的 d 维量子因子分解算法自然扩展至离散对数计算、阶求解及完全因子分解，并重点分析了各算法在实际实现中后处理的鲁棒性。
2024-01-30 cs.CR quant-ph
Requirements for fault-tolerant factoring on an atom-optics quantum computer
量子信息处理及其相关技术在它们的发展中已经达到了一个有趣和及时的阶段，其中已经进行了许多不同的实验来建立基本的构建块。未来的挑战是扩大到更大尺寸的量子机器，能够执行今天不可能完成的任务。这就提出了一些有趣的问题，比如：这些机器需要多大？会消耗多少资源？这一问题需要紧急解决。在这里，我们估计所需的资源执行肖尔的分解算法的分布式原子光学量子计算机架构。我们确定量子计算机的运行时间和所需的大小作为问题大小和物理错误率的函数。我们的研究结果表明，一旦实验精度达到容错阈值以下的水平，计算性能和资源的进一步优化在很大程度上是算法和电路如何实现的问题，而不是物理量子硬件
2012-12-20 quant-ph
Quantum Algorithm based on Quantum Fourier Transform for Register-by-Constant Addition
自从Shor提出利用量子计算分解素数乘积的方法以来，人们一直在寻求实现有效的量子算术算法。这些算法能够使用量子并行性同时对大量值进行算术运算。Draper提出了一种基于量子傅里叶变换的加法算法，其操作数是两个量子寄存器，我称之为逐寄存器加法。然而，对于需要将常数值添加到目标寄存器的情况，Draper的算法在操作数量和所使用的量子位数量方面比必要的更复杂。在本文中，我提出了一个更有效的加法算法比德雷珀的情况下，需要添加一个常数的目标寄存器。
2022-08-09 quant-ph
A Continuous Variable Shor Algorithm
在本文中，我们使用quant-ph/0201095中的方法来创建Shor量子因子分解算法的连续变量模拟。这是一个量子隐子群算法，它可以找到函数F：R-->R从实数R到实数R的周期P，其中F属于一个非常一般的函数类，称为容许函数类。创建这种连续变量量子算法的一个目的是使Shor的因子分解算法的结构在数学上更加透明，从而对Shor原始算法的内部工作原理有一些了解。这种连续量子算法也让我们对Hallgren的Pell方程算法的内部工作原理有了一些了解。有两个关键问题仍然没有答案。这种量子算法比经典的连续变量算法更有效吗？这个量子算法或它的某种近似值是可实现的吗？
2004-06-08 quant-ph
Exhibition of the periodicity of Quantum Fourier Transformation in Nuclear Magnetic Resonance
利用核磁共振（NMR）技术研究了量子傅里叶变换（QFT）提取周期函数周期性的能力。进行了两组单独的实验。在一个完整的QFT，周期性验证与状态层析成像和保真度测量。对于简化的QFT，通过引入额外的观察者自旋来创建三量子比特的伪纯态，并且在观察者自旋上记录的光谱直观地显示了QFT找到周期性的能力。实验实现QFT为实现著名的Shor量子因子分解算法和许多其他算法提供了关键的一步。此外，它还可以应用于量子混沌和其他量子信息处理的研究。
2002-02-01 quant-ph
Quantum Fourier Transform in Computational Basis
传统的量子傅里叶变换，与经典的快速傅里叶变换相比，具有指数加速，在量子计算中扮演着重要的角色，作为许多量子算法（最突出的是Shor因子分解算法）的重要组成部分。然而，例如在依赖于傅立叶系数的控制操作的实现中，出现了在量子振幅内对傅立叶系数进行编码是不够的情况。在本文中，我们详细介绍了一种新的量子算法编码的傅立叶系数的计算基础上，成功的概率$1-δ$和所需的精度$ε$。其时间复杂度% $\mathcal{O}\big((\log N)^2\log(N/δ)/ε)\big)$多项式依赖于$\log(N)$，其中$N$是问题大小，并且线性依赖于$\log(1/δ)$和$1/ε$。我们还讨论了一个潜在的实际意义的应用，即循环哈密顿的模拟。
2016-02-05 quant-ph
A Modular, Adaptive, and Scalable Quantum Factoring Algorithm
Ahmedabad University（艾哈迈达巴德大学）；University of Oklahoma（俄克拉荷马大学）
本文提出一种模块化量子因数分解算法，通过将相位估计拆分为浅层独立电路块，减少所需量子位数，提升NISQ硬件兼容性。
2025-12-06 quant-ph
Streaming Regev's Quantum Factoring Algorithm
Google Quantum AI（Google量子AI）；Harvard（哈佛大学）
本文解决Regev量子因式分解算法的流式问题，通过叠加掩码和斐波那契幂相位估计，将空间占用降至$n+M(n)+O(\sqrt{n})$，实现最低空间实例化。
2026-10-06 quant-ph
On the Role of Coherence in Shor's Algorithm
Shor的因子分解算法提供了一个超多项式的速度超过所有已知的经典因子分解算法。在这里，我们要解决的问题是，哪些量子特性推动了这种优势。我们调查一个连续的变体Shor的算法与一个固定的整体结构，并确定该算法的定量一致性的作用。我们在动态资源理论的框架下分析了该协议，该理论捕捉了可以创建和检测一致性的操作的资源特征。这使我们能够得到一个下限和上限的成功概率的协议，这取决于严格定义的措施的一致性作为一个动态的资源。我们将这些界限与协议的经典极限进行比较，并得出结论，在我们考虑的固定结构内，相干性是通过从下面和上面限制成功概率来确定其性能的量子资源。因此，我们对相干性在量子计算中的基本作用有了新的认识。
2022-03-20 quant-ph
