Tangent Spheres and Triangle Centers
David Eppstein
在R^3中，任意四个相切的球面通过两对相对的切线确定三条重合线。因此，我们定义了两个新的三角形中心。
Any four mutually tangent spheres in R^3 determine three coincident lines through opposite pairs of tangencies. As a consequence, we define two new triangle centers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Line tangents to four triangles in three-dimensional space
我们研究R^3中与四个三角形相切的直线。在一个构造中，可以有多达62条切线。我们发现，有最多162个连接组件的切线，最多156，如果三角形是不相交的。此外，如果三角形处于（代数）一般位置，则切线的数量是有限的，并且总是偶数。
On lines in a triangle tangent to a conic
我们目前的推广定理Kypert的建设和第二莫利中心。我们的大多数证明都是合成的。
A metric sphere not a quasisphere but for which every weak tangent is Euclidean
证明了对所有的$n \geq 2$，存在一个加倍的线性局部可缩度量空间$X$，它是一个$n$ -球面，使得每个弱切线都等距于$\R^n$，但$X$不拟对称等价于标准$n$ -球面.同样的例子表明，\cite{BK02}关于度量$2$ -球的拟对称一致化的定理1.1中的$2$-Ahlfors正则性是最优的.
Napoleonic triangles on the sphere from similar chord triangles
该文研究单位球上拿破仑构造的变体，证明非等边球面三角形的外心构成等边三角形的充要条件，得到基于二次曲面与三次不等式的分类，还原特定定理并发现不同β下的解族。
Properties of Ajima Circles
本文研究了与三角形相关的一类特殊圆的性质，这些圆位于三角形内部，与两边相切且与第三边向内竖立的圆弧外切。
Bisector surfaces and circumscribed spheres of tetrahedra derived by translation curves in $\SOL$ geometry
本文研究了八种齐次Thurston三维几何之一的$\SOL$几何.确定了任意两点的类平行平分线曲面的方程。证明了平移三角形的等腰性质不等价于两个三角形的角相等，并且证明了三角不等式一般不适用于平移三角形.此外，我们发展了一种方法来确定一个给定的{ \it平移四面体}的外切平移球的中心和半径。在我们的工作中，我们将使用由E.在\cite{M97}的Molnár。
A Triad of Circles Associated with a Triangle
该研究探讨了三角形内满足与两边相切、与第三边为直径的圆外切的三圆组的性质，得出了这三个圆的内外Apollonius圆半径之间的优美关系式。
On geodesics of Berger tangent sphere bundle of Hermitian locally symmetric manifold
本文提出了Hermitian局部对称流形的切丛和单位切丛上的Sasaki度量的一种特殊变形。与通常的Sasaki度量不同，这种变形度量的测地线在切或单位切丛情形下在基流形上有不同的投影。然而，单位切丛的测地线的投影仍然保持所有测地曲率为常数的性质。
Tilings of the Sphere by Congruent Quadrilaterals or Triangles
本文完整分类了球面上由全等四边形的边对边铺砌，并给出三角形铺砌的现代分类，连同五边形分类，完成了球面全等多边形铺砌的完整分类。
The isominwidth problem on the 2-sphere
本文研究了2-球面上的等最小宽度问题，证明了当最小宽度大于$\ frac π2$时，极小化子为球面Reuleaux三角形的极集，并给出了两个球面不等式的稳定性版本。
Side-to-side Tiling of the Sphere by Congruent Curvilinear Triangles
该研究分类了球面侧向等边曲边三角形镶嵌，发现其本质是直线三角形镶嵌的变形。
Monochromatic unit equilateral triangle on low-dimensional spheres
本文研究了在低维球面上单位等边三角形的单色复制问题，确定了在二维球面S²(1/√2)上存在一种2色染色方式使得没有单色单位等边三角形，而在三维球面S³(1/√2)上任何2色染色都包含一个单色单位等边三角形。
Three Random Tangents to a Circle
其中，我们求出了任意三角形外接单位圆的边密度，并计算出其中值为5.5482.一个类似的精确计算周长密度仍然开放。
The envelope of lines meeting a fixed line that are tangent to two spheres
我们研究的一组线，满足一个固定的线，并切到两个领域和分类的配置组成的一个单一的线和三个领域，其中有无限多的线切线的三个领域，也满足给定的线。所有这些组态都是简并的。这一结果的路径涉及到一些美丽的和复杂的几何真正的表面在3空间，复杂的代数几何，显式计算和图形的相互作用。
Maximal Angle Flow on the Shape Sphere of Triangles
最近有一些工作使用形状理论来回答一个长期存在的概念上有趣的问题，即三角形是钝角的概率是多少。这是解决了三个亲吻帽圈的正确性正在实现的形状领域;整合了这些帽子的内部很容易产生的答案是3/4。我们现在推广这种方法，将正确性视为最大角度的一个特定值，然后用最大角度流覆盖形状球体。在那里，我们发现正确的亲吻帽圈构成了一个分界线。这两种性质上不同的行为状态被如此分离，而且都带有不同的分析病理学：尖点与被排除的极限点。等边三角形是这个流动的中心，而接吻点本身--二元碰撞形状--是更有趣和复杂的临界点。其他曲线的公式和相关的面积积分更复杂，但仍然可以评估。作为一个特殊的例子，我们评估一个三角形是费马锐角的概率，这意味着它的费马点是非平凡的;在这种情况下，临界最大角是120度。
Apollonius surfaces, circumscribed spheres of tetrahedra, Menelaus' and Ceva's theorems in $\SXR$ and $\HXR$ geometries
本文研究了齐次Thurston 3-几何$\SXR$和$\HXR$.我们定义和确定广义Apollonius曲面，并与他们定义的“曲面的测地线三角形”。利用上述Apollonius曲面，我们发展了一个确定任意$\SXR$和$\HXR$四面体的外接测地球的中心和半径的方法.此外，我们推广了著名的Menelaus和Ceva定理的测地三角形在这两个空间。在我们的工作中，我们将使用由E.在\cite{M97}的Molnár。
The Euler and Grace-Danielsson inequalities for nested triangles and tetrahedra: a derivation and generalisation using quantum information theory
利用量子力学中的转向椭球形式，我们在经典欧几里德初等几何中得到了几个结果。这给出了一个物理动机的推导非常非平凡的几何结果，其中一些是全新的。我们考虑一个半径为$r$的球包含在另一个半径为$R$的球内，球心之间的距离为$d$。什么时候存在一个嵌套的四面体，它外接于较小的球体，内接于较大的球体？我们导出了Grace-Danielsson不等式$d^2 \leq (R+r)(R-3r)$作为嵌套四面体存在的唯一充要条件。我们的方法还给出了类似二维场景中存在嵌套三角形的条件$d^2 \leq R(R-2r)$。这些结果包含了二维和三维的Euler不等式。此外，我们制定了一个新的不等式，适用于更一般的情况下，椭圆和椭球。
The Two Eyes Lemma: a linking problem for horoball necklaces
在我们研究低容量双曲三维流形的过程中，我们遇到了$\mathbb{H}^3$中horoball项链的连接问题。一个Horoball项链是一组连续相切的胡须（即球体），内部不相交，位于一个平面上，每个珠子的直径最多为1，并且与桌子相切。在这篇文章中，我们分析了一个8珠项链连接在桌子上另外两个直径为1的球体上的可能构型。我们表明，所有的珠子被迫有直径1，两个链接的领域是相切的，每个珠子必须亲吻（即相切）至少有一个两个链接的领域。事实上，存在一个单参数族的不同配置。
Loci of Poncelet Triangles in the General Closure Case
我们分析了两个著名的三角porisms的变体的三角形中心的轨迹：双中心和共焦家庭。具体来说，我们唤起了庞斯莱的封闭定理的一般版本，使个别方面可以切线单独的铅笔焦散。我们表明，尽管更复杂的动态几何，某些三角形中心和相关点的轨迹仍然是圆锥曲线和/或圆。
On the Inscribed Sphere and Concurrent Lines through the Centers of Apollonius Spheres in $\mathbb{R}^n$
本文研究了在R^n中由共同家族球体构成的阿波罗尼奥斯问题解之间的关系，证明了通过解中心的直线交于一点，并推广了Morita的定理到n维空间。
A unique representation of polyhedral types
已知对于每种组合类型的凸三维多面体，存在具有与单位球面相切的边的代表。这个代表是唯一的射影变换，固定单位球。我们表明，有一个独特的代表（直到全等）与边缘相切的单位球，这样的原点是重心的点的边缘接触的领域。
A note on the geodesic normal distribution on the sphere
本文提出直接在球面上定义测地正态分布的新方法，摆脱了对切空间投影的依赖，并证明其密度轮廓恰为球面上的椭圆，为描述该点集轨迹提供了新的替代刻画。
Distance Geometry for Kissing Spheres
接触球体是与固定参照球相切的球体。本文发展了接吻球的距离几何，它是经典欧氏距离几何的推广。
Line problems in nonlinear computational geometry
我们首先回顾了经典的线计算几何中的一些主题，特别是R^3中的线与具有固定描述复杂度的$n$对象相互作用的组合复杂度的O（n^{3+ε}）界。本综述的主要部分是最近对一个核心代数问题的研究--研究与k个球面相切且与4-k条固定直线相交的直线。我们给出了一个例子，四个不相交的领域与12个共同的实切线。
Characterization of tangent quasicircles and quasiannuli
本文研究了切线准圆和准环的特征化，通过准共形映射将两个不相交的Jordan区域映射到圆盘，并证明了多项式尖点的准共形等价性及准对称嵌入的扩展性。
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