On lines in a triangle tangent to a conic
Pavel Dolgirev
我们目前的推广定理Kypert的建设和第二莫利中心。我们的大多数证明都是合成的。
We present generalizations of theorems on Kypert's construction and on 2nd Morley's Centre. Most of our proofs are synthetic.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Conics associated with triangles, or how Poncelet meets Morley
本文给出了三角形各边上的六点属于同一条二次曲线的判别准则。使用这个工具，我们展示了如何两个几何宝石-著名的庞斯莱定理的射影几何和令人难以置信的莫利定理的欧几里德几何-可以满足在一个建设。
Line tangents to four triangles in three-dimensional space
我们研究R^3中与四个三角形相切的直线。在一个构造中，可以有多达62条切线。我们发现，有最多162个连接组件的切线，最多156，如果三角形是不相交的。此外，如果三角形处于（代数）一般位置，则切线的数量是有限的，并且总是偶数。
Tangent Spheres and Triangle Centers
在R^3中，任意四个相切的球面通过两对相对的切线确定三条重合线。因此，我们定义了两个新的三角形中心。
Triads of Conics Associated with a Triangle
我们重新审视的基础上的三面体的二次曲线与焦点对顶点的一个参考三角形的建设。我们发现，他们的6个顶点位于著名的二次曲线，其类型，我们分析。我们给出了这些是圆和/或退化的条件。在后一种情况下，我们研究他们的中心的轨迹。
Triangle conics and cubics
本文用射影几何的基本原理讨论了经典几何中的三角形、三次曲线和二次曲线。近年来，N.J. Wildberger使用代数的观点积极地处理这个话题。H. M. Cundy和C.F.帕里最近本文的主要任务是开发一种算法，用于创建通过三角形中心的曲线。在研究过程中，注意到不同三角形中的一些不同三角形中心重合。最简单的例子：一个底三角形的一个圆心是一个外心三角形的一个正交心。这是创建算法的关键。实际上，我们可以将属于一条曲线（基曲线）的点与另一个三角形的其他点匹配。从而得到一个新的有趣的几何对象。在研究过程中，得到了一些新的三角二次曲线和三次曲线，并讨论了它们在欧氏空间中的性质。此外，还讨论了所得到的定理在射影几何中的推论，证明了所发现的结果都可以推广到射影平面上。
Conic locus of inversive Poncelet circumcenter and two points of invariant circle power
本文证明在通用庞加莱三角形族中，反演三角形的圆心轨迹为圆锥曲线，并验证了一个早期猜想：在通用庞加莱三角形中，存在两个独特的点，分别对三角形族的 circumcircle 和 Euler 圆保持恒定的圆幂。
Poncelet triangles: conic loci of the orthocenter and of the isogonal conjugate of a fixed point
本文研究了Poncelet三角形族中垂心与固定点等角共轭的轨迹，证明两者均为圆锥曲线，并揭示了特定条件下的抛物线、直线及圆分量特性。
Synthetic foundations of cevian geometry II: The center of the cevian conic
本文继续第一部分的研究，研究了五点$ABCPQ$上的二次曲线$\mathcal{C}_P$，其中$ABC$是给定的普通三角形，$Q$是$P$的等距补，定义为$P$关于三角形$ABC$的等距共轭$P'$的补。我们证明了$\mathcal{C}_P$也位于点$P'$和$Q'$上，其中$Q'$是$P'$的同位素补。圆锥曲线$\mathcal{C}_P$位于$ABC$的顶点在仿射映射$λ=T_{P'} \circ T_P^{-1}$及其逆映射下的像的其他六个点上，其中$T_P$和$T_{P'}$分别是将$ABC$带到$P$和$P'$的cevian三角形的唯一仿射映射。当$\mathcal{C}_P$为抛物线或椭圆时，证明了$\mathcal{C}_P$的中心$Z$是$λ$在扩张平面上的唯一不动点;当$\mathcal{C}_P$为双曲线时，证明了中心$Z$是$λ$在扩张平面上的唯一不动点.我们还表明，$Z=GV \cdot T_P(GV)$，其中$G$是$ABC$和$V=PQ \cdot P'Q'$的质心。当$P$是$ABC$的Gergonne点时，这给出了Feuerbach点$Z$的一个新的特征。我们所有的论点都是纯粹综合性的。
A Family of Eight-Point Conics Associated with the Cyclic Quadrilateral
本文研究了圆外接四边形的八点圆族性质，通过定义欧拉线上的点及其等角共轭点，证明其共线性，并探讨了其在三角中心中的位置。
Properties of Ajima Circles
本文研究了与三角形相关的一类特殊圆的性质，这些圆位于三角形内部，与两边相切且与第三边向内竖立的圆弧外切。
A Triad of Circles Associated with a Triangle
该研究探讨了三角形内满足与两边相切、与第三边为直径的圆外切的三圆组的性质，得出了这三个圆的内外Apollonius圆半径之间的优美关系式。
Poncelet Triangles: a Theory for Locus Ellipticity
我们提出了一个理论，预测如果一个三角形中心的轨迹在某些庞斯莱三角形家庭是一个圆锥曲线或没有。我们认为家庭interscribed在（i）共焦对和（ii）外椭圆和内同心圆焦散。以前，确定轨迹是否是圆锥曲线是根据具体情况进行的。在共焦的情况下，我们也推导出条件下，轨迹退化到一个片段或一个圆。我们证明了轨迹的转向数为+/-3，同时预测了它关于三角形族顶点运动的单调性。
Three Random Tangents to a Circle
其中，我们求出了任意三角形外接单位圆的边密度，并计算出其中值为5.5482.一个类似的精确计算周长密度仍然开放。
On a Configuration with Circle-Conic Tangency and Sharygin Points
本文研究圆与圆锥曲线两次相切的构型，通过沙里金点和双曲几何给出主定理的两种证明，并应用于奥林匹克竞赛问题，展示了非欧几何与经典平面几何结合的有效性。
The Six Circles Theorem revisited
C.的六圆定理伊芙琳，G. Money-Coutts和J. Tyrrell关注内接成三角形的圆链：第一个圆内接于第一个角，第二个圆内接于第二个角并与第一个圆相切，第三个圆内接于第三个角并与第二个圆相切，依此类推。该定理断言，如果所有的圆都接触三角形的边，而不是它们的延伸，那么链是6周期的。我们表明，在一般情况下，链最终是6-周期，但可能有一个任意长的前期。
Nets of lines with the combinatorics of the square grid and with touching inscribed conics
在射影平面中，我们考虑了直线与正方形网格的组合学以及与所有具有相交内接二次曲线的基本四边形的同余。两个组合相邻四边形的内接二次曲线在它们的公共棱线上有相同的接触点。我们认为，这些网络是一个自然的投影推广的incircular网。结果表明，这些网是平面柯尼希斯网。此外，我们表明，一般柯尼希斯网的特点是存在一个1参数家庭的接触内接二次曲线。证明了任意内接二次曲线相交的四边形网格的直线与一条公共二次曲线相切。这些网格可以通过内接于二次曲线的多边形链来构造。二次曲线台球的特殊情况对应于非圆网。
A Special Conic Associated with the Reuleaux Negative Pedal Curve
三角形的负垂足曲线到其边界上的点$M$由两个椭圆弧和一个点$P_0$组成。有趣的是，通过四个弧端点并由$P_0$的二次曲线具有一个显著的性质：它的焦点之一是$M$。我们提供了一个合成证明的基础上庞斯莱的极对偶和反演技术。其他有趣的性质，反踏板证明使用简单的技术。
A cevian locus and the geometric construction of a special elliptic curve
在以前的论文中，我们定义了一个三角形$ABC$关于一个点$P$的外接圆圆锥曲线作为圆锥曲线$\tilde C=T_{P'}^{-1}(N_{P'})$，其中$N_{P'}$是$9$ -点圆锥曲线的四边形$ABCP'$关于在无穷远处的线，$P'$是等距共轭的$P$关于$ABC$，和$T_{P'}$是仿射映射采取$ABC$到cevian三角形的$P'$。在本文中，我们确定的点的轨迹，使一定的仿射映射$\textsf{M}$采取的circumconic $\tilde C$到inconic $\mathcal{I}$，定义为唯一的圆锥切线的侧边的$ABC$在这些侧面上的点$P$的痕迹，是一个半圈。这个轨迹是一条减六点的椭圆曲线，可以用定义在三个开圆弧上的点的仿射映射族来几何构造。
Schellbach-style Formulae for the Derousseau-Pampuch Generalizations of the Malfatti Circles
已知存在32个三元组的圆，使得每个圆与其他两个圆相切，并且与三角形的两条边或它们的延伸相切。我们提供的公式，以获得半径的圆的32个三元组的每一个从参考三角形的边长通过三角函数或双曲函数。
Quadrangles entangled in conic nets
本文在特征非2的域上研究二次曲线网随四边形构型变化而保持不变的纠缠现象，证明纠缠等价于中点平分条件及平分线场相等，并给出中心轨迹决定网的结论。
A Simple Vector Proof of Feuerbach's Theorem
著名的费尔巴哈定理指出，一个不等边三角形的九点圆与它的内圆和三个外圆都相切。本文用简单的向量计算给出了费尔巴哈定理的一个简单证明。为了完整起见，这里证明了所有必需的参数。
Synthetic foundations of cevian geometry, IV: the TCC-perspector theorem
本文给出了TCC-透视定理的一个完全综合的证明，即广义正交中心$H$的等角共轭$γ(H)$（在本系列论文的第三部分中定义），关于三角形$ABC$和点$P$，是$ABC$的切向三角形和外切圆三角形的透视图（两者都相对于外接圆）的等距共轭$γ(Q)$，其中$Q$是点$P$的等距共轭$P'$的补。
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