A note on the q-derivative operator
J. Koekoek, R. Koekoek
我们证明了一个公式的n次幂的q-导数算子在x=0的每一个功能，其n阶导数在x=0存在。在实变量和复变数情形下，我们都给出了一个证明.
We prove a formula for the nth power of the q-derivative operator at x=0 for every function whose nth derivative at x=0 exists. We give a proof in both the real variable and the complex variable case.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A Note on the Derivatives of Isotropic Positive Definite Functions on the Hilbert Sphere
本文给出了Hilbert球面上各向同性正定函数导数的一个递推公式。然后我们用它来证明Trübner和Ziegel提出的一个猜想，即对于Hilbert球面上的正定函数在$C^{2\ell}([0,π])$中，它的$\infty$ -Schoenberg序列满足$\sum\limits_{m=0}^{\infty}a_m m^{\ell}<\infty$是充分必要的。
A note on derivative dependent singular boundary value problems arising in physiology
本文证明了奇异边值问题$-(p(x)y^{\prime }(x))^{\prime}=q(x)f(x,y,py')$解的存在性，其中$0< x\leq b$和$y'(0)=0$，$α_{1}y(b)+β_{1}p(b)y^{\prime}(b)=γ_{1}$与$p(0)=0$和$q(x)$是可积的.多个解决方案的区域也已确定。
A note on the order derivatives of Kelvin functions
对于$ν\in \mathbb{R}$，我们计算$\mathrm{ber}_{ν}$、$\,\mathrm{bei}_{ν}$、$\mathrm{ker}_{ν}$和$\,\mathrm{kei}_{ν}$函数关于阶数$ν$的导数。与文献中的$\mathrm{ber}_{ν}$和$\,\mathrm{bei}_{ν}$函数的阶导数表达式不同，我们提供了更简单的表达式，也适用于负整数阶。$\mathrm{ker}_{ν}$和$\,\mathrm{kei}_{ν}$函数的阶导数的表达式似乎是新颖的。另外，作为副产品，我们计算了一些新的积分涉及$\mathrm{ber}_{ν}$和$\,\mathrm{bei}_{ν}$功能的封闭形式。最后，我们包括一个简单的推导的$\mathrm{ber}$和$\,\mathrm{bei}$功能的一些整表示。
A note on zeros of derivatives of ultraspherical Bessel functions
本文研究超球贝塞尔函数导数正零点的渐近性质，针对任意固定参数 ν≥0、δ∈R 和 x>0，推导出当 k 趋于无穷时第 k 个正零点的渐近展开式。
Asymptotic formula for $q$-Derivative of $q$-Durrmeyer Operators
本文讨论了具有$q$ -Durrmeyer算子和$q$-Durrmeyer-Stancu算子的$q$ -导数的函数的Voronovskaja型渐近公式.
Remarks about the existence of conformable derivatives and some consequences
本文的目的是对新近引入的一种局部分数阶共形导数作一些注记，并给出一个关于共形导数与通常的整数阶导数之间关系的令人惊讶的结果。
Entropies and the derivatives of some Heun functions
这个简短的说明包含一个列表的新结果有关雷尼熵，Tsallis熵，和Heun功能与积极的线性算子。
On a certain extension of the Riemann-Liouville fractional derivative operator
本文的主要目的是利用Shadab等人最近定义的β函数的延拓，给出分数阶导数算子的一个新的延拓. [19]第10段。此外，我们建立了一些新定义的修正的分数阶导数算子，如Mellin变换，以及通过生成函数与扩展超几何和Appell函数的关系。
A note on one-dimensional time fractional ODEs
在本文中，我们证明或重新证明了几个重要的结果，一维时间分数常微分方程，我们以前的工作\cite{fllx17}。这里我们使用基于卷积群的\cite{liliu17frac1,liliu2017}中提出的Caputo导数的定义。特别是，我们建立了广义比较原则与新定义的Caputo衍生物。此外，我们还建立了$D_c^γu=Au^p$方程解的完全渐近性态。最后，在较弱的假设条件下，给出了时间分数阶微分方程的严格单调性和初值稳定性的简化证明。
Generalized Extended Riemann-Liouville type fractional derivative operator
本文利用Boudjelkha [4]中推广的Bessel函数，给出了不完全Gamma，Beta，Gauss超几何，汇合型超几何函数和Appell-Lauricella超几何函数的新推广.对这些推广得到了一些递推关系、变换公式、Mellin变换和整表示。进一步，建立了Riemann-Liouville分数阶导数算子的推广.
A derivative concept with respect to an arbitrary kernel and applications to fractional calculus
本文提出了关于任意核函数的导数的新概念。研究了与这种新算子有关的若干性质，如反演规则、分部积分法等。特别是，我们引入的共轭核的概念，这将是有用的保证，建议的导数算子承认一个右逆。所提出的概念包括作为特殊情况的Riemann-Liouville分数阶导数，Hadamard分数阶导数和许多其他分数阶算子。此外，利用我们的概念，引入了涉及某些特殊函数的新的分数次算子，并研究了它们的一些性质。最后，证明了涉及所引入的导算子的边值问题的存在性结果。
Continuity for the one-dimensional centered Hardy-Littlewood maximal operator at the derivative level
证明了从$W^{1,1}(\mathbb{R})$到$L^1(\mathbb{R})$的映射$f \mapsto (Mf)'$的连续性，其中$M$是中心Hardy-Littlewood极大算子.这解决了一个问题所提出的阿维尼翁，马德里和皮尔斯。
Incomplete Riemann-Liouville fractional derivative operators and incomplete hypergeometric functions
本文利用不完全β函数$B_{y}(x,z)$定义了不完全Pochhammer比。借助于这些不完全Pochhammer比，我们引入了新的不完全Gauss函数、合流超几何函数和Appell函数，并研究了它们的若干性质，如整表示、导数公式、变换公式和递推关系.此外，还引入了不完全Riemann-Liouville分数阶导数算子.这个定义有助于我们得到新的不完全高斯超几何函数的线性和双线性生成关系。
Note on some theorem of Farkas and Kra
本文将雅可比导数公式的高级形式应用于数论中，如四元二次型和某些数论函数的卷积和。
A Note on a Multilinear Local $Tb$ Theorem for Calderón-Zygmund Operators
本文将\cite{GHO}中证明的一个局部$Tb$定理推广到完全的多线性局部$Tb$定理。
A note on the Laplace transform and the variable-order differential operators
在这篇短文中，我们利用由拉普拉斯逆变换\cite{coimbra}引入的变阶微分算子，对Yang和Tenreiro Machado \cite{yang}的结果提出了质疑。
A note on parameter derivatives of classical orthogonal polynomials
计算了$\partial P_{n}(λ;z)}/\partialλ=\sum_{k=0}^{n}a_{nk}(λ)P_{k}(λ;z)$形式展开式中的系数，其中$P_{n}(λ;z)$是变量$z$的第$n$经典（广义Laguerre、Gegenbauer或Jacobi）正交多项式，$λ$是参数。本文所采用的方法与Fröhlich [积分变换Spec.Funct. 2（1994）253]和Koepf [积分变换Spec.Funct. 5（1997）69]的广义Laguerre和Gegenbauer多项式。
Derivatives of L^p eigenfunctions of Schrodinger operators
假设势的负部分是局部一致$L^1$，我们证明了一维Schrodinger算子本征函数导数的逐点$L^p$估计.特别地，如果本征函数在$L^p$中，那么对于$1\le p\le \infty$，其导数也是如此。
Multiple operator integrals and higher operator derivatives
本文研究了函数$t\mapsto\f(A+tK)$高阶导数的存在性问题，其中$\f$是实直线上的函数，$A$是自伴算子，$K$是有界自伴算子.我们改进了Sten'kin的早期结果。为了做到这一点，我们给出了一个新的方法来多重算子积分。这种方法改进了Sten'kin给出的早期方法。我们还考虑了一个类似的问题，酉算子。
On the logarithm of the derivative operator
我们研究了导数算子的对数的性质，证明了导数算子对常数的作用不为零，而是产生对数函数与Euler-Mascheroni常数之和.我们讨论更一般的方面有关对数的一个运营商的研究性质的贝塞尔函数。
Life and science of Alexey N. Gerasimov. On the linear operators, elastic viscosity, elevterous and fractional derivatives
纪念阿列克谢·N·哈立德诞辰120周年。格拉西莫夫是固体力学中分数阶微积分的创始人之一。我们提供了一个简短的素描他的生活和科学贡献的苏联机械师A.N.格拉西莫夫。
Applications of derivative and difference operators on some sequences
本文利用超调和数$h_{n}^{(r)}$的上、下指标，得到了非线性递推关系。证明了广义调和数和超调和数可以由二项式系数的导数得到。在考虑差分算子和导数算子的情况下，给出了调和数和超调和数的几个恒等式。定义了负序超调和数，并给出了它的替代表示。
Estimates for the differences of positive linear operators and their derivatives
本文研究了特定正线性算子及其导数差值的估计问题，采用伯恩斯坦算子、 Kantorovich算子、真实伯恩斯坦-杜尔梅耶算子、带有雅可比权的杜尔梅耶算子等定义在有界区间上的算子，以一阶连续性模为量化形式给出估计，并通过数值例子分析理论结果。
A boundary-value problem for a mixed type equation involving hyper-Bessel fractional differential operator and Hilfer's bi-ordinal fractional derivative
在矩形区域上，考虑一类混合型方程的边值问题，该方程具有超Bessel微分算子的正则化Caputo-like对应项和双序Hilfer分数阶导数.利用分离变量法，拉普拉斯变换，所考虑的问题的一个唯一的可解性已被建立。此外，我们还找到了一类具有双序Hilfer导数和超Bessel微分算子的正则化Caputo-like对应物的非零起点微分方程初值问题的显式解.
Dunkl Operators as Covariant Derivatives in a Quantum Principal Bundle
对有限维欧氏空间$E$上的Coxeter群构造了一个量子主丛，并在此丛上定义了一个联络.与这种连接相关的协变导数是Dunkl算子，最初是作为在欧几里得空间中推广调和分析的程序的一部分引入的。这为我们提供了一种新的几何方式来观察Dunkl算子。特别是，我们提出了一个新的证明，这些运营商之间的交换性作为一个几何性质的后果，即连接曲率为零。
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