关于Kelvin函数阶导数的一个注记
A note on the order derivatives of Kelvin functions
摘要：
对于$ν\in \mathbb{R}$，我们计算$\mathrm{ber}_{ν}$、$\,\mathrm{bei}_{ν}$、$\mathrm{ker}_{ν}$和$\,\mathrm{kei}_{ν}$函数关于阶数$ν$的导数。与文献中的$\mathrm{ber}_{ν}$和$\,\mathrm{bei}_{ν}$函数的阶导数表达式不同，我们提供了更简单的表达式，也适用于负整数阶。$\mathrm{ker}_{ν}$和$\,\mathrm{kei}_{ν}$函数的阶导数的表达式似乎是新颖的。另外，作为副产品，我们计算了一些新的积分涉及$\mathrm{ber}_{ν}$和$\,\mathrm{bei}_{ν}$功能的封闭形式。最后，我们包括一个简单的推导的$\mathrm{ber}$和$\,\mathrm{bei}$功能的一些整表示。
英文摘要：
We calculate the derivative of the $\mathrm{ber}_{ν}$, $\,\mathrm{bei}_{ν}$, $\mathrm{ker}_{ν}$, and $\,\mathrm{kei}_{ν}$ functions with respect to the order $ν$ in closed-form for $ν\in \mathbb{R}$. Unlike the expressions found in the literature for order derivatives of the $\mathrm{ber}_{ν}$ and $\,\mathrm{bei}_{ν}$ functions, we provide much more simple expressions that are also applicable for negative integral order. The expressions for the order derivatives of the $\mathrm{ker}_{ν}$ and $\,\mathrm{kei}_{ν}$ functions seem to be novel. Also, as a by-product, we calculate some new integrals involving the $\mathrm{ber}_{ν}$ and $\,\mathrm{bei}_{ν}$ functions in closed-form. Finally, we include a simple derivation of some integral representations of the $\mathrm{ber}$ and $\,\mathrm{bei}$ functions.
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