Jacobian Conjecture and Nilpotent Mappings
Vik. S. Kulikov
证明了Jacobian猜想（JC（n））与多项式幂零映射（JN（n））的不动点集的基数猜想的等价性，并证明了一系列关于JN（n）的断言.
We prove the equivalence of the Jacobian Conjecture (JC(n)) and the Conjecture on the cardinality of the set of fixed points of a polynomial nilpotent mapping (JN(n)) and prove a series of assertions confirming JN(n).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A new class of Nilpotent Jacobians in any dimension
具有某种结构的幂零Jacobian的分类问题，由于与Jacobian猜想的关系，一直是研究的对象。本文对具有$JH$幂零性的$H = (u(x,y), u_2(x,y,x_3), \ldots, u_{n-1}(x,y,x_n), h(x,y))$形式的$n$维多项式映射进行了分类。证明了这类映射$X + H$是可逆的，从而证明了对这类映射的Jacobian猜想是成立的。
Polynomial maps with nilpotent Jacobians in dimension three I
本文首先证明了如果$JH$是幂零的，且$H$具有以下形式：$H=(u(x,y,z),v(u,h),h(x,y))$ with $H(0)=0$或$H=(u(x,y),v(u,h),h(x,y,z))$ with $H(0)=0$，则$u,v,h$线性依赖于${\bf K}$.然后，我们分类的多项式映射的形式$H=(u(x,y),v(x,y,z), h(x,y))$的情况下，$JH$是幂零的和$(°_yu,°_yh)\leq 2$。
Polynomial maps with nilpotent Jacobians in dimension three II
本文首先对$H=(u(x,y),v(x,y,z), h(x,y))$形式的多项式映射进行了分类，其中$JH$是幂零的，而$(°_yu,°_yh)\leq 3$，$H(0)=0$是幂零的.然后，在$JH$是幂零的情形下，对所有形式为$H=(u(x,y,z),v(x,y,u), h(x,y))$的多项式映射进行了分类，并给出了$(°v(x,y,0),°h)\leq 3$，$H(0)=0$ .最后，在一定条件下，我们对$H=(u(x,y,z),v(x,y,z), h(x,y))$形式的多项式映射进行了分类。
The classification of some polynomial maps with nilpotent Jacobians
本文首先对所有多项式映射$H$进行了分类：$H=\big(H_1(x_1,x_2,\ldots,x_n),H_2(x_1,x_2),H_3(x_1,x_2),\ldots,H_n(x_1,x_2)\big)$具有$JH$幂零性.在此基础上，我们将$H$的结构推广到$H=\big(H_1(x_1,x_2,\ldots,x_n),H_2(x_1,x_2),H_3(x_1,x_2,H_1),\ldots,H_n(x_1,x_2,H_1)\big)$。
Hessian Nilpotent Polynomials and the Jacobian Conjecture
设$z=(z_1, ..., z_n)$和$Δ=\sum_{i=1}^n \fr {\p^2}{\p z^2_i}$为拉普拉斯算子。本文的主要目的是证明著名的Jacobian猜想在没有任何附加条件的情况下等价于我们称之为{ \it消失猜想}的下列猜想：对于任何次数为$d=4$的齐次多项式$P(z)$，如果$Δ^m P^m(z)=0$对所有$m \geq 1$，那么$Δ^m P^{m+1}(z)=0$当$m>>0$，或者等价地，$Δ^m P^{m+1}(z)=0$当$m> \fr 32 (3^{n-2}-1)$ .本文还证明了上述条件$Δ^m P^m(z)=0$（$m \geq 1$）等价于$P(z)$是Hessian幂零的条件，即Hessian矩阵$\Hes P(z)=(\fr {\p^2 P}{\p z_i\p z_j})$是幂零的.利用M. de Bondt，A. van den Essen \cite{BE1}和本文关于Hessian幂零多项式的各种结果。对Hessian幂零多项式和上述消失猜想也作了进一步的讨论。
Nilpotent Jacobian maps in dimension three and stable tameness in block extensions
本文研究特征零域上具有幂零雅可比矩阵的多项式映射，通过几何与推导论证给出三维情形的规范形及显式逆与驯良分解，并推广到块扩展情形，利用剩余域判据证明稳定驯良性。
Some Remarks on the Jacobian Conjecture and Dru{ż}kowski mappings
本文首先证明了非齐次幂线性映射的雅可比猜想在一定条件下成立。其次，我们证明了关于$r\geq 1$维上Jacobian猜想的一个等价命题，并给出了$r\geq 1$的部分结果。最后，对于次数为$d \ge 2$的齐次幂线性Keller映射$F=X+H$，在满足$JH^3=0$的条件下，给出了逆多项式映射。我们将证明，如果$k \le 2$和$JH^{k+1}=0$，则${\operatorname{deg}}(F^{-1})\leq d^k$，但也给出一个$d = 2$和$JH^4=0$的例子，使得${\operatorname{deg}}(F^{-1})> d^3$。
3-nilpotent obstructions to pi_1 sections for P^1_Q - {0,1,infty}
本文研究了P^1_K -{0，1，infty}的Jacobian的哪些有理点可以提升到绝对伽罗瓦群上标准pi_1的几何3幂零元的截面上.这等价于求H^1（G_K）的元素的某些三重Massey积。对于K=Q_p或R，我们给出了一个完整的模2计算。这允许对K = Q进行一些模2计算。这些是乔丹·艾伦伯格的障碍物计算。
On the Density of Polynomial Mappings Satisfying the Jacobian Conjecture
本文针对雅可比猜想这一未解决的代数几何问题，证明对任意维数$n\geq1$，存在非空Zariski稠密开集，其中所有雅可比矩阵可逆的多项式映射均为自同构，推进了该猜想的相关密度研究。
A note on the Jacobian Conjecture
本文证明了，若Druzkowski映射$F(X)=X+(AX)^{*3}$，即$F(X)=(x_1+(a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n)^3,...,x_n+(a_{n1}x_1+...+a_{nn}x_n)^3)$，满足$TrJ((AX)^{*3})=0$，则有$rank(A)\leq 1/2(n+δ)$，其中$δ$是A中等于零的对角元素的个数.进一步证明了在$\prod_{i=1}^{n}a_{ii}\neq0$情形下，对于$\leq 9$维Druzkowski映射的Jacobian猜想成立.
Lefschetz principle-type theorems for curve semistable Higgs sheaves and applications to elliptic surfaces
本文证明了光滑项目ive簇上半稳定和曲线半稳定Higgs sheaves的Lefschetz原理型定理，并将其应用于椭圆面中，证明了关于曲线半稳定Higgs bundles的猜想。
Invariance of the jacobian Newton diagram
证明了全纯映射$(f,g):(C^2,0)\to(C^2,0)$的雅可比牛顿图只依赖于曲线对$f=0$和$g=0$的等奇异类.
Bilinear forms in the Jacobian module and binding of $N$-spectral chains of a hypersurface with an isolated singularity
用他的深刻和美丽的想法切割与超平面，莱夫谢茨解释了如何同调群的一个投影顺利品种可以建造的基本件，他所谓的原始同源性。这个想法可以应用于任何时候，我们有一个向量空间的biliner形式（即同调杯积）和一个$\pm$ -对称幂零算子幂零算子（即切割超平面）。我们将在奇点理论：由$f=0$定义的超曲面的孤立奇点的胚芽的背景下说明这一点。我们从奇点的雅可比（或米尔诺）代数中的代数设置开始，Grothendieck配对作为双线性形式，乘以$f$作为对称幂零算子。在拓扑上，利用由杯积导出的双线性形式，继续讨论了作为反对称算子的单值映射的幂零映射的对数的消失上同调。然后我们使用Brieskorn（1970），A. Varchenko（1980s），M. Saito（1989）和C. Hertling（1999，2004，2005），在奇点处引入了极化混合霍奇结构（Steenbrink，1976），并将奇点的谱作为比代数单值的特征值更深的不变量。特别地，我们展示了如何从几个$N$ -Jordan链中得到一个$f$-Jordan链，通过将它们粘在Brieskorn晶格中。
On mappings with Jacobian one
研究次数至多为d且雅可比行列式为1的多项式自同构集合\(A(n, d)\)，证明其为扎里斯基闭集，其不可约分支与雅可比猜想相关，分支维数至少为\(n^2 - 1\)，在特定条件下集合\(X(n,d)\)的一般元素是雅可比猜想反例。
Geometry of polynomial mappings at infinity via intersection homology
对于给定的多项式映射$F:\C^2\to\C^2$与非零雅可比矩阵，我们相关联的一个品种，其同源性或相交的同源性描述的几何奇点在无穷远的这个地图。
Two Results on Homogeneous Hessian Nilpotent Polynomials
设$z=(z_1, ..., z_n)$和$Δ=\sum_{i=1}^n \frac {\partial^2}{\partial z^2_i}$为拉普拉斯算子。一个形式幂级数$P(z)$称为{ \it Hessian Nilpotent}（HN），如果它的Hessian矩阵$\Hes P(z)=(\frac {\partial^2 P}{\partial z_i\partial z_j})$是幂零的.在[BE 1]、[M]和[Z]的最新发展中，雅可比猜想已被简化为以下HN多项式的所谓{ \it消失猜想}（VC）：{ \it对于任何次数的齐次HN多项式$P(z)$ $($ $d=4$ $)$，我们有$Δ^m P^{m+1}(z)=0$对于任何$m>>0$。}本文首先证明了：对于任何齐次HN多项式$P(z)$，只要$\mathbb C P^{n-1}$的由$P(z)$和$σ_2(z):=\sum_{i=1}^n z_i^2$生成的主理想所确定的射影子簇${\mathcal Z}_P$和${\mathcal Z}_{σ_2}$仅相交于${\mathcal Z}_P$的正则点，VC成立.因此，雅可比猜想对于对称多项式映射$F=z-\nabla P$与$P(z)$ HN成立，如果$F$没有非零不动点$w\in \mathbb C^n$与$\sum_{i=1}^n w_i^2=0$。其次，我们…
Matrix identities connected with the jacobian conjecture
本文以矩阵恒等式的形式分别给出了C[X，Y]中的多项式f是C^2的多项式自同构的分支和C^2的Keller多项式映射的分支的充要条件（（f，g）是Keller多项式映射当且仅当Jac（f，g）= 1）.
On Topological Approaches to the Jacobian Conjecture in $\mathbb{C}^n$
得到了非奇异多项式映射$f:\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$的非适当集$S_f$的一个结构定理。Jelonek关于$S_f$的结果和我们的结果表明，如果$f$是Jacobian猜想的反例，那么$S_f$是一个超曲面，使得对于任何$Z\subset \mathbb{C}^n$，$S_f\cap Z \neq \emptyset$是$\mathbb{C}^{n-1}$的双正则曲面，对于多项式浸入$h: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}$，$Z = h^{-1}(0)$是$Z = h^{-1}(0)$的双正则曲面.此外，我们提出的拓扑方法的Jacobian猜想在$\mathbb{C}^n$。
Test polynomials, retracts, and the Jacobian conjecture
设K [x，y]是域K上二元多项式代数。一个多项式p = p（x，y）称为一个测试多项式（对于自同构），如果，每当对于K [x，y]的一个映射，（p）= p时，这个一定是一个自同构。本文证明了p \in C [x，y]是一个检验多项式当且仅当p不属于C [x，y]的任何真收缩核.这有以下推论，可以应用于雅可比猜想：如果C [x，y]的映射具有可逆的雅可比矩阵"在一个特定的多项式上是可逆的"，那么它是自同构。更正式地说：如果存在一个非常数多项式p和C [x，y]的一个内射映射使得（（p））= p，则是一个自同构。
A note on the Jacobian Conjecture
设$F:\Bbb C^n\to\Bbb C^n$是具有非零雅可比矩阵的多项式映射。如果$F$的非适当集$S_F$是光滑的，则$F$是满射映射。此外，集合$S_F$不能连通（这是Nollet-Xavier猜想）。此外，如果$n=2$，则$F$的非适当性集合$S_F$不能是没有自相交的曲线。
A degree bound for strongly nilpotent polynomial automorphisms
设$k$是特征为零的域。令$F = X + H$是来自$k^n \to k^n$的多项式映射，其中$X$是恒等映射，并且$H$仅具有二次或更高次。我们说$H$的雅可比矩阵$JH$是指数为$p$的强幂零矩阵，如果对于所有的$X^{(1)},\ldots,X^{(p)} \in k^n$，我们有\begin{align*} JH(X^{(1)})\ldots JH (X^{(p)}) = 0. \end{align*}每个这种形式的$F$都是多项式自同构，即存在第二个多项式映射$F^{-1}$使得$F \circ F^{-1} = F^{-1} \circ F = X$。证明了逆$F^{-1}$的阶满足在强幂零情形下对一般多项式自同构的阶界$deg(F^{-1}) \leq deg(F)^n$的\begin{align*} deg(F^{-1}) \leq deg(F)^p, \end{align*}改进.
On the Newton polytope of a Jacobian pair
介绍并描述了与雅可比猜想的一个"极小”反例有关的牛顿多面体.这种描述允许获得一个更尖锐的估计的几何程度的多项式映射给出的雅可比对，并给出一个新的证明的Abhyankar的两个特征对的情况。
A Counterexample to the Global Injectivity of a Jacobian Mapping in \mathbb{C}^5 and Its Analytical Roots
研究由特定6次齐次多项式诱导的\(\mathbb{C}^5\)到\(\mathbb{C}^5\)的多项式映射\(G\)，证明其雅可比矩阵幂幺但映射非全局单射，构造出\(G(a)=G(b)=\vec{0}\)的点对，还对梯度场零集结构分类得到37个解析复解。
Invertible polynomial mappings via Newton non-degeneracy
本文证明了在实、复和混合多项式映射下雅可比问题的一个充分条件。这是从一个新的牛顿非退化条件下的映射的分支轨迹的研究。
A proof of the Generalized Jacobian conjecture
基于多项式映射的降阶和代数几何中的一些已知结果，通过引入微分拓扑、代数拓扑和代数几何中的Brouwer度这一工具，完整地证明了实数域上的广义雅可比矩阵猜想，它蕴涵着广义复雅可比猜想.对于强实Jacobian猜想，我们给出了一个新的充分和必要条件。
A minimax principle to the injectivity of the Jacobian conjecture
本文的主要结果是证明了一类实雅可比猜想。利用极小化极大原理证明了如果$F'(x)$的特征值从零有界且$F'(x)+F'(x)^T$的所有特征值严格同号，其中$ F $是从$ \mathbb{R}^n $到$ \mathbb{R}^n $的$ C^1 $映射，则$ F $是内射的.此外，$F$具有$ C^1 $逆映射。
Torelli groups and Jacobian varieties of non-orientable compact Klein surfaces
紧不可定向Klein曲面的Torelli群是模群的子群，模群由平凡地作用在曲面的第一同调群上的映射类组成。证明了若曲面的亏格至少为$3$，则Torelli群在曲面的Teichmüller空间上自由作用于不动点.这给出了克莱因曲面的Torelli空间在其复二重曲面的Torelli空间中的嵌入。我们还构建真正的环面克莱因曲面，我们称之为雅可比矩阵的表面。我们证明了这个雅可比矩阵同构于复二重矩阵雅可比矩阵实部的一个分量。
A Vanishing Conjecture on Differential Operators with Constant Coefficients
在最近的进展[BE 1]、[Me]和[Z 2]中，著名的JC（Jacobian猜想）（[BCW]、[E]）被简化为关于Laplace算子和HN（Hessian幂零）多项式（其黑塞矩阵是幂零的多项式）的VC（消失猜想）。在本文中，我们首先证明了上述的消失猜想以及JC等价于对所有二阶齐次微分算子$Λ$和$Λ$ -幂零多项式$P$（多项式$P(z)$满足$Λ^m P^m=0$对所有$m\ge 1$）的消失猜想.然后，我们将文献中关于JC，HN多项式和Laplace算子VC的某些结果转化为关于二阶齐次微分算子的$Λ$ -幂零多项式和相关VC的某些结果$Λ$ .本文的这一部分也可以被看作是对HN多项式和相关VC在更一般的设置上的简短调查。最后，我们讨论了$Λ$ -一般幂零多项式与经典的正交多项式在一个或多个变量中的一个尚未被理解的连接。这种联系为二阶常系数齐次满秩微分算子$Λ$的齐次$Λ$ -幂零多项式的各向同性性质提供了概念上的理解.
On the structure of the semigroup of entire étale mappings
我们希望能够（在未来）仔细分析这种结构，并将二维的雅可比猜想与某些Zeta函数联系起来，从而调用强大的算术机器来处理二维雅可比猜想。记二维Keller映射半群为${\rm et}(\mathbb{C}^2)$。我们想证明如下：a）存在一个无限索引集$I$，和一族由$I$索引的映射，$\{F_i\,|\,i\in I\} \subset {\rm et}(\mathbb{C}^2)$使得$$ {\rm et}(\mathbb{C}^2)={\rm Aut}(\mathbb{C}^2)\cup\bigcup_{i\in I} R_{F_i}({\rm et}(\mathbb{C}^2)), $$其中如果$i\ne j$那么$R_{F_i}({\rm et}(\mathbb{C}^2))\cap R_{F_j}({\rm et}(\mathbb{C}^2))=\emptyset$。b）与上面（a）中描述的表示的并行表示成立，这次是关于左复合算子$L_{G_j}$。这两个要求将是${\rm et}(\mathbb{C}^2)$上的分形结构的基础，因为$R_{F_i}({\rm et}(\mathbb{C}^2))$的片段在它们同胚的意义上彼此相似，并且我们进一步具有自相似的缩放性质，即$R_F({\rm et}(\mathbb{C}^2))$同胚于其固有子空间$R_{G\circ F}({…
The locus of real multiplication and the Schottky locus
证明了Hilbert模四重的泛点不是Jacobian。证明使用退化技术，是独立的性质的映射类群在前面的文件中使用的局部对称子簇的模空间的阿贝尔簇中所载的肖特基轨迹。
An intrinsic characterization of the Bogdanov-Takens normal-form coefficients and a mixed-volume obstruction to non-isolated degeneracies
该研究刻画了Bogdanov-Takens范式系数的内在表达式，证明Kolmogorov系统Takens范式阶数受牛顿多面体混合体积限制，揭示非孤立退化的相关障碍，还分析了含叉积三次项的系统及Bazykin模型的情况。
Polynomial Retracts and the Jacobian Conjecture
设$ K[x, y]$是特征为$0$的域$K$上的二元多项式代数。$K[x, y]$的一个子代数$R$称为收缩，如果存在一个幂等同态（{ \it收缩}或{ \it投影}）$φ: K[x, y] \to K[x, y]$使得$φ(K[x, y]) = R$。其他等价的收缩定义的存在提供了几种不同的研究方法，并汇集了组合代数，同调代数和代数几何的思想。在本文中，我们刻画了$ K[x, y]$的所有收缩到一个自同构，并给出了这个刻画的几个应用，特别是著名的雅可比猜想。值得注意的是，我们证明了如果$K[x,y]$的多项式映射$φ$具有可逆雅可比矩阵{ \it和}固定一个非常数多项式，则$φ$是自同构。
Random planar trees and the Jacobian conjecture
本文通过概率方法和随机洗牌子树的理论，提出了雅可比猜想的近似证明，并展示了其在渐近意义上的成立。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。