Computing global offensive alliances in Cartesian product graphs
图$G$中的全局进攻联盟是顶点的集合$S$，具有如下性质：每个不属于$S$的顶点在$S$中的邻居比它在$S$之外的邻居至少多一个。$G$的全球进攻联盟数，$γ_o(G)$，是$G$中全球进攻联盟的最小基数。一个图$G$的顶点集$S$是$G$的控制集，如果每个不属于$S$的顶点在$S$中至少有一个邻居. $G$的控制数，$γ(G)$，是$G$的控制集的最小基数。本文给出了几类笛卡儿积图的全局进攻联盟数的闭公式，证明了对任意图$G$和$H$，都有$γ_o(G\square H)\ge \frac{γ(G)γ_o(H)}{2}$，并且证明了如果$G$有有效控制集，则$γ_o(G\square H)\ge γ(G)γ_o(H).$.此外，我们还提出了全局进攻联盟数的类Vizing猜想，并对几类图证明了它.
2012-07-25 math.CO
On the global offensive alliance in unicycle graphs
对于图$G=(V,E)$，如果$V-S$中的每个顶点在$S$中至少有一个邻居，则集合$S\subseteq V$是控制集。一个支配集$S$是一个全局进攻联盟，如果对于$V-S$中的每个顶点$v$，至少有一半来自$v$的闭邻域的顶点在$S.$中。支配数$γ(G)$是$G$的一个支配集的最小基数，全局进攻联盟数$γ_{o}(G)$是$G$的一个全局进攻联盟的最小基数。我们证明了如果$G$是一个连通的单连通图的顺序$n$与$l(G)$叶和$s(G)$支持点，那么$γ_{o}(G)\geq\frac{n-l(G)+s(G)}{3}$。此外，我们刻画了所有达到这个界限的极值单连通图。
2015-11-16 math.CO
Alliance free sets in Cartesian product graphs
让$G=(V,E)$是一个图。对于顶点$S\subseteq V$和顶点$v\in V$的非空子集，令$δ_S(v)=|\{u\in S:uv\in E\}|$表示$v$在$S$中的邻居集合的基数，并且令$\bar{S}=V-S$。考虑以下条件：{方程} \label{alliancecondition} δ_S（v）\ge δ_{ \bar{S} }（v）+k，\{方程}表示顶点$v$在$S$中的邻居至少比它在$\bar{S}$中的邻居多$k$。对于每个顶点$v \in S$满足条件（\ref{alliancecondition}）的集合$S\subseteq V$称为\emph{defensive} $k$ - \emph{alliance} ;对于$S$邻域中的每个顶点$v$称为\emph{offensive} $k$ - \emph{alliance}。顶点$S\subseteq V$的子集是\emph{powerful} $k$ - \emph{alliance}，如果它既是防御$k$ -联盟又是进攻$(k +2)$ -联盟.此外，如果$X$不包含任何防御性（分别为进攻性或强大的）$k$-联盟，则子集$X\subset V$是防御性（进攻性或强大的）$k$-联盟自由集。本文研究了笛卡儿积图中的防御（进攻，强大）$k$ -联盟自由集与因子图中的防御（进攻，强大）$k$ -联…
2011-12-09 math.CO
An inequality on global alliances for trees
本文证明了关于最小规模全球防御联盟和最小规模全球进攻联盟的基数的一个不等式。全球防御联盟是一个支配集，使得当选择所选组$S$内的任何点时，其邻近区域中至少一半的点也在集合$S$中，包括所选点。全局进攻联盟是一个支配集，如果选择了$S$之外的任何点，则其邻域中至少有一半的点（包括所选的点）在集合$S$中。我们的结果回答了[HA]中的一个开放问题。
2013-07-19 math.CO
Global offensive $k$-alliances in digraphs
本文研究有向图的全局进攻性 $k$-联盟，证明其计算复杂度并给出界与极值刻画，还比较了 $k=1$ 时该参数与支配数的关系。
2019-05-03 math.CO
Offensive Alliances in Signed Graphs
该研究结合带符号图与进攻性联盟两个方向，在带符号图中定义进攻性联盟，推导相关组合结果，分析最小联盟求解的参数化复杂度，提出新参数并证明其可得到FPT结果。
2023-12-19 cs.CC math.CO
Spectral study of alliances in graphs
本文得到了图的不同类型联盟数的几个紧界：（全局）防御联盟数、全局进攻联盟数和全局对偶联盟数。特别地，我们研究了图的联盟数与它的代数连通度、它的谱半径和它的拉普拉斯谱半径之间的关系。
2006-02-20 math.CO
Defensive alliances in graphs: a survey
图$G$的顶点集$S$是$G$中的防御$k$ -联盟，如果$S$的每个顶点在$S$内部的邻居至少比外部的邻居多$k$个.这主要是一篇简要的文章调查的主要已知结果防御联盟的图。其七个部分是：介绍，计算复杂性和可实现性，防御$k$ -联盟数，边界防御$k$ -联盟，防御联盟在笛卡儿积图，划分成防御$k$ -联盟图，防御$k$ -联盟自由集。
2013-08-09 math.CO
Defensive alliance polynomial
我们引入了一个新的二元多项式，我们称之为防御联盟多项式，并表示为da（G; x，y）。它是联盟多项式的推广[Carballosa等人，2014]和强联盟多项式[Carballosa等人，2016年]。我们证明了da（G; x，y）与联盟、强联盟和诱导连通子图之间的关系[Tittmann et al.，2011]多项式。然后，我们研究了da（G; x，y）中关于G的信息.讨论了路图、圈图、星图、双星图、完全图、完全二部图、正则图、轮图、开轮图、友谊图、三角书图和四边形书图的防御联盟多项式.此外，我们还证明了上述几类图的特征是其防御联盟多项式。证明了3阶诱导子图与3阶导出子图、3阶导出子图和2阶导出子图之间的关系，刻画了完全二部图.最后，我们给出了完全图的一个顶点所构成的图的防御联盟多项式。我们证明了两对图不是由联盟多项式刻画的，而是由防御性联盟多项式刻画的。
2018-11-25 math.CO
Distinguishing wheel graphs by the alliance polynomial
联盟多项式的区别幂在以前的工作中已经被研究过，例如，已经证明了空图、路图、圈图、完全图、完全无边图和星图都可以用它的联盟多项式来刻画。此外，还证明了小度正则图的联盟多项式族是一个非常特殊的联盟多项式族，因为它不包含同度正则图以外的图的联盟多项式.在这项工作中，我们证明了联盟多项式也决定轮图。
2020-01-03 math.CO
Computing the strong alliance polynomial of a graph
引入了图的强联盟多项式。阶数为n且强防御联盟数为$a(G)$的图$G$的强联盟多项式为多项式$a(G;x):=\sum_{i=a(G)}^{n}\, a_i(G)\ x^i$，其中$a_{k}(G)$为$G$中基数为$k$的强防御联盟数.得到了$a(G; x)$及其系数的一些性质。特别是，我们计算强联盟多项式的路径，循环，完全，开始，完全二部和双星图，其中一些验证单峰。
2015-07-30 math.CO
Computing the alliance polynomial of a graph
具有阶$n$和最大度$δ_1$的图$Γ$的联盟多项式是多项式$A(Γ; x) = \sum_{k=-δ_1}^{δ_1} A_{k}(Γ) \, x^{n+k}$，其中$A_{k}(Γ)$是$Γ$中精确防御$k$ -联盟的数目。我们提供了一个计算联盟多项式的算法。进一步，我们得到了$A(Γ; x)$及其系数的一些性质.特别地，我们证明了路图、圈图、完全图和星图都可以用它们的联盟多项式来刻画。我们还表明，联盟多项式的特点是许多图，不区分其他常见的多项式的图。
2014-10-11 math.CO
Alliance polynomial of regular graphs
具有阶$n$和最大度$Δ$的图$G$的联盟多项式是多项式$A(G; x) = \sum_{k=-Δ}^Δ A_{k}(G) \, x^{n+k}$，其中$A_{k}(G)$是$G$中精确防御$k$ -联盟的数目。我们得到了正则图的$A(G; x)$及其系数的一些性质。特别地，我们用正则图的联盟多项式的非零系数的个数来刻画正则图的度。此外，我们还证明了小度$Δ$ -正则图的联盟多项式族是一个非常特殊的联盟多项式族，因为它不包含非$Δ$ -正则图的联盟多项式.利用这一结果，通过直接计算，我们发现联盟多项式唯一地决定了每一个阶小于或等于$10$的三次图。
2015-07-05 math.CO
Alliances and related parameters in graphs
在本文中，我们表明，几个图形参数是已知的，在不同的领域下完全不同的名称。更具体地说，我们的观察连接签署的统治，垄断，$α$ -支配，$α$ -独立性，积极的影响支配，并在网络中的快速信息传播相关的参数的各种概念的全局$r$ -联盟图中的参数。我们还提出了一个新的框架，称为（全球）$(D,O)$ -联盟，不仅为了表征各种已知的变体的联盟和统治参数，但也提出了一个统一的框架，联盟和统治的研究。最后，我们也给出了上述图参数的调查，表明结果如何转移，由于我们的观察。
2013-11-19 math.CO
Partitioning a graph into defensive k-alliances
图中的防御性$k$ -联盟是一个顶点集合$S$，它具有这样的性质：$S$中的每个顶点在$S$中的邻居至少比它在$S$之外的邻居多$k$。一个防御性的$k$ -联盟$S$称为全局的，如果它形成一个支配集。在本文中，我们研究的问题划分的顶点集的图（全球）防御$k$ -联盟。图$Γ=(V,E)$的（全局）防御$k$ -联盟划分数（$ψ_{k}^{gd}(Γ)$）$ψ_k^{d}(Γ)$定义为$V$的一个划分中使得每个集合是（全局）防御$k$ -联盟的最大集合数.我们得到了$ψ_k^{d}(Γ)$和$ψ_{k}^{gd}(Γ)$关于图的阶数、大小、最大度、最小度、代数连通度和等周数的紧界.此外，我们还研究了存在于$Γ_1\times Γ_2$划分成（全球）防御性$(k_1+k_2)$ -联盟和$Γ_i$划分成（全球）防御性$k_i$ -联盟，$i\in \{1,2\}$之间的密切关系。
2010-07-28 math.CO
Global defensive k-alliances in graphs
设$Γ=(V,E)$是一个简单图。对于非空集$X\subseteq V$和顶点$v\in V$，$δ_{X}(v)$表示$v$在$X$中的邻居数。一个非空集$S\subseteq V$是$Γ=(V,E)$中的一个\emph{defensive $k$-alliance}，如果$δ_S(v)\ge δ_{\bar{S}}(v)+k,$ $\forall v\in S.$一个防御性的$k$ -联盟$S$被称为\emph{global}，如果它形成一个支配集. $Γ$的\emph{global defensive $k$-alliance number}，记作$γ_{k}^{a}(Γ)$，是$Γ$中防御性$k$ -联盟的最小基数.研究了$γ_{k}^{a}(Γ)$的数学性质。
2010-03-25 math.CO
Defensive k-alliances in graphs
设$Γ=(V,E)$是一个简单图。对于非空集$X\subseteq V$和顶点$v\in V$，$δ_{X}(v)$表示$v$在$X$中的邻居数。一个非空集$S\subseteq V$是$Γ=(V,E)$中的一个\emph{defensive $k$-alliance}，如果$δ_S(v)\ge δ_{\bar{S}}(v)+k,$ $\forall v\in S.$ $Γ$的防御$k$ -联盟数，用$a_k(Γ)$表示，定义为$Γ$中防御$k$ -联盟的最小基数。我们研究了$a_k(Γ)$的数学性质。
2008-12-08 math.CO
Distribution of global defensive $k$-alliances over some graph products
如果$G=(V_G, E_G)$是一个图，则$S\subseteq V_G$是$G$中的一个全局防御$k$ -联盟，如果（i）每个不在$S$中的顶点在$S$中都有一个邻居，并且（ii）$S$中的每个顶点在$S$中的邻居至少比在$S$外的邻居多$k$个，$G$的全局防御$k$ -联盟数是$G$中所有全局防御$k$ -联盟中的最小基数.本文在广义层次积、字典序积、电晕积和边电晕积上研究了这一概念。对于所有这些产品的上界表示与相关的不变量的因素。并讨论了边界的Sharpness。
2018-12-07 math.CO
On defensive alliances and line graphs
设$Γ$是一个简单的图，其大小为$m$，度序列为$δ_1\ge δ_2\ge ... \ge δ_n$。令${\cal L}(Γ)$表示$Γ$的线图。研究了简单图的线图的联盟数${a}({\cal L}(Γ)$和全局联盟数$γ_{a}({\cal L}(Γ))$的数学性质。我们证明了$\lceil\frac{δ_{n}+δ_{n-1}-1}{2}\rceil \le {a}({\cal L}(Γ))\le δ_1.$特别地，如果$Γ$是$δ$ -正则图（$δ>0$），则$a({\cal L}(Γ))=δ$，如果$Γ$是$(δ_1,δ_2)$ -半正则二部图，则$a({\cal L}(Γ))=\lceil \frac{δ_1+δ_2-1}{2} \rceil$ .作为研究的结果，我们比较$a({\cal L}(Γ))$和${a}(Γ)$，我们表征的图形有$a({\cal L}(Γ))<4$。证明了${\cal L}(Γ)$的全局连通联盟数受$γ_{ca}({\cal L}(Γ)) \ge \lceil\sqrt{D(Γ)+m-1}-1\rceil,$约束，其中$D(Γ)$表示$Γ$的直径，并且证明了${\cal L}(Γ)$的全局连通联盟数受$γ_{a}({\cal L}(Γ))\geq \lceil\frac{2m}{δ_{1}+δ_{2}+1}\rceil$约束.通过类比研究了强…
2006-02-20 math.CO
Global Defensive Alliances in the Lexicographic Product of Paths and Cycles
图$G$的顶点集合$S$是$G$的\textit{defensive alliance}，如果对于每个$v \in S$，它保持$|N[v] \cap S| \geq |N[v]-S|$。如果联盟$S$也是支配集，则称为$global$。本文给出了路与圈的字典序积的全局防御联盟数的精确值。
2018-10-18 math.CO
Partitioning zero-divisor graphs of finite commutative rings into global defensive alliances
本文研究将有限交换环的零因子图顶点集划分为全局防御联盟的问题，刻画了满足该性质的多种有限交换环，并给出示例说明结果的适用范围与局限。
2023-05-22 math.AC math.CO
Open k-monopolies in graphs: complexity and related concepts
本文研究图中的开放k-垄断，证明计算最小开放0-垄断基数是NP-完全的（即使对二分图或弦图），并给出一般界与精确值，建立与有符号全支配函数及全局k-联盟的联系。
2017-02-09 math.CO
