Distribution of global defensive $k$-alliances over some graph products
如果$G=(V_G, E_G)$是一个图，则$S\subseteq V_G$是$G$中的一个全局防御$k$ -联盟，如果（i）每个不在$S$中的顶点在$S$中都有一个邻居，并且（ii）$S$中的每个顶点在$S$中的邻居至少比在$S$外的邻居多$k$个，$G$的全局防御$k$ -联盟数是$G$中所有全局防御$k$ -联盟中的最小基数.本文在广义层次积、字典序积、电晕积和边电晕积上研究了这一概念。对于所有这些产品的上界表示与相关的不变量的因素。并讨论了边界的Sharpness。
2018-12-07 math.CO
Alliance free sets in Cartesian product graphs
让$G=(V,E)$是一个图。对于顶点$S\subseteq V$和顶点$v\in V$的非空子集，令$δ_S(v)=|\{u\in S:uv\in E\}|$表示$v$在$S$中的邻居集合的基数，并且令$\bar{S}=V-S$。考虑以下条件：{方程} \label{alliancecondition} δ_S（v）\ge δ_{ \bar{S} }（v）+k，\{方程}表示顶点$v$在$S$中的邻居至少比它在$\bar{S}$中的邻居多$k$。对于每个顶点$v \in S$满足条件（\ref{alliancecondition}）的集合$S\subseteq V$称为\emph{defensive} $k$ - \emph{alliance} ;对于$S$邻域中的每个顶点$v$称为\emph{offensive} $k$ - \emph{alliance}。顶点$S\subseteq V$的子集是\emph{powerful} $k$ - \emph{alliance}，如果它既是防御$k$ -联盟又是进攻$(k +2)$ -联盟.此外，如果$X$不包含任何防御性（分别为进攻性或强大的）$k$-联盟，则子集$X\subset V$是防御性（进攻性或强大的）$k$-联盟自由集。本文研究了笛卡儿积图中的防御（进攻，强大）$k$ -联盟自由集与因子图中的防御（进攻，强大）$k$ -联…
2011-12-09 math.CO
Computing the strong alliance polynomial of a graph
引入了图的强联盟多项式。阶数为n且强防御联盟数为$a(G)$的图$G$的强联盟多项式为多项式$a(G;x):=\sum_{i=a(G)}^{n}\, a_i(G)\ x^i$，其中$a_{k}(G)$为$G$中基数为$k$的强防御联盟数.得到了$a(G; x)$及其系数的一些性质。特别是，我们计算强联盟多项式的路径，循环，完全，开始，完全二部和双星图，其中一些验证单峰。
2015-07-30 math.CO
An inequality on global alliances for trees
本文证明了关于最小规模全球防御联盟和最小规模全球进攻联盟的基数的一个不等式。全球防御联盟是一个支配集，使得当选择所选组$S$内的任何点时，其邻近区域中至少一半的点也在集合$S$中，包括所选点。全局进攻联盟是一个支配集，如果选择了$S$之外的任何点，则其邻域中至少有一半的点（包括所选的点）在集合$S$中。我们的结果回答了[HA]中的一个开放问题。
2013-07-19 math.CO
On defensive alliances and line graphs
设$Γ$是一个简单的图，其大小为$m$，度序列为$δ_1\ge δ_2\ge ... \ge δ_n$。令${\cal L}(Γ)$表示$Γ$的线图。研究了简单图的线图的联盟数${a}({\cal L}(Γ)$和全局联盟数$γ_{a}({\cal L}(Γ))$的数学性质。我们证明了$\lceil\frac{δ_{n}+δ_{n-1}-1}{2}\rceil \le {a}({\cal L}(Γ))\le δ_1.$特别地，如果$Γ$是$δ$ -正则图（$δ>0$），则$a({\cal L}(Γ))=δ$，如果$Γ$是$(δ_1,δ_2)$ -半正则二部图，则$a({\cal L}(Γ))=\lceil \frac{δ_1+δ_2-1}{2} \rceil$ .作为研究的结果，我们比较$a({\cal L}(Γ))$和${a}(Γ)$，我们表征的图形有$a({\cal L}(Γ))<4$。证明了${\cal L}(Γ)$的全局连通联盟数受$γ_{ca}({\cal L}(Γ)) \ge \lceil\sqrt{D(Γ)+m-1}-1\rceil,$约束，其中$D(Γ)$表示$Γ$的直径，并且证明了${\cal L}(Γ)$的全局连通联盟数受$γ_{a}({\cal L}(Γ))\geq \lceil\frac{2m}{δ_{1}+δ_{2}+1}\rceil$约束.通过类比研究了强…
2006-02-20 math.CO
Partitioning zero-divisor graphs of finite commutative rings into global defensive alliances
本文研究将有限交换环的零因子图顶点集划分为全局防御联盟的问题，刻画了满足该性质的多种有限交换环，并给出示例说明结果的适用范围与局限。
2023-05-22 math.AC math.CO
Spectral study of alliances in graphs
本文得到了图的不同类型联盟数的几个紧界：（全局）防御联盟数、全局进攻联盟数和全局对偶联盟数。特别地，我们研究了图的联盟数与它的代数连通度、它的谱半径和它的拉普拉斯谱半径之间的关系。
2006-02-20 math.CO
Computing the alliance polynomial of a graph
具有阶$n$和最大度$δ_1$的图$Γ$的联盟多项式是多项式$A(Γ; x) = \sum_{k=-δ_1}^{δ_1} A_{k}(Γ) \, x^{n+k}$，其中$A_{k}(Γ)$是$Γ$中精确防御$k$ -联盟的数目。我们提供了一个计算联盟多项式的算法。进一步，我们得到了$A(Γ; x)$及其系数的一些性质.特别地，我们证明了路图、圈图、完全图和星图都可以用它们的联盟多项式来刻画。我们还表明，联盟多项式的特点是许多图，不区分其他常见的多项式的图。
2014-10-11 math.CO
Alliance polynomial of regular graphs
具有阶$n$和最大度$Δ$的图$G$的联盟多项式是多项式$A(G; x) = \sum_{k=-Δ}^Δ A_{k}(G) \, x^{n+k}$，其中$A_{k}(G)$是$G$中精确防御$k$ -联盟的数目。我们得到了正则图的$A(G; x)$及其系数的一些性质。特别地，我们用正则图的联盟多项式的非零系数的个数来刻画正则图的度。此外，我们还证明了小度$Δ$ -正则图的联盟多项式族是一个非常特殊的联盟多项式族，因为它不包含非$Δ$ -正则图的联盟多项式.利用这一结果，通过直接计算，我们发现联盟多项式唯一地决定了每一个阶小于或等于$10$的三次图。
2015-07-05 math.CO
On global offensive alliance in zero-divisor graphs
设$\G(V,E)$是一个无环无重边的简单图.一个非空子集$S \subseteq V$称为{ \em全局进攻联盟}，如果每个顶点$v \in V- S$都满足该$\d_S(v) \geq \d_{\overline{S}}(v)+1$。{ \em全球进攻联盟编号} $\g^o(Γ)$定义为所有全球进攻联盟中的最小基数。设$R$是有限的有单位元的交换环.本文首次研究了零因子图$\G(R)$的全局进攻联盟数。
2021-06-17 math.CO
On global offensive k-alliances in graphs
研究了全局进攻$k$ -联盟与图的某些特征集之间的关系，这些特征集包括$r$ -依赖集和$τ$ -控制集.作为研究的结果，我们得到的全球进攻$k$ -联盟数的几个参数的图方面的界限。
2009-08-12 math.CO
Offensive alliances in cubic graphs
图$Γ=(V,E)$中的进攻联盟是一组顶点$S\subset V$，其中对于其边界中的每个顶点$v$，它保持$v$的闭邻域中的大多数顶点在$S$中。在强大的进攻联盟的情况下，需要严格的多数。如果$S$影响到$V\backslash S$中的每一个顶点，即$S$是$Γ$的支配集，则称该联盟是全局的。全球进攻联盟号$γ_o(Γ)$（分别为全球强进攻联盟号$γ_{\hat{o}}(Γ)$）是PDMATHAMR中全球进攻（分别为全球强进攻）联盟的最小基数。如果$Γ$具有全局独立进攻联盟，则\emph{global independent offensive alliance number} $γ_i(Γ)$是$Γ$的所有独立全局进攻联盟中的最小基数。本文研究了三次图的全局（强）联盟数的数学性质。例如，我们证明了对所有连通三次图的$n$，$$\frac{2n}{5}\le γ_i(Γ)\le \frac{n}{2}\le γ_{\hat{o}}(Γ)\le \frac{3n}{4} \le γ_{\hat{o}}({\cal L}(Γ))=γ_{o}({\cal L}(Γ))\le n,$$，其中${\cal L}(Γ)$表示$Γ$的线图.所有上述边界都是紧的。
2006-09-30 math.CO
Trees with unique minimum glolal offensive alliance sets
设$G=$ $\left( V,E\right) $是一个单图。一个非空集$S \subseteq V$称为全局进攻联盟，如果$S$是一个控制集，并且对于$V-S$中的每个顶点$v$，至少有一半来自$v$的闭邻域的顶点在$S$中.全局进攻联盟数是$G$中全局进攻联盟的最小基数。在本文中，我们给出了一个具有唯一的最小全球进攻联盟的树的建设性特征。
2018-04-19 math.CO
Computing global offensive alliances in Cartesian product graphs
图$G$中的全局进攻联盟是顶点的集合$S$，具有如下性质：每个不属于$S$的顶点在$S$中的邻居比它在$S$之外的邻居至少多一个。$G$的全球进攻联盟数，$γ_o(G)$，是$G$中全球进攻联盟的最小基数。一个图$G$的顶点集$S$是$G$的控制集，如果每个不属于$S$的顶点在$S$中至少有一个邻居. $G$的控制数，$γ(G)$，是$G$的控制集的最小基数。本文给出了几类笛卡儿积图的全局进攻联盟数的闭公式，证明了对任意图$G$和$H$，都有$γ_o(G\square H)\ge \frac{γ(G)γ_o(H)}{2}$，并且证明了如果$G$有有效控制集，则$γ_o(G\square H)\ge γ(G)γ_o(H).$.此外，我们还提出了全局进攻联盟数的类Vizing猜想，并对几类图证明了它.
2012-07-25 math.CO
On the global offensive alliance in unicycle graphs
对于图$G=(V,E)$，如果$V-S$中的每个顶点在$S$中至少有一个邻居，则集合$S\subseteq V$是控制集。一个支配集$S$是一个全局进攻联盟，如果对于$V-S$中的每个顶点$v$，至少有一半来自$v$的闭邻域的顶点在$S.$中。支配数$γ(G)$是$G$的一个支配集的最小基数，全局进攻联盟数$γ_{o}(G)$是$G$的一个全局进攻联盟的最小基数。我们证明了如果$G$是一个连通的单连通图的顺序$n$与$l(G)$叶和$s(G)$支持点，那么$γ_{o}(G)\geq\frac{n-l(G)+s(G)}{3}$。此外，我们刻画了所有达到这个界限的极值单连通图。
2015-11-16 math.CO
Offensive k-alliances in graphs
假设$G=(V,E)$是一个简单图。对于一个非空集$X\subset V,$和一个顶点$v\in V,$，$δ_{X}(v)$表示$v$在$X.$中的邻居数。如果$δ_S(v)\ge δ_{\bar{S}}(v)+r,$ $\forall v\in \partial (S),$，其中$\partial (S)$表示$S$的边界，则非空集$S\subset V$是$G$中的\emph{offensive $r$-alliance}。进攻性$r$ -联盟$S$称为\emph{global}，如果它形成一个支配集. $G$的\emph{global offensive $r$-alliance number}，用$γ_{r}^{o}(G)$表示，是$G$中全球进攻性$r$ -联盟的最小基数。我们发现，问题的最佳（全球）进攻$r$联盟是NP-完全的，我们得到了几个紧界$γ_{r}^{o}(G)$。
2007-03-20 math.CO
On the global offensive alliance number of a graph
图$Γ=(V,E)$中的进攻联盟是一组顶点$S\subset V$，其中对于其边界上的每个顶点$v$，它认为$v$的闭邻域中的大多数顶点都在$S$中。在强大的进攻联盟的情况下，需要严格的多数。如果$S$影响到$V\backslash S$中的每一个顶点，即$S$是$Γ$的支配集，则称该联盟是全局的。进攻联盟数$a_o(Γ)$（分别为强进攻联盟数$a_{\hat{o}}(Γ)$）是$Γ$中进攻（分别为强进攻）联盟的最小基数。全局进攻联盟号$γ_o(Γ)$和全局强进攻联盟号$γ_{\hat{o}}(Γ)$被类似地定义。显然，$a_o(Γ)\le γ_o(Γ)$和$a_{\hat{o}}(Γ)\le γ_{\hat{o}}(Γ)$。它在[讨论]中显示。Math. GraphTheory，24（2004），no.2，263-275]，$ a_o(Γ)\le \frac{2n}{3}$和$ a_{\hat{o}}(Γ)\le \frac{5n}{6}$，其中$n$表示$Γ$的阶。本文利用$Γ$的几个参数得到了$γ_o(Γ)$和$γ_{\hat{o}}(Γ)$的几个紧界.例如，我们证明了$\frac{2m+n}{3Δ+1} \le γ_o(Γ)\le \frac{2n}{3}$和$\frac{2(m+n)}{3Δ+2} \leγ_{\hat{o}}(Γ)\le \frac{5n}{6}$，其中…
2006-02-20 math.CO
Alliances and related parameters in graphs
在本文中，我们表明，几个图形参数是已知的，在不同的领域下完全不同的名称。更具体地说，我们的观察连接签署的统治，垄断，$α$ -支配，$α$ -独立性，积极的影响支配，并在网络中的快速信息传播相关的参数的各种概念的全局$r$ -联盟图中的参数。我们还提出了一个新的框架，称为（全球）$(D,O)$ -联盟，不仅为了表征各种已知的变体的联盟和统治参数，但也提出了一个统一的框架，联盟和统治的研究。最后，我们也给出了上述图参数的调查，表明结果如何转移，由于我们的观察。
2013-11-19 math.CO
Global offensive $k$-alliances in digraphs
本文研究有向图的全局进攻性 $k$-联盟，证明其计算复杂度并给出界与极值刻画，还比较了 $k=1$ 时该参数与支配数的关系。
2019-05-03 math.CO
Open k-monopolies in graphs: complexity and related concepts
本文研究图中的开放k-垄断，证明计算最小开放0-垄断基数是NP-完全的（即使对二分图或弦图），并给出一般界与精确值，建立与有符号全支配函数及全局k-联盟的联系。
2017-02-09 math.CO
