The representation-theoretic rank of the doubles of quasi-quantum groups
Daniel Bulacu, Blas Torrecillas
在有限维左$D(H)$ -模的刚性辫范畴内，计算了有限维拟霍普夫代数$H$及其量子对偶$D(H)$的表示论秩.
We compute the representation-theoretic rank of a finite dimensional quasi-Hopf algebra $H$ and of its quantum double $D(H)$, within the rigid braided category of finite dimensional left $D(H)$-modules.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Representations of the Drinfeld doubles of Pointed rank one Hopf algebras
本文分类了特征零代数闭域上 pointed rank one Hopf 代数的 Drinfeld 偶的所有有限维不可分解模，刻画其 Auslander–Reiten 序列，并证明其为驯顺表示型。
Finite dimensional representations of double affine Hecke algebra of rank 1
在$q$不是1的根的情况下，对$C^{\vee}C_1$型双仿射Hecke代数的有限维表示进行了分类.
Zhedanov's Algebra AW(3) and the Double Affine Hecke Algebra in the Rank One Case. II. The Spherical Subalgebra
本文在作者的前一篇论文arXiv：math/0612730的基础上，建立了Zedanov代数AW（3）与对应于Askey-Wilson多项式的双仿射Hecke代数（DAHA）之间的关系.本文证明了这个DAHA的球面子代数与AW（3）同构，并附加了Casimir算子等于一个显式常数的关系。一个类似的结果与q-移位参数保持反球子代数。最后，作为球面子代数和反球面子代数特征的推论，证明了所考虑代数的中心化子和中心的一些定理。
In the paper, we describe the Drinfel'd double structure of the $n$-rank Taft algebra and all of its simple modules, and then endow its $R$-matrices with some application to knot invariants. The knot invariants we get is a generalization of the Jones polynomial, in particular, it recovers the Jones polynomial in rank $1$ case, while in rank $2$ case, it is the one-parameter specialization of the two-parameter unframed Dubrovnik polynomial, and in higher rank case it is the composite ($n$-power) of the Jones polynomial.
Double-bosonization and Majid's conjecture, (I): rank-induction of $ABCD$
马吉德在\cite{majid3}中发展了他的双玻色化理论来构建$U_q(\mathfrak g)$，并期望从节点开始归纳生成的不仅仅是一条线，而是一棵量子群树。在本文中，作者通过给出和验证经典类型的\cite{majid3}的归纳结构的全部细节，即，$ABCD$系列。给出了低秩量子群的一些例子，说明了任何经典型量子群都可以由对应于$U_{q}(\mathfrak{sl}_2)$的节点构造出来。
Rank Varieties for Hopf Algebras
我们构造了Taft代数的Drinfel'd二重和U_q（sl ~ 2）的秩簇。对于Drinfel'd双当n=2这使用一个结果，确定一个家庭的子代数，控制投影的A-模块，只要A是一个霍普夫代数满足一定的同调条件。在这种情况下，我们表明，我们的秩品种同胚的上同调支持品种。我们还证明了对于任何有限生成模M，Ext^*（M，M）在Drinfel'd double的上同调环上是非生成的.
Generalized double affine Hecke algebras of higher rank
本文定义了一个高阶广义双仿射Hecke代数（GDAHA），它依附于一个非Dynkin星形图D。这概括了math.QA/0406480和math.QA/0409261中定义的等级1的GDAHA。如果图是D4扩张的，则GDAHA是Sahi在q-alg/9710032中定义的代数，它是BCn型Cherednik代数的推广。证明了GDAHA的形式PBW定理，并在D是仿射的（即扩展的D4，E6，E7，E8）和q=1的情况下，参数化了它的不可约表示.我们制定了一系列的代数性质的GDAHA。我们期望，类似于秩为1的GDAHA如何提供del Pezzo曲面的量化（如数学QA/0406480中所示），更高秩的GDAHA提供这些曲面的Hilbert方案的变形的量化。证明是基于理性版本的GDAHA（这是密切相关的代数研究数学QA/0401038），和微分方程的Knizhnik-Zamolodchikov型的研究。
The Projective Class Rings of Drinfeld doubles of pointed rank one Hopf algebras
本文研究了指定位数为一的Hopf代数的Drinfeld双的Grothendieck环和射影类环，给出了单模与不可分解射影模张量积的显式分解规则，并用生成元和定义关系描述了这两个环。
Manifolds with small Heegaard Floer ranks
我们证明了唯一具有正的第一贝蒂数和秩为2的Heegaard弗洛尔同调的不可约三流形同胚于三叶形上的零框架手术。我们分类链接的分支双重覆盖产生这个流形。结合从Khovanov同调到分支复盖的弗洛尔同调的谱序列，我们的结果表明Khovanov同调检测解结当且仅当它检测到两个分量解链.
The Relationship between Zhedanov's Algebra AW(3) and the Double Affine Hecke Algebra in the Rank One Case
本文考虑Zhedanov代数AW（3）的显式结构常数，使得在基本表示中，第一个生成元成为Askey-Wilson多项式的二阶q-差分算子.证明了该表示对于AW（3）的某个商是忠实的，使得Casimir算子等于一个特殊常数.在不需要一般DAHA理论知识的情况下，给出并证明了与对称和非对称Askey-Wilson多项式相关的双仿射Hecke代数（DAHA）的一些显式性质.最后引入了AW（3）的商的中心扩张，它可以通过两个代数的忠实基本表示嵌入DAHA中。
Groupes Quantiques d'Interpolation de Langlands de Rang 1
秩为1的内插Langlands量子群--我们研究了一类由正整数g参数化的双变形代数U（sl 2），在arXiv：0809.4453的精神下.我们证明了这些双重形变中的每一个同时形变两个秩为1的量子群。我们证明了这种插值性质解释了秩为1的量子群表示的朗兰兹对偶性。因此，我们证明了arXiv：0809.4453的一个猜想：对于所有g，我们证明了同时使两个朗兰兹对偶表示变形的表示的存在性。我们还更一般地研究了这类双形变的有限秩表示论。- On étudie une certaine famille，paramétrée par un entier g strictement positive，de doubles déformations de l'algébre propante U（sl 2），dans l'esophageal de arXiv：0809.4453.根据1号范围的两组数量，证明了这些双重变形的特征。在Montre que cette propriété d'interpolation explique la dualité de Langlands pour les representations des groupes quantiques en rang 1.在这种情况下，关于arXiv：0809.4453的一个猜想：关于证明存在两个朗兰兹对偶表示的所有表示。对…
Double Affine Hecke Algebras of Rank 1 and the $Z_3$-Symmetric Askey-Wilson Relations
考虑与根系$(C^\vee_1,C_1)$相关的双仿射Hecke代数$H=H(k_0,k_1,k^\vee_0,k^\vee_1;q)$.我们在$H$中显示了三个元素$x$，$y$，$z$，它们基本上满足$Z_3$对称的Askey-Wilson关系.我们得到如下关系式。我们使用一个比$H$更一般的代数$\hat H$，称为$(C_1^\vee,C_1)$型泛双仿射Hecke代数。$\hat H$优于$H$的一个优点是它是无参数的，并且具有更大的自同构群。给出了一个满射代数同态${\hat H} \to H$ .我们在$\hat H$中定义了一些元素$x$、$y$、$z$，这些元素通过这种同态映射到$H$中的对应元素。我们给出了Artin辫子群$B_3$在$\hat H$上的一个作用，它很好地作用于元素$x$，$y$，$z$ ;一个生成器发送$x\mapsto y\mapsto z \mapsto x$，另一个生成器交换$x$，$y$。利用$B_3$作用量，我们证明了$\hat H$中的元素$x$，$y$，$z$满足三个类似于$Z_3$ -对称Askey-Wilson关系的方程.应用同态${\hat H}\to H$，我们发现$H$中的元素$x$，$y$，$z$满足相似关系.
Double affine Hecke algebras of rank 1 and affine cubic surfaces
研究了$C^\vee C_1$型双仿射Hecke代数的五参数族$H(t_1,t_2,t_3,t_4;q)$的代数性质.这个家族推广了Cherednik的秩为1的双仿射Hecke代数。它是由Sahi引入的，并由Noumi和Stokman作为控制Askey-Wilson多项式的代数结构进行研究。我们表明，如果$q=1$，那么$H$的中心的频谱是一个仿射三次曲面$C$，通过删除一个三角形组成的光滑点从一个投影。此外，任何这样的表面作为$H$的中心的一些参数值的频谱。这一结果允许人们给出一个简单的几何描述的行动的一个扩展的$PGL_2(\Bbb Z)$的$\Bbb Z$上的中心的$H$。当$C$是光滑的时，它具有唯一的代数辛结构，并且$q=e^\hbar$的代数$H$的球面子代数$eHe$提供了它的变形量子化。使用该$H^2(C,\Bbb C)=\Bbb C^5$，我们发现Hochschild上同调$HH^2(H)$（对于$q=e^\hbar$）对于通用参数值是5维的。由此我们推断，$H$的唯一变形来自参数的变化。这从非对易几何的观点解释了为什么不能在阿斯基-威尔逊多项式理论中加入更多的参数。我们还证明了五参数代数族$H(t_1,t_2,t_3,t_4;q)$给出了$q$-Weyl代数与${\Bbb Z}_2$和三次曲面族$C=C_{\underline{t}}$交叉的泛变形，$\unde…
Double-bosonization and Majid's Conjecture, (IV): Type-Crossings from $A$ to $BCD$
在Majid的双玻色化理论和Rosso的量子洗牌理论中，$U_q(\mathfrak g)$的秩诱导和类型交叉构造仍然是一个悬而未决的问题。本文在Majid的框架下，基于我们在\cite{HH2}中证明的广义双玻色化定理，通过添加一对由$A$型的一对$(R, R')$ -矩阵确定的对偶辫群，进一步明确地描述了直接来自$A_{n-1}$型的$(BCD)_n$序列的$U_q(\mathfrak g)$的类型交叉构造. %，推广了\cite{HH1}中构造的低秩情况。结合我们在\cite{HH1,HH2,HH3}中的工作，解决了Majid猜想，即任何与一个简单李代数$\mathfrak g$相联系的量子群$U_q(\mathfrak g)$都可以通过一系列适当选择的双玻色化过程从$U_q({\mathfrak {sl}}_2)$中归纳地生长出来.
Generalized double affine Hecke algebras of rank 1 and quantized Del Pezzo surfaces
设D是秩为r的简单花边Dynkin图，其仿射具有星形形状（即，D4、E6、E7、E8）。对于这样的图，可以附加一个群G，其生成元对应于仿射化的分支，其阶数等于分支长度加1，并且生成元的乘积为1。那么群G是一个二维晶体群：G=Z_1 \ltimes Z ^2，其中l分别是2、3、4和6。本文定义了这个群的群代数C[G]的一个平坦变形H（t，q），把关于生成元具有预定阶的关系用它们的变形代替，即生成元满足这些阶的首一多项式方程，其根是任意的（变形参数）. D4的代数H（t，q）是C^ \check C_1型的切雷德尼克代数，它由Noumi，Sahi和Stokman研究，并控制Askey-Wilson多项式。证明了H（t，q）是G的扭群代数的泛变形，并且这种变形与C[G]上的某些滤子相容.我们还证明了，如果q是单位根，则对一般t，代数H（t，q）是Azumaya代数，其中心是仿射del Pezzo曲面上的函数代数.对于一般的q，球面子代数eH（t，q）e提供了这样的曲面的量子化。我们还讨论了H（t，q）与预投射代数和Painlevé VI的联系。
Based cluster algebras of infinite rank
将基于簇代数从有限秩推广到无限秩，通过扩展与双Bott-Samelson细胞相关的初始种子，恢复了来自（移位）量子仿射代数表示的无限秩簇代数，并证明了有限型Cartan矩阵下辫群作用可计算基本变量。
Comparison of unitary duals of Drinfeld doubles and complex semisimple Lie groups
我们确定了一个$q$ -变形的紧李群的Drinfeld双的酉表示理论的相当大的一部分，在紧李群的复化。利用这一性质，我们证明了高阶紧李群的每个$q$ -变形的对偶都具有中心性质${\rm (T)}$ .我们还确定了$SL_q(n,\mathbb{C})$的酉对偶.
Higher Rank Macdonald Polynomials
本文构造高阶非对称与对称 Macdonald 多项式，证明其 Knop–Sahi 关系、权组合描述、稳定性及椭圆 Hall 代数和双 Dyck 路径代数表示意义。
Fusion subcategories of representation categories of twisted quantum doubles of finite groups
我们描述了有限群的扭曲量子偶的表示范畴的所有融合子范畴。鉴于每个群论辫状融合范畴都可以嵌入到有限群的扭曲量子偶的表示范畴中，这就给出了所有群论辫状融合范畴的完整描述.我们描述了格，并给出了有限群的扭曲量子偶的表示范畴的融合子范畴的一些不变量的公式。我们还给出了群论辫融合范畴作为尖范畴的等变化的一个刻画。
Reducibility of the polynomial representation of the degenerate double affine Hecke algebra
本文确定了退化双仿射Hecke代数（DAHA）的多项式表示（即三角Cherednik代数）可约的参数c的值。也就是说，我们证明了c是一个约化点的多项式表示的三角Cherednik代数的根系R当且仅当它是一个约化点的有理Cherednik代数的外尔群的一些根子系统R'的R的相同的秩;这样的子系统的任何R是由著名的Borel-de Siebenthal算法。这一结果已由切雷德尼克使用个案的方法证明。
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