Graphs and Hermitian matrices: exact interlacing
Bela Bollobas, Vladimir Nikiforov
证明了矩阵的极值特征值与其商相等的条件。特别地，我们给出了矩阵最大奇异值的一个下界，推广了Finck和Grohmann关于图的最大特征值的一个结果.
We prove conditions for equality between the extreme eigenvalues of a matrix and its quotient. In particular, we give a lower bound on the largest singular value of a matrix and generalize a result of Finck and Grohmann about the largest eigenvalue of a graph.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Interlacing families and the Hermitian spectral norm of digraphs
证明了对任意有限连通图$G$，存在$G$的一个定向，使得其对应的Hermite邻接矩阵的谱半径小于或等于$G$的泛覆盖的谱半径（等式当且仅当$G$是树）.这解决了Mohar提出的一个问题。证明使用的方法交错家庭的多项式，是由马库斯，斯皮尔曼，和Srivastava在他们的开创性工作存在的无限家庭拉马努金图。
Veronese sections and interlacing matrices of polynomials and formal power series
本文提出形式幂级数的完全交错矩阵概念，证明其在矩阵乘积、翻转及 Veronese 截面下保持，并推广统一了文献中的相关结果，应用于单纯复形的均匀三角剖分。
Zeros and interlacing for multiset Eulerian-Narayana polynomials
本文证明了多重集欧拉-那拉亚纳多项式的实根性猜想，通过森林分解和拉格朗日反演得到微分算子分解，进而证明零点非递减性及转移矩阵的完全非负性，并建立相邻列生成多项式零点的严格交错性。
The inverse nullity pair problem and the strong nullity interlacing property
本文研究了图论中的逆 $i$-零度对问题，针对完全图、环和树探讨了矩阵零度对的实现，并引入强零度交错性质及超图引理和反收缩引理作为构造矩阵的新工具。
Resistance matrices of graphs with matrix weights
简单连通图$G$的\emph{resistance matrix}记为$R$，定义为$R =(r_{ij})$，其中$r_{ij}$是$G$的顶点$i$和$j$之间的电阻距离。本文考虑边权为同大小正定矩阵的赋权图的阻力矩阵。我们推导出一个公式的行列式和逆的阻力矩阵。然后，我们建立了电阻矩阵和拉普拉斯矩阵的特征值的交错不等式。利用这个交错不等式，我们得到了阻力矩阵的惯量。
Inertia indices and eigenvalue inequalities for Hermitian matrices
利用惯性指标给出了两个埃尔米特矩阵之间特征值不等式的一个刻画.作为应用，我们用简单而统一的方法讨论了埃尔米特矩阵的一些经典特征值不等式，包括Cauchy交错定理和Weyl不等式.我们还给出了一个共同的推广的特征值不等式的（埃尔米特）正规化拉普拉斯矩阵的简单（有符号的，加权的，有向的）图。我们的方法也适用于由Mohar最近引入的第二类有向图的埃尔米特矩阵。
Hermitian adjacency matrix of digraphs and mixed graphs
本文利用有向图的厄米邻接矩阵，对有向图的谱进行了深入的研究。该矩阵由有向图的顶点索引，并且如果不存在反向弧$yx$，则对应于从$x$到$y$的弧的条目等于复数单位$i$（并且其对称条目是$-i$）。我们还允许两个方向上的弧和无方向的边，在这种情况下，我们使用$1$作为条目。这允许将该定义也用于混合图。这个矩阵有许多好的性质;它有实特征值，并且交织定理对有向图和它的导出子有向图成立。除了讨论基本性质外，我们还讨论了与无向图特征值性质的许多不同之处，并发展了基本理论。主要的新结果包括以下几个方面。几个令人惊讶的事实被发现的光谱半径;一些后果的交错财产获得;操作，保持频谱进行了讨论-他们产生了令人难以置信的数量的cospectral有向图;为每一个$0\leα\le\sqrt{3}$，所有有向图的频谱包含在间隔$(-α,α)$确定。
Graphs and Hermitian matrices: discrepancy and singular values
引入了埃尔米特矩阵的一个偏差度量，建立了埃尔米特矩阵的第二奇异值与其偏差之间的一个不等式.应用这些结果回答了范冲关于图的特征值的两个问题。
Interlacing adjacent levels of $β$--Jacobi corners processes
本文研究了随机矩阵Jacobi系综的多级和一般$β$扩展的$β$-Jacobi角点过程中两个相邻能级之间的差的全局涨落的渐近性。该极限由$2d$高斯自由场的导数确定。我们的主要工具是积分形式的（麦克唐纳型）差分算子起源于洗牌代数。
Eigenvalue Interlacing of Bipartite Graphs and Construction of Expander Code using Vertex-split of a Bipartite Graph
该研究证明了二分图邻接矩阵与二分商矩阵的特征值交错关系及特征值界，提出二分图顶点分裂法构造渐近良好Expander码，证明了相关连通性与扩张性结论。
Constant rank-distance sets of hermitian matrices and partial spreads in hermitian polar spaces
本文通过埃尔米特矩阵的部分扩展集的相关概念和更一般的常秩距离集的概念来研究$H(2n-1,q^2)$的部分扩展。本文证明了有限域上线性常秩距离埃尔米特矩阵集的最大尺寸的一个严格上界，并由此证明了作为$H(2n-1,q^2)$部分扩展的辛半域扩展的极大性.我们证明了上界为常数秩距离集的偶数秩，构建这些大的例子，并构建最大的部分蔓延的$H(3,q^2)$的大小范围。
Kemeny's constant via matrix compression and eigenvalue interlacing
本文通过矩阵压缩与特征值交错技术，为有限连通加权图的Kemeny常数建立谱下界，并给出色数相关的尖锐不等式及等式刻画，同时应用于归一化割与电导问题。
Characterization of $k$-spectrally monomorphic Hermitian matrices
本文解决了与$2$ -结构理论有关的埃尔米特矩阵的下列问题：\emph{ }设$n$为正整数，$k$为整数，且有$k\in \{3,\ldots,n-3\}$ .刻画埃尔米特矩阵$A$，使得$A$的$k\times k$子矩阵的特征多项式都相等。这种矩阵称为$k$ -谱单态矩阵。要得到这个特征的一个关键步骤是证明如果矩阵$A$是$k$ -谱单态的，那么对于$\{1,\ldots,min\{k, n-k\}\}$中的$l$，它也是$l$ -谱单态的。
A new kind of Hermitian matrices for digraphs
在早期的工作中，作者与郭[有向图和混合图的埃尔米特邻接矩阵，J.图论85（2017）217-248]一起介绍了有向（和部分有向）图的埃尔米特邻接矩阵。然而，它似乎是一个更自然的埃尔米特矩阵存在，这是本说明的目的，使这个新的埃尔米特矩阵的研究人员在代数图论的注意。
Hermitian Adjacency Matrices of Mixed Graphs
传统的混合图的邻接矩阵一般是不对称的，因此它的特征值可能不是实的。为了克服这一障碍，最近几位作者定义并研究了各种有向图或混合图的厄米特邻接矩阵。在这项工作中，我们统一以前的工作，并通过引入专题论文的概念，提供了一个新的视角。此外，我们考虑共谱性的问题。
Hermitian adjacency matrices with at most three distinct eigenvalues
本文研究了具有至多三个不同特征值的有向图，证明了仅存在四种具有两个不同特征值的图，并扩展到混合图和正则竞赛图。
On symmetric spectra of Hermitian adjacency matrices for non-bipartite mixed graphs
本文研究了混合图的谱对称性与二分性之间的等价性，对于由角$θ\in (0, π]$定义的$θ$ -厄米特邻接矩阵.我们表明，这种等价性时，例如，一个角度$θ$是一个代数数，而它打破了任何角度$θ\in \mathbb{Q}π$。此外，我们构造了一族非二部混合图，它们具有给定$θ\in \mathbb{Q}π$的对称谱。
Eigenvalues of Hermitian matrices and equivariant cohomology of Grassmannians
[Knutson-Tao '99]的饱和定理涉及Littlewood-Richardson系数的非零性。结合文献[Klyachko '98]的工作，给出了[Horn '62]关于埃尔米特矩阵和的特征值的猜想.这个本征值问题有一个推广[Friedland '00]优化和埃尔米特矩阵。我们进一步说明这两个本征值问题之间的共同特点和它们的连接到Schubert演算的格拉斯曼。我们的主要结果给出了Schubert演算解释Friedland的问题，通过等变上同调的格拉斯曼。特别是，我们证明了饱和定理，这种设置。我们的论点采用了上述工作与[Jumas-Yong '12]。
A Unified Spectral Framework for Weighted Adjacency-Degree Matrices of Dendrimer and Bethe Trees
本文提出统一谱框架，通过加权邻接-度矩阵统一多种图矩阵，并利用递归序列与切比雪夫约化解析树枝状大分子树与Bethe树的谱，推导能量公式与谱界。
Classification of generalized Hadamard matrices H(6,3) and quaternary Hermitian self-dual codes of length 18
在一个3阶群H（6，3）上的所有18阶广义Hadamard矩阵以两种不同的方式枚举：一次，作为一类正则对称（6，3）-网，或在54个点和54个块上的对称横截设计，其中一组3阶半正则地作用于点和块，其次，作为长度为18的四元厄米自对偶码中的全权向量的集合。第二个计数是基于本文完成的GF（4）上Hermitian自对偶[18，9]码的分类。证明了在单项式等价的条件下，GF（4）上存在85个广义Hadamard矩阵H（6，3）和245个长度为18的不等价Hermitian自对偶码.
Hermitian adjacency matrices of mixed multigraphs
通过对无向多重图的一个边子集进行定向，得到一个混合多重图。本文研究了混合重图的一种新的埃尔米特矩阵表示，介绍了混合重图的上谱运算，并利用基本循环基刻画了切换等价混合重图。作为应用，得到了具有相同基础图的混合重图的共谱类的一个上界。
Hermitian matrices of roots of unity and their characteristic polynomials
本文研究单位根 Hermitian 矩阵的谱性质，给出其特征多项式模 $(1-ζ)$ 幂理想剩余类数目的猜想尖锐上界，并推广 Harary–Schwenk 的邻接矩阵幂迹关系作为证明关键。
On the second moment of the determinant of random symmetric, Wigner, and Hermitian matrices
本文利用解析组合学技术研究随机 Hermitian 矩阵行列式的二阶矩，并将对称矩阵与 Wigner 矩阵的已有结果统一推广。
Some observations on the smallest adjacency eigenvalue of a graph
本文讨论了图的邻接矩阵的最小特征值与图的结构之间的各种联系。有几种技术可以获得最小特征值的上界，其中一些是基于Rayleigh矩阵，使用诱导子图的Cauchy交织，以及顶点划分和商矩阵的Haemers交织。在本文中，我们感兴趣的是获得最小特征值的下界。受线图和广义线图结果的启发，我们展示了如何使用图分解来获得这样的下界。
Honeycombs and Sums of Hermitian Matrices, Revisited
该研究对Knutson和Tao定理给出新证明，通过提炼蜂窝与厄米三元组谱共有的四个基本性质，公理式论证二者关系，认为蜂窝是厄米三元组的‘模型生物’，为蜂窝与厄米矩阵的关联提供新见解。
The singularity probability of random diagonally-dominant Hermitian matrices
本文描述了实数、复数和四元数上对角占优非负埃尔米特矩阵的奇异轨迹。这产生了明确的表达式的概率，这样的矩阵，随机选择，是奇异的。例如，在由对称的零对角$\{\pm 1/(n-1)\}$ -伯努利矩阵扰动的单位$n \times n$矩阵的情况下，该概率结果等于$2^{-(n-1)(n-2)/2}$。作为推论，我们发现$n\times n$对称$\{\pm 1\}$矩阵具有特征值$n$的概率为$2^{-(n^2-n+2)/2}$ .
Quantum walks defined by digraphs and generalized Hermitian adjacency matrices
我们提出了一种由有向图（混合图）定义的量子行走。这就像Grover walk被有向图定义的某个复值函数所扰动。这种量子行走的判别式是一个矩阵，它是广义厄米邻接矩阵的某种归一化。进一步给出了传递矩阵的正支撑和负支撑的定义，并给出了它们在平方上的支撑的显式表达式。此外，还给出了用特征值判别有向图的电算表。
On distance matrices of helm graphs obtained from wheel graphs with an even number of vertices
令$n \geq 4$。在$2n-1$顶点上的舵图$H_n$由轮图$W_n$通过将悬垂边邻接到$W_n$的外环的每个顶点而获得。假设$n$是偶数。令$D := [d_{ij}]$为$H_n$的距离矩阵。在本文中，我们首先表明，$\det(D) = 3(n-1)2^{n-1}.$其次，我们找到一个矩阵$Ł$和一个向量$u$，使\[D^{-1} = -\frac{1}{2}Ł+\frac{4}{3(n-1)}uu'.\]我们还证明了一个交织性质之间的特征值的$Ł$和$D$。
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