Compression of root systems and the E-sequence
Kevin Purbhoo
我们研究了有限域上从根系到向量空间的某些映射。通过选择合适的基，这些映射的图像可以变成具有良好的组合性质，这反映了底层根系的结构。主要的例子是E_6和E_7。
We examine certain maps from root systems to vector spaces over finite fields. By choosing appropriate bases, the images of these maps can turn out to have nice combinatorial properties, which reflect the structure of the underlying root system. The main examples are E_6 and E_7.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the roots of the cubic defining the Tribonacci sequences
我们考虑一个表征Tribonacci序列的三次方程的根的幂和序列，并导出它与一个特殊的Tribonacci序列的关系。然后我们对可能的推广做了一个猜想。
Sequence Characterization of Multiple Almost-Riordan Arrays and Their Compressions
作为多重Riordan阵列系列论文的第二篇，本文定义了多重几乎Riordan阵列，证明其集合构成多重几乎Riordan群，得到其序列特征与生成矩阵，还定义了阵列的压缩并给出对应序列刻画。
Compression of Periodic Complementary Sequences and Applications
长度为v的复序列的集合是互补的，如果它们的周期性自相关函数值在所有非零移位处的和是恒定的。对于复序列A=[a_0，a_1，.，a_{v-1} ]定义长度为d的m压缩序列A^{（d）}，其项是和a_i + a_{i+d} +. + a_{i+(m-1)d}。我们证明了互补序列集合的m-压缩也是互补的。该压缩过程可用来简化复合长度互补{+1，-1}-序列的构造。特别地，我们构造了几个补充差集（v;r，s;lambda），其中v是偶数，lambda=（r+s）-v/2，在这里首次给出。有15个归一化参数集（v;r，s;lambda），其中v <= 50，存在问题是开放的。我们解决了所有这些案件，除了一个。
The Double Almost-Riordan Arrays and Their Sequence Characterization, Compression, and Total Positivity
本文定义双类Riordan阵列并证明其构成双类Riordan群，给出其序列特征与生成矩阵，定义压缩操作及压缩后的序列刻画，还提出双Riordan阵列全正性特征并用于讨论压缩双类Riordan阵列的全正性。
Positivity of arbitrary-order P-recursive sequences with a unique dominant root
本文研究了具有唯一主导根的任意阶P-递归序列的最终正性条件，并通过验证有限多个初始项来确定正性，同时给出了多个阶数大于二的P-递归序列示例。
Root geometry of polynomial sequences III: Type $(1,1)$ with positive coefficients
本文研究了满足正数上线性多项式系数的二阶递推关系的一元多项式$W_n(z)$的根分布。我们发现了一个充分和必要条件的整体实根的所有多项式，在多项式系数的递归。此外，在实根情况下，我们得到了零点极限的集合，它是一个闭区间和一个或两个孤立点的并集;当非实根多项式存在时，我们给出了一个充分条件，在该条件下，每个$n$大的多项式都有一个实零点.
On monotonicity of some combinatorial sequences
我们证实了Sun的猜想，即$(\root{n+1}\of{F_{n+1}}/\root{n}\of{F_n})_{n\ge 4}$严格地减少到极限1，其中$(F_n)_{n\ge0}$是Fibonacci序列。我们还证明了序列$(\root{n+1}\of{D_{n+1}}/\root{n}\of{D_n})_{n\ge3}$是严格递减的，其中$D_n$是第$n$次乱序数.对于$m$ -阶调和数$H_n^{(m)}=\sum_{k=1}^n 1/k^m\ (n=1,2,3,\ldots)$，我们证明了$(\root{n+1}\of{H^{(m)}_{n+1}}/\root{n}\of{H^{(m)}_n})_{n\ge3}$是严格递增的.
The Integer Sequence Transform $a \mapsto b$ where $b_n$ is the Number of Real Roots of the Polynomial $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$
讨论了整数序列变换$a \mapsto b$，其中$b_n$是多项式$a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$的实根个数.它表明，几个序列$a$给出平凡序列$b = (0,1,0,1, 0,1,\ldots)$，即，${b_n = n \bmod 2}$，其中加泰罗尼亚数，中心二项式系数，$n!$和$\binom{n+k}{n}$为一个固定的$k$。我们还研究了$b$更有趣的一些序列$a$，例如$k \geq 3$的$a_n = (n+1)^k$。此外，一般程序给出了用于构建真正的序列$a_n$的$b_n$总是最大或最小的。
Inequalities associated with the root sequences of P-recursive sequences
本文提出一种确定正整数N的方法，使得P-递归序列的特定根序列满足高阶Turán不等式和二阶Laguerre不等式，扩展了与Laguerre-Pólya类及黎曼假设相关不等式的研究。
Root geometry of polynomial sequences I: Type $(0,1)$
本文研究由递归$W_n(x)=aW_{n-1}(x)+(bx+c)W_{n-2}(x)$给出的多项式序列$\{W_n(x)\}_{n\ge0}$的根在复平面上的分布，其中$W_0(x)=1$和$W_1(x)=t(x-r)$分别为$a>0$，$b>0$和$c,t,r\in\mathbb{R}$ .我们的结果包括证明了每个这样的多项式$W_n(x)$的不同的实根性，推导出零集$\{x\mid W_n(x)=0\ \text{for some $ n \ge 1 $}\}$的最佳界，并确定了这个零集的三个精确的极限点。此外，我们给出了几个应用组合学和拓扑图论。
Log-behavior of the root sequences of P-recursive sequences
本文针对 P-递归序列的根序列，建立了渐近对数凹性与渐近比值对数凸性的判据，并利用符号计算给出确定显式整数 N 的系统方法，从而验证 Sun 提出的相关猜想。
Sequences related to convergents to square root of rationals
本文研究了某些比收敛于有理数的平方根的序列。进一步分析了上述比值简化后得到的相关序列。
The $\s$-Eulerian polynomials have only real roots
通过一种新的方法研究了广义欧拉多项式的根。我们将欧拉多项式解释为反演序列上统计量的生成多项式。反转序列（也称为Lehmer码或次超额函数）最近由Savage和Schuster推广到正整数的任意序列$\s$，他们称之为$\s$ -反转序列。我们的研究对象是长度为$n$的$\s$ -反演序列集上的{ \em ascent}统计量的生成多项式。由于反转序列上的上升统计量与置换上的下降统计量是等分布的，我们称这个广义多项式为\emph{$\s$-Eulerian polynomial}。本文的主要结果是：对任意正整数序列$\s$，$\s$ -欧拉多项式只有实根。这一结果首次推广了现有的许多关于各种欧拉多项式的实根性的结果。然后，我们表明，它可以用来解决一个猜想的Brenti，即欧拉多项式的所有有限Coxeter群只有实根。然后将其扩展到几种$q$类似物。我们还表明，MacMahon-Carlitz $q$ -欧拉多项式只有实根时，$q$是一个正实数确认Chow和Gessel猜想。这同样适用于超八面体群和环积群的$(\des,\finv)$生成多项式和$(\des,\fmaj)$生成多项式，分别证实了Chow和Gessel以及Chow和Mansour的进一步证明。
Root geometry of polynomial sequences II: Type (1,0)
我们考虑由递归$W_n(x)=(ax+b)W_{n-1}(x)+dW_{n-2}(x)$定义的多项式序列$W_n(x)$，初始值为$W_0(x)=1$和$W_1(x)=t(x-r)$，其中$a,b,d,t,r$是实数，$a,t>0$和$d<0$。我们证明了每个多项式$W_n(x)$是异实根的，并且多项式$W_n(x)$的根与多项式$W_{n-1}(x)$的根交错。我们发现，作为$n\to\infty$，多项式$W_n(x)$的最小根序列递减地收敛到一个实数，最大根序列递增地收敛到一个实数。利用Dirichlet逼近定理，证明了对任意正整数$i\ge2$，多项式$W_n(x)$的$i$次最小根序列收敛于某个数.类似地，对于每个正整数$i\ge2$，多项式$W_n(x)$的第$i$个最大根的序列收敛到一个数。事实证明，这两个收敛点独立于数字$t$和$r$以及$i$。我们推导出这四个极限点的显式表达式，我们完全确定当这些极限点重合。
On a family of relations of rooted tree maps
该研究证明了有根树映射的无穷序列关系，同时给出了有根树映射空间的一组基，推进了相关组合数学领域的研究。
Point Lattices and Oscillating Recurrence Sequences
我们考虑下面的问题：哪些实序列（a（n））满足常系数线性递归是积极的充分大的n？证明了当a（n）表示为广义幂和时，若其支配特征根包含两对共轭复根或一个负实根和一对共轭复根，则对（a（n））和（-a（n））的答案都是否定的.证明使用的结果从丢番图逼近和数的几何。关于实正支配根的情况，我们展示了对于几乎所有其他支配根的值，正性问题的答案是什么，前提是所有支配根都是简单的。
Coordination sequences for root lattices and related graphs
一个图的协调序列s（k）计算它的顶点的个数，这些顶点与给定顶点之间的距离为k，其中两个顶点之间的距离定义为连接它们的任何路径中的最小键数。对于一个大类的图，特别是包括经典的根格，我们提出的协调序列和它们的生成函数，总结和推广Conway和Sloane最近的结果。一个可能的应用晶格模型中的临界现象的理论进行了概述。
Quadratic Degree Sequence Optimization and the Critical Roots of a Graph
本文研究度序列优化问题在二次函数下的复杂度，引入图的临界根概念，证明该问题最优值随二次根变化的区间为凸分段仿射函数。
Twisting q-holonomic sequences by complex roots of unity
一个序列$f_n(q)$是$q$ -完整的，如果它满足一个非平凡的线性递归，其系数多项式在$q$和$q^n$中.我们的主要定理表明，$q$ -完整性在扭曲下保持不变，即，用$ωq$代替$q$，其中$ω$是复数的单位根，并且在$q \to q^α$下，其中$α$是有理数。我们的证明是建设性的，工作在多元设置的$\partial$ -有限序列，并在Mathematica软件包HolonomicFunctions。我们的结果说明扭曲自然$q$ -完整序列，出现在量子拓扑，即有色琼斯多项式的椒盐卷饼结和扭曲结。扭色琼斯多项式的递推关系可以用来计算纽结在任意复单位根处的Kashaev不变量的渐近性。
Conjectures involving arithmetical sequences
本文给出了30个等差数列的定理，其中大部分是关于$(\root n\of{a_n})_{n\ge 1}$或$(\root{n+1}\of{a_{n+1}}/\root n\of{a_n})_{n\ge1}$形式的数列的单调性，其中$(a_n)_{n\ge 1}$是正整数的数论或组合数列.这些材料可能会激发进一步的研究。
First order convergence and roots
Nesetril和Ossona de Mendez引入了一阶收敛的概念，它统一了稀疏图和稠密图的收敛概念。他们问是否如果G_i是一个序列的图与M是他们的一阶极限和v是一个顶点的M，那么存在一个序列v_i的顶点，使图G_i的根在v_i收敛到M的根在v。我们表明，这对几乎所有的顶点v的M，我们给出了一个例子表明，该声明不需要成立的所有顶点。
Representation stability for the cohomology of arrangements associated to root systems
从一个根系，人们可以考虑反射超平面的安排，以及它的复曲面和椭圆类似物。相应的外尔群作用于该排列的补，从而作用于它的上同调。我们考虑一个序列的线性，环面，或椭圆形的安排所产生的一个家庭的根系的类型A，B，C，或D，我们表明，合理的上同调稳定作为一个序列的外尔群表示。我们的技术结合了勒雷谱序列参数类似的教堂在A型的情况下，随着FI $_W$ -模块理论，威尔逊开发和使用的线性情况。一个关键的证明依赖于一个组合的描述，使用标记分区，偏序集的连接组件的交叉点的子品种的安排。
Non-gatherable triples for classical affine root systems
本文给出了仿射经典根系的最小不可约三角三元组的完整描述，并对任意（约化）仿射根系给出了一些证明。它继续我们以前的论文致力于非仿射的情况下，有趣的是，仿射理论澄清了非仿射情况下的分类。在仿射外尔群中，这些列与约化分解（字）有关。不可约三元组的存在性是在（双）仿射Hecke代数的不可约表示理论中使用交织器技术的一个组合障碍，它是对代数几何理论的补充。
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