模1的中心极限定理与乘积的Benford定律

分布链、分层贝叶斯模型和本福德定律

Chains of distributions, hierarchical Bayesian models and Benford's Law

Kossovsky最近证实，随着链的长度增加，概率分布链的前导数字的分布收敛于本福德定律。我们证明了他的猜想在许多情况下，并提供了一个解释的产品的独立随机变量和中心极限定理。一个有趣的结果是，在分层贝叶斯模型先验往往满足本福德定律的层次结构的数量增加，这使我们能够开发一些简单的测试（基于本福德定律）来测试所提出的模型。我们给出了明确的公式的误差项作为梅林变换，收敛非常迅速的链中的条款的数量的增长。我们可以把我们的结果解释为某些马尔可夫链蒙特卡罗过程迅速地混合到本福德定律。

顺序统计量与Benford定律

Order Statistics and Benford's Law

固定一个基数B，让zeta具有标准的指数分布;已知zeta基数B的数字分布非常接近本福德定律。如果存在一个C，使得C的位数乘以某个集合的元素的分布与zeta的分布相同，我们说该集合表现出以B为底的移位指数行为（移位为log_B C \bmod 1）。设X_1，>...，X_N是独立同分布的随机变量.如果X_i是从[0，L]上的均匀分布中提取的，则作为N \to \infty，相邻顺序统计量之间的差的位数的分布收敛于移位指数行为（移位为\log_B L/N \bmod 1）。通过微分的累积分布函数的模1，应用泊松求和，然后整合所得到的表达式，我们得到快速收敛的显式公式测量偏离本福德定律。在（0，1）中固定一个delta，并从任何紧支撑分布中选择N个独立的随机变量，其中每个点具有一致有界的一阶和二阶导数以及二阶泰勒级数展开式。任意N^δ个连续差\emph{and}的位数分布，顺序统计量的所有N-1个标准化差都表现出指数移动行为。我们推导出的概率密度的条件，确定是否所有的未归一化的差异的数字的分布收敛到本福德定律，转移指数行为，或两者之间的振荡，并表明帕累托分布导致振荡行为。

具有共同因子的部分和模一向量收敛到均匀分布

Convergence to the uniform distribution of vectors of partial sums modulo one with a common factor

本文研究由独立同分布随机变量部分和乘以共同因子得到的模一向量，证明其联合分布收敛到均匀分布，并用于推导分层重采样机制的中心极限定理。

数字表示元素的一般分布

General Distributions of Number Representation Elements

本文推导了任意连续随机变量的最高有效数字和前导连分数系数联合分布的一般表达式，揭示了其与Gauss-Kuz'min定律的联系，并证明在尺度不变现象建模中Pareto表达式比Benford表达式更具适用性。

Bernoulli Sums: The only random variables that count

A novel multinomial theorem for commutative idempotents is shown to lead to new results about the moments, central moments, factorial moments, and their generating functions for any random variable $X = \sum_{i} Y_i $ expressible as a sum of Bernoulli indicator random variables $Y_i$. The resulting expressions are functions of the expectation of products of the Bernoulli indicator random variables. These results are used to derive novel expressions for the various moments in a large number of familiar examples and classic problems including: the binomial, hypergeometric, Poisson limit of the b…

中心极限定理与丢番图逼近

Central limit theorem and Diophantine approximations

令$F_n$表示i.i.d.的归一化和$Z_n = (X_1 + \dots + X_n)/σ\sqrt{n}$的分布函数。四阶矩有限的随机变量。本文利用$X_1$的特征函数，给出了$F_n$关于Kolmogorov距离收敛于正规律的多项式速度，以及用Edgeworth修正（$n$中的模几何增长因子）对$F_n$的多项式逼近.特殊情况下的问题进行了讨论与丢番图逼近。

联合丢番图逼近的中心极限定理

Central limit theorems for simultaneous Diophantine approximations

研究了随机系数$d$变量的$r$线性型的整数上取值的模$1$的分布.我们得到淬火和退火中心极限定理的同时命中到缩小的目标半径$n^{-\frac{r}{d}}$的数量。根据关于丢番图逼近的Khintchine-Groshev定理，$\frac{r}{d}$是无限次命中的临界指数。

Quantitative central limit theorems for the parabolic Anderson model driven by colored noises

In this paper, we study the spatial averages of the solution to the parabolic Anderson model driven by a space-time Gaussian homogeneous noise that is colored in time and space. We establish quantitative central limit theorems (CLT) of this spatial statistics under some mild assumptions, by using the Malliavin-Stein approach. The highlight of this paper is the obtention of rate of convergence in the colored-in-time setting, where one can not use Itô's calculus due to the lack of martingale structure. In particular, modulo highly technical computations, we apply a modified version of second-ord…

Random walk on unipotent matrix groups

We introduce a new method for proving central limit theorems for random walk on nilpotent groups. The method is illustrated in a local central limit theorem on the Heisenberg group, weakening the necessary conditions on the driving measure. As a second illustration, the method is used to study walks on the $n\times n$ uni-upper triangular group with entries taken modulo $p$. The method allows sharp answers to the behavior of individual coordinates: coordinates immediately above the diagonal require order $p^2$ steps for randomness, coordinates on the second diagonal require order $p$ steps; co…

独立元随机矩阵线性eigenvalue统计量的中心极限定理

Central limit theorem for linear eigenvalue statistics of random matrices with independent entries

我们考虑$n\times n$实对称和Hermitian Wigner随机矩阵$n^{-1/2}W$与独立（模对称条件）的项目和（零）样本协方差矩阵$n^{-1}X^*X$与$m\times n$矩阵$X$的独立项目。首先假设$W$和PDMATHAMQ元素的四阶累积量（过剩量）PDMATHAMR为零，且它们的四阶矩满足Lindeberg型条件，证明了上述矩阵特征值的线性统计量满足中心极限定理（CLT）为$n\to\infty$，$m\to\infty$，如果统计量的检验函数足够光滑（本质上属于$\mathbf{C}^5$类），则具有与高斯矩阵相同的方差的$m/n\to c\in[0,\infty)$。这是通过使用一个简单的“插值技巧”，从已知的结果高斯矩阵和积分的部分，在某些微分公式的形式。然后，通过使用一个更详细的版本的技术，我们证明了CLT的情况下，非零过剩的条目再次基本上$\mathbb{C}^5$测试功能。在这里，统计量的方差包含与$κ_4$成比例的附加项。所有极限定理的证明基本上遵循相同的方案。

高维球随机平移中的格点计数的正态与对数正态渐近性

Normal and Lognormal Asymptotics for Lattice-Point Counts in Random Translates of High-Dimensional Balls

该研究分析高维球随机平移下的格点计数渐近行为，在临界尺度附近得到中心极限定理与对数正态极限，临界尺度以上得到计数体积比的收敛性及归一化误差的正态分布与方差渐近公式。