The Weibull Distribution and Benford's Law
本福德定律指出，许多数据集偏向于较低的前导数字（大约$30\%$是1）。它有许多应用，从设计高效的计算机到检测税收，选民和图像欺诈。重要的是要知道哪些常见的概率分布几乎是本福德。我们表明，韦布尔分布，其参数的许多值，是接近本福德定律，量化的偏差。由于韦布尔分布出现在许多问题中，特别是生存分析，我们的结果提供了额外的论据的流行Benford行为。证明是由泊松求和，一个强大的技术来攻击这样的问题。
2014-02-24 math.PR
Generalized Continuous and Discrete Stick Fragmentation and Benford's Law
本文基于基本棍棒碎片化模型，提出三个新版本（随机部分数连续、概率停止连续、同余停止离散），证明在聚合极限下棍棒长度服从本福特定律的精确条件，并给出梅林变换条件的充分条件。
2023-09-02 math.PR
Explicit bounds for the approximation error in Benford's law
Benford定律指出，对于许多随机变量X > 0，其前导数字D = D（X）近似满足方程P（D = d）= log_{10}（1 + 1/d），其中d = 1，2，.，9.这种现象来自另一个可能更直观的事实，应用于Y：= log_{10}（X）：对于许多实随机变量Y，余数U：= Y - floor（Y）近似均匀分布在[0，1）上。本文根据Y的密度或其导数的全变差给出了后者近似的新的显式界，这些界是传统Fourier方法的一种有趣的替代方法，传统Fourier方法产生的结果大多是定性的。作为一个副产品，我们得到明确的界限近似误差本福德定律。
2008-01-02 math.PR
Notes on scale-invariance and base-invariance for Benford's Law
已知如果X是模1均匀分布的，Y是与X无关的任意随机变量，则Y+X也是模1均匀分布的。我们证明了对任何连续随机变量Y（或对连续随机变量的合理近似）的逆，使得如果X和Y+X是模1均匀分布的，并且Y与X无关，则X是模1均匀分布的（或合理地近似均匀分布）。这通过标度不变性的推广转化为本福德定律的特征：从乘以常数到乘以独立的随机变量。我们还展示了一个基不变的特征：如果一个正的连续随机变量具有相同的有效数分布的两个基地，那么它是Benford的两个基地。随机变量为Benford的基的集合通过特征函数来刻画。
2013-07-13 math.PR
Benford Behavior of a Higher-Dimensional Fragmentation Process
本文将一维棍棒碎裂长度服从 Benford 定律的结果推广到任意有限维体积，并猜想低维体积在无限制碎裂下同样遵循该定律。
2023-08-14 math.PR
Benford's law for the $3x+1$ function
我们发现，对于大多数的初始种子$x_0$的选择，$x_0$的第一个$N$迭代序列下的$3x+1$地图近似满足Benford定律。
2006-08-09 math.NT math.PR
Benfordness of Measurements Resulting from Box Fragmentation
本文针对盒子碎裂过程中d维框架是否满足本福特定律的猜想，提出了以d边最大乘积为本福特随机变量为充分条件，并证明对数均匀比例切割过程在d=1时满足该条件。
2023-04-17 math.PR
Benford's Law and Continuous Dependent Random Variables
许多数学、人造和自然系统都表现出前导数字偏差，第一个数字（基数为10）1出现的概率不是11%，而是30%。这种现象被称为本福德定律。分析哪些数据集符合本福德定律，以及本福德行为如何快速出现是该领域最重要的两个问题。以往的研究工作大多是研究独立随机变量系统，并依赖于其分析的独立性。受粒子衰变等自然过程的启发，我们研究了守恒量分解模型中出现的相关随机变量。我们证明，在许多情况下，所产生的碎片的长度分布收敛到本福德行为的部门数量的增长，并给出了其他碎裂过程的几个示意图。主要的困难是所得到的随机变量是相关的。我们通过使用傅里叶分析和非理性指数的工具来获得量化的收敛速度，并引入和开发技术来测量和控制依赖关系。这些工具的建设是这项工作的主要动机之一，因为我们的方法可以应用到许多其他依赖系统。作为一个例子，我们表明，$n!$项目的行列式展开的$n\times n$矩阵的条目独立地从好的随机变量收敛到本福德定律。
2018-03-09 math.PR
Benford or not Benford: a systematic but not always well-founded use of an elegant law in experimental fields
在本文中，我们将看到，数据中d作为前导数字d $\in$ 1，9的比例（通过以下开发的模型获得）更可能遵循其概率分布由特定上界确定的定律，而不是本福德定律。这些概率分布在本福德值附近波动，正如在许多自然发生的数据集合中的文献中经常可以观察到的那样（其中考虑的物理，生物或经济量是上限）。事先知道上界的值可以找到比本福德定律更好的调整定律。
2018-06-12 math.PR math.ST stat.TH
Benfordness of the Generalized Gamma Distribution
广义Γ分布在工程、水文、生存分析等诸多问题中都有广泛的应用。早期的工作已经完成，估计偏离指数和韦布尔分布从本福德定律。给出了广义Γ分布的Benford性的数学解释，并给出了广义Γ分布偏离Benford分布的度量.
2022-01-25 math.PR
Recurrence Relations and Benford's Law
现在有许多理论解释为什么本福德的数字偏见的表面在这么多不同的领域和数据集。在简要回顾了其中的一些之后，我们深入讨论了递归关系。由于这些都是离散的类似物的微分方程和模型的各种现实世界的现象，他们提供了一个重要的来源，系统测试Benfordness。以前的工作表明，固定深度递归与常系数是本福德模一些技术假设通常是满足的，我们简要回顾了这一理论，然后证明了一些新的结果延伸到非常系数的线性递归关系的情况下。我们证明了，对于某些家庭的功能$f$和$g$，序列所产生的形式$a_{n+1} = f(n)a_n + g(n)a_{n-1}$的递归关系是Benford的所有初始值。通过参数化系数得到一个低次递推关系，然后转换到一个新的参数空间。从那里，我们表明，对于适当的选择$f$和$g$的$f(n)$是非递减和$g(n)/f(n)^2 \to 0$作为$n \to \infty$，主要的长期占主导地位的行为是等同于以前研究的等分布问题。我们还描述了进一步推广到高阶递归关系和具有非常数系数的乘法递归关系的结果，以及当$f$和$g$是随机变量的值时的重要情况。
2019-11-21 math.PR
Benford or not Benford: new results on digits beyond the first
在本文中，我们将看到d作为第p位数的比例，其中p > 1且d $\in$ 0，9，在数据中（通过以下开发的模型获得）更可能遵循其概率分布由特定上限确定的定律，而不是将本福德定律推广到第一位数以外的数字。这些概率分布在Hill于1995年确定的理论值附近波动。事先知道上限的值可以找到一个比希尔定律更好的调整定律。
2018-05-02 math.PR stat.OT
Scatter and regularity imply Benford's law... and more
一个随机变量（r. v.）如果log（X）是模1的均匀分布，则称X遵循本福德定律。许多实验数据集证明遵循它的近似版本，许多数学序列和连续随机变量也是如此。这一现象引起了一些人的兴趣，并提出了几种解释。其中大多数侧重于特定的数据，依赖于强有力的假设，通常与对数函数相关联。一些作者暗示-含蓄地-当涉及到本福德时，随机变量的两个最重要的特征是规律性和分散性。在第一部分中，我们证明了两个定理，使这种直觉的正式版本：分散和定期r. v.近似遵循本福德定律。证明只需要简单的数学工具，使分析变得容易。因此，以前的解释成为一个更一般和更简单的解释的必然结果。这些结果表明本福德定律不依赖于与对数函数相关的性质。因此，我们提出并测试了本福德定律的一般版本。这些测试的成功可以被视为第一部分中制定的分析的后验验证。
2009-10-07 math.PR stat.ME
Emergence of Benford's Law in Music
我们分析了巴赫、贝多芬、莫扎特、舒伯特和柴可夫斯基创作的大量古典音乐作品，发现了与数学的惊人联系。对于每个作曲家，我们提取了每个音符在每个作品中演奏的时间间隔，并发现相应的数据集是本福德分布的。值得注意的是，对数分布不仅适用于前导数字，而且适用于所有数字。
2018-11-13 math.PR physics.soc-ph
Benford's Law, Values of L-functions and the 3x+1 Problem
我们证明了满足一定条件的各种系统的前导数字都遵循本福德定律。对于每个系统来说，证明这一点都涉及两个主要成分。一个是系统的极限分布的结构定理。另一种是对极限分布应用Poisson求和的一般方法。我们证明了L函数的值在中心线附近的分布，并且（在某种意义上）3x+1问题的迭代是Benford的。
2005-06-27 math.NT math.PR
Benford's Law and Distractors in Multiple Choice Exams
假设在一次多项选择题考试中，正确选项的前导数字遵循本福德定律，而干扰项的前导数字是一致的。考虑一个猜测答案的策略，选择最低前导数字的选项，并随机打破平局。我们给出了这种策略选择正确选项的概率的表达式。
2014-05-06 math.PR physics.data-an physics.pop-ph
Benford's Law Beyond Independence: Tracking Benford Behavior in Copula Models
本福德定律描述了许多自然发生的数据集和分布中的常见现象，其中数据的前导数字以$d$基$B$的第一个数字为$\log_{B}{\frac{d+1}{d}}$的概率分布。由于它经常成功地检测到医疗试验，投票，科学和金融中的欺诈行为，因此已经做出了重大努力来了解分布何时以及如何表现出本福德行为。以前的大部分工作都局限于自变量的情况下，很少有人知道的情况下，涉及依赖。利用Copula函数研究了$n$相依随机变量乘积的Benford行为.我们开发了一种方法来近似的产品的$n$依赖随机变量建模的Copula分布$C$的Benford行为和量化和限制copula分布的距离Benford行为。然后，我们研究了不同的依赖参数和边缘数下的各种copula的Benford行为。我们的研究表明，收敛到本福德行为看到独立的随机变量的产品中的变量的数量增加时，不一定保存的变量是依赖和copula建模。此外，有强烈的迹象表明，本福德行为的产品的依赖随机变量的保存可能更多地联系到copula的结构比本福德行为的边缘分布。
2017-12-31 math.PR math.ST stat.TH
Fundamental Flaws in Feller's Classical Derivation of Benford's Law
费勒的经典文本'介绍概率论及其应用'包含一个推导著名的有效数字法称为本福德的法律。更具体地，Feller给出了随机变量$X$近似为Benford分布的充分条件（“大扩展”），即$\log_{10}X$近似为模1均匀分布。本文指出，继续被广泛引用和使用的大范围推导包含严重的基本错误。具体的例子和一个新的不等式清楚地表明，对于任何合理的“散布”定义或离散度量，大散布（或对数尺度上的大散布）并不意味着随机变量近似于本福德分布
2010-05-14 math.PR math.ST stat.TH
The Surprising Accuracy of Benford's Law in Mathematics
本福德定律是一个经验性的“定律”，它控制着数字数据集中前导数字的频率。令人惊讶的是，对于数学序列，从它得到的预测可以是惊人的准确。例如，在$2$的前10亿次幂中，$301029995$恰好以数字1开始，而本福德预测该计数是$10^9\log_{10}2=301029995.66\dots$。在其他情况下也可以观察到类似的"完美命中“，例如$3$的前十亿次幂的数字$1$和$2$计数。我们证明的结果，解释了许多，但不是所有的，这些令人惊讶的准确性，我们所观察到的行为与经典的结果在丢番图逼近，以及最近在这方面的深approximatures。
2019-11-28 math.NT math.PR
The Modulo 1 Central Limit Theorem and Benford's Law for Products
给出了M个独立连续随机变量模1之和收敛于L^1（[0，1]）中的均匀分布的充要条件，并讨论了推广到离散随机变量的结果.结果是，如果X_1，...，X_M是独立的连续随机变量，密度为f_1，.，f_M，对于任意基B为M，\to \infty，对于密度的多种选择，X_1 *. * X_M收敛于Benford定律基B。收敛速率可以用密度的傅里叶系数来量化，并为许多不同系统中本福德行为的流行提供了解释。
2007-11-20 math.CA math.PR
Chains of distributions, hierarchical Bayesian models and Benford's Law
Kossovsky最近证实，随着链的长度增加，概率分布链的前导数字的分布收敛于本福德定律。我们证明了他的猜想在许多情况下，并提供了一个解释的产品的独立随机变量和中心极限定理。一个有趣的结果是，在分层贝叶斯模型先验往往满足本福德定律的层次结构的数量增加，这使我们能够开发一些简单的测试（基于本福德定律）来测试所提出的模型。我们给出了明确的公式的误差项作为梅林变换，收敛非常迅速的链中的条款的数量的增长。我们可以把我们的结果解释为某些马尔可夫链蒙特卡罗过程迅速地混合到本福德定律。
2008-06-15 math.PR math.ST stat.TH
A derivation of Benford's Law ... and a vindication of Newcomb
我们展示了本福德定律（BL）如何适用于第一，第二，.，数字，从$a^{R}$类型的数字的数字分布中出现，其中$a$是任何实数正数，$R$是对于任何整数$P$在间隔$[ P\log_a 10, (P +1) \log_a 10) $中均匀分布的实数集合。结果表明，是数基和规模不变。基于尾数的规则允许确定一组数字是否服从BL。我们表明，BL适用于从{ \it乘法}或{ \it司}从任何分布的数字。我们还认为，（大多数）现实生活中的集合，服从BL是因为他们是从这样的基本算术运算。我们证明，所有这些论点都在1881年Simon Newcomb的原始论文中讨论过，他在那里提出了本福德定律。
2009-09-21 math.HO math.PR
Products of random variables and the first digit phenomenon
我们提供的条件依赖和非平稳随机变量$X_n$，确保尾数的产品序列$\left(\prod_{1}^{n}X_k\right)$几乎肯定是分布遵循本福德定律或收敛于分布的本福德定律。
2015-12-18 math.PR
General Distributions of Number Representation Elements
本文推导了任意连续随机变量的最高有效数字和前导连分数系数联合分布的一般表达式，揭示了其与Gauss-Kuz'min定律的联系，并证明在尺度不变现象建模中Pareto表达式比Benford表达式更具适用性。
2023-02-09 math.PR
Benford's law and the C$β$E
该研究针对圆$β$系综特征多项式绝对值的数字分布问题，证明大N极限下首位服从本福特定律、后续均匀分布，核心是借助其对数CLT的全变差收敛速率界完成证明。
2023-12-17 math-ph math.MP math.PR
A concise proof of Benford's law
本文针对具有黎曼可积概率密度函数的分布，给出了本福特定律的简洁证明，并提出判断分布是否服从该定律的准则，为欺诈检测提供便利。
2024-08-06 math.PR math.ST stat.OT
On Benford's Law and the Coefficients of the Riemann Mapping Function for the Exterior of the Mandelbrot Set
我们研究本福德定律与分形几何的关系。基本的分形，如康托尔集和Sierpinski三角形作为迭代集的极限，其分量的唯一测度遵循一个几何分布，在大多数基上是Benford.基于这种直觉，我们的目标是在更复杂的分形中研究这种分布。研究了从Mandelbrot集的外部到单位圆盘的补集的Riemann映射的Laurent系数及其倒易函数的Taylor系数。这些系数是2-adic有理数，并通过统计检验，我们证明了分子和分子是一个很好的适合本福德定律。我们提供了额外的插图和观察这些系数。特别是，我们突出了某些算术相关的系数的因子，提供了一个估计其斜率，并描述了有效的方法来计算它们。
2023-02-11 math.CV math.PR
The Newcomb-Benford law: Scale invariance and a simple Markov process based on it
Newcomb-Benford定律，也被称为第一位数定律，给出了与数据集的第一位数相关联的概率分布，因此，例如，第一位有效数字具有$30.1$ %是$1$的概率和$4.58$ %是$9$的概率。这个定律可以扩展到第二位和下一位有效数字。本文介绍了这一定律的发现，从标度不变性导出的规律，以及一些应用和例子。此外，一个简单的模型的马尔可夫过程的启发规模不变性的建议。在这个模型中，证明了概率分布不可逆地收敛于Newcomb-Benford定律，类似于热力学和统计力学中物理系统向平衡态的不可逆演化。
2021-08-20 cond-mat.stat-mech math.PR physics.pop-ph
Benford behavior resulting from stick and box fragmentation processes
Williams College（威廉姆斯学院）
本文研究了棍子和盒子碎裂过程中的本福特定律行为，通过数学方法证明了在特定条件下，碎片长度和高维面的体积趋于强本福特定律。
2026-08-07 math.PR
The first digit frequencies of primes and Riemann zeta zeros tend to uniformity following a size-dependent generalized Benford's law
素数在自然数中的分布似乎除了偶然性外没有其他规律，然而它的全局分布呈现出相当显著的光滑性。随机性和规律性之间的这种相互作用促使各个年龄段的科学家在这种分布中寻找局部和全局模式，最终可以揭示素数的最终性质。在这项工作中，我们表明，一个推广的著名的第一位数本福德定律，它解决了一个给定的领先数字d在数据集中的出现率，描述了惊人的精度领先数字的统计分布在素数序列。此外，这种模式的倒数版本也发生在非平凡的黎曼zeta零点序列中。我们证明，素数定理是，在最后的分析，负责这些模式。还导出了有关素数分布的一些新关系，包括对计数函数pi（n）的一种新的逼近。此外，还导出了与广义本福特定律的统计一致性有关的一些关系式。最后讨论了一些应用。
2008-11-20 math.NT math.PR math.ST
A Mathematical Analysis of Benford's Law and its Generalization
本文数学分析Kossovsky推广的Benford定律，通过正态与反射Gumbel模型解释自然数据首位数字分布，并发现其可用于改进密度估计。
2023-08-11 math.PR math.ST physics.data-an
Order Statistics and Benford's Law
固定一个基数B，让zeta具有标准的指数分布;已知zeta基数B的数字分布非常接近本福德定律。如果存在一个C，使得C的位数乘以某个集合的元素的分布与zeta的分布相同，我们说该集合表现出以B为底的移位指数行为（移位为log_B C \bmod 1）。设X_1，>...，X_N是独立同分布的随机变量.如果X_i是从[0，L]上的均匀分布中提取的，则作为N \to \infty，相邻顺序统计量之间的差的位数的分布收敛于移位指数行为（移位为\log_B L/N \bmod 1）。通过微分的累积分布函数的模1，应用泊松求和，然后整合所得到的表达式，我们得到快速收敛的显式公式测量偏离本福德定律。在（0，1）中固定一个delta，并从任何紧支撑分布中选择N个独立的随机变量，其中每个点具有一致有界的一阶和二阶导数以及二阶泰勒级数展开式。任意N^δ个连续差\emph{and}的位数分布，顺序统计量的所有N-1个标准化差都表现出指数移动行为。我们推导出的概率密度的条件，确定是否所有的未归一化的差异的数字的分布收敛到本福德定律，转移指数行为，或两者之间的振荡，并表明帕累托分布导致振荡行为。
2008-09-06 math.NT math.PR
A Generalized Benford Framework for Threat Identification in Counter-Intelligence
本研究提出一种用于反情报威胁识别的广义Benford框架，通过构建Benford检验统计量并寻找其排列最大值，定位频率数据中Benford模式的异常点，辅助调查人员锁定需核查的目标站点。
2025-01-15 math.PR stat.AP
The Benford phenomenon for random variables. Discussion of Feller's way
这是一个详细的调查，主要介绍了平卡姆-费勒的方式。我增加了一些新的点，第一个版本[V2]和我抑制“例子”致力于伽玛，弗雷歇和威布尔定律。定理2更一般一点（没有密度的假设：这回答了T。Hill）。第10节是新的，致力于一个参数（庞加莱，Fewster）的影响，高频振荡。也许许多著作，许多努力，都致力于研究一个价值不高的充分条件：见第7节和第11节。最后一节给出了一些建议。
2012-04-19 math.PR math.ST stat.TH
On the discrepancy of powers of random variables
设$(d_n)$是正数序列，$(X_n)$是正独立随机变量序列。我们给出了$(X_n^{d_n})$的尾数分布与Benford定律之间偏差的上界。如果$d_n$以最多多项式的速率变为无穷大，则该偏差a.s.收敛。当$N$变为无穷大时，
2017-05-12 math.PR
Convergence to the uniform distribution of vectors of partial sums modulo one with a common factor
本文研究由独立同分布随机变量部分和乘以共同因子得到的模一向量，证明其联合分布收敛到均匀分布，并用于推导分层重采样机制的中心极限定理。
2023-08-07 math.PR
Mittag-Leffler Waiting Time, Power Laws,Rarefaction, Continuous Time Random Walk, Diffusion Limit
本文讨论了Mittag-Leffler函数及其相关的概率分布在更新过程和连续时间随机游动理论中的一些应用。特别是，我们显示了一个通用的幂律等待时间的Mittag-Leffler等待时间分布的渐近（长时间）等效通过重新缩放和重新加速的时钟的时间。通过第二次重新加速（通过重新标度空间变量），我们得到了连续时间随机游动在时间和空间上的幂律制度下的扩散极限。最后，我们展示了时间分数漂移过程作为一个扩散极限的分数泊松过程和作为一个从属的时空分数扩散。
2010-04-26 cond-mat.stat-mech math.PR
Itō and Itō-Wentzell chain rule for flows of conditional laws of continuous semimartingales: an easy approach
Ecole Polytechnique（巴黎综合理工学院）；New York University, Tandon School of Engineering（纽约大学坦登工程学院）
本文提出了一种简便的伊藤-韦茨森公式方法，用于处理连续半鞅流的条件分布流，并应用于均值场随机控制问题的动态规划方程推导。
2025-11-20 math.OC math.PR
Laws of Large Numbers for Continuous Belief Measures on Compact Spaces
我们证明外连续信念措施定义在紧空间强，弱大数定律作为柯尔莫哥洛夫的措施之一。这些结果有助于M. Marinacci的（Journal of Economic Theory 84（1999）145-195）。
2009-06-01 math.PR math.ST stat.TH
