Benford定律、L函数的值与3x+1问题

On Benford's Law for multiplicative functions

We provide a criterion to determine whether a real multiplicative function is a strong Benford sequence. The criterion implies that the $k$-divisor functions, where $k \neq 10^j$, and Hecke eigenvalues of newforms, such as Ramanujan tau function, are strong Benford. Moreover, we deduce from the criterion that the collection of multiplicative functions which are not strong Benford forms a group under pointwise multiplication. In contrast to earlier work, our approach is based on Halász's Theorem.

顺序统计量与Benford定律

Order Statistics and Benford's Law

固定一个基数B，让zeta具有标准的指数分布;已知zeta基数B的数字分布非常接近本福德定律。如果存在一个C，使得C的位数乘以某个集合的元素的分布与zeta的分布相同，我们说该集合表现出以B为底的移位指数行为（移位为log_B C \bmod 1）。设X_1，>...，X_N是独立同分布的随机变量.如果X_i是从[0，L]上的均匀分布中提取的，则作为N \to \infty，相邻顺序统计量之间的差的位数的分布收敛于移位指数行为（移位为\log_B L/N \bmod 1）。通过微分的累积分布函数的模1，应用泊松求和，然后整合所得到的表达式，我们得到快速收敛的显式公式测量偏离本福德定律。在（0，1）中固定一个delta，并从任何紧支撑分布中选择N个独立的随机变量，其中每个点具有一致有界的一阶和二阶导数以及二阶泰勒级数展开式。任意N^δ个连续差\emph{and}的位数分布，顺序统计量的所有N-1个标准化差都表现出指数移动行为。我们推导出的概率密度的条件，确定是否所有的未归一化的差异的数字的分布收敛到本福德定律，转移指数行为，或两者之间的振荡，并表明帕累托分布导致振荡行为。

新形式系数的本福特定律

Benford's Law for Coefficients of Newforms

设$f(z)=\sum_{n=1}^\infty λ_f(n)e^{2πi n z}\in S_{k}^{new}(Γ_0(N))$是$Γ_0(N)$上的偶数权$k\geq2$的归一化Hecke本征形，无需复数乘法。令$\mathbb{P}$表示所有素数的集合。证明了序列$\{λ_f(p)\}_{p\in\mathbb{P}}$在任何基$b\geq2$上都不满足Benford定律.然而，给定基$b\geq2$和基$b$中的数字串$S$，集合\[ A_{λ_f}(b,S):=\{\text{$p$ prime : the first digits of $λ_f(p)$ in base $b$ are given by $S$}\} \]具有等于$\log_b(1+S^{-1})$的对数密度。因此，$\{λ_f(p)\}_{p\in\mathbb{P}}$在对数密度方面遵循本福德定律。这两个结果都依赖于现已证明的Sato-Tate猜想。

离散线性系中Benford定律的一个特征

A characterization of Benford's Law in discrete-time linear systems

一个充要条件（“非共振”）建立的自治线性差分方程的每一个解决方案，或更一般地为每个序列$(x^\top A^n y)$与$x,y\in \mathbb{R}^d$和$A\in \mathbb{R}^{d\times d}$，是平凡的，否则符合本福德定律（对数分布的重要性）的强形式。该条件包含文献中所有相关结果作为特例。它的数论的影响进行了讨论的背景下，具体的例子，所以它可能的扩展和修改。

素数和Riemann zeta零点的第一位数频率趋于一致，遵循与尺寸相关的广义Benford定律

The first digit frequencies of primes and Riemann zeta zeros tend to uniformity following a size-dependent generalized Benford's law

素数在自然数中的分布似乎除了偶然性外没有其他规律，然而它的全局分布呈现出相当显著的光滑性。随机性和规律性之间的这种相互作用促使各个年龄段的科学家在这种分布中寻找局部和全局模式，最终可以揭示素数的最终性质。在这项工作中，我们表明，一个推广的著名的第一位数本福德定律，它解决了一个给定的领先数字d在数据集中的出现率，描述了惊人的精度领先数字的统计分布在素数序列。此外，这种模式的倒数版本也发生在非平凡的黎曼zeta零点序列中。我们证明，素数定理是，在最后的分析，负责这些模式。还导出了有关素数分布的一些新关系，包括对计数函数pi（n）的一种新的逼近。此外，还导出了与广义本福特定律的统计一致性有关的一些关系式。最后讨论了一些应用。

环 $\mathbb{Z}(\sqrt{D})$ 中的 Benford 定律

Benford's Law in the ring $\mathbb{Z}(\sqrt{D})$

本文研究了二次整数环 $\mathbb{Z}(\sqrt{D})$ 中满足特定方程的子集 $\mathbb{Z}_k(\sqrt{D})$，证明其自然排列序列中的整数 $x$ 和 $y$ 均构成强 Benford 序列。

Zeckendorf分解的Benford行为

Benford Behavior of Zeckendorf Decompositions

Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每个整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数数之和$\{ F_i \}_{i = 1}^{\infty}$。一个集合$S \subset \mathbb{Z}$被称为满足本福德定律，如果$S$中的元素的密度与前导数字$d$是$\log_{10}{(1+\frac{1}{d})}$ ;换句话说，更小的前导数字更有可能出现。我们证明了，作为$n\to\infty$，对于$[0, F_{n+1})$中随机选择的整数$m$，其Zeckendorf分解中Fibonacci被加数的前导位的分布几乎必然收敛于Benford定律。我们的结果持有更普遍的，而不是看的分布领先的数字之一，获得类似的定理，如何经常值的密度达到。

广义Zeckendorf分解的Benford性质

Benford Behavior of Generalized Zeckendorf Decompositions

我们证明Zeckendorf分解和本福德定律之间的联系。回想一下，如果我们用$F_1 = 1, F_2 = 2$和$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$来定义斐波那契数，那么每个正整数都可以唯一地写成这个序列的不相邻元素之和;这被称为泽肯多夫分解，并且对于由$G_{n+1}=c_1G_n+\cdots+c_LG_{n+1-L}$形式的递归关系产生的序列，存在类似的唯一分解，其中$c_i$为正，以及其他一些限制。此外，如果在$S$中具有前导数字$d$的元素的密度是$\log_{10}{(1+\frac{1}{d})}$，则集合$S \subset \mathbb{Z}$被称为满足本福德定律基数10;换句话说，更小的前导数字更有可能出现。证明了当$n\to\infty$为$[0, G_{n+1})$中随机选取的整数$m$时，其广义Zeckendorf分解的被加数的首位数的分布几乎必然收敛于Benford定律.我们的研究结果持有更普遍的：一个获得类似的定理，那些关于领导数字的分布时，考虑如何经常在密度集的值是在分解中的被加数。

Significant Digits of Primes in Subsets

Benford's Law describes the prevalence of small numbers as the leading digits of numbers in many sets of integers. We prove a variant of Benford's law for many positive-density subsets of the primes. This follows from a more general result over number fields.

论对数 Benford 序列

On Logarithmically Benford Sequences

本文研究受多项式界控制且归一化系数关于对称测度等分布的序列，刻画其在算术密度下不服从而在对数密度下可服从 Benford 定律的条件，并应用于偶权 newform 的 Frobenius 迹。

Two problems on the distribution of Carmichael's lambda function

Let $λ(n)$ denote the exponent of the multiplicative group modulo $n$. We show that when $q$ is odd, each coprime residue class modulo $q$ is hit equally often by $λ(n)$ as $n$ varies. Under the stronger assumption that $\gcd(q,6)=1$, we prove that equidistribution persists throughout a Siegel--Walfisz-type range of uniformity. By similar methods we show that $λ(n)$ obeys Benford's leading digit law with respect to natural density. Moreover, if we assume GRH, then Benford's law holds for the order of $a$ mod $n$, for any fixed integer $a\notin \{0,\pm 1\}$.

线性李群上的首数律

Leading Digit Laws on Linear Lie Groups

我们确定了线性李群$G$的矩阵分量的首数律。这些定律概括了李群$\mathbb{R}^+$的正规化Haar测度是$dx/x$，以及$dx/x$的标度不变性意味着数字的分布遵循本福德定律，即观察到最多$s$的有效数基$B$的概率是$\log_B(s)$ ;因此第一个数字是$d$的概率是$\log_B(1 + 1/d)$）。把这种标度不变性看作Haar测度的左不变性，我们从各种不同的$G$的一个矩阵分量中确定了有效数的幂律.我们还确定了一个单位球的一个固定数量的组件的前导数字分布，并发现周期性的行为时，在一定的进展领域的维度趋于无穷大。

Leading Digits of Mersenne Numbers

It has long been known that sequences such as the powers of $2$ and the factorials satisfy Benford's Law; that is, leading digits in these sequences occur with frequencies given by $P(d)=\log_{10}(1+1/d)$, $d=1,2,\dots,9$. In this paper, we consider the leading digits of the Mersenne numbers $M_n=2^{p_n}-1$, where $p_n$ is the $n$-th prime. In light of known irregularities in the distribution of primes, one might expect that the leading digit sequence of $\{M_n\}$ has \emph{worse} distribution properties than "smooth" sequences with similar rates of growth, such as $\{2^{n\log n}\}$. Surprisin…

2 的幂的三进制数字

Ternary Digits of Powers of Two

本文研究 2 的幂的三进制数字及 log_3(2) 的三进制展开中字符串的均匀分布问题，并通过计算到 10^6 的证据支持相应的正规性猜想。