Galois theory, graphs and free groups
Brent Everitt
一个独立的阐述是给予拓扑和伽罗瓦理论性质的类别组合1-复形，或图形，非常精神的Stallings。得到了关于自由群的一些经典结果和一些新的结果。
A self-contained exposition is given of the topological and Galois-theoretic properties of the category of combinatorial 1-complexes, or graphs, very much in the spirit of Stallings. A number of classical, as well as some new results about free groups are derived.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Galois trees in the graph of $p$-groups of maximal class
对与极大类的有限$p$ -群相关的图$\mathcal{G}_p$的研究由Blackburn（1958）首先提出，并从此成为一个深入而有趣的研究课题。Leedham-Green和McKay（1976-1984）介绍了$\mathcal{G}_p$的骨架，描述了它们对$\mathcal{G}_p$结构研究的重要性，并展示了它们与代数数论的关系。在这里，我们更进一步：我们将骨架划分为所谓的伽罗瓦树，并研究它们的一般形状。在$p \geq 7$和$p \equiv 5 \bmod 6$的特殊情况下，我们证明了它们对Eick，Leedham-Green，Newman和O 'Brien（2013）提出的$\mathcal{G}_p$的周期图案有显著的影响。特别地，我们使用伽罗瓦树来证明Dietrich（2010）关于这些周期模式的猜想。
Galois points for a finite graph
本文基于 Baker-Norine 的图上除子线性系统理论定义有限图的伽罗瓦点，并由此给出完全图的新刻画。
Invariant group orderings and Galois conjugates
本文研究了无剩余挠幂零群的自同构与群的某些序有关的条件。对于自由群和曲面群，这与在圆上形成纤维的三维流形的基本群的排序有关。
The differential Galois group of the maximal prounipotent extension is free
设$F$是一个具有代数闭常量域的特征零微分域，考虑$F$的所有Picard-Vessiot扩张与幂单微分伽罗瓦群的合成$F_u$.证明了$F_u$的$F$微分自同构群是自由的prounipotent群.
Infinite free pro-p products as absolute Galois groups
本文推广梅利尼科夫准则，建立自由 profinite 与自由 pro-p 乘积实现为绝对伽罗瓦群的联系。
Free product of Demushkin groups as absolute Galois group
本文证明了可数多个秩为 $\aleph_0$ 的 Demushkin 群在特定条件下的自由 profinite 积构成绝对伽罗瓦群的充分必要条件是 $\log_pq(G_i)\to \infty$。
Local Galois theory in dimension two: Second edition
本文证明了Shafarevich猜想在任意域上的二元洛朗级数域上的推广。虽然不是投射的，绝对的伽罗瓦群这样的字段被证明是半自由的。证明了大域上光滑射影曲线的函数域具有半自由绝对伽罗瓦群。在本文的第一版中，我们证明了这些群是拟自由的，这是较弱的。
Hopf-Galois structures of isomorphic type on a non-abelian characteristically simple extension
设$L/K$是有限伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群$G$是非阿贝尔且特征简单的。利用图论的工具，我们将给出$L/K$上的Hopf-Galois结构个数的闭公式，其中伴随群同构于$G$ .
Directed graphs, Frattini-resistance, and maximal pro-$p$ Galois groups
该研究针对定向右角Artin pro-$p$群，证明了其关联有向图为初等型、具有Frattini抗性、拓扑有限生成闭子群均为定向pro-$p$ RAAG、是含$p$次单位根域的极大pro-$p$伽罗瓦群这四个条件等价，并提出相关上同调无本质三重Massey积的猜想。
Quasi-inverse endomorphisms
Greither和Pareigis建立了Galois扩张$L/K$上的Hopf Galois结构与Galois群$G$之间的联系，以及$G$上置换群的正则子群，它们被$G$规范化。Byott用$G$的内射态射的某些等价类将这种联系重新表述为具有与$G$相同基数的群$N$的全形。Childs和Corradino利用该理论从具有阿贝尔像的$G$的无不动点自同态开始构造此类霍普夫伽罗瓦结构。在本文中，我们证明了一个不动点自由的自同态有一个阿贝尔像当且仅当有另一个自同态是它的逆关于圈操作在$G$上的近环的映射，并给出了一个相当明确的配方，以建设所有这样的自同态。
Combinatorial Techniques in the Galois Theory of $p$-Extensions
当前伽罗瓦论中的一个主要问题是刻画各种域的绝对伽罗瓦群的投射有限群。获得详细的知识的结构的等价物和子群过滤的伽罗瓦群的$p$ -扩展是一个重要的步骤，解决方案。我们说明了几种技术计数伽罗瓦$p$ -扩展的各种领域，包括勾股领域和局部域。给出了形式实勾股域的扩张数的一个表达式，该勾股域的伽罗瓦群为8阶二面体群。本文导出了Zassenhaus滤子的$n$阶化片的$\mathbb{F}_p$维数的计算公式，它适用于各种不同的生成的原$p$群，包括自由原$p$群，Demushkin群及其自由原$p$积.几个例子来说明这些尺寸在表征亲$p$伽罗瓦群的重要性。我们还表明，知识的亲$p$伽罗瓦群的小子可以提供信息的形式之间的关系群生成器。
Groups of p-absolute Galois type that are not absolute Galois groups
设p为素数。本文研究了Lam-Liu-Sharifi-Wake-Wang定义的p-绝对Galois型pro-p群。我们证明了与弦单纯图相关的直角Artin群的pro-p完全是p-绝对Galois类型的，并且它满足Massey消失性质的强版本。证明了Demushkin群是p-绝对Galois型的，并且满足Massey消失性质的两个p-绝对Galois型pro-p群的自由pro-p积和在一定条件下的直积也是满足Massey消失性质的p-绝对Galois型pro-p群.因此，有大量的p-绝对伽罗瓦型的pro-p群满足Massey消失性质，但不作为绝对伽罗瓦群出现。
Subgroups of free proalgebraic groups and Matzat's conjecture for function fields
证明了自由原代数群的闭有限指数子群本身也是自由原代数群。这个结果的主要动机是在微分伽罗瓦论中的一个应用：一元函数域的绝对微分伽罗瓦群是一个自由原代数群。
Topological Galois Theory
我们介绍了一个抽象的拓扑理论框架，在各种不同的数学背景下，建立伽罗瓦型理论，这样的理论是从某些原子二值toposes的连续行动的一个拓扑群的toposes表示。我们的框架包括特别是格罗滕迪克的伽罗瓦论，并允许建立伽罗瓦型等价在新的情况下，例如图论和有限群理论。
Free Pro-2 Product Decompositions and Hilbert's Theorem 90 for the Kaplansky Radical
本文针对有限平方类域建立了确保Kaplansky根的Hilbert第90型性质的伽罗瓦理论判据，将其应用于初等类型极大pro-2伽罗瓦群的域等，为有限维H猜想的已知正例提供了统一解释。
Chasing maximal pro-p Galois groups via 1-cyclotomicity
本研究针对极大pro-p伽罗瓦群的刻画问题，通过1-分圆性证明两类pro-p群无法成为含p次单位根域的极大pro-p伽罗瓦群，指出传统上同调阻碍的局限性，并提出强n-Massey零化性质猜想。
Right-angled Artin groups and enhanced Koszul properties
设F是有限域。本文证明了直角Artin群的系数在F中的上同调代数是强Koszul代数，对每个有限图$Γ$ .此外，同一个代数是泛Koszul代数当且仅当与直角Artin群相关联的图$Γ$具有对角性质。由此我们得到了几个新的亲p群的例子，对于一个素数p，其系数在p元域上的连续上链上同调代数是强泛（或强非泛）Koszul。这为Minán等人提出的关于域的极大支撑伽罗瓦群的伽罗瓦上同调猜想提供了新的支持。
The Sylow subgroups of the absolute Galois group Gal(Q)
通过观察和研究Gal（Q）的Sylow子群作为Z_p作用在F上的半直积的分解，刻画了奇素数p的Sylow子群，这里F是自由pro-p群，Z_p是p-adic整数.我们确定了F的有限Z_p-群，并更一般地证明了F的Z_p-群的每一个分裂嵌入问题都是可解的。此外，我们还分析了Z_p作用在F的生成元上的性质。
Abelian maps, bi-skew braces, and opposite pairs of {H}opf-{G}alois structures
设$G$是有限非交换群，$ψ:G\to G$是具有交换象的同态.我们展示了$ψ$如何在具有伽罗瓦群（同构于）$G$的伽罗瓦扩展$L/K$上产生两个Hopf-Galois结构;其中一个结构推广了Childs在2013年引入的“不动点自由阿贝尔自同态”给出的构造。我们构造了对应于上述两个霍普夫-伽罗瓦结构的斜左支撑。我们将表明，斜左括号之一，实际上是一个双斜括号，使我们能够获得四个集理论的解决方案，杨-巴克斯特方程以及一对霍普夫-伽罗瓦结构（潜在）不同的有限伽罗瓦扩展。
The inverse Galois problem of iterated Galois groups and their fixed-point proportion
本文引入几乎混合群概念，研究迭代伽罗瓦群的逆伽罗瓦问题，证明非动力学拉回的有理函数几何迭代伽罗瓦群不动点比例为零，解决相关开放问题。
Artin-Schreier quandles of involutions in absolute Galois groups
本研究提出与绝对伽罗瓦群相关的新域不变量Artin-Schreier quandle，明确其在形式实数域中的自由生成结构，给出洛朗级数域下的计算方式，证实一般情形下该结构存在关系，细化了域的实谱研究。
Tame Galois Groups, Linking Numbers and Mildness
通过结合加权Zassenhaus滤过、图论方法和Koch型表示，证明对于任意有限驯服素数集S0（|S0|≥2），存在两个驯服素数组成的集合S1使得G_{S0∪S1}的上同调维数为2，从而改进了Labute的结果并回答了其关于温和群的问题。
Classification of finite W-groups
当序空间$X_F$具有有限阶时，我们确定了勾股形式实域$F$的绝对伽罗瓦群$G_F$的小伽罗瓦商W-群$\mathcal{G}_F$的结构.基于Marshall的工作（1979），我们把$\mathcal{G}_F$的结构约化为$\mathcal{G}_{\bar{F}}$的结构，当$X_F$是连通空间时，剩余域$\bar{F}$的W-群.在不连通的情况下，$\mathcal{G}_F$的结构是W-群$\mathcal{G}_{F_i}$的自由积，对应于$X_F$的连通分量$X_i$。对马歇尔基本引理给出了一个完全的伽罗瓦理论证明。
Permanence criteria for semi-free profinite groups
引入了投射有限群是半自由群的条件，它比自由群更一般，比拟自由群更严格。特别地，每个投射半自由投射有限群都是自由的。我们证明了自由群通常的持久性可以推广到半自由群。利用这一点，我们得出结论，如果k是可分闭域，则k（（x，y））的许多域扩张具有自由绝对伽罗瓦群。
Graph Invariants of Finite Groups via a Theorem of Lagarias
引入了一个新的有限群的图不变量，它完全用伽罗瓦群刻画了正规域扩张中非分歧素理想的分裂类型.特别地，每个连通分量对应于组的划分（Abteilung）。我们计算交替群的划分，并编制一个不变量揭示的群的特征列表。我们猜想不变量区分有限群。我们的论述借用了图论、群论和代数数论的元素。
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