给定度量空间的函数$f\colon X\to Y$，它的{ \it渐近维数} $\asdim(f)$是$\asdim(A)$的上确界，使得$A\subset X$和$\asdim(f(A))=0$ .我们的主要结果是：\begin{Thm} \label{ThmAInAbstract} $\asdim(X)\leq \asdim(f)+\asdim(Y)$ for any large scale uniform function $f\colon X\to Y$. \end{Thm} \ref{ThmAInAbstract}推广了Bell和Dranishnikov的一个结果，其中$f$是Lipschitz的，$X$是测地线的.我们为Assouad-Nagata维数$\dim_{AN}$和渐近Assouad-Nagata维数$\ANasdim$提供了\ref{ThmAInAbstract}的类似物。在线性控制的渐近尺寸$\Lasdim$的情况下，我们提供了反例Dranishnikov的问题列表中的三个问题。作为\ref{ThmAInAbstract}类似物的应用，我们证明了\begin{Thm} \label{ThmBInAbstract} If $1\to K\to G\to H\to 1$ is an exact sequence of groups and $G$ is finitely generated, then $$\ANasdim (G,d_G)\leq \ANasdim (K,d_G|K)+\ANasdim (H,d_H)$$ for any word metrics metrics $d_G$ on $G$ and $d_H$ on $H$. \end{Thm} \ref{ThmBInAbstract}推广了Bell和Dranishnikov关于渐近维数的结果.
英文摘要：
Given a function $f\colon X\to Y$ of metric spaces, its {\it asymptotic dimension} $\asdim(f)$ is the supremum of $\asdim(A)$ such that $A\subset X$ and $\asdim(f(A))=0$. Our main result is \begin{Thm} \label{ThmAInAbstract} $\asdim(X)\leq \asdim(f)+\asdim(Y)$ for any large scale uniform function $f\colon X\to Y$. \end{Thm}
\ref{ThmAInAbstract} generalizes a result of Bell and Dranishnikov in which $f$ is Lipschitz and $X$ is geodesic. We provide analogs of \ref{ThmAInAbstract} for Assouad-Nagata dimension $\dim_{AN}$ and asymptotic Assouad-Nagata dimension $\ANasdim$. In case of linearly controlled asymptotic dimension $\Lasdim$ we provide counterexamples to three questions in a list of problems of Dranishnikov.
As an application of analogs of \ref{ThmAInAbstract} we prove \begin{Thm} \label{ThmBInAbstract} If $1\to K\to G\to H\to 1$ is an exact sequence of groups and $G$ is finitely generated, then $$\ANasdim (G,d_G)\leq \ANasdim (K,d_G|K)+\ANasdim (H,d_H)$$ for any word metrics metrics $d_G$ on $G$ and $d_H$ on $H$. \end{Thm}
\ref{ThmBInAbstract} extends a result of Bell and Dranishnikov for asymptotic dimension.
对一类包含离散群的度量空间X，证明了X的渐近Assouad-Nagata维数AN-asdim X与X的Higson日冕关于X上的次线性粗结构的覆盖维数$\dim(ν_L X)$一致.然后我们应用这个事实来证明等式AN-asdim（X x R）= AN-asdim X + 1。我们注意到Gromov的渐近维数asdim的类似等式通常不成立[Dr 3]。此外，我们还构造了一个从无基点的渐近锥面到次线性Higson日冕的内射映射。
Asymptotic and Assouad-Nagata dimension of finitely generated groups and their subgroups
我们证明了对于所有具有$4 \leq k \leq m \leq n$的$k,m,n \in \mathbb N \cup \{\infty\}$，存在一个有限生成群$G$和一个双生成子群$H$使得$G$是$k$，$G$的Assouad-Nagata维数是$m$，而$H$的Assouad-Nagata维数是$n$。这同时回答了渐近维数论中的两个悬而未决的问题。
Hurewicz的维数提升定理指出，对于每个n到1的映射f：X \to Y，dim Y =< dim X + n成立。本文在大尺度下引入了类有限对一映射的概念。利用这一概念，我们制定了一个维数提升型定理的渐近维数和渐近Assouad-Nagata维数。它也被称为Hurewicz的有限到一映射定理，dim X =< n当且仅当存在从0维空间到X的（n + 1）到1映射。我们制定了一个有限到一映射型定理的渐近维数和渐近Assouad-Nagata维数。
Universal consistency of the $k$-NN rule in metric spaces and Nagata dimension
University of Ottawa（渥太华大学）
$k$最近邻学习规则（在均匀距离平局打破下）在每个度量空间$X$中是普遍一致的，该度量空间在Nagata意义下是σ有限维的。Cérou和Guyader（2006）指出了这一点，作为他们主要结果的结果，结合D. Preiss（1971）（Assouad和Quentin de Gromard（2006）详细阐述）。我们证明了可以沿着与Charles J. Stone（1977）关于有限维欧几里得空间中$k$ -NN分类器的普适一致性的原始定理相同的思路给出一个直接的证明。推广是不平凡的，因为距离的关系是更普遍的非欧几里德设置，并在路上，我们调查的度量和限制的石头参数的相关几何性质，通过构建各种例子。
