Semi-primitive roots and the discrete logarithm module $2^k$
建立了整数乘法群的半原根与Fit-Florea和Matula（2004）提出的计算离散对数模$2^{k}$的算法中的对数基之间的联系，其中$k\geq 3$. Fit-Florea和Matula利用半原根3模$2^{k}$的性质得到了他们的结果，并为其他可能的基提供了一个转换公式。我们证明了他们的结果可以推广到任何模$2^{k}$的半原根，并给出了他们的算法的一个推广版本，以找到模$2^{k}$的离散对数。密码学、符号计算和其他领域的各种应用都可能受益于更高精度的硬件整数运算。该算法适合于需要快速算术计算的应用的硬件支持。
2023-01-10 math.NT
The discrete logarithm problem over prime fields: the safe prime case. The Smart attack, non-canonical lifts and logarithmic derivatives
在这个简短的说明中，我们将安全素数情形下的素域上的离散对数问题与对数导数联系起来。
2017-02-23 cs.CR math.NT
On the discrete logarithm problem in finite fields of fixed characteristic
对于素数幂的$q$，$\mathbb{F}_{q}$中的离散对数问题（DLP）在于，对于任何$g \in \mathbb{F}_{q}^{\times}$和$h \in \langle g \rangle$，找到整数$x$，使得$g^x = h$。我们提出了一个算法计算离散型方程，我们证明了，对于每个素数$p$存在无穷多个显式的扩展域$\mathbb{F}_{p^n}$，其中的DLP可以解决预期的准多项式时间。此外，受到一个猜想的存在不可约多项式的某种形式，该算法解决了DLP在所有扩展$\mathbb{F}_{p^n}$在预期的准多项式时间。
2016-07-29 math.NT
Distribution of the Error in Estimated Numbers of Fixed Points of the Discrete Logarithm
布里佐利斯提出了一个问题：是否每个素数p都有一对（g，h），使得h是以g为底的离散对数的不动点？作者和Pieter Moree在Zhang，Cobeli和Zaharescu的工作基础上，给出了估计此类对的数量的方法，并证明了估计误差的范围。然而，这些界限并不能描述真实的情况，本文是第一次尝试收集和分析一些数据的分布的实际误差的估计。
2004-12-19 math.NT
Discrete logarithms in free groups
对于n个生成元上的自由群，证明了当对数适当重整化后，离散对数服从标准高斯分布。
2004-10-15 math.GR math.NT
Some Heuristics and Results for Small Cycles of the Discrete Logarithm
布里佐利斯提出了一个问题：是否每个素数p都有一对（g，h），使得h是以g为底的离散对数的不动点？第一作者以前扩展了这个问题，询问不仅不动点，但也有两个循环，并给予questistics（建设工作的张，Cobeli，Zaharescu，坎贝尔，和Pomerance）估计的数量，这样对给定的某些条件下，g和h。在本文中，我们扩展这些算法，并证明其中一些结果，再次建立在上述工作。我们还做了一些新的证明，并证明了一些结果的平均版本。
2004-10-16 math.NT
The Discrete Logarithm Problem over Prime Fields can be transformed to a Linear Multivariable Chinese Remainder Theorem
我们证明了经典的素域上的离散对数问题可以归结为求解线性模方程组的问题。
2016-08-25 cs.CR math.NT
On the Bounded Sum-of-digits Discrete Logarithm Problem in Kummer and Artin-Schreier Extensions
本文研究有限域$\F_{q^n}$上的离散对数问题，其中$n|q-1$ .该域称为库默尔域或$\F_q$的库默尔扩展。这对改进AKS素性证明算法具有重要作用。我们知道，我们可以有效地构造一个元素$g$与阶大于$2^n$的字段。令$S_q(\bullet)$是从整数到其$q$ -元展开式中的数字之和的函数。我们提出了一个算法，给定$g^e$（$ 0\leq e < q^n $）发现$e$在随机多项式时间，如果$S_q (e) < n$。然后，我们证明了这个问题是可解的随机多项式时间的大部分指数$e$与$S_q (e) < 1.32 n $。后一结果的主要工具是Guruswami-Sudan列表解码算法。在此基础上，证明了在$\F_{q^{q-1}}$域上，关于$g$的有界位数和离散对数可以在随机时间$O(f(w) \log^4 (q^{q-1}))$内计算，其中$f$是次指数函数，$w$是指数的$q$元位数和上的界.因此，该问题是固定参数易处理的。这些结果可推广到Artin-Schreier扩张$\F_{p^p}$，其中$p$是素数.由于每个有限域都有一个合理次的扩张是Kummer域，我们的结果揭示了离散对数问题的一个意想不到的性质，即任何有限域上的有界位数和离散对数问题在某些低次扩张中成为多项式时间可解的.
2003-11-07 math.NT
Discrete logarithms in quasi-polynomial time in finite fields of fixed characteristic
证明了在特征固定的有限域的乘法群中，离散对数问题可以在拟多项式期望时间内求解。更一般地说，我们证明了它可以解决在该领域的基数$p^n$在预期的时间$(pn)^{2\log_2(n) + O(1)}$。
2019-11-18 cs.CR math.NT
New Conjectures and Results for Small Cycles of the Discrete Logarithm
布里佐利斯提出了一个问题：是否每个素数p都有一对（g，h），使得h是以g为底的离散对数的不动点？第一作者以前扩展了这个问题，询问不仅不动点，但也有两个周期，并给予prostitics（建设工作的张，Cobeli，Zaharescu，坎贝尔，和Pomerance）估计的数量，这种对给定的某些条件下，$g$和$h$。在本文中，我们给出了一个总结的结构和结果，遵循这些化学，再次建设上述工作。我们还做了一些新的证明，并证明了一些结果的平均版本。
2003-06-04 math.NT
The elliptic curve discrete logarithm problem and equivalent hard problems for elliptic divisibility sequences
定义了椭圆整除序列理论中的三个困难问题（EDS结合、EDS剩余和EDS离散对数），每个困难问题在次指数时间内可解的充要条件是椭圆曲线离散对数问题在次指数时间内可解.我们还将EDS协会的问题与泰特配对和MOV，Frey-Rück和Shipsey EDS攻击的椭圆曲线离散对数问题的情况下，这些应用。
2008-08-04 math.AG math.NT
Computation of a 30750-Bit Binary Field Discrete Logarithm
本文报道了有限域$\mathbb F_{2^{30750}}$中离散对数的计算，大幅打破了2014年1月在$\mathbb F_{2^{9234}}$中计算创下的纪录。目前的计算基本上使用了Granger，Kleinjung和Zumbrägel的准多项式算法的消除步骤，并且是第一个真正测试并成功证明其递归应用潜力的大规模实验，这是当它导致所述复杂性时。它需要在运行于2.6 GHz的Intel Xeon Ivy Bridge处理器的单个核心上大约2900个核心年，这与设置在位长度为795的字段中的素域的离散对数记录花费的大约3100个核心年相当，并且证明了对于这种级别的计算工作，问题是多么容易。为了使计算可行，我们引入了几种创新技术来消除小次数的不可约元，这意味着我们避免了执行任何昂贵的Gröbner基计算，这与自2013年初以来的所有记录相反。虽然这样的计算对于$L(\frac 1 4 + o(1))$复杂度算法是至关重要的，但它们对于我们的目的来说太慢了。最后，这种计算应该作为一个严重的威慑密码学家谁仍然建议依赖于离散对数的安全性，这样的有限域的应用程序，尽管存在两个准多项式算法和更快的算法正在开发的前景。
2020-08-06 math.NT
An L(1/3) algorithm for discrete logarithm computation and principality testing in certain number fields
本文分析了求解离散对数问题的复杂性和检验某类数域中理想的主性的复杂性。我们实现了次指数复杂性的$O(L(1/3,O(1)))$的判别式和程度的扩展趋于无穷大时，使用的技术，由于恩格，Gaudry和Zué在有限域上的代数曲线的上下文中。
2012-04-05 cs.CC math.NT
The discrete logarithm problem in cokernels of $\mathcal{O}_K$-matrices
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
将图沙堆群上离散对数计算问题推广到数域\(K\)整数环\(\mathcal{O}_K\)矩阵余核，克服\(\mathcal{O}_K\)中欧式算法失效障碍，给出计算余核中离散对数的算法及时复性，对Hermitian矩阵有改进。
2026-07-07 math.NT
Finding discrete logarithm in $F_p^* $
任意域的离散对数计算的困难性是几种流行的密码解决方案安全性的基础。Pohlig-Hellman方法是计算有限域上离散对数的常用方法之一，它的计算方法是$F_p^*$。如果p是光滑的（即p-1有小的素因子），Pohlig-Hellman方法确实会产生好的结果。我们提出了一个实用的替代Pohlig-Hellman算法寻找离散对数模素数。尽管所提出的方法类似于Pohlig-Hellman将问题简化为每个素因子的阶数组$p_i$，因此在最坏情况下（包括当p= 2 q +1时，q是另一个素数）运行时间的阶数保持相同。然而，在所提出的方法中，由于不需要使用孙子剩余定理组合结果并进行其他相关工作，因此运行时间要快得多。
2021-04-28 cs.DM math.NT
Isogenies and the Discrete Logarithm Problem in Jacobians of Genus 3 Hyperelliptic Curves
我们描述了使用显式的同源性来翻译的实例的离散对数问题（DLP）的超椭圆属3曲线的雅可比矩阵的非超椭圆属3曲线，在那里他们是容易受到更快的指数演算攻击。我们提供了显式公式同构的内核同构的$(\ZZ/2\ZZ)^3$（在一个代数闭包的基础领域）的任何超椭圆亏格3曲线的特征不2或3。这些isogenies是合理的，所有超椭圆亏格3曲线定义在一个有限域上的特征$p > 3$。在合理的假设下，我们的构造给出了一个明确和有效的减少的DLP的实例从超椭圆到非超椭圆雅可比约18.57%的超椭圆属3曲线在一个给定的有限域。最后，我们讨论这些想法扩展到更一般的内核的同源。这项工作的浓缩版出现在2008年欧洲议会PT会议的议事录中。
2009-02-27 math.NT
A quasi-polynomial algorithm for discrete logarithm in finite fields of small characteristic
在目前的工作中，我们提出了一个新的离散对数算法，在相同的静脉在最近的作品Joux，使用渐近更有效的下降方法。主要结果给出了小特征有限域上离散对数问题的拟多项式启发式复杂性。通过准多项式，我们表示$n^{O(\log n)}$类型的复杂度，其中$n$是有限域的基数的位大小。这种复杂度小于用于$ε>0$的任何$L(\varepsilon)$。它在输入的大小上保持超多项式，但与$L(1/4+o(1))$相比提供了重大的渐进改进。
2013-11-26 cs.CR math.NT
Addenda/Corrigenda: Fixed Points and Two-cycles of the Discrete Logarithm
摘要的原始文件如下：我们探讨一些问题有关的一个Brizolis：是否每个素数p有一对（g，h），使h是一个不动点的离散对数与基地g？我们把这个问题不仅推广到不动点，而且推广到双圈。Campbell和Pomerance不仅回答了p足够大时的不动点问题，而且还严格地估计了在给定g和h的某些条件下这种对的数目。我们试图给出类似的估计在g和h的其他条件下，也在两个循环的情况下的算法。我们所收集的数据充分支持了这些理论，并且似乎适合在未来转换为严格的估计。
2002-11-18 math.NT
An Efficient Signature Scheme based on Factoring and Discrete Logarithm
本文提出了一个新的签名方案的基础上的两个困难的问题：模复合模的立方根提取（这是等价的模的因式分解，IFP）和离散对数问题（DLP）。通过结合这两个密码学假设，我们提出了一个有效的和强安全的签名方案。我们证明了如果攻击者可以用一个算法$\mathcal{A},$破解新的方案，那么$\mathcal{A}$可以用来解决DLP和IFP。密钥生成是基于离散对数模复合模的简单操作。签名阶段基于立方根计算和DLP。这些操作在计算上是高效的。
2012-09-21 cs.CR math.NT
A Factoring and Discrete Logarithm based Cryptosystem
本文介绍了一种新的公钥密码体制，它基于两个难题：模复合模的立方根提取（等价于模的因式分解）和离散对数问题。这两个难题在密钥生成、加密和解密阶段结合在一起。将IFP和DLP相结合，提出了一种安全高效的公钥密码体制.为了破解该方案，对手可以分别求解IFP和DLP，这在计算上是不可行的。密钥生成是基于离散对数模复合模的简单操作。加密阶段基于立方根计算和DLP。这些操作在计算上是有效的。
2012-09-23 cs.CR math.NT
Arithmetic constraints of polynomial maps through discrete logarithms
设$q$是素数幂，$\mathbb F_q$是具有$q$元素的有限域，$θ$是循环群$\mathbb F_q^*$的生成元.对于每个$a\in \mathbb F_q^*$，令$\log_θ a$为唯一整数$i\in \{1, \ldots, q-1\}$，使得$a=θ^i$。给定多项式$P_1, \ldots, P_k\in \mathbb F_q[x]$和$q-1$的约数$1<d_1, \ldots, d_k$，讨论了函数$$F_{i}:y\mapsto \log_θP_i(y)\pmod {d_i}, $$在集合$\mathbb F_q\setminus \cup_{i=1}^k\{y\in \mathbb F_q\,|\, P_i(y)=0\}$上的分布.我们的主要结果是，在自然乘法条件下对$(d_i, P_i)$，$F_i$的功能是渐近独立的。我们还提供了一些应用程序，特别是涉及到过去的工作。
2020-07-08 math.NT
Structure computation and discrete logarithms in finite abelian p-groups
本文给出了有限交换p-群H中计算离散群的一般算法，改进了Pohlig-Hellman算法，并将其推广到了Teske的非循环群.然后，我们给出了一个直接法计算的基础H不使用关系矩阵。讨论了计算任意有限阿贝尔群G的部分或全部Sylow p-子群的基的问题，给出了一个Monte Carlo算法，用O（|G| ^0.5）群运算计算G的结构.这些结果也改进了G.
2012-04-07 math.GR math.NT
Hard Instances of the Constrained Discrete Logarithm Problem
离散对数问题（DLP）推广到约束DLP，其中秘密指数$x$属于攻击者已知的集合。求解约束DLP的遗传算法的复杂性取决于集合的选择。出于密码学应用的需要，我们研究了具有简洁表示的集合，对于这些集合，约束DLP是困难的。我们借鉴早期的结果，由于埃尔德什等人。和Schnorr，开发几何工具，如广义Menelaus定理证明下界的复杂性的约束DLP，并构造集简洁的表示与可证明的非平凡的下界。
2006-07-24 cs.CR math.NT
Statistical Analysis of Binary Functional Graphs of the Discrete Logarithm
越来越多地使用密码学来保护我们的个人信息，使我们想要了解密码系统的安全性。许多密码系统的安全性依赖于求解离散对数，而离散对数被认为是相对困难的。因此，我们着重研究了离散对数图的某些性质的统计分析。我们发现的期望值和方差的图的某个属性，并比较期望值的实验数据。我们的发现与我们的直觉不一致，即在大样本量的情况下，数据服从高斯分布。因此，我们找到了图的某些性质的理论渐近分布。
2016-09-02 cs.CR math.CO math.NT
Indiscreet logarithms in finite fields of small characteristic
最近，几个显着的进展已经发生了关于离散对数问题（DLP）在有限域的小特征，尽管进展基本上保持了近三十年的静态，与最知名的算法是次指数复杂性。在这篇简短的文章中，我们描述了两个独立的准多项式算法的关键见解和结构。为了把这些事态发展的历史和数学的背景下，以及提供一个比较与所谓的大型和中型的特征领域的情况下，我们给出了一个概述的国家的最先进的算法，用于计算在所有有限域的离散矩阵。我们的介绍旨在引导读者从头开始通过算法和它们的复杂性分析。
2016-04-13 math.NT
Kangaroo Methods for Solving the Interval Discrete Logarithm Problem
区间离散对数问题定义如下：给定一个群$G$中的一些$g,h$，和一些$N \in \mathbb{N}$，使得$g^z=h$对于一些$z$，其中$0 \leq z < N$，找到$z$。袋鼠算法是目前求解区间离散对数问题的最佳低记忆算法。解决这个问题的最快的非并行袋鼠方法是三袋鼠方法和四袋鼠方法。它们分别具有$\big(1.818+o(1)\big)\sqrt{N}$和$\big(1.714 + o(1)\big)\sqrt{N}$组操作的预期平均运行时间。目前，是否有可能通过使用四只以上的袋鼠来改进袋鼠法是一个悬而未决的问题。在本文之前，最快的袋鼠算法需要使用四只以上的袋鼠来求解区间离散对数问题，至少需要$2\sqrt{N}$群运算。在本文中，我提出了一个七只袋鼠的方法，它具有$\big(1.7195 + o(1)\big)\sqrt{N} \pm O(1)$组运算的期望平均运行时间，显著地提高了使用四只以上袋鼠的方法的运行时间，几乎超过了最快的袋鼠算法。问题是，五只袋鼠比三只更糟糕吗？本文也回答了这一问题，提出了一个平均需要$\big(1.737+o(1)\big)\sqrt{N}$群运算的五袋鼠算法来求解区间离散对数问题。
2015-01-28 cs.DS math.NT
Traps to the BGJT-Algorithm for Discrete Logarithms
Barbulescu，Gaudry，Joux和Thom{é}在最近的突破性论文中，提出了一种求解小特征有限域上离散对数问题的准多项式时间算法（QPA）.该算法的时间复杂度分析是基于他们的论文中提出的几种算法。我们发现，一些的prostitics在其原始形式是有问题的，特别是，当该领域是不是一个库默尔扩展。我们相信，新方法背后的基本思想应该仍然有效，并在不改变准多项式时间复杂度的情况下，提出了一个解决方案。改进的算法也是启发式的。需要进一步研究，以充分了解新方法的有效性。
2013-10-18 cs.CR math.NT
Discrete logarithm computations over finite fields using Reed-Solomon codes
Cheng和Wan将Reed-Solomon码的译码与有限域上离散序列的计算联系起来，目的是证明其译码的困难性。在这项工作中，我们尝试使用Reed-Solomon解码来求解GF（q^h）上的离散对数。对于固定的h和q趋于无穷大，我们引入一个算法（RSDL），需要O（h！q^2）运算，对具有（h+2）q个非零系数的q x q矩阵进行运算。我们给出了更快的变体，包括一个增量版本和另一个使用辅助有限域，不需要GF（q^h）的子域的变体;这个变体对于q和h的中等值非常实用。我们包括我们的第一个实现的一些数值结果。
2012-02-20 cs.IT math.IT math.NT
Algorithmic aspects of elliptic bases in finite field discrete logarithm algorithms
椭圆基，由Couveignes和Lercier在2009年引入，给出了一种表示有限域扩展的优雅方式。一个自然的问题，这似乎已被认为是独立的几个群体是使用这种表示作为一个起点，小特征有限域离散对数算法。这个思想最近由两个研究小组提出，目的是在小特征有限域上实现离散时间的可证准多项式时间。在本文中，我们不试图实现一个可证明的算法，但相反，调查的实用性启发式算法的基础上椭圆基地。我们的关键思想是使用一个不同的模型的椭圆曲线用于椭圆的基础，允许一个相对简单的适应与前弗罗贝纽斯表示算法所使用的技术。我们还没有用这种新方法进行任何记录计算，但我们对F 3 1345域的实验表明，切换到椭圆表示可能与当前最佳实用方法的性能相当。
2019-07-05 cs.CR math.NT
New algorithm for the discrete logarithm problem on elliptic curves
本文提出了一种计算有限域上椭圆曲线上的离散多项式的新算法。它是基于一种新的方法来寻找零点的总和多项式。在二元椭圆曲线中，一个是求解三次布尔方程组。在第一下降度假设下，系统的正则度至多为$4$。提供了支持这一假设的大量实验数据。一个启发式的分析提出了一个新的渐近复杂性界$2^{c\sqrt{n\ln n}}, c\approx 1.69$计算离散椭圆曲线上的大小为$2^n$。对于FIPS推荐的几种二元椭圆曲线，新方法的性能优于Pollard方法。
2015-04-06 cs.CC cs.CR math.AC
A new method for solving the elliptic curve discrete logarithm problem
本文提出利用初始子式（initial minors）和Schur补求解椭圆曲线离散对数问题的新范式，并通过代码验证，成功解决了阶数高达$2^{50}$的群上的问题。
2021-02-15 cs.CR math.AG math.NT
On the relation generation method of Joux for computing discrete logarithms
在\cite{joux}中，Joux设计了一种算法来计算有限域$\mathbb{F}_{p^n}$在时间多项式中的扩展的乘法群的某个子集中的元素之间的离散矩阵，该时间多项式在$p$和$n$中。不久之后，Barbulescu，Gaudry，Joux和\cite{bgjt}提出了一种下降算法，该算法在$(p n)^{\mathcal{O}(\log n)}$时间上将$\mathbb{F}_{p^n}^\times$中的任意元素投影为上述子集中元素的幂的乘积。这两个算法结合起来，得到了一个计算小特征有限域上离散多项式的拟多项式时间算法。这两种算法的成功都依赖于启发式假设。我们找出阻碍他们做出的某些启发式假设的障碍。此外，我们描述了克服这些障碍的方法。
2013-12-23 cs.CC cs.CR math.NT
Solving discrete logarithms on a 170-bit MNT curve by pairing reduction
随着小特征有限域上离散密码计算的突破，基于配对的密码学正处于一个危险的境地。剩余的实例建立在大特征的有限域上，它们的安全性依赖于基础曲线的嵌入域相对较大的事实。有多大是有争议的。我们工作的目的是支持3度嵌入和太小的有限域的组合显然不能提供足够的安全性的说法。作为一个计算示例，我们通过利用配对嵌入到基域的508位3度扩展来解决170位MNT曲线上的DLP。
2016-11-24 cs.CR math.NT
Efficient Lifting of Discrete Logarithms Modulo Prime Powers
针对素数模离散对数解向素数幂模的提升问题，提出一种确定性算法，以更低的模乘次数获得任意固定幂次的解，效率较已有方法至少提升 8 倍。
2025-05-14 cs.DM math.NT
Computing discrete logarithms in subfields of residue class rings
最近在计算小特征有限域上的离散元的突破性方法\cite{gggz,joux,bgjt}与早期的中等素函数域筛法\cite{jl}有一个共同的有趣特征。为了求解有限域$\F$的有限扩张中的离散多项式，构造了一个特殊形式的多项式$h(x) \in \F[x]$，它具有所需次数的不可约因子$g(x) \in \F[x]$。然后利用$h(x)$的特殊形式生成乘法关系，该乘法关系保持在剩余类环$\F[x]/h(x)\F[x]$中，因此也保持在目标剩余类域$\F[x]/g(x)\F[x]$中。一个有趣的问题，在这方面，并在本文中提出的是：当以及如何一组关系的剩余类环确定的离散的有限域中包含的？本文给出了剩余类环上的一组关系决定其所含有限域上的离散图的充要条件，并给出了在满足这些条件时由这些关系导出离散图的有效算法。推导出的必要条件使我们能够清楚地识别在上述方法中的每一种方法中的特殊多项式$h(x)$固有的结构障碍，并提出修改$h(x)$的选择，以避免障碍。
2014-02-26 cs.CC cs.CR cs.SC
Restructuring of Discrete Logarithm Problem and ElGamal Cryptosystem by Using the Power Fibonacci Sequence Module M
本文研究了模m的幂次Fibonacci序列在非对称密码体制中的应用。为此，我们利用幂Fibonacci序列模m重构了数学难题之一的离散对数问题，并利用该序列使仅适用于素模的数学难题也适用于复合模。然后，我们构造了密码系统的基础上，我们已经重新安排了这个更困难的问题。因此，我们得到了一个新的密码体制作为ElGamal密码体制。最后，从密码学的角度对ElGamal密码体制和我们构造的一个新的密码体制进行了比较，得出了一个新的密码体制比ElGamal密码体制更加安全。
2018-07-16 cs.CR math.NT
Horizontal isogeny graphs of ordinary abelian varieties and the discrete logarithm problem
固定一个定义在有限域上的普通阿贝尔簇。它的自同态环的理想类群通过复乘自由作用于具有相同自同态环的同构簇集。类群的任何子群及其生成集在这个子群的簇的轨道上导出一个等距图。在广义黎曼假设下，我们计算了生成它的素理想的范数的界，使得相关图具有良好的扩张性质。我们使用这些图，连同最近的算法Dudeanu，Jetchev和罗伯特计算显式同构属2，证明随机自约化的离散对数问题的子类内的主要极化普通阿贝尔表面固定自同态环。此外，我们删除了Galbraith算法的复杂性分析中的显式计算同构两个椭圆曲线在同一isgenes类，并将其扩展到一个更一般的设置，包括亏格2。
2017-01-25 cs.CR math.NT
Unconditional correctness of recent quantum algorithms for factoring and computing discrete logarithms
University of Oxford（牛津大学）
本文通过解析数论工具证明了Regev改进的量子算法在因数分解和计算离散对数问题上的无条件正确性。
2026-08-26 cs.CC math.NT quant-ph
Computing Individual Discrete Logarithms Faster in GF$(p^n)$ with the NFS-DL Algorithm
数域筛（NFS）算法是计算有限域$\mathbb{F}\_{p^n}$中的离散元（DL）的最佳已知方法，其中$p$中等到大，而$n \geq 1$小。该算法包括四个步骤：多项式选择，关系收集，线性代数，最后，个别对数计算。第一步输出定义两个数字字段的两个多项式，以及从整数上的多项式环对这些多项式中的每一个取模到$\mathbb{F}\_{p^n}$的映射。在关系收集和线性代数阶段之后，每个数字字段中元素子集的（虚拟）对数是已知的。给定$\mathbb{F}\_{p^n}$中的目标元素，第四步计算一个数域中的原像。如果可以将目标原像写为已知（虚拟）对数的元素的乘积，则可以推导出目标的离散对数。正如最近的Logjam攻击所显示的那样，当最后一步可以非常快速地计算时，它可能是关键的。但是我们意识到，与素域和二次域$\mathbb{F}\_{p^2}$相比，使用$n \geq 3$在中等和大特征非素域$\mathbb{F}\_{p^n}$中计算单个DL要慢得多。我们优化个人DL的第一部分：\emph{booting step}，通过显着减少原像范数的大小。它的平滑概率更高，因此引导步骤的运行时间大大改善。我们的方法是非常有效的小扩展领域与$2 \leq n \leq 6$和适用于任何$n \textgreater{} 1$，在中型和大型的特点。
2016-05-27 cs.CR math.NT
Breaking `128-bit Secure' Supersingular Binary Curves (or how to solve discrete logarithms in ${\mathbb F}_{2^{4 \cdot 1223}}$ and ${\mathbb F}_{2^{12 \cdot 367}}$)
在2012年底和2013年初，小特征有限域中的离散对数问题（DLP）经历了一系列戏剧性的突破，最终在一个启发式的准多项式时间算法中达到顶峰，这是由于Barbulescu，Gaudry，Joux和Joué。利用这些发展，Adj、Menezes、Oliveira和Rodríguez-Henríquez分析了DLP的具体安全性，因为它来自文献中各种亏格1和2超奇异曲线（的雅可比行列式）的配对，这些曲线最初被认为是$128$位安全的。特别地，他们建议新算法对${\mathbb F}_{2^{1223}}$上的亏格1曲线的安全性没有影响，并且将${\mathbb F}_{2^{367}}$上的亏格2曲线的安全性降低到$94.6$比特。在本文中，我们提出了一个新的领域表示和有效的一般下降原则，共同使新技术更加实用。实际上，在“128位安全级别”，我们的分析表明，上述属一曲线具有大约$59$位的安全性，并且我们报告了属二曲线的完全断裂。
2014-06-12 cs.CR math.NT
On the $k$-error linear complexity of binary sequences derived from the discrete logarithm in finite fields
设$q=p^r$是奇素数$p$的幂。本文研究了二元序列$σ=(σ_0,σ_1,\ldots)$，其中$\{0,1\}$中的元素是由有限域$\mathbb{F}_q$：$$ σ_n=\left\{ \begin{array}{ll} 0,& \mathrm{if}\quad n= 0,\\ (1-χ(ξ_n))/2,&\mathrm{if}\quad 1\leq n< q, \end{array} \right. $$的二次特征标$χ$定义的，对于有序元$ξ_0,ξ_1,\ldots,ξ_{q-1}\in \mathbb{F}_q$ .如果$r=1$，则$σ$是勒让德序列。我们的第一个贡献是证明一个下界的线性复杂度的$σ$ $r\geq 2$。该界改进了Meidl和Winterhof的一些结果.我们的第二个贡献是研究$k$ -错误线性复杂度的$σ$为$r=2$。看来我们不能解决的情况下，当$r>2$和离开它开放。
2019-01-29 cs.CR math.NT
Counting Solutions to Discrete Non-Algebraic Equations Modulo Prime Powers
随着社会越来越依赖计算机，密码安全变得越来越重要。当前的加密方案包括ElGamal签名方案，其依赖于离散对数问题的复杂性。人们认为，这些方案使用的函数具有计算上难以处理的逆。关于这一点，我们感兴趣的是计数的解决方案，以推广的离散对数问题模一个素数的权力。这是通过内插到p-adic函数，并使用亨塞尔引理，或其他方法的情况下奇异提升，和孙子剩余定理。
2016-08-21 cs.CR math.NT
