Hard Instances of the Constrained Discrete Logarithm Problem
离散对数问题（DLP）推广到约束DLP，其中秘密指数$x$属于攻击者已知的集合。求解约束DLP的遗传算法的复杂性取决于集合的选择。出于密码学应用的需要，我们研究了具有简洁表示的集合，对于这些集合，约束DLP是困难的。我们借鉴早期的结果，由于埃尔德什等人。和Schnorr，开发几何工具，如广义Menelaus定理证明下界的复杂性的约束DLP，并构造集简洁的表示与可证明的非平凡的下界。
2006-07-24 cs.CR math.NT
Traps to the BGJT-Algorithm for Discrete Logarithms
Barbulescu，Gaudry，Joux和Thom{é}在最近的突破性论文中，提出了一种求解小特征有限域上离散对数问题的准多项式时间算法（QPA）.该算法的时间复杂度分析是基于他们的论文中提出的几种算法。我们发现，一些的prostitics在其原始形式是有问题的，特别是，当该领域是不是一个库默尔扩展。我们相信，新方法背后的基本思想应该仍然有效，并在不改变准多项式时间复杂度的情况下，提出了一个解决方案。改进的算法也是启发式的。需要进一步研究，以充分了解新方法的有效性。
2013-10-18 cs.CR math.NT
Algorithmic aspects of elliptic bases in finite field discrete logarithm algorithms
椭圆基，由Couveignes和Lercier在2009年引入，给出了一种表示有限域扩展的优雅方式。一个自然的问题，这似乎已被认为是独立的几个群体是使用这种表示作为一个起点，小特征有限域离散对数算法。这个思想最近由两个研究小组提出，目的是在小特征有限域上实现离散时间的可证准多项式时间。在本文中，我们不试图实现一个可证明的算法，但相反，调查的实用性启发式算法的基础上椭圆基地。我们的关键思想是使用一个不同的模型的椭圆曲线用于椭圆的基础，允许一个相对简单的适应与前弗罗贝纽斯表示算法所使用的技术。我们还没有用这种新方法进行任何记录计算，但我们对F 3 1345域的实验表明，切换到椭圆表示可能与当前最佳实用方法的性能相当。
2019-07-05 cs.CR math.NT
Solving discrete logarithms on a 170-bit MNT curve by pairing reduction
随着小特征有限域上离散密码计算的突破，基于配对的密码学正处于一个危险的境地。剩余的实例建立在大特征的有限域上，它们的安全性依赖于基础曲线的嵌入域相对较大的事实。有多大是有争议的。我们工作的目的是支持3度嵌入和太小的有限域的组合显然不能提供足够的安全性的说法。作为一个计算示例，我们通过利用配对嵌入到基域的508位3度扩展来解决170位MNT曲线上的DLP。
2016-11-24 cs.CR math.NT
Statistical Analysis of Binary Functional Graphs of the Discrete Logarithm
越来越多地使用密码学来保护我们的个人信息，使我们想要了解密码系统的安全性。许多密码系统的安全性依赖于求解离散对数，而离散对数被认为是相对困难的。因此，我们着重研究了离散对数图的某些性质的统计分析。我们发现的期望值和方差的图的某个属性，并比较期望值的实验数据。我们的发现与我们的直觉不一致，即在大样本量的情况下，数据服从高斯分布。因此，我们找到了图的某些性质的理论渐近分布。
2016-09-02 cs.CR math.CO math.NT
Discrete logarithms in curves over finite fields
有限域上曲线雅可比行列式中离散矩阵的算法综述。
2007-12-23 cs.CR cs.DM math.AG
Restructuring of Discrete Logarithm Problem and ElGamal Cryptosystem by Using the Power Fibonacci Sequence Module M
本文研究了模m的幂次Fibonacci序列在非对称密码体制中的应用。为此，我们利用幂Fibonacci序列模m重构了数学难题之一的离散对数问题，并利用该序列使仅适用于素模的数学难题也适用于复合模。然后，我们构造了密码系统的基础上，我们已经重新安排了这个更困难的问题。因此，我们得到了一个新的密码体制作为ElGamal密码体制。最后，从密码学的角度对ElGamal密码体制和我们构造的一个新的密码体制进行了比较，得出了一个新的密码体制比ElGamal密码体制更加安全。
2018-07-16 cs.CR math.NT
Horizontal isogeny graphs of ordinary abelian varieties and the discrete logarithm problem
固定一个定义在有限域上的普通阿贝尔簇。它的自同态环的理想类群通过复乘自由作用于具有相同自同态环的同构簇集。类群的任何子群及其生成集在这个子群的簇的轨道上导出一个等距图。在广义黎曼假设下，我们计算了生成它的素理想的范数的界，使得相关图具有良好的扩张性质。我们使用这些图，连同最近的算法Dudeanu，Jetchev和罗伯特计算显式同构属2，证明随机自约化的离散对数问题的子类内的主要极化普通阿贝尔表面固定自同态环。此外，我们删除了Galbraith算法的复杂性分析中的显式计算同构两个椭圆曲线在同一isgenes类，并将其扩展到一个更一般的设置，包括亏格2。
2017-01-25 cs.CR math.NT
An Alternative Approach for Computing Discrete Logarithms in Compressed SIDH
目前，超奇异公钥Diffie-Hellman（SIDH）及其变体，超奇异公钥封装（SIKE）的公钥压缩涉及配对计算和离散对数计算。在本文中，我们提出了新的方法来计算只有3个离散的矩阵，而不是4个，以换取有效地计算查找表。算法还允许我们在内存和效率之间进行权衡。我们的实现表明，我们的算法的效率接近以前的工作，我们的算法在某些特殊情况下表现得更好。
2021-11-22 cs.CR
A new method for solving the elliptic curve discrete logarithm problem
本文提出利用初始子式（initial minors）和Schur补求解椭圆曲线离散对数问题的新范式，并通过代码验证，成功解决了阶数高达$2^{50}$的群上的问题。
2021-02-15 cs.CR math.AG math.NT
Computing Individual Discrete Logarithms Faster in GF$(p^n)$ with the NFS-DL Algorithm
数域筛（NFS）算法是计算有限域$\mathbb{F}\_{p^n}$中的离散元（DL）的最佳已知方法，其中$p$中等到大，而$n \geq 1$小。该算法包括四个步骤：多项式选择，关系收集，线性代数，最后，个别对数计算。第一步输出定义两个数字字段的两个多项式，以及从整数上的多项式环对这些多项式中的每一个取模到$\mathbb{F}\_{p^n}$的映射。在关系收集和线性代数阶段之后，每个数字字段中元素子集的（虚拟）对数是已知的。给定$\mathbb{F}\_{p^n}$中的目标元素，第四步计算一个数域中的原像。如果可以将目标原像写为已知（虚拟）对数的元素的乘积，则可以推导出目标的离散对数。正如最近的Logjam攻击所显示的那样，当最后一步可以非常快速地计算时，它可能是关键的。但是我们意识到，与素域和二次域$\mathbb{F}\_{p^2}$相比，使用$n \geq 3$在中等和大特征非素域$\mathbb{F}\_{p^n}$中计算单个DL要慢得多。我们优化个人DL的第一部分：\emph{booting step}，通过显着减少原像范数的大小。它的平滑概率更高，因此引导步骤的运行时间大大改善。我们的方法是非常有效的小扩展领域与$2 \leq n \leq 6$和适用于任何$n \textgreater{} 1$，在中型和大型的特点。
2016-05-27 cs.CR math.NT
Comparing the difficulty of factorization and discrete logarithm: a 240-digit experiment
我们报告了两个新记录：RSA-240的因子分解，一个795位的数字，和一个795位素数域上的离散对数计算。之前的记录是2009年RSA-768的因子分解和2016年的768位离散对数计算。我们在795位级别上的两次计算是使用相同的硬件和软件完成的，并且表明计算离散对数并不比相同大小的因子分解难多少。此外，由于算法变体和精心选择的参数，我们的计算比基于先前记录的预期要便宜得多。本文的最后一页还报告了RSA-250的因子分解。
2020-06-11 cs.CR
On the relation generation method of Joux for computing discrete logarithms
在\cite{joux}中，Joux设计了一种算法来计算有限域$\mathbb{F}_{p^n}$在时间多项式中的扩展的乘法群的某个子集中的元素之间的离散矩阵，该时间多项式在$p$和$n$中。不久之后，Barbulescu，Gaudry，Joux和\cite{bgjt}提出了一种下降算法，该算法在$(p n)^{\mathcal{O}(\log n)}$时间上将$\mathbb{F}_{p^n}^\times$中的任意元素投影为上述子集中元素的幂的乘积。这两个算法结合起来，得到了一个计算小特征有限域上离散多项式的拟多项式时间算法。这两种算法的成功都依赖于启发式假设。我们找出阻碍他们做出的某些启发式假设的障碍。此外，我们描述了克服这些障碍的方法。
2013-12-23 cs.CC cs.CR math.NT
The discrete logarithm problem in the group of non-singular circulant matrices
离散对数问题是公钥密码学的核心问题之一。本文研究有限域上循环矩阵群上的离散对数问题。这就产生了安全和快速的公钥密码系统。
2009-09-21 cs.CR cs.DM cs.IT
Discrete logarithm problem in some families of sandpile groups
Biggs利用离散对数问题的困难性，提出了用于密码系统的某些修改轮图的沙堆群。布莱克本和独立Shokrieh表明，离散对数问题是有效的解决。我们研究了沙堆群不是循环图的情况下的Shokrieh方法，即平方循环图和轮图。已知该组的生成元或拉普拉斯矩阵的伪逆的形式使问题更容易受到攻击。我们还考虑了离散对数问题的情况下，所谓的细分香蕉图。在某些情况下，沙堆群是循环的，并且生成元是已知的，并且可以在不计算拉普拉斯矩阵的伪逆的情况下解决离散对数问题。
2020-11-16 cs.CR math.CO
Finding low-weight polynomial multiples using discrete logarithm
寻找二元多项式的低权倍数是流密码密码分析中的一个难题。解决这个问题的经典算法是基于时间记忆权衡。我们将提出一种改进的方法，使用离散对数，而不是直接表示所涉及的多项式。这给出了一个算法，改善了理论复杂度，而且在实践中也是非常灵活的。
2007-07-12 cs.CR
A GOST-like Blind Signature Scheme Based on Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem
本文提出了一个基于椭圆曲线离散对数问题的盲签名方案，并导出了三个实用的盲签名方案。所提出的方案赋予GOST签名结构，并利用椭圆曲线密码系统在较小的密钥大小和较低的计算开销方面的固有优势，其对应的公钥密码系统，如RSA和ElGamal。与已有的方案相比，所提出的方案具有较低的时间复杂度，是安全的。
2013-04-08 cs.CR
New algorithm for the discrete logarithm problem on elliptic curves
本文提出了一种计算有限域上椭圆曲线上的离散多项式的新算法。它是基于一种新的方法来寻找零点的总和多项式。在二元椭圆曲线中，一个是求解三次布尔方程组。在第一下降度假设下，系统的正则度至多为$4$。提供了支持这一假设的大量实验数据。一个启发式的分析提出了一个新的渐近复杂性界$2^{c\sqrt{n\ln n}}, c\approx 1.69$计算离散椭圆曲线上的大小为$2^n$。对于FIPS推荐的几种二元椭圆曲线，新方法的性能优于Pollard方法。
2015-04-06 cs.CC cs.CR math.AC
Breaking `128-bit Secure' Supersingular Binary Curves (or how to solve discrete logarithms in ${\mathbb F}_{2^{4 \cdot 1223}}$ and ${\mathbb F}_{2^{12 \cdot 367}}$)
在2012年底和2013年初，小特征有限域中的离散对数问题（DLP）经历了一系列戏剧性的突破，最终在一个启发式的准多项式时间算法中达到顶峰，这是由于Barbulescu，Gaudry，Joux和Joué。利用这些发展，Adj、Menezes、Oliveira和Rodríguez-Henríquez分析了DLP的具体安全性，因为它来自文献中各种亏格1和2超奇异曲线（的雅可比行列式）的配对，这些曲线最初被认为是$128$位安全的。特别地，他们建议新算法对${\mathbb F}_{2^{1223}}$上的亏格1曲线的安全性没有影响，并且将${\mathbb F}_{2^{367}}$上的亏格2曲线的安全性降低到$94.6$比特。在本文中，我们提出了一个新的领域表示和有效的一般下降原则，共同使新技术更加实用。实际上，在“128位安全级别”，我们的分析表明，上述属一曲线具有大约$59$位的安全性，并且我们报告了属二曲线的完全断裂。
2014-06-12 cs.CR math.NT
Translating the discrete logarithm problem on Jacobians of genus 3 hyperelliptic curves with $(\ell,\ell,\ell)$-isogenies
给出了从亏格为3的超椭圆曲线的雅可比行列式到非超椭圆曲线的雅可比行列式的$(\ell,\ell,\ell)$ -同构的算法。一个重要的应用是将超椭圆曲线的雅可比矩阵中的离散对数问题化为非超椭圆曲线的雅可比矩阵中的相应问题。
2020-07-07 cs.CR math.AG
Computing discrete logarithms in subfields of residue class rings
最近在计算小特征有限域上的离散元的突破性方法\cite{gggz,joux,bgjt}与早期的中等素函数域筛法\cite{jl}有一个共同的有趣特征。为了求解有限域$\F$的有限扩张中的离散多项式，构造了一个特殊形式的多项式$h(x) \in \F[x]$，它具有所需次数的不可约因子$g(x) \in \F[x]$。然后利用$h(x)$的特殊形式生成乘法关系，该乘法关系保持在剩余类环$\F[x]/h(x)\F[x]$中，因此也保持在目标剩余类域$\F[x]/g(x)\F[x]$中。一个有趣的问题，在这方面，并在本文中提出的是：当以及如何一组关系的剩余类环确定的离散的有限域中包含的？本文给出了剩余类环上的一组关系决定其所含有限域上的离散图的充要条件，并给出了在满足这些条件时由这些关系导出离散图的有效算法。推导出的必要条件使我们能够清楚地识别在上述方法中的每一种方法中的特殊多项式$h(x)$固有的结构障碍，并提出修改$h(x)$的选择，以避免障碍。
2014-02-26 cs.CC cs.CR cs.SC
The Discrete Logarithm Problem in Bergman's non-representable ring
伯格曼环$E_p$，由素数$p$参数化，是具有不能嵌入在任何交换环上的矩阵环中的$p^5$元素的环。这枚戒指于1974年被发现。2011年，Climent、Navarro和Tortosa描述了一个使用简单模运算的$E_p$的有效实现，并建议这个环可能是解决棘手密码问题的有用来源。我们提出了一个确定性的多项式时间减少的离散对数问题在$E_p$的经典离散对数问题在$\Zp$，$p$ -元素域。特别地，$E_p$中的离散对数问题可以通过常规计算机在次指数时间内求解。
2012-09-08 cs.CR math.GR
An $L (1/3)$ Discrete Logarithm Algorithm for Low Degree Curves
我们提出了一个算法来解决离散对数问题的雅可比族的平面曲线，其程度在$X$和$Y$是低的，相对于他们的基因。有限基域$\FF_q$是任意的，但是它们的大小与亏格相比不应该增长得太快。对于这类族，群结构和离散的代数可以在$L_{q^g}(1/3, O(1))$的次指数时间内计算。运行时边界依赖于类似于数字字段sieve或函数字段sieve中使用的算法。
2009-12-20 cs.CR math.AG
A Las Vegas algorithm to solve the elliptic curve discrete logarithm problem
本文提出了一种新的求解椭圆曲线离散对数问题的Las Vegas算法。该算法依赖于椭圆曲线的有理点群的一个性质，因此不是一个通用算法。我们描述的算法有一些相似之处，最强大的指数演算算法的离散对数问题在有限域上。
2018-02-05 cs.CR cs.IT math.AG
Quantum computation of discrete logarithms in semigroups
本文利用Shor的周期算法和离散对数算法作为子程序，描述了一种计算半群中离散代数的有效量子算法。因此，提出的密码系统的基础上的假设的硬度离散半群是不安全的量子攻击。相比之下，我们表明，一些推广的离散对数问题是很难在半群，尽管很容易在群体。我们涉及到一个移位版本的离散日志问题在半群的二面角隐藏子群的问题，我们表明，建设性的成员资格问题，就$k \ge 2$发电机在一个黑盒阿贝尔半群的顺序$N$需要$\tilde Θ(N^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}})$量子查询。
2013-11-01 cs.CR quant-ph
On the $k$-error linear complexity of binary sequences derived from the discrete logarithm in finite fields
设$q=p^r$是奇素数$p$的幂。本文研究了二元序列$σ=(σ_0,σ_1,\ldots)$，其中$\{0,1\}$中的元素是由有限域$\mathbb{F}_q$：$$ σ_n=\left\{ \begin{array}{ll} 0,& \mathrm{if}\quad n= 0,\\ (1-χ(ξ_n))/2,&\mathrm{if}\quad 1\leq n< q, \end{array} \right. $$的二次特征标$χ$定义的，对于有序元$ξ_0,ξ_1,\ldots,ξ_{q-1}\in \mathbb{F}_q$ .如果$r=1$，则$σ$是勒让德序列。我们的第一个贡献是证明一个下界的线性复杂度的$σ$ $r\geq 2$。该界改进了Meidl和Winterhof的一些结果.我们的第二个贡献是研究$k$ -错误线性复杂度的$σ$为$r=2$。看来我们不能解决的情况下，当$r>2$和离开它开放。
2019-01-29 cs.CR math.NT
Counting Solutions to Discrete Non-Algebraic Equations Modulo Prime Powers
随着社会越来越依赖计算机，密码安全变得越来越重要。当前的加密方案包括ElGamal签名方案，其依赖于离散对数问题的复杂性。人们认为，这些方案使用的函数具有计算上难以处理的逆。关于这一点，我们感兴趣的是计数的解决方案，以推广的离散对数问题模一个素数的权力。这是通过内插到p-adic函数，并使用亨塞尔引理，或其他方法的情况下奇异提升，和孙子剩余定理。
2016-08-21 cs.CR math.NT
Accelerating Iterative SpMV for Discrete Logarithm Problem Using GPUs
在密码分析的背景下，使用基于索引演算的方法（例如数域筛子或函数域筛子）计算大型循环群中的离散矩阵需要求解以群阶为模的大型稀疏线性方程组。大多数用于求解此类系统的快速算法-例如，共轭梯度或Lanczos和Wiedemann算法-求相应稀疏矩阵与向量的乘积（SpMV）。这种中央操作可以使用特定的计算模型和寻址模式在GPU上加速，这增加了算术强度，同时减少了不规则的内存访问。在这项工作中，我们研究了SpMV内核在NVIDIA GPU上的实现，用于存储器中稀疏矩阵的几种表示。我们探索使用剩余数系统（RNS）算法来加速模运算。我们的目标是线性系统时产生的攻击的离散对数问题的大小为100至1000位，其中包括当前密码分析计算的相关范围。所提出的SpMV实现有助于使用FFS算法解决GF（$2^{619}$）和GF（$2^{809}$）中的离散对数问题。
2014-12-04 cs.CR
New Collisions to Improve Pollard's Rho Method of Solving the Discrete Logarithm Problem on Elliptic Curves
在椭圆曲线上离散对数问题的Pollard Rho方法的加速计算中，人们采用了不同的方法。然而，捕获在循环徒劳将获得使用的随机游动与波拉德的Rho。提出了一种有效的替代方法，该方法基于依赖于值ai，bi的新冲突来解决这个问题。这可能需要更少的迭代比波拉德的Rho原始达到碰撞。因此，Pollard的Rho方法的性能更有效，因为改进的方法不仅减少了数学运算的数量，而且这些碰撞也可以应用于文献中报道的先前的改进。
2016-07-20 cs.CR
Multivariate Cryptography with Mappings of Discrete Logarithms and Polynomials
本文描述了多元公钥密码学和数字签名的算法。普通消息和加密消息都是数组，由固定的有限环或域中的元素组成。加密和解密算法是基于多变量映射。私钥的安全性取决于求解包含多项式或指数映射的参数多元联立方程组的难度。该方法是一个通用的工具，用于大多数数据加密，数字证书或数字签名应用。
2018-09-22 cs.CR
t-multiple discrete logarithm problem and solving difficulty
考虑到经典计算模型下的困难问题可以用量子算法在多项式时间内求解，提出了t重离散对数问题。该问题是非退化的，唯一的解决方案。讨论了参数对解题难度的影响。指出了指数演算算法不适用于隐子群问题，并给出了隐子群问题抵抗量子算法的两个充分条件。
2018-03-23 cs.CR cs.IT math.IT
Fusion Discrete Logarithm Problems
离散对数问题在密码学家中是众所周知的，因为它的计算难度为当今最常用的一些密码系统提供了安全性。尽管如此，这些中的许多仅限于允许实现算法的少量候选代数结构。为了将基于离散对数的密码体制的适用性扩展到更丰富的代数结构，我们提出了指数函数的一种推广形式。我们的扩展放宽了对指数的一些假设，不再要求指数是整数。使用一个公理化的指数函数的特征，我们展示了如何构建映射，遵守相同的规则，指数，但可以提高向量的权力，其他向量的代数声音的方式。同时，计算硬度不受影响（事实上，这个问题可能会被加强）。根据我们的广义指数函数建立标准的密码系统是简单的，不需要改变现有的安全证明。这为建立比迄今为止已知的更一般的方案开辟了领域。
2010-02-19 cs.CR
A kilobit hidden SNFS discrete logarithm computation
我们在一个1024位的素数域上进行一个特殊的数域筛离散对数计算。据我们所知，这是有史以来第一次报道的素数域的小规模离散对数计算。在使用开源CADO-NFS软件的学术集群上，这个计算花费了两个多月的日历时间。我们选择的素数$p$看起来是随机的，并且$p--1$具有160位素数因子，与数字签名算法的推荐参数一致。然而，我们的p已经以这样一种方式被困，即特殊的数域筛子可以用来计算$\mathbb{F}\_p^*$中的离散元，然而检测p有这个陷门似乎遥不可及。25年前，围绕DSA后门参数的可能性存在相当大的争议。我们的计算表明，陷门素数是完全可行的，以目前的计算技术。我们还描述了特殊的数域筛离散日志计算进行了多个弱素数在野外使用。正如我们所说的很难检测到的陷阱机制所预期的那样，我们的研究没有发现任何广泛使用的陷阱素数。对于用户来说，防御这种假设陷阱门的唯一方法是要求可验证的随机素数。
2017-07-18 cs.CR
The Discrete Logarithm problem in the ElGamal cryptosystem over the abelian group U(n) Where n= p^m,or 2p^m
本文主要研究交换群U（n）上ElGamal密码体制中的离散对数问题，其中n是下列形式之一：p^m，或2 p ^m，其中p是奇大素数，m是正整数。利用阿贝尔群U（n）={x：x是正整数，使得x<n且gcd（n，x）=1}来处理ElGamal密码体制是解决离散对数问题的另一个好方法.因为我在这篇论文中表明，这项新的研究与最初的ElGamal密码系统（由Taher ElGamal于1985年发明）保持了等效（或更好）的安全性[1]，该系统适用于有限域的有限循环群。它提供了更好的安全性，因为理论上U（p^m）或U（2 p ^m）的ElGamal密码系统更安全，因为离散对数的可能解将增加，这将使该密码系统即使经过数千年也难以破解。
2014-04-18 cs.CR
Resolution of Linear Algebra for the Discrete Logarithm Problem Using GPU and Multi-core Architectures
在密码分析中，求解离散对数问题（DLP）是评估许多公钥密码系统安全性的关键。在有限域的乘法子群中攻击DLP的指数演算方法需要求解模大素数的大型稀疏线性方程组。本文将介绍如何在基于GPU和多核的集群上运行此计算，并采用InfiniBand网络。更具体地说，我们提出的稀疏线性代数算法，在文献中提出的，特别是块Wiedemann算法。我们讨论了并行化的中心矩阵-向量积运算从算法和实际的角度来看，并说明我们的方法是如何有助于最近的记录大小的DLP计算GF（$2^{809}$）。
2014-12-04 cs.CR
A Discrete Logarithm-based Approach to Compute Low-Weight Multiples of Binary Polynomials
能够有效地计算给定二元多项式的低权重倍数通常是对基于LFSR的流密码的相关攻击的关键成分。最著名的通用算法是基于广义生日问题。我们描述了一种替代方法，它是基于离散的并行计算，并具有相当的时间复杂度，具有低得多的内存复杂度的要求。
2015-04-30 cs.CR cs.DM cs.IT
Intractability of Learning the Discrete Logarithm with Gradient-Based Methods
Nazarbayev University（纳扎尔巴耶夫大学）；Purdue University Fort Wayne（普渡大学韦恩堡分校）
该研究从理论和实证两方面证明，基于梯度的方法受损失函数梯度集中特性限制，难以高效学习素数阶循环群中离散对数的奇偶位，且该限制与网络架构复杂度无关。
2023-10-02 cs.CR cs.LG
An $L (1/3 + ε)$ Algorithm for the Discrete Logarithm Problem for Low Degree Curves
有限域$\FF_q$上的高亏格$g$曲线的雅可比行列式的离散对数问题已知是以次指数复杂度$L_{q^g}(1/2, O(1))$可计算的。我们提出了一个算法的一个家庭的平面曲线，其程度在$X$和$Y$是低的曲线属，并适当不平衡。有限基域是任意的，但它们的大小与亏格相比不应该增长得太快。对于这个族，可以在$L_{q^g}(1/3, O(1))$的次指数时间内计算群结构，并且对于任何正的$ε$，离散对数计算需要$L_{q^g}(1/3+ε, o(1))$的次指数时间。这些运行时边界依赖于类似于数字字段筛选或函数字段筛选算法中使用的算法。
2007-03-07 cs.CR math.AG
The monodromy pairing and discrete logarithm on the Jacobian of finite graphs
每个图都有一个标准有限阿贝尔群，这个群在文献中以各种各样的名字出现，包括沙堆群，临界群，雅可比群和皮卡德群。这个群的构造密切地反映了代数曲线的雅可比簇的构造。受这个类比的启发，诺曼·比格斯最近提出，有限图的临界群是基于离散对数的密码学的一个很好的候选者。本文研究了这个群上的一个双线性对，并给出了它的计算方法，然后利用这个双线性对有效地求出了离散对数，从而证明了相关的密码体制是不安全的。我们的方法类似于椭圆曲线上的MOV攻击。
2011-07-07 cs.CR math.AG math.CO
A Guess and Determine Attack on the Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem
IISER Pune（印度科学教育与研究所浦那分校）
延续早期工作，利用超平面排列的交偏序集开发算法，将椭圆曲线离散对数问题归结为在矩阵中找零子式，讨论了算法复杂度、成功概率等，该方法基础且有独立研究意义。
2026-08-07 cs.CR cs.DC cs.IT
Minors solve the elliptic curve discrete logarithm problem
本文延续此前通过寻找有限域上矩阵零子式求解的思路，探索椭圆曲线离散对数问题的求解方法，以计算结果为主，所提方法与方向或可对该公钥密码核心问题构成有力攻击。
2023-10-06 cs.CR cs.IT math.AG
The ElGamal cryptosystem over circulant matrices
本文研究了非奇异循环矩阵群上的离散对数问题。本研究的重点是找到确切的参数组的循环矩阵的安全实现。我们把这些参数列成表格。我们还比较了离散对数问题的组中的循环矩阵的离散对数问题在有限域和离散对数问题的组中的有理点的椭圆曲线。
2012-07-05 cs.CR math.GR math.RA
Discrete Logarithmic Fuzzy Vault Scheme
本文提出了三种结合离散对数加密体制的模糊保险库方案。在第一种方案中，消息m使用针对每个消息随机生成的身份密钥\k{appa}以离散对数加密方案进行编码，然后被划分为不重叠的段。在第二种方案中，消息被分成不重叠的段，并且每个段使用随机生成的身份密钥\k{appa}用离散对数加密方案编码。在第三种方案中，消息被划分成非重叠的段，其中偶数段用身份密钥\k{appa}_e ven编码，奇数段用身份密钥\k{appa}_o dd编码。身份密钥\k{appa}_e ven和\k{appa}_o dd是为每个消息随机生成的。最后，编码段被声明为特定次数的多项式的系数。在所有提出的方案中，锁定集A的元素被用作X坐标值，通过将A的元素投影到多项式上的点上来计算多项式的评估。添加大量不位于多项式上的随机干扰点以产生噪声来隐藏编码段。安全性分析表明，该方案具有可证明的安全性超过经典的模糊保险库。
2019-05-18 cs.CR cs.IT math.IT
Extending Regev's factoring algorithm to compute discrete logarithms
本文将 Regev 的 d 维量子因子分解算法自然扩展至离散对数计算、阶求解及完全因子分解，并重点分析了各算法在实际实现中后处理的鲁棒性。
2024-01-30 cs.CR quant-ph
On the Discrete Logarithm Problem for elliptic curves over local fields
本文利用 $\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ 上椭圆曲线指数映射及其逆映射与提升问题的联系，提出针对椭圆曲线 DLP 的攻击，并指出超椭圆曲线可抵抗该攻击、安全性更高。
2023-04-27 cs.CR math.AG
Quantum algorithms for computing short discrete logarithms and factoring RSA integers
本文推广了 Ekerå 计算短离散对数的量子算法，实现执行次数与复杂度的权衡，并将分解 RSA 整数等问题转化为短离散对数问题，提出比 Shor 算法对量子计算机要求更低的分解算法。
2017-02-01 cs.CR quant-ph
Faster individual discrete logarithms in finite fields of composite extension degree
计算有限域上的离散元是密码学中的一个主要问题。大中型特征领域的最佳算法（例如，{GF}$(p^2)$，{GF} $(p^{12})$）是数域筛及其变体（特殊、高度、塔）。小特征有限域中的最佳算法（例如，{GF}$(3^{6 \cdot 509})$）是函数域筛、Joux算法和准多项式时间算法。这类算法的最后一步是个体对数计算。它在两个阶段计算给定目标的平滑分解：初始分裂，然后是下降树。虽然已经进行了新的改进以降低主导关系集合和线性代数步骤的复杂性，从而导致更小的因子基（小元素的已知矩阵的数据库），但最后一步仍然保持相同的难度水平。实际上，我们必须找到有限域中一个典型的大元素的光滑分解。本文改进了初始分裂相，并适用于任何非素有限域。当扩张度为复合时，该算法是非常有效的。它利用适当的子场，导致目标的更平滑的分解。这导致了一个新的折衷之间的初始分裂步骤和下降步骤在小的特征。此外，它减少了随后的下降树的宽度和高度。
2018-09-17 cs.CR
On Search Complexity of Discrete Logarithm
在这项工作中，我们研究了离散对数问题的背景下，TFNP -搜索问题的复杂性类的语法保证存在一个解决方案的所有情况。我们的主要结果建立了离散对数问题的合适的变体对于复杂性类PPP是完全的，分别是PWPP，即，TFNP的子类捕获总搜索问题的解决方案，分别由鸽子洞原则，弱鸽子洞原则保证。除了回答Sotiraki，Zampetakis和Zirdelis（FOCS'18）最近的工作中的一个开放问题外，我们对PPP和PWPP的完整性结果对最近的工作有影响，证明了加密假设下TFNP问题的条件下界。特别是，他们强调，任何试图将TFNP子类（除了PWPP和PPP）的平均情况硬度建立在离散对数问题的平均情况硬度上的尝试，都必须利用其结构特性，而不仅仅是构造抗碰撞哈希函数所必需的。此外，我们的减少提供了新的结构的见解类PWPP建立两个新的PWPP完全的问题。首先，问题DOVE，一个松弛的PPP-完全问题PIGEON。DOVE是第一个没有用显式收缩函数定义的PWPP完全问题。第二，问题爪，一个总的搜索问题捕获的计算复杂性打破无爪排列。在TFNP的上下文中，CLAW的PWPP-完全性匹配在密码学文献中建立的抗碰撞哈希函数和无爪排列之间的已知内在关系。
2021-09-05 cs.CC cs.CR
Transformation of the discrete logarithm problem over $\mathbb F_{2^n}$ to the QUBO problem using normal bases
本文首次将二元域上的离散对数问题（DLP）多项式转化为QUBO问题，使用约 $3n^2$ 个逻辑变量，并假设存在II型最优正规基，从而可通过量子退火求解。
2024-09-27 cs.CR
Removable Weak Keys for Discrete Logarithm Based Cryptography
本文提出了一种新的弱密码私钥，它可以存在于素数阶$p$群中的任何基于离散对数的公钥密码系统中，其中$p-1$具有小因子.与基于\textit{numerical size}的弱私钥（例如较小的私钥或位于区间中的私钥）不同，\textit{always}将存在于任何DLP密码系统中，我们的弱私钥类型纯粹是由于$p$的参数选择而产生的，因此，可以通过适当的$p$值来删除。利用隐式群表示的理论，我们提出的算法，可以确定是否一个密钥是弱的，如果是这样，恢复私钥从相应的公钥。我们分析了文献中提出的几个椭圆曲线和各种标准，给出了可以用相对少量的计算来破解的密钥的数量。我们的研究结果表明，许多这些曲线，包括一些标准，有相当数量的这种弱私钥。我们还使用我们的方法来表明，没有14个突出的Certicom挑战问题的情况下，在我们的意义上是弱的，达到一定的弱点。
2020-11-15 cs.CR
Cryptanalysis of the CFVZ cryptosystem
本文分析了一种新的公钥密码体制，其安全性是基于椭圆曲线上离散对数问题的矩阵形式。结果表明，解决所提出的系统的基本问题的复杂性是由解决一个固定数量的离散对数问题的椭圆曲线组的复杂性。使用适应波拉德ρ算法，它表明，这个问题基本上是一样难解决一个离散对数问题的椭圆曲线组。
2006-02-10 cs.CR
A New Method for Geometric Interpretation of Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem
本文研究了椭圆曲线上离散对数问题的几何意义。其核心思想是将椭圆曲线离散对数问题（EC-DLP）化为一个方程组。这些方程产生于低维仿射空间中二次超曲面的交切。在密码学中，这种解释可以用来设计对EC-DLP的攻击。目前，具有亚指数时间复杂度的最著名的攻击算法是通过求和多项式和Weil下降的实现。预计所提出的几何解释可以导致更快地减少到一个方程组的问题。这些超定方程组很难求解。我们使用F4（Faugere）算法，并得到小于500，000素数的结果。量子算法可以加快求解这些超定方程组的过程。在缺乏计算求和多项式的快速算法的情况下，我们希望这可能是一种替代方案。我们并不声称所提出的算法将比Shor的算法更快地破解EC-DLP，但这种解释可能是后量子时代“求和多项式攻击”的替代方案。
2019-09-19 cs.CG cs.CR math.AG
A Subexponential Quantum Algorithm for the Semidirect Discrete Logarithm Problem
本文首次对半直积离散对数问题（SDLP）进行专门安全性分析，通过建立其与群作用的联系，构造出求解 SDLP 的亚指数量子算法，从而厘清了该问题的复杂性及其与已知计算问题的关系。
2024-06-07 cs.CR math.GR quant-ph
Collision Times in Multicolor Urn Models and Sequential Graph Coloring With Applications to Discrete Logarithms
考虑一个骨灰盒模型，其中在每个步骤中，根据某个概率分布对$q$颜色之一进行采样，并且将该颜色的球放置在骨灰盒中。将球分配给骨灰盒的分布可以取决于球的颜色。当一个球被放在一个已经包含不同颜色的球的瓮中时，就会发生碰撞。等价地，这可以被看作是顺序地着色一个完整的$q$-部分图，其中碰撞对应于单色边的出现。使用泊松嵌入技术，第一碰撞时间的极限分布被确定，并明确地描述了可能的限制。导出了连续碰撞次数和多次碰撞次数的联合分布。所得结果可用于求解离散对数问题的各种基于生日问题的算法中运行时间的极限分布，推广了以往只考虑期望运行时间的结果.对于其他图，也得到了单色边出现时间的渐近分布。
2016-05-24 cs.CR math.CO math.PR
