Pseudoriemannian Nilpotent Lie Groups
Phillip E. Parker
这是一篇调查文章，参考文献有限（按出版商要求），出现在《数学物理百科全书》，编辑。J. - P. Francoise，G.L. Naber和Tsou S.T. Oxford：Elsevier，2006.第4卷，第94 - 104页。
This is a survey article with a limited list of references (as required by the publisher) which appears in the Encyclopedia of Mathematical Physics, eds. J.-P. Francoise, G.L. Naber and Tsou S.T. Oxford: Elsevier, 2006. vol.4, pp.94--104.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Conjugate loci of pseudoriemannian 2-step nilpotent Lie groups with nondegenerate center
我们确定了沿所有平行于或垂直于中心的测地线的完全共轭轨迹（定理2.3）。当中心是1维时，我们得到所有情况下的公式（定理2.5），当某个算子也是可对角化的时，这些公式就完全显式了（推论2.7）。这些结果给出了伪黎曼共轭轨迹光滑性的一些新的信息。我们还得到了所有共轭点的重数。
Ricci-flat and Einstein pseudoriemannian nilmanifolds
这部分是一个临时文件，其中作者的工作对幂零李群的伪黎曼爱因斯坦度量进行了审查。给出了良幂零李群上对角爱因斯坦度量存在的一个新准则。给出了$\leq8$维幂零李群上特殊类Ricci平坦度量的分类.提出了一些相关的开放性问题。
Pseudoriemannian 2-Step Nilpotent Lie Groups
我们开始系统地研究这些空间，最初沿着Eberlein的全面研究黎曼的情况下。特别地，我们积分了测地线方程，讨论了等距群的结构，并对格和周期测地线进行了研究。与黎曼理论的一些主要区别出现了。有许多平坦群（相对于没有平坦群），包括海森堡群。虽然仍然是半直积，等距群可以严格大于明显的类似物。一切都用明确的例子来说明。我们引入了pH型的概念，它改进了Kaplan的H型，完善了Ciatti的部分推广。给出了PH型代数的一般构造。
Lattices and Periodic Geodesics in Pseudoriemannian 2-step Nilpotent Lie Groups
我们给出了这些群中格$Γ$的基本处理。某些环$T_F$和$T_B$提供了模型纤维和$Γ\backslash N$浸没的基础。这种浸没可能不是通常意义上的伪黎曼，因为环面可能是退化的。然后，我们开始研究这些紧的nilmanifold的周期测地线，获得一个完整的计算周期谱的某些平坦空间。
Isometric actions of simple Lie groups on pseudoRiemannian manifolds
设M是连通的紧伪黎曼流形，M被连通的非紧单李群G拓扑传递等距地作用.如果m_0，n_0分别是与M和G相切的极大类光子空间的维数，其中G带有任意双不变度量，则有n_0 \leq m_0。研究了满足条件n_0 = m_0的G-作用。在G上没有秩限制的情况下，我们证明了M有一个有限覆盖\hat{M}，G-作用提升到该覆盖上，使得\hat{M} G-等变同构于在双陪集K \backslash L/Γ上的作用，如Zimmer程序中所考虑的，G在L上正规（定理A）.若G有有限中心且\rank_\ R（G）\geq 2，则证明了可以选择\hat{M}，其中L是半单的，且Γ是不可约格（定理B）.我们还证明了我们的条件n_0 = m_0在有限覆盖内完全刻画了这样的双陪集G-作用（定理C）。这描述了一个大家族的双陪集G-作用，并提供了一个部分积极的回答，提出的猜想齐默的计划。
Einstein nilpotent Lie groups
研究了李群上左不变伪黎曼度量的Ricci张量。对于一个适当的类的李群，包含幂零的李群，我们引入了各种自然$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$行动，其轨道parametrize李群与左不变度量，我们表明，里奇算子可以确定与矩映射相对于一个自然的辛结构。由此我们推出Ricci算子是数量曲率$s$在度规规范变换下的导数，并证明迹非零的李代数导子阻碍了具有$s\neq0$的Einstein度规的存在.利用优美李代数的概念，我们给出了幂零李群上具有$s\neq0$的左不变爱因斯坦度量的第一个例子。我们证明了$\leq 6$维的幂零李群不允许这样一个度量，并且在李代数是良的额外假设下，类似的结果在$7$维上也成立。
2-step nilpotent Lie groups arising from semisimple modules
紧致实半单李代数的每一个有限维实表示确定一个度量2步幂零李代数和相应的单连通度量2步幂零李群N.利用复半单李代数表示论研究了N的微分几何。
The topology of the set of nonsoliton Lie algebras in the moduli space of nilpotent Lie algebras
如果一个李代数不允许有孤子内积，则称它为非孤子。证明了不可分解n维N-分次幂零李代数的模空间中非孤子李代数的子集是离散的当且仅当n <= 7.
Matching and geometry of 2-step nilpotent Lie groups
本文研究了二步幂零Heisenberg型李群上的切触结构。我们将这个李群分解为中心李群和正交补李群，然后研究这两个正交李群的性质。最后，我们提供了一个连接匹配群和域扩张和2步幂零李群。
Classification of Einstein Lorentzian 3-nilpotent Lie groups with 1-dimensional nondegenerate center
给出了具有一维非退化中心的Einstein Lorentz 3-幂零单连通李群的完全分类.
Complex product structures on 6-dimensional nilpotent Lie algebras
研究了幂零李代数上的复积结构，建立了它们的一些主要性质，然后将我们的研究限制在6维，得到了允许这种结构的6维幂零李代数的分类.证明了构成6维幂零李代数上的复积结构的一部分的任何复结构在Cordero-Fernánér-Gray-Ugarte意义下都是幂零的.研究了与复积结构相联系的无挠联络，并考虑了由复化得到的12维幂零李代数上的相应超复结构.
On Flat Pseudo-Euclidean Nilpotent Lie Algebras
平坦伪欧几里得李代数是具有非退化对称双线性型和左对称乘积的实李代数，其交换子是李括号，并且左乘法是反对称的。证明了具有签名$(2,n-2)$的平坦伪欧几里德幂零李代数的中心必定是退化的，并且利用双扩张过程可以从平坦Lorentz幂零李代数得到所有具有签名$(2,n-2)$的平坦伪欧几里德幂零李代数.我们还证明了平坦伪欧二步幂零李代数的中心是退化的，并且所有这些李代数都是由交换李代数的双扩张序列得到的.特别地，我们确定了所有的签名为$(2,n-2)$的平坦伪欧二步幂零李代数。文中还列举了一些低维情况下的例子。
Killing-Yano 2-forms on 2-step nilpotent Lie groups
在这篇文章中，我们证明了唯一的2-步幂零李群携带一个非退化的左不变Killing-Yano 2-形式是复李群。在由连通图生成的2步幂零复李群的情况下，我们证明了左不变Killing-Yano 2-形式空间是一维的.
Invariant pseudo-Sasakian and $K$-contact structures on seven-dimensional nilpotent Lie groups
研究了七维幂零李群上左不变Sasaki切触结构的存在性问题。证明了唯一允许Sasaki结构具有正定度量张量的李群是Heisenberg群。我们找到了22类具有伪Sasaki结构的7维幂零李群的完整列表。我们还列出了25类七维幂零李群，它们具有$K$ -切触结构，但不具有伪Sasaki结构.所考虑的所有切触结构都是六维幂零辛李群的中心扩张，并建立了连接六维幂零几乎伪Kähler李群和七维幂零切触李群的几何特征的公式.已知对于六维幂零伪Kähler李群，Ricci张量总是零。与伪凯勒的情况不同，它表明，在接触的七维代数的里奇张量是非零的，甚至在接触分布的方向。
Existence of isometric immersions into nilpotent Lie groups
建立了单连通黎曼流形到两步幂零李群的等距浸入存在的充要条件.这包括浸入$H$类型组的情况。
The moduli space of 6-dimensional 2-step nilpotent Lie algebras
确定了维数不超过6的度量2步幂零李代数的模空间。这个空间同胚于一个四维可收缩单纯复形上的锥。
Central conjugate locus of 2-step nilpotent Lie groups
本文的目的有两个：1）计算位于单连通2步幂零李群中心的测地线的共轭轨迹，该李群具有左不变度量; 2）比较两个这样的幂零李群的等距类型，它们的中心测地线的共轭轨迹在适当的意义下是“相同的”。第一个目标已经实现。第二个是难以捉摸的，但我们得到了部分结果。
Nilpotent Lie algebras obtained by quivers and Ricci solitons
本研究提出一种利用无环有限箭图的路径概念构造幂零李代数的方法，证明对应单连通幂零李群容许左不变里奇孤立子，可构造任意高幂零度的里奇孤立子幂零流形族。
Left-invariant almost para-Kähler structures on six-dimensional nilpotent Lie groups
本文考虑六维幂零李群上的左不变仿复结构。得到了允许para-Kähler结构的六维幂零李群的完整列表，找到了para-复结构的显式表达式，并研究了相关para-Kähler度量的曲率性质.证明了仿复结构是幂零的，相应的仿Kähler度量是Ricci平坦的.
The X-ray transform on 2-step nilpotent Lie groups of higher rank
证明了X射线变换在具有多个全测地$2$维平坦的$2$ -步幂零李群上的内射性和一个支撑定理。这个结果来自于具有一致逃逸测地线的流形的一般归约原理。
Totally Geodesic Subalgebras of Filiform Nilpotent Lie algebras
确定了N-分次丝状李代数的全测地子代数的最大维数，并证明了这些维数的界。
The Rumin complex on nilpotent Lie groups
在本文中，另一种定义的鲁明复杂的$(E_0^\bullet,d_c)$，一个依赖于不同的概念的重量的形式。这样，Rumin复形可以在任何具有Carnot-Carathéodory度量的幂零李群上构造。此外，这种结构允许直接应用以前的非零结果$\ell^{q,p}$上同调的所有幂零李群，承认一个积极的分级。
On Einstein Lorentzian nilpotent Lie groups
本文研究了幂零李群上的洛伦兹左不变Einstein度量。证明了如果这类李群的中心是退化的，则它们是Ricci平坦的，并且它们的李代数可以由交换欧氏李代数通过双重扩张过程得到.我们证明了所有的幂零李群，直到维数$5$赋予一个洛伦兹爱因斯坦左不变度量有退化中心，我们利用这一事实给这些度量的一个完整的分类。证明了若$\mathfrak{g}$是幂零李群的李代数，且该李群具有非零数量曲率的Lorentz左不变Einstein度量，则$\mathfrak{g}$的中心$Z(\mathfrak{g})$是非退化的Euclidean，导出的理想$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$是非退化的Lorentz和$Z(\mathfrak{g})\subset[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ .给出了中心非退化的Ricci平坦Lorentz幂零李代数的第一个例子。
Hyperkähler torsion structures invariant by nilpotent Lie groups
本文研究了幂零李群上的HKT结构和相应的幂零流形上的HKT结构。我们在$\R^8$上证明了三个弱HKT结构，它们关于Heisenberg型李群的扩张是齐次的。相应的超复结构是一种特殊的类型，称为阿贝尔。我们证明了在任何2步幂零李群上，不变HKT结构都来自于阿贝尔超复结构。此外，我们使用交换超复结构和${\frak sp}(n)$的子空间之间的对应关系，产生连续族的紧和非紧的流形携带非等距HKT结构。最后，得到了2步幂零李群上不变HKT结构的几何性质。
A short note on 2-step nilpotent Lie algebras associated with graphs
本文考虑与图相关的二步幂零李代数。证明了与图$(S, E)$和图$(S', E')$对应的二步幂零李代数$\n$和$\n'$同构当且仅当$(S, E)$和图$(S', E')$同构.
The distribution of symmetry of a naturally reductive nilpotent Lie group
我们证明了自然约化幂零李群的对称性分布与各向同性的固定向量集诱导的不变分布一致。这推广了紧致自然约化空间的一个已知结果。我们还解决了商的对称叶理的研究。
Abelian Factor in 2-step Nilpotent Lie Algebras Constructed from Graphs
我们考虑与Ray在2016年构造的具有可能重复边标签的图相关联的实2步度量幂零李代数。我们确定如何在这些李代数的图内的egde标签的结构有助于阿贝尔因子。此外，我们明确地计算了与星图，圈，Schreier图，适当的边有色图等图族相关的2-步幂零李代数的交换因子。我们还研究了这些李代数在某些情况下的奇异性。
Symplectic Structures on Free Nilpotent Lie algebras
本文研究了自由幂零李代数上辛结构的存在性问题。对于偶数维的情形，给出了充要条件。还研究了奇数维自由幂零李代数的一维中心扩张。
Affine structures on nilpotent contact Lie algebras
本文研究了具有切触形式的幂零李代数上的仿射结构。这些仿射结构由辛李代数上的仿射结构通过中心扩张构造而成。
Graphs and and two-step nilpotent Lie algebras
本文考虑了一种将两步幂零李代数与有限单图联系起来的方法。证明了与两个图相关的两步幂零李代数是李同构的当且仅当它们所产生的图是同构的。
Complex structures on nilpotent Lie algebras with one-dimensional center
本文对具有复结构的实八维极小中心的幂零李代数进行了分类。进一步，对每一个这样的幂零李代数$\mathfrak{g}$，我们刻画了$\mathfrak{g}$上的复结构空间直到同构.作为应用，我们将具有非平凡交换$J$ -不变理想的幂零李代数分类到8维.
Complex structures on quasi-filiform nilpotent Lie algebras
给出了具有复结构的实幂零拟丝状李代数的分类。若幂零李代数g的幂零指数等于dim（n）-2，则称g为拟丝状.我们记得，丝状情况（nilindex =dim（g）-1）已经研究过了。
Complex structures on nilpotent Lie algebras
对李群具有左不变复结构的实6维幂零李代数进行了分类，并估计了这类结构的模空间的维数.
Two-Step and Three-Step Nilpotent Lie Algebras Constructed from Schreier Graphs
我们将两步幂零李代数与任意Schreier图联系起来。然后利用Schreier图的性质确定了该李代数扩张为三步幂零李代数的充要条件。作为应用，如果我们从Gassmann-Sunada三元组的非同构Schreier图对出发，我们证明了伴随的两步幂零李代数对总是等距的.与此相反，我们使用一个著名的对Schreier图表明，相关的三步幂零扩展不需要等距。
On pseudo-Hermitian quadratic nilpotent Lie algebras
研究了具有复结构和二次结构的幂零李代数，二次结构对于给定的复结构是伪厄米特的。我们提出了几种构造这种李代数的方法，并描述了一种通过平面的双重扩张得到所有这些李代数的归纳描述的方法。作为应用，我们给出了Lorentz-Hermitian度量的幂零二次李代数的完全分类，并对8维以下的幂零伪Hermitian二次李代数及其不等价的伪Hermitian度量进行了完全分类.
Nilpotent metric Lie algebras of small dimension
在数学DG/0312243中，我们为度量李代数，即为具有非退化不变内积的有限维李代数，发展了一个通用的分类方案。这里我们确定了所有的幂零李代数l，其中dim l '= 2，这是用于该方案。进一步，我们对维数不超过10的幂零度量李代数进行了分类。
Nilpotent Lie algebras obtained by ordered sets and Ricci solitons
利用传递反对称有序集（TAOS）的关联代数构造幂零李代数，并证明由特殊TAOS（阵列TAOS）得到的幂零李代数是代数Ricci孤子，推广了有限无环箭图构造代数Ricci孤子的结果。
Affine actions on Nilpotent Lie groups
对于任何连通和单连通的幂零李群N，我们可以把它的仿射变换群Aff（N）联系起来。本文研究了一个给定的幂零李群G在另一个幂零李群N上通过这种仿射变换的简单传递作用。我们成功地将这种简单传递仿射作用的存在性问题转化为李代数水平上的相应问题。作为该平移的可能使用的示例，我们然后考虑dim（G）=dim（N）小于6的情况。最后，我们专门讨论了给定连通和单连通幂零李群上的阿贝尔单传递仿射作用。结果表明，N上的这样一个简单传递的阿贝尔仿射作用对应于N的李代数上的一个特殊的李相容双线性积，我们称之为LR-结构。
Sub-Riemannian geodesics on the three-dimensional solvable non-nilpotent Lie group $SOLV^-$
本文描述了三维可解李群$SOLV^-$上左不变次黎曼度量的测地线。
On the existence of nilsolitons on 2-step nilpotent Lie groups
如果dim（n）=p+q且dim（[n，n]）= p，则称2-步幂零李代数n为（p，q）型.通过考虑一类自然附着于图的2-步幂零李代数，证明了存在不可分解的2-步幂零（p，q）型李群，它们对每对（p，q）不允许零孤子度量，q）使得20 < q且q-2 < p < 1/2q^2-5/2 q +10。这改善了由于Jablonski的结果。
An alternative construction of the Rumin complex on homogeneous nilpotent Lie groups
本文考虑齐次幂零李群上的Rumin复形。我们提出了一个替代建设的经典卡诺群使用抛物几何的想法。我们也用这种方法给出了Engel群的显式计算。
Abundance of nilpotent orbits in real semisimple Lie algebras
本文在以下意义下，证明了实半单李代数的幂零轨道是“丰富的”。若S表示幂零轨道上的加权Dynkin图所对应的双曲元的集合，则S是最大期望空间，即最长外尔群元的（-1）-特征空间.所得结果可用于非黎曼局部对称空间的基本群的研究。
Automorphism Groups of nilpotent Lie algebras associated to certain graphs
考虑一类与奇数顶点上的一致完全图相关联的二步幂零李代数。证明了这类图的对称群是可加循环群$\Z_n$的全形。证明了相应的幂零李代数的（李）自同构群包含$2n$阶二面体群作为子群.
Faithful Representations of Minimal Dimension of 6-dimensional nilpotent Lie algebras
本文的主要目的是计算特征为零的域$\k$上的6维幂零李代数$\g$的$μ(\g)$和$μ_{nil}(\g)$.这里$μ(\g)$和$μ_{nil}(\g)$分别是$\g$的忠实表示的最小维数和$\g$的忠实零表示的最小维数。我们还给出了每个$\leq 6$维幂零李代数的极小忠实表示和零表示。
Gradings on nilpotent Lie algebras associated with the nilpotent fundamental groups of smooth complex algebraic varieties
本文研究了nilpotent Lie代数的gradings与smooth complex algebraic varieties的nilpotent fundamental groups之间的关系，并给出了晶格同构于基本群的必要条件。
A curve of nilpotent Lie algebras which are not Einstein nilradicals
唯一已知的非紧爱因斯坦齐性空间的例子是标准的可解流形（具有左不变度量的特殊可解李群），根据一个长期存在的猜想，它们可能是全部。Einstein解流形的分类等价于Einstein幂零根的分类，即幂零李代数是Einstein解流形的李代数的幂零根。到目前为止，已经发现的分次幂零李代数不可能是Einstein幂零根的例子非常少。特别是，在每个维度中，已知的只有100多个。本文给出了两条两两非同构的9维2步幂零李代数的曲线，它们不是Einstein零根。
Some compatible Poisson structures and integrable bi-Hamiltonian systems on four dimensional and nilpotent six dimensional symplectic real Lie groups
本文利用李代数的伴随表示给出了李群上相容Poisson结构的另一种方法。用这种方法计算了四维和幂零六维辛实李群上的相容Poisson结构。然后利用Magri-Morosi定理得到了以四维和幂零的六维辛实李群为相空间的新的双哈密顿系统。
On integrability of transverse Lie-Poisson structures at nilpotent elements
利用变元移位方法构造了单李代数上Lie-Poisson结构的幂零元处横Poisson结构的对合函数族。实例表明，这些族包含由多项式函数组成的完全可积系统。对于一类半单型幂零元，我们给出了这些可积系统的统一构造。
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