On uncountable strongly concentrated sets of reals
我们构造了新的模型$ZF$与一个不可数的实数集，有一个唯一的凝聚点。这回答了谢尔皮斯基1918年提出的一个问题。
2018-12-25 math.LO
A note on small sets of reals
构造了康托尔集的一个组合大测度零子集.
2018-05-07 math.LO
Sets of real numbers closed under Turing equivalence: Applications to fields, orders and automorphisms
本文的前半部分从代数、测度和序的角度研究了在图灵等价下闭的实数集如何位于实数线内。之后，我们结合我们的研究结果，这些集的订单与经典的建设从Avraham获得的限制如何非平凡的图灵度（如果它们存在）的自同构与$1$ -通用度。
2021-06-23 math.LO
Indiscernible pairs of countable sets of reals at a given projective level
使用不变的修改詹森的“最小$\varPi^1_2$单例”强迫，我们定义了一个模型的ZFC，其中，对于一个给定的$n\ge2$，存在一个lightface $\varPi^1_n$无序对非OD（因此，OD-不可辨别）可数集的实数，但没有$\varSigma^1_n$无序对这种。
2019-12-30 math.LO
Borel images of sets of reals
本文的主要目的是把有关基数不变量的几个结果推广到有关相关集合族的陈述中。我们还讨论了集合的可加性与其Borel象之间的关系。最后，我们提出的最小集，这是不是强烈微薄的大小估计。
1999-05-19 math.LO
Countable OD sets of reals belong to the ground model
在Cohen，Solovay-随机，支配和Sacks泛型扩张中，每个可数的序数可定义的实数集都属于基论域
2016-11-20 math.LO
Continuous images of sets of reals
我们将证明，一致地，每一个不可数集可以连续映射到一个非测度零集，而存在一个不可数集的所有连续图像到波兰空间是微薄的。
2000-04-19 math.LO
Small sets of reals through the prism of fractal dimensions
可分度量空间X是H-零集如果X的任何一致连续象的豪斯多夫维数为零.用其它分形维数代替豪斯多夫维数，类似地定义了上H-空集、有向P-空集和P-空集。我们研究了这些集合，并证明了在2^ω中它们分别与强零、弱可加、T'和零可加集合重合。一些后果：一个2^ω的子集是弱可加的当且仅当它是E-可加的;如果f：2^ω->2^ω是连续的并且X是弱可加的，那么f（X）也是，对于零可加的和T '-集也是如此。
2012-08-27 math.LO
Strong measure zero sets without Cohen reals
如果ZFC是一致的，则以下每一个都与ZFC + 2^{aleph_0}= aleph_2：1一致。）X子集R具有强测度零当且仅当|X| <= aleph_1 +存在广义Sierpinski集. 2.）的情况。aleph_1多个强测度零集的并集是一个强测度零集+存在一个大小为aleph_2的强测度零集。
1993-06-15 math.LO
Perfect sets of random reals
讨论了随机实的完美集、控制实和随机代数B的两个副本的乘积之间的关系。回想一下，B是2^omega模空集合的Borel集合的代数。还给出了ZFC的两个模型M subseteq N，我们说ω ^ω cap N中的g是M上的控制实数当且仅当对于ω ^ω cap M中的所有f，有m在ω中使得对于所有n geq m（g（n）> f（n））;并且2 ^ω cap N中的r是M上的随机数当且仅当r避免了M中编码的所有Borel空集当且仅当r由M上的某个B-泛滤子确定。本文证明了存在一个ccc偏序P，它加了一个随机实的完满集而不加一个控制实，从而回答了第二作者在与T. Bartoszynski和S.不久前的希拉。证明这个结果的方法也产生了B乘以B不增加一个支配实数。通过一个不同的论证，我们证明了B乘B不会增加随机实数的完满集（这回答了A.米勒在MSRI的逻辑年期间问道）。
1992-09-15 math.LO
The consistency strength of the perfect set property for universally Baire sets of reals
我们表明，声明“每一个普遍Baire集的reals有完满集属性”是equiconsistent模ZFC的存在，我们称之为一个基数，几乎Shelah基数。这些红衣主教类似于希拉红衣主教，但要弱得多：如果$0^\sharp$存在，那么每一个无法辨别的银实际上都是$L$中的希拉。我们还证明了陈述$\text{uB} = {\bfΔ}^1_2$，其中$\text{uB}$是实数的所有泛Baire集的点类，在存在一个$Σ_2$ -反映虚Shelah基数的情况下，是模ZFC等相容的.
2018-07-06 math.LO
Expansions of the real field by open sets: definability versus interpretability
产生实数R的开集U，使得实数域的展开式（R，+，x，U）定义（R，+，x，N）的Borel同构，但不定义N。因此，（R，+，x，U）定义了射影层次的每一层中的集合，但并不定义所有的射影集合。这一结果阐述了各种方式，涉及几何测度论和工作的O-最小的扩展（R，+，x）。特别地，存在R的康托子集K，使得对于（R，+，x）的每个指数有界的o-极小展开M，R的每个可定义在（M，K）中的子集要么有内部要么是Hausdorff null。
2008-12-06 math.LO
Forcing with ideals of closed sets
设I是由闭集的射影集合生成的sigma-理想sigma-。具有I-正Borel集的强迫是适当的，并且增加了一个几乎最小次数的实数r：如果s是V[r]中的实数，则s是V上的Cohen泛型或V[s]=V[r]。
2001-09-04 math.LO
Turing Invariant Sets and the Perfect Set Property
我们证明了$ZF+DC+$ "所有实数的图灵不变集都具有完满集性质"暗示了所有实数集都具有完满集性质。我们还证明了这个结果推广到所有可数解析等价关系。
2020-04-03 math.LO
A ganzstellensatz for semi-algebraic sets in real closed valued fields
设$(K,ν)$是一个实封闭的值域，$S\subseteq K^n$是一个可定义的开半代数集.我们得到了$S$上OVF-积分有理函数的一个代数特征。我们应用现有的模型理论的框架来证明ganzstellensätze，并需要控制半部分和它们的关系的顺序。（与Noa Lavi合作）
2011-05-17 math.LO
Sequential topologies and Dedekind finite sets
与ZF集合论一致的是，实直线上的欧几里德拓扑不是序列的，然而实的每一个无限集包含可数无限子集。这回答了古铁雷斯的一个问题。
2021-03-18 math.LO
Borel-amenable Reducibilities for Sets of Reals
我们表明，如果$\mathcal{F}$是任何“行为良好”的博雷尔函数的子集，我们假设公理的确定性，然后层次的$\pow(\mathbb{R})$诱导的$\mathcal{F}$原来看起来像瓦奇层次（这是特殊情况下，$\mathcal{F}$是一组连续函数）。
2008-04-30 math.LO
Partitioning the real line into Borel sets
本文研究实数线可被划分为多少个 Borel 集或闭集，证明除 Hausdorff 的 $\aleph_1$ 结果外，可能基数的谱在力迫扩张中可相当任意。
2021-12-01 math.LO
What is the real category of sets?
范畴论为数学的组织提供了强有力的工具。这种描述力的一个例子是通过对ZF集合论中“类作为简写”的实践的分类分析给出的。在这种情况下，范畴论提供了一种自然的方式来描述数学和元数学之间的关系：如果元数学可以用范畴（特别是句法范畴）来描述，那么数学层次就用内部范畴来表示。通过这两个层次的解释，我们可以阐明ZF中类和集合之间的关系，特别是，我们可以提出两个等价的范畴概念的可定义集。关于集合论的一些常见说法将根据这种表示来解释，强调关于集合和类的朴素和严格句子之间的区别。
2012-12-13 math.LO
The hierarchy of omega1-Borel sets
Ω 1-Borel集族是包含开集族的实数直线的子集的最小族，并且在互补和Ω 1并下是封闭的。我们证明：定理1。MA+notCH意味着这个层次结构的长度为ω 2。定理2.在科恩实模型中，它的长度是ω 1 +1或ω 1 +2。
2011-07-25 math.LO
MSO logic of the real order with the set quantifiers ranging over the Borel sets
Logique Consult（逻辑咨询）
本文证明了在实数序的MSO逻辑中，允许集量化符范围于Borel集时，该理论是可判定的，并探讨了其在S2S中的可解释性。
2026-01-20 math.LO
Decomposing the real line into Borel sets closed under addition
我们认为分解的真正的线成成对不相交的博雷尔片，使每一块是封闭的下添加。能有多少块呢我们证明，除其他外，件的数量是至多3或不可数，我们表明，它是不可判定的$ZFC$，甚至在理论$ZFC + \mathfrak{c} = ω_2$，如果件的数量可以是不可数的，但小于连续。我们还研究了不同的版本：如果我们放弃Borelness要求，如果我们用乘法代替加法，如果块是子组，如果我们划分$(0,\infty)$，等等，会发生什么。
2014-11-24 math.LO
Infinite Time Turing Machines
我们以一种自然的方式将图灵机的操作扩展到无限序数时间，并研究由此产生的超任务理论的可计算性和可判定性的现实。由此产生的可计算性理论导致了实数计算的概念，以及实数集和单个实数的可判定性和半可判定性的概念。例如，每一个Pi^1_1集都可以被这样的机器判定，而半判定集则构成了Delta^1_2集的一部分。我们的甲骨文概念导致了一个概念的相对可计算性的实数和实数集和丰富的度结构，分层的两个自然的跳跃运营商。
1998-08-21 math.LO
$I$-regularity, determinacy, and $\infty$-Borel sets of reals
证明了在$\sf{ZF} + \sf{DC} + \sf{AD}_{\mathbb{R}}$下，Baire空间$ω^ω$上的每个实数集对于任何$σ$ -理想$I$都是$I$ -正则的，使得$\mathbb{P}_I$是真的.这回答了Khomskii的问题。我们还表明，同样的结论下成立$\sf{ZF} + \sf{DC} + \sf{AD}^+$，如果我们另外假设的一组Borel码的$I$ -阳性集是$\mathbfΔ^2_1$。如果我们不假定$\sf{DC}$，适当性的概念就会变得模糊不清，正如卡多和卡拉吉拉所指出的那样。使用与Bagaria和Bosch引入的强恰当性概念类似的概念，我们在不使用$\sf{DC}$的情况下在$\sf{ZF} + \sf{DC}_{\mathbb{R}}$下证明了每一组实数都是$I$ -对于任何$σ$都是正则的-Baire空间$ω^ω$上的理想$I$，使得假设每一组实数都是$\infty$ -Borel并且不存在$ω_1$ -不同实数的序列，则$\mathbb{P}_I$是强恰当的。特别是，同样的结论在Solovay模型中也成立。
2021-08-19 math.LO
Cardinal characteristics associated with small subsets of reals
本文受Bartoszyński小集研究启发，引入两个刻画小集与F₆零测集的σ-理想，研究其基数特征，用于描述测度不变量、讨论与Cichoń图的联系并给出相关一致性结果。
2025-02-12 math.LO
On a theorem of Banach and Kuratowski and K-Lusin sets
在1929年的一份文件中，巴拿赫和库拉托夫斯基证明，假设连续统假设，一个组合定理，这意味着没有非零的西格玛加性有限措施的真正的线上定义的每一套reals。它将被证明，组合定理是等价的存在的一个K-Lusin集的大小连续和存在这样的集是独立的ZFC加上非CH。
2001-07-23 math.LO
Maximal sets without Choice
我们证明了它是一致的相对于ZF，有没有良好的顺序$\mathbb{R}$，而广泛的一类特殊集的实数，如Hamel基地，超越基地，Vitali集或伯恩斯坦集存在。更精确地说，我们可以假设$\mathbb{R}$上的每一个投射超图都有一个极大独立集。例如，我们得到所有射影等价关系的横截。此外，当$\mathsf{DC}_{ω_1}$成立或实数的可数选择失败时，这是可能的。假设不可达基数的一致性，“projective”甚至可以替换为“$L(\mathbb{R})$“。这大大加强了文献中早期的一致性结果。
2022-08-01 math.LO
Representing Scott sets in algebraic settings
证明了对每个Scott集$S$，存在$S$ -饱和的实封闭的域和Presburger算术模型.
2014-07-21 math.LO
Definability and decidability in expansions by generalized Cantor sets
确定了有序实加法群的广义康托集展开式中可定义的集合。给定一个自然数$r\geq 3$，我们说一个集合$C$是基$r$中的广义康托尔集，如果存在一个非空的$K\subseteq\{1,\ldots,r-2\}$，使得$C$是$[0,1]$中允许基$r$展开而省略$K$中的数字的那些数的集合。已知有序实加法群由单个广义康托尔集展开的理论是可判定的，我们建立了由两个广义康托尔集在乘法独立基上展开的理论是不可判定的.
2017-01-29 math.LO
Analytic sets of reals and the density function in the Cantor space
研究了Cantor空间可测子集的密度函数。除此之外，我们确定了一个通用的$\mathcal{U}$的$Σ^{1}_{1}$子集$( 0 ; 1 )$的密度函数;特别是$\mathcal{U}$是所有对$( K , r )$与$K$紧凑和$r \in ( 0 ; 1 )$是密度的一些点相对于$K$。这一结果得出，对于某个固定的不可数解析集$S \subseteq ( 0 ; 1 )$，所有的$K$使得其密度函数的值域为$S \cup \{ 0 , 1 \}$的集合是$Π^{1}_{2}$ -完备的.
2018-04-14 math.LO
Special sets of reals and weak forms of normality on Isbell-Mrówka spaces
我们回顾了一些经典的结果有关的正规性和一些自然削弱的正规性$Ψ$ -空间的几乎不相交的家庭的分支在康托树的特殊集的实数，如$Q$ -集，$λ$ -集和$σ$ -集。我们引入一类新的特殊实数集，它对应于几乎不相交的分支族是$\aleph_0$ -分离的。这个新类适合于$λ$ -集和完全贫乏集之间。我们还讨论了一个几乎不相交的家庭$\mathcal A$潜在的几乎正常（正态）的条件，在这个意义上，$\mathcal A$是几乎正常（正态）在一些c.c.c.力迫扩张。
2021-12-18 math.GN math.LO
Positivstellensätze for semi-algebraic sets in real closed valued fields
本文给出了实封闭的值域中的可定义集上只允许非负值的多项式和有理函数的一个刻划。也就是说，将相对positivstellensätze推广到也由赋值项定义的集合。为此，我们使用模型理论的工具，连同存在的典范赋值。
2014-07-27 math.AG math.LO
Hurewicz sets of reals without perfect subsets
我们证明了即使对于不包含完美集的实数线的子集X，Hurewicz性质也不意味着性质S1（Gamma，Gamma），断言对于X的每个开伽玛覆盖的可数族，存在一个选择函数，其像是X的伽玛覆盖。这解决了Just、Miller、Scheepers和Szeptycki的问题。我们的主要结果还回答了Bartoszynski和Tsaban的一个问题，并暗示了对于C_p（X），Sakai的强可数扇紧性和Reznichenko性质的结合并不意味着Arhangelskii的α_2性质.
2011-08-05 math.GN math.LO
Universally measurable sets in generic extensions
一个拓扑空间的子集称为\emph{universally measurable}，如果它是由空间上的每个可数可加$σ$ -有限Borel测度的完备化来度量的，而\emph{universally null}如果它对每个这样的无原子测度都有测度零。在1908年，Hausdorff证明了存在基数为$\aleph_{1}$的实数的泛空集，因此至少存在$2^{\aleph_{1}}$这样的集合。拉弗在20世纪70年代证明了一致地存在连续统的许多普遍空的实数集。这个问题是否存在超过连续许多普遍可测的实数集是问Mauldin在1978年。我们表明，一贯存在只有连续许多普遍可测的集。这个结果也来自Ciesielski和Pawlikowski对迭代Sacks模型的研究。在模型中，我们考虑（适当大小的随机代数的力迫扩张）每一个实数集是普遍可测的当且仅当它和它的补是许多Borel集的基础模型连续统的并集。
2010-03-12 math.CA math.LO
Finite powers and products of Menger sets
我们构造，使用温和的组合假设，一个真正的门格尔集，不是Scheepers，和两个真正的门格尔集，在所有有限的权力，与非门格尔产品。通过强迫理论的论证，我们证明了对于任意值的超滤子和支配数，在Blass-Shelah模型中同样成立。
2020-04-07 math.GN math.LO
Cantor sets and fields of reals
我们的主要结果是构造了四个族C_1，C_2，B_1，B_2，它们等价于实直线R的幂集并满足下列性质。(i)族的成员是R的真子域，其代数闭包等于域C。(ii)C_1 vC_2中的每个字段包含一个康托尔集。(iii)B_1vB_2中的每个字段都是伯恩斯坦集。(iv)C_1vB_1中的所有域都是同构的。(v)若K，L是C_2vB_2中的域，则K仅在平凡情形K=L时同构于L的子域.
2022-01-21 math.AC math.LO
Smooth parameterizations of power-subanalytic sets and compositions of Gevrey functions
证明了若$X$是$\mathbb{R}^\text{pow}_\text{an}$中的一个$m$ -维可定义集，则对任意正整数r，X存在一个$C^r$ -参数化，该参数化由对某个常数$c$的$cr^{m^3}$映射组成.此外，这些映射是实解析的，并且对于可定义的映射族，这个界是一致的。
2021-03-01 math.AG math.LO
Selection Principles and special sets of reals: Open problems
我们给出了一个选择的主要公开问题，涉及选择性的属性，对角化，覆盖属性的实数集。这是一个版本的修订版出版的一章，在书\textbf{Open Problems in Topology II}（E。Pearl，ed.），爱思唯尔有限公司2007，91- 108。本版本报告了一些问题的解决方案，使用了最新的符号，并更新了参考书目。欢迎提出意见和进一步更新。
2011-10-18 math.CO math.GN math.LO
Combinatorial images of sets of reals and semifilter trichotomy
使用字典翻译的各种经典和现代的覆盖性质的组合性质的连续图像，我们得到了一个简单的方法来理解这些属性之间的相互关系，在ZFC和领域的向上封闭的自然数的集合族的截尾公理。虽然它现在是已知的答案Hurewicz 1927年的问题是积极的，它表明在这里，半过滤器剖分意味着一个消极的答案稍微弱的形式这个问题。
2010-10-31 math.CO math.GN math.LO
Products of special sets of real numbers
我们描述了一个简单的机器，将结果的代数和的实数集到相应的结果，其笛卡儿积。一些后果是：1. Cantor空间中的一个弱/零可加集和一个强测度零/强弱集的乘积分别具有强测度零/强弱。2.使用Scheepers的选择原理表示法：Sfin（Omega，Omega^gp）\cap S1（O，O）=S1（Omega，Omega^gp），以及S1（Omega，Omega）的Borel猜想（或只是S1（Omega，Omega^gp））暗示Borel猜想。这些结果分别推广了Scheepers和Miller的结果。
2007-05-17 math.CO math.GN math.LO
Bounding Betti Numbers of Sets Definable in O-Minimal Structures Over the Reals
给出了O-极小结构中可定义集合的贝蒂数的一个界。一个公理化的复杂性措施的定义，允许各种具体的复杂性措施，可定义的功能被覆盖。这包括常见的具体措施，如多项式的次数，和复杂性的普夫朗函数。一个概括的E-Milnor界的方程和非严格不等式的结合定义的集合，在新的上下文中定义的O-最小结构使用公理化的复杂性措施。其次，通过考虑由符号条件定义的集合，然后利用符号条件得到闭集合的结果，再利用构造方法将由方程和不等式的布尔组合定义的集合近似为一个闭集，从而得到由方程和不等式的布尔组合定义的集合的界.最后，现有的结果，定义使用量词的开放或闭集的一般化，使用一个建设从Gabrielov和Vorobjov近似任何一组的紧凑集。这导致在一个方法中找到一个一般的界限，任何一组定义在一个O-最小结构的公理复杂性措施。作为结果，首次给出了由带量词的任意公式定义的子Pfronan集的一个上界。如果量词交替的数目是固定的，则这个界是单指数的。
2012-05-18 math.AG math.AT math.LO
