复射影空间的几个新的浸入结果

Projective product coverings and sequential motion planning algorithms in real projective spaces

For positive integers $m$ and $s$, let $\mathbf{m}_s$ stand for the $s$-th tuple $(m,\ldots,m)$. We show that, for large enough $s$, the higher topological complexity $TC_s$ of an even dimensional real projective space $RP^m$ is characterized as the smallest positive integer $k=k(m,s)$ for which there is a $(\mathbb{Z}_2)^{s-1}$-equivariant map from Davis' projective product space $P_{\mathbf{m}_s}$ to the $(k+1)$-th join-power $((\mathbb{Z}_2)^{s-1})^{\ast(k+1)}$. This is a (partial) generalization of Farber-Tabachnikov-Yuzvinsky's work relating $TC_2$ to the immersion dimension of real proje…

射影空间和透镜空间的对称拓扑复杂性

Symmetric topological complexity of projective and lens spaces

对于实射影空间，（a）欧氏浸入维数，（b）轴映射的存在性，和（c）拓扑复杂性被认为是同一问题的三个方面。但是当涉及到嵌入维数时，Berrick，Feder和Gitler的经典工作在试图将这些流形的欧氏嵌入的存在性与对称轴映射的存在性相鉴别时留下了一个小的不确定性。作为替代方案，我们表明，（c）的对称化版本捕获，在一个尖锐的方式，嵌入问题。讨论了偶挠透镜空间和复射影空间的推广。

浸入的边群与自交类

Bordism Groups of Immersions and Classes Represented by Self-Intersections

我们证明了几何版本的赫伯特定理考虑自相交浸入的自横浸入到bordism。这将赫伯特定理推广到其他上同调理论，并给出了托姆复形同伦中的一个交换图表。证明使用Koschorke和桑德森的操作和事实，即bordism的浸入给出了一个函子的类别的光滑流形和浸入。

一类3-球面浸入的奇异Seifert曲面和Smale不变量

Singular Seifert surfaces and Smale invariants for a family of 3-sphere immersions

如果自交点的代数数等于-n，则2-球面到4-空间中的自横浸入将导致Euler类2n的2-球面上的圆丛到4-空间中的浸入。将圆丛浸入与其泛覆盖映射预组合，得到了n>0时3-球面到4-空间的浸入g_n。本文计算了g_n的Smale不变量。计算是通过（部分）求解扩张g_n的穿孔复射影平面的自然奇异映射的奇异性来实现的。作为应用，我们确定了浸入的配边群中g_n所代表的类，该群与稳定的3-词干是自然一致的。特别地，g_n表示稳定3-茎的生成元当且仅当n可被3整除。

用限制复杂度映射实现同调类

On realizing homology classes by maps of restricted complexity

我们证明了在任意大于1的余维中，在某些闭流形（维数足够高）中存在模2同调类，这种同调类不能通过闭流形的浸入来实现.证明给出了模2同调类浸入可实现性的明确障碍（在上同调运算方面）。我们还证明了相应的结果，其中的单词“浸入”被替换为“地图与一些限制集的多奇点”。

复射影与透镜积空间

Complex-projective and lens product spaces

令$t$为正整数。继D. M. Davis，我们研究了复射影积空间的拓扑，即奇数维球面的对角$S^1$ -作用的乘积的乘积，以及$t$ -挠透镜积空间的拓扑，即当作用限制于$t^{\mathrm{th}}$单位根时的对应乘积.对于交换复上同调理论$h^*$，我们确定了这些空间的$h^*$ -上同调环（在$t$ -扭透镜积空间的情况下，用$h^*$的$t$ -级数）.当$h^*$是模2系数的奇异上同调时，我们还确定了Steenrod代数的作用.我们表明，这些空间打破后，通常发育不良的复杂的射影（$t$ -扭透镜）空间的dissuspensions的楔形暂停。我们估计的类别和拓扑复杂性的复杂的投影和镜头积空间，特别是这些不变量通常是远远低于通常的维数界预测。我们扩展戴维斯的分析流形性质，如浸入维数，（稳定）跨度，（稳定）平行性的真正的投影积空间的复投影和镜头产品的情况下。

实射影空间中作为Goodwillie欧氏嵌入塔第一障碍的对称拓扑复杂性

Symmetric topological complexity as the first obstruction in Goodwillie's Euclidean embedding tower for real projective spaces

作为第一个目标，解释了为什么古德威利-韦斯嵌入演算只在m < 16时提供了关于P^m的欧几里得嵌入维数的新信息。在这些低维的情况下，具体的场景进行了描述，精确定位在哪里寻找潜在的，但关键的，在相应的泰勒塔高阶障碍。当m > 15时，关系TC^S（P^m）> n-1被转化为某个上同伦欧拉类的平凡性，而这个上同伦欧拉类又成为产生P^m的n维欧氏嵌入的唯一泰勒障碍。一个推测的bordism型形式的主要障碍，提出了类似戴维斯的BP方法浸入问题的P^m。应用Euler类观点的一种形式证明了TC^S（P^3）= 5，并提出了几个高维射影空间，该方法可以为它们提供新的信息.作为第二个目标，本文扩展了法伯的工作的运动规划问题，以发展的概念对称运动规划的机械系统S。在Farber的引导下，这个概念与S的状态空间的对称拓扑复杂性有关。最后，本文给出了P^3的一个具体的5-局部规则对称运动规划器的构造。

Directed immersions for complex structures

We analyze the differential relation corresponding to integrability of almost complex structures, reformulated as a directed immersion relation by Demailly and Gaussier. Combining results of Clemente [3], we show that applying h-principle techniques yields the following statement: for an almost complex manifold with arbitrary metric $(X, J, g)$, and for $ε> 0$, there exists a smooth function $f : X \rightarrow \mathbb{R}$ and almost complex structure $J'$ on $X$ such that $J$ and $J'$ are $C^0$-close on the graph of $f$ with respect to the extended metric on $X \times \mathbb{R}$, and such tha…

On certain complex surface singularities

The thesis deals with holomorphic germs $ Φ: (\mathbb{C}^2, 0) \to (\mathbb{C}^3,0) $ singular only at the origin, with a special emphasis on the distinguished class of finitely determined germs. The results are published in two articles (arXiv:1404.2853 and arXiv:1902.01229), joint with András Némethi. In Chapter 3 of the thesis we study the associated immersion $ S^3 \looparrowright S^5 $, while Chapter 5 contains an algorithm providing the Milnor fibre boundary of the non-isolated hypersurface singularity determined by the image of $ Φ$. These results create bridges between different areas …

复协边条件下光滑射影复曲面簇表示

Smooth Projective Toric Variety Representatives in Complex Cobordism

复配边理论中的一个普遍问题是寻找配边类的有用代表。一类特别方便的复流形由光滑的投射环面簇组成。这些品种和光滑多面体之间的双射对应，使我们能够检查复杂的cobordism类包含一个光滑的投影环面品种通过研究组合的多面体。这些组合性质决定了一个复杂的cobordism类包含一个光滑的投射环面品种的障碍。然而，这些障碍只是必要条件，复配边中光滑射影复曲面簇的实际分布显得相当复杂。这里使用的技术提供了低维配边的光滑投射环面品种的描述。