正特征局部域域上Catalan型数的插值

一类涉及斐波那契数的Pillai-Catalan型问题

A Pillai-Catalan-type problem involving Fibonacci numbers

本文针对涉及斐波那契数的Pillai-Catalan型问题，结合斐波那契数性质、对数线性型与Baker-Davenport约化法，求解不定方程$3^x - F_n 2^y = 1$的所有正整数解。

包含Catalan数的$ζ(s)$和闭公式的一致收敛级数

A uniformly convergent Series for $ζ(s)$ and closed Formulas, that include Catalan Numbers

存在一个无穷级数的比率，通过它可以从卡塔兰数和出现在级数项中的中心二项式系数导出黎曼ζ函数$ζ(s)$。虽然不可否认的推导并不深入，但它确实表明了黎曼ζ函数的一些组合方面。但我们实际上也发现了四个新的闭公式，其中包括一个公式，通过该公式可以计算$ζ(s)$为一个可数无穷多个离散正值的$s$，其中该公式包含加泰罗尼亚数不是在无穷级数。黎曼ζ函数在物理学中有应用，例如在与卡西米尔效应相关的计算中。我们的结果表明，在一定条件下，黎曼ζ函数，组合数学，加泰罗尼亚数，中心二项式系数和内容的超球之间的联系。

Catalan 生成函数的截断的不可约性

Irreducibility of truncations of the Catalan generating function

本文证明了对任意正整数 n，由前 n+1 个 Catalan 数构成的截断多项式在有理数域上不可约。

Catalan-Larcombe-French数的同余

Congruences for Catalan-Larcombe-French numbers

令$\{P_n\}$是由$P_0=1,\ P_1=8$和$n^2P_n=8(3n^2-3n+1)P_{n-1}-128(n-1)^2P_{n-2}$ $(n\ge 2)$给出的Catalan-Larcombe-French数，并令$S_n=P_n/2^n$。本文给出了$S_{mp^r}\pmod{p^{r+2}}$，$S_{mp^r-1}\pmod{p^r}$和$S_{mp^r+1}\pmod{p^{2r}}$的同余式，其中$p$是奇素数，$m,r$是正整数.我们还证明了对任何素数$p\equiv 5,7\pmod 8$，都有$S_{(p^2-1)/2}\equiv 0\pmod {p^2}$，并证明了$\{S_m\}$是对数凸的。

$q$-超级Catalan数：组合恒等式、生成函数与Narayana细化

$q$-Super Catalan Numbers: Combinatorial identities, Generating Functions, and Narayana Refinements

本文推导$q$-超级Catalan数的组合恒等式，引入Narayana型细化并证明其$\gamma$-正性及$q$-模拟的$q$-$\gamma$-正性，推广已知恒等式。

整体正特征域上的超几何比插值

Interpolation of hypergeometric ratios in a global field of positive characteristic

在每一个全球领域的积极特征，我们展示了许多例子的二元代数函数拥有的属性一致的斯塔克猜想在函数域的情况下最近提出的作者（数学。NT/0407535）的一个几何改进。最值得注意的是，所有的例子都是科尔曼单位。我们通过研究零和极点都是通有的秩为一的shtukas得到了我们的结果。例如，shtukas没有关联到任何Drinfeld模块。

正有理数对数的无理性指数

Irrationality exponents of logarithms of positive rational numbers

本文通过分离权重行列式论证，证明任意正有理数 r≠1 的对数的无理性指数 μ(log r)=2，并给出完整参数选择与估计，附带几何推广及有限度界。

涉及二项式系数和高阶Catalan数的各种同余

Various congruences involving binomial coefficients and higher-order Catalan numbers

设$p$是素数，$a$是正整数。本文研究了$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[(h+1)k,k+d]/m^k$模一个素数$p$，其中$d$和$m$是整数，且$-h<d<=p^a$和$m\not=0 (mod p)$ .我们还研究了涉及高阶Catalan数$C_k^{(h)}=\binom[(h+1)k,k]/(hk+1)$和$\bar C_k^{(h)}=\binomal[(h+1)k,k]*h/(k+1)$的同余。我们的工具包括线性递归和三次剩余理论。文中给出了一些典型结果。(i)如果$p^a=1 (mod 6)$则$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[3k,k]/6^k=2^{(p^a-1)/3}-1 (mod p).$$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[3k,k]/7^k=\cases-2&if p^a=\pm2 (mod 7), \\1&otherwise.$$（ii）我们有$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[4k,k]/5^k=\cases1 (mod p) if p\not=11 and p^a=1 (mod 5), \1/11 (mod p)&if p^a=2,3 (mod 5), \9/11 (mod p) if p^a=4 (mod 5). $$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}C…

Genocchi型多项式的插值函数

Interpolation function of the genocchi type polynomials

本文的主要目的是不仅构造新方法Genocchi型数和多项式的生成函数，而且构造与a，b，c任意正实参数有关的Genocchi型数和多项式的插值函数。证明了这类多项式的乘法定理。此外，我们给出了与这些数、多项式及其插值函数有关的一些恒等式和应用。

关于二项式系数的几个新同余

On some new congruences for binomial coefficients

本文建立了中心二项式系数和Catalan数的新同余式。设$p$是素数，$a$是任意正整数。我们确定了$d=0,...,p^a$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}$ mod $p^2$和$δ=0,1$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+δ}$ mod $p^3$。我们还表明，$$C_n^{-1}\sum_{k=0}^{p^a-1}C_{p^an+k}=1-3(n+1)((p^a-1)/3) (mod p^2)$$对每个n= 0，1，2，.，其中$C_m$是加泰罗尼亚数字$\binom{2m}{m}/(m+1)$，（-）是勒让德符号。

关于二项式系数的整除性

On divisibility concerning binomial coefficients

设k和n为正整数。主要证明了$$(ln+1) | k\binom{kn+ln}{kn},$$ $$2\binom{kn}n | \binom {2n}{n}C_{2n}^{(k-1)}$$，$$\binom{kn}n | (2k-1)C_n\binom{2kn}{2n},$$ $$\binom{2n}n | (k+1)C_n^{(k-1)}\binom{2kn}{kn},$$ $$2^{k-1}\binom{2n}{n} | \binom{2(2^k-1)n}{(2^k-1)n}C_n^{(2^k-2)},$$ $$(6n+1)\binom{5n}{n} | \binom{3n-1}{n-1}C_{3n}^{(4)},$$和$$\binom{3n}{n} | \binom{5n-1}{n-1}C_{5n}^{(2)},$$，其中C_n表示Catalan数$\binom{2n}{n}/(n+1)$，C_m^{（h）}表示h阶Catalan数$\binom{(h+1)m}{m}/(hm+1)$.

宇宙际Teichmüller理论与有理数上的新丢番图结果. II

The inter-universal Teichmüller theory and new Diophantine results over rational numbers. II

本文应用宇宙际Teichmüller理论及其椭圆曲线修正，证明广义费马方程在大多数签名下无非平凡原始解，仅剩244个（指数≥4）和2446个（Beal猜想）签名待解。

$p$-Adic interpolation of orbits under rational maps

Let $L$ be a field of characteristic zero, let $h:\mathbb{P}^1\to \mathbb{P}^1$ be a rational map defined over $L$, and let $c\in \mathbb{P}^1(L)$. We show that there exists a finitely generated subfield $K$ of $L$ over which both $c$ and $h$ are defined along with an infinite set of inequivalent non-archimedean completions $K_{\mathfrak{p}}$ for which there exists a positive integer $a=a(\mathfrak{p})$ with the property that for $i\in \{0,\ldots ,a-1\}$ there exists a power series $g_i(t)\in K_{\mathfrak{p}}[[t]]$ that converges on the closed unit disc of $K_{\mathfrak{p}}$ such that $h^{an+i…