The Cayley-Dickson algebra has long been a challenge due to the lack of an explicit multiplication table. Despite being constructible through inductive construction, its explicit structure has remained elusive until now. In this article, we propose a solution to this long-standing problem by revealing the Cayley-Dickson algebra as a twisted group algebra with an explicit twist function $σ(A,B)$. We show that this function satisfies the equation $$e_Ae_B=(-1)^{σ(A,B)}e_{A\oplus B}$$ and provide a formula for the relationship between the Cayley-Dickson algebra and split Cayley-Dickson algebra, t…
2023-03-13 math.RA
Some identities in algebras obtained by the Cayley-Dickson process
本文证明了Hall恒等式在所有由Cayley-Dickson过程得到的代数中成立，并且在一定条件下，Hall恒等式的逆也成立。
2012-01-17 math.RA
Some remarks about the levels and sublevels of algebras obtained by the Cayley-Dickson process
本文改进了由Cayley-Dickson过程得到的代数的级和子级，当它们的级和子级大于维时，给出了一个新的代数级和子级.
2017-04-03 math.RA
A catalog of Cayley-Dickson-like products
在序偶（a，b），（c，d）上的所有32个Cayley-Dickson-like二重积的目录，其中（1，0）是左恒等式和右恒等式，且在给定共轭（a，b）*=（a*，-b）的情况下，xx* 和x*x等于x的范数的平方.其中只有8个是真正的Cayley-Dickson加倍积，因为其中24个不满足四元数性质。八个Cayley-Dickson乘积中的每一个在Fano平面中都有独特的表示。
2015-04-14 math.RA
Eigentheory of Cayley-Dickson algebras
我们展示了特征理论如何阐明Cayley-Dickson代数的许多代数性质。这些笔记的目的是作为背景材料，为那些谁正在研究这个本征理论更密切。
2009-05-19 math.RA
Some Graded Identities of The Cayley-Dickson Algebra
我们的工作是为八元数代数找到一个分次恒等式的基。我们这样做的$\mathbb{Z}_2^2$和$\mathbb{Z}_2^3$分级，他们都来自凯莱-迪克森过程，后分级是可能的，只有当标量的特征是不是两个。
2012-05-22 math.RA
Automorphism groups of Cayley-Dickson loops
Cayley-Dickson圈Q_n是由Cayley-Dickson加倍过程的n个应用所构造的代数的基本元素的乘法闭包（这类代数的前几个例子是实数、复数、四元数、八元数、十六元数）。讨论了Cayley-Dickson环的性质，证明了这类环是Hamilton的，并描述了它们的自同构群的结构.
2012-04-21 math.GR math.RA
Values for the levels and sublevels of algebras obtained by the Cayley-Dickson process
本文证明了任意数n \in N-{0}都可以实现为适当域上的Cayley-Dickson过程所得到的代数的水平。
2012-01-17 math.RA
On the Radius in Cayley-Dickson Algebras
在本文的前两节中，我们简要介绍了Cayley-Dickson代数，并证明了这些代数上的半径是由欧几里德范数给出的。有了这个观察，我们诉诸于三个相关的主题：一个变种的Gelfand公式，稳定性的subnorms，和功能的权力方程。
2015-05-07 math.RA
Some remarks regarding l elements defined in algebras obtained by the Cayley-Dickson process
在本文中，我们定义了一类特殊的元素的代数Cayley-Dickson过程，称为l元素。我们找到了使这些元素可逆的条件。这些条件对于寻找新的恒等式非常有用，这些恒等式可以帮助我们研究这些代数的性质。
2018-07-15 math.RA
Beta and Gamma functions of Cayley-Dickson numbers
本文主要讨论Cayley-Dickson数的Beta和Γ函数。它表明，与复杂的情况相比，有特定的功能。这些函数作为凯莱-迪克森变量的亚纯函数的例子，并说明线积分的应用。证明了Beta函数和Γ函数的有用恒等式。
2004-06-15 math.CV math.RA
Finding identities in nonassociative algebras plays an important role in the study of properties of these algebras. In this paper, we present some identities in alternative algebras and in algebras obtained by the Cayley-Dickson process. Moreover, the spectrum of matrices with coefficients in such algebras are investigated.
2022-06-03 math.RA
The Cayley-Dickson process for dialgebras
我们适应的算法Kolesnikov和Pozhidaev，代数的多项式身份转换成相应的身份dialgebras，凯莱-迪克森加倍过程。我们得到了一个推广的过程中设置的双代数，建立其一些基本性质，并构建双代数类似物的四元数和八元数。
2012-09-12 math.RA
Starting from some ideas given by Bales in [Ba; 09], in this paper we present an algorithm for computing the elements of the basis in an algebra obtained by the Cayley-Dickson process. As a consequence of this result, we prove that an algebra obtained by the Cayley-Dickson process is a twisted group algebra for the group G = Zn2 ; n = 2t, t 2 N, over a field K, with charK = 0. In the last section, we give some properties and applications of the quaternion nonassociative algebras.
2021-03-23 math.RA
An alternate Cayley-Dickson product
虽然Cayley-Dickson代数是扭群代数，但很少有人关注Cayley-Dickson扭的性质。一个原因是扭曲看起来是高度混乱的，还有其他关于代数的有趣的事情需要关注。然而，如果一个人使用一个加倍产品的代数不同，但相当于那些常用的，如果一个人使用一个编号的基础向量不同的标准基础一个相当美丽的和高度周期性的扭曲出现。这很容易导致一个简单的封闭形式公式的乘积的任何两个基向量的凯莱-迪克森代数。
2020-01-11 math.RA
Involutions in the Cayley-Dickson construction
Mälardalen University（马尔默大学）
本文确定了Cayley-Dickson构造中所有扩展原$*$-代数对合的对合，并分类了由此得到的$*$-代数同构类，应用包括证明无零因子的Cayley双代数恰好有一个额外对合，以及分类实数域上至多4维的$*$-代数。
2026-08-13 math.RA
Some remarks regarding special elements in algebras obtained by the Cayley-Dickson process over Zp
该研究探讨了Zp上Cayley-Dickson代数中k-幂等元的性质，构建了Z3上Fibonacci四元数的非幺环结构，并提出基于该类代数可逆元的明文加密方法。
2025-03-21 math.RA
On doubly alternative zero divisors in Cayley-Dickson algebras
Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立大学）；Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）
本文研究特征非2的域上Cayley-Dickson代数的零因子，明确双交替零因子的性质与显式形式，刻画各向异性范数情形下零因子图的结构，得到C等价准则及零化子维数的可能取值。
2026-08-28 math.RA
Holomorphic functions in generalized Cayley-Dickson algebras
本文研究了Cayley-Dickson代数上的全纯函数（Dirac算子的核）.为此，我们研究了Cayley-Dickson代数的结构。我们还提供了一个算法的建设这样的功能。
2014-03-19 math.CV math.RA
Flipped non-associative polynomial rings and the Cayley-Dickson construction
本文引入翻转非结合多项式环，证明 Cayley-Dickson 代数可自然实现为其商，并推广 McCrimmon 的相关经典结果。
2024-09-10 math.RA
Quaternion polar representation with a complex modulus and complex argument inspired by the Cayley-Dickson form
受Cayley-Dickson表示的启发，我们提出了一种新的四元数极坐标表示。在这种新的极坐标表示中，四元数由一对复数表示，如Cayley-Dickson形式，但这里这两个复数是复数“模”和复数“幅角”。与Cayley-Dickson形式一样，这两个复数在同一个复平面上（使用相同的复根-1），但复相位乘以指数函数中不同的复根-1。我们展示了如何计算的振幅和相位从任意四元数在笛卡尔形式。
2008-02-22 math.RA
Simple graded rings, non-associative crossed products and Cayley-Dickson doublings
证明了如果非结合单位环被超中心群分次，则该环是单的当且仅当它是分次单的且环的中心是域。因此，我们将Jespers的一个结果推广到非结合集。通过将此结果应用于非结合交叉积，我们得到了Bell，Jordan和Voskoglou的结果的非结合类似物。我们还将所得结果应用于Cayley-Dickson double，从而得到了McClammon经典结果的一个新证明.
2019-03-19 math.RA
We study the roots of polynomials over Cayley--Dickson algebras over an arbitrary field and of arbitrary dimension. For this purpose we generalize the concept of spherical roots from quaternion and octonion polynomials to this setting, and demonstrate their basic properties. We show that the spherical roots (but not all roots) of a polynomial $f(x)$ are also roots of its companion polynomial $C_f(x)$ (defined to be the norm of $f(x)$). For locally-complex Cayley--Dickson algebras, we show that the spherical roots of $f'(x)$ (defined formally) belong to the convex hull of the roots of $C_f(x)$,…
2022-05-11 math.RA
A Mnemonic Matrix Rule for (Split) Octonionic Multiplication and its Extension to the Cayley--Dickson Tower
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS, Astroparticule et Cosmologie（法国国家科学研究中心，亚原子粒子与宇宙学研究所）；Faculty of Mathematics, University of Białystok（比亚韦斯托克大学数学学院）
本文提出了一种基于记忆矩阵的八元数乘法规则，并将其扩展到凯莱-迪科森塔中的所有代数，为非结合代数提供了高效的计算方法。
2026-01-26 math.RA
On locally complex algebras and low-dimensional Cayley-Dickson algebras
本文从Frobenius和（分别）的经典定理的简短证明开始。Zorn on associative and（resp.）交错实除代数这些定理表征了前三个（分别为）。4）Cayley-Dickson代数。然后引入并研究了由任意非纯量元生成的子代数同构于C的实单位元非结合代数类。我们称之为局部复代数。特别是，我们描述所有这样的代数的维数最多为4。我们的主要动机，但是，引进局部复代数是，这个概念使我们有可能扩大弗罗贝纽斯'和佐恩定理的方式，它也涉及第五凯莱-迪克森代数，sedenions。
2010-11-25 math.RA
A note about algebras obtained by the Cayley-Dickson process
本文将复合代数的层和子层的概念推广到由Cayley-Dickson过程得到的代数。1967年，R. B. Brown对每一个$t\in \Bbb{N},$构造了幂级数域$K\{X_{1},X_{2},...,X_{t}\}.$上的维数为$2^{t}$的除代数$A_{t}$。这使我们有可能构造一个维数为2的除代数$^{t}$和指定的2级$^{k}$ $ k, t\in \Bbb{N}^{*}.$
2012-01-17 math.RA
General Polynomials and Eigenvalues Over Cayley--Dickson Algebras
Academic College of Tel-Aviv-Yaffo（特拉维夫-雅法学院）；Bar-Ilan University（巴伊兰大学）；Tel-Hai University of Kiryat Shmona in the Galilee（加利利谢莫纳镇泰勒海大学）
研究凯莱 - 迪克森代数上首一二次一般多项式零集，给出求根方法，证明实数上局部复凯莱 - 迪克森代数中此类多项式必有根，以及凯莱八元数上2×2矩阵右特征值存在并可计算部分右特征值。
2026-10-19 math.RA
Orthogonality graphs of real Cayley-Dickson algebras. Part II: The subgraph on pairs of basis elements
Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立大学）；Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics（莫斯科基础与应用数学中心）
该研究针对实Cayley-Dickson代数的基元素对构成的正交图，证明至少16维时两代数同构等价于其图同构，并给出从图提取代数Cayley-Dickson参数的算法。
2026-08-31 math.RA
Loops with involution and the Cayley-Dickson doubling process
本文建立带对合的环的理论，定义Cayley-Dickson加倍并研究相关簇格性质，进而刻画迭代加倍的自同构群，修正证明了n>3时Q_n的自同构群为GL_3(F_2)×{±1}^{n-3}。
2024-12-30 math.CO math.RA
Cayley-Dickson Process and Centrally Essential Rings
我们描述了结合中心$N(R)$和中心$Z(R)$的环$R$通过应用广义Cayley-Dickson结构，我们发现的条件下，环$R$是$N$ -本质或中心本质。将所得结果应用于广义四元数环和八元数环，并利用它们构造了一个非结合中心本质环的例子。维克多·马尔科夫是由俄罗斯基础研究基金会，项目17-01-00895-A。Askar Tuganbaev由俄罗斯科学基金会项目16-11-10013支持。
2019-01-04 math.RA
The two-sided Laplace transformation over the Cayley-Dickson algebras and its applications
本文介绍拉普拉斯变换的非对易形式。研究了一般Cayley-Dickson代数上的Laplace型正变换和逆变换，特别是四元数的除环和八元数代数.并给出了实例。定理证明的性质，这种转换，也定理的图像和原件结合运算的乘法，微分，积分，卷积，移位和homothety。Mellin变换的非对易模拟也进行了研究。给出了应用于凯莱-迪克森代数上的微分方程的解。
2006-12-25 math.CV math.RA
Alternating Roots of Polynomials over Cayley-Dickson Algebras
本文引入了 Cayley-Dickson 代数上多项式的交错根与交错多项式概念，证明了交错根与对应交错多项式根的联系，并提供了计算 Hamilton 四元数上交错根的详细 Octave 代码。
2023-10-22 math.NT math.RA
Alternative elements in the Cayley-Dickson algebras
对于A_n中的元素a，Cayley-Dickson代数是交错的，如果（a，a，x）=0。本文对n> 3的纯元进行了证明，首先证明了所谓的Yui猜想：对于A_n中的纯元a和b，如果对所有x，（a，x，b）=0，则a和b是线性相关的，并且我们研究了每两个元素之间的交替性，并将其与它们乘积的范数联系起来。
2004-04-21 math.QA math.RA
Rota-Baxter operators of weight zero on Cayley-Dickson algebra
该研究完成了特征不为2的域上分裂八元数代数权零Rota-Baxter算子的自同构与反自同构共轭分类，终结了复合代数上此类算子的分类问题，给出了通用域与二次闭域下的两类描述。
2024-06-24 math.RA
Similarity and Consimilarity of Elements in Real Cayley-Dickson Algebras
在复Clifford代数$\Cn.$上建立了一组有价值的泛相似因子分解等式，通过它们可以直接导出复Clifford代数$\Cn$的矩阵表示，并容易地确定其性质.
2000-03-26 math-ph math.MP math.RA
Orthogonality graphs of real Cayley-Dickson algebras. Part I: Doubly alternative zero divisors and their hexagons
Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立罗蒙诺索夫大学）；Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics（莫斯科基础与应用数学中心）
该研究探讨实Cayley-Dickson代数的正交图，构造定向六边形，确定双六边形顶点乘法表，给出生成交错子代数的条件，分类特定零因子并明确其正交条件。
2026-08-31 math.RA
The Subalgebra Structure of the Cayley-Dickson Algebra of Dimension 32 (trigintaduonion)
Cayley-Dickson代数R（实数）、C（复数）、H（四元数）、O（八元数）、S（sedenions）和T（trigintaduonions）因其在纯粹数学和理论物理中的重要应用而引起了许多数学家和物理学家的注意。本文通过分析代数T的32个基元所生成的64阶循环T_L，确定了T的子代数结构。分析表明，T_L是一个非结合有限可逆回路（NAFIL），它有373个32，16，8，4，2阶的非平凡子回路，且都是正规的.这些子循环生成T的16、8、4、2和1维的子代数，这些子代数形成了T的结构的元素。
2009-09-01 math.RA
Levels and sublevels of division algebras obtained by the Cayley-Dickson process
{ \small \我们将复合代数的\thinspace级、\thinspace和\thinspace子级的概念推广到由Cayley-Dickson过程得到的除代数。1967年，R. B. Brown构造了，对于每个} $t\in \mathbb{N},$ { \small \ a nonassociative division algebra} $A_{t}$ {\small \ of dimension} $2^{t}$ { \small \ over the power-series field} $K\{X_{1},X_{2},...,X_{t}\}.\,$ { \small \ This gives us possibility to construct a division algebra of \thinspace dimension} $% {\small \,2}^{t}\,$ { \small and prescribed \thinspace level and sublevel} $% {\small \,\,2}^{k}$ { \small，\thinspace \thinspace } $k,\,t\in \mathbb{N}-\{0\} $和维度${\small \,2}^{t}\,$ { \small和规定的\thinspace级别} ${\smal…
2012-01-17 math.RA
Function Theories in Cayley-Dickson algebras and Number Theory
近年来，人们从八元数开始，努力将超全纯函数理论从结合Clifford代数扩展到非结合Cayley-Dickson代数。一个重要的问题是，是否出现真正本质上不同的功能，不能处理的Clifford分析设置与Cayley-Dickson代数的治疗。这里我们举一个具体的例子。Cayley-Dickson代数允许构造CM-格的直接类似物，特别是在乘法下封闭的格。典型的例子是具有代数数域$\mathbb{Q}[\sqrt{m_1},\ldots\sqrt{m_k}]$的分量的格。注意，两个非整数格仿矢的乘法不再给出Clifford代数中的格仿矢。本文利用八元数函数理论的工具，建立了八元数广义椭圆函数与八元数椭圆曲线之间的代数关系。我们提出了公式的八元数CM-分裂值的痕迹。
2019-12-03 math.CV math.NT math.RA
A note about levels and sublevels of algebras obtained by the Cayley-Dickson process
本文将复合代数的\thinspace \thinspace的\thinspace级、\thinspace级和\thinspace级的概念推广到由Cayley-Dickson过程得到的代数上. 1967年，R. B. Brown构造了，对于每个} $t\in \Bbb{N},$ { \small % \ a除代数} $A_{t}$ { \small\维数} $2^{t}$ { \small \ over the power series field} $K\{X_{1},X_{2},...,X_{t}\}.\,$ { \small \ This gives us possibility to construct a division algebra of \thinspace dimension \thinspace 2} $^{t}\,$ { \small and prescribed \thinspace level and sublevel \thinspace \thinspace 2} $^{k}$ { \small，\thinspace \thinspace } $k,\,t\in \Bbb{% N}^{*}$ { \small \ and a division algebra of \thinspace dimension \thinspace } $% 2^{t}+1…
2012-01-17 math.RA
Central Products of Cayley-Dickson Loops
Academic College of Tel-Aviv-Yaffo（特拉维夫-雅福学术学院）；Bar-Ilan University（巴伊兰大学）
研究 Cayley-Dickson 环中心积中换位子的平凡性，构造了随机换位子平凡概率趋于1的非交换双结合环序列，并证明了n≥3时中心积同构蕴含逐项同构。
2026-06-29 math.GR math.PR math.RA
Rota-Baxter operators of nonzero weight on the split Cayley-Dickson algebra
Novosibirsk State University（新西伯利亚国立大学）；Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）
研究分裂奥克托恩的罗塔-巴克斯运算符，发现任何域上存在唯一非分裂运算符，并描述了分裂奥克托恩在二次闭合域上的分解，完成对任意权重组合代数罗塔-巴克斯运算符的分类。
2025-02-04 math.RA
Alternative twisted tensor products and Cayley algebras
我们介绍我们所谓的“替代扭曲张量积“不一定是结合代数，作为一个共同的推广几个不同的建设：凯莱-迪克森过程，克利福德过程和扭曲张量积的两个结合代数，其中之一是交换的。我们表明，一些非常基本的事实有关Cayley-Dickson过程（它的两个不同的配方和提升的对合之间的等价性）是特殊情况下的一般结果交替扭曲张量积的代数。作为另一类扭曲张量积的例子，我们引入了一个具有强对合的代数的“三重化过程”，它包含Cayley-Dickson加倍作为一个子代数，并具有它的一些基本性质.
2010-11-08 math.RA
Structure of the Cayley-Dickson algebras
University of Adelaide（阿德莱德大学）
本文研究了Cayley-Dickson代数的结构，揭示了非结合性与幂结合子代数的关系，并通过分层构造定义了八元数和sedenion的子代数。
2026-10-30 math.RA
The Cayley-Dickson doubling products
本文研究Cayley-Dickson代数的倍增乘积问题，通过明确二次二项式形式的乘积定义及约束条件，旨在找出所有满足从实数出发依次生成复数、四元数、八元数要求的倍增乘积，填补此前研究仅涉及部分乘积的空白。
2023-08-28 math.RA
How to obtain division algebras from a generalized Cayley-Dickson doubling process
给出了一类新的具有大导子代数数的八维实除代数：我们推广了经典的Cayley-Dickson加倍过程，它从域F上具有对合的单位代数开始，允许加倍过程中的标量是代数中的可逆元.由此产生的单位代数既不是幂结合的，也不是二次的。从一个四元数除代数D出发，我们得到了除代数A，其中所有可逆标量在D中选择F之外。这是独立的标量被放置在产品和三个成对的非同构的家庭的八维司代数。在实数上，每个这样的代数A的导子代数同构于$su(2)\oplus F$，并且A到不可约su（2）-模的分解具有形式1+1+3+3（用维数表示不可约su（2）-模）。它们的对向代数产生了更多类两两非同构的同类型除代数族。因此，我们对Benkart和Osborn在1981年提出的一个问题给出了肯定的回答。
2010-01-13 math.RA
Roots and right factors of polynomials and left eigenvalues of matrices over Cayley-Dickson algebras
本文研究一般 Cayley-Dickson 代数中多项式有根与存在右因子的等价性，分析其适用边界，并计算八元数矩阵的左特征值。
2025-09-30 math.NT math.RA
Isotropy of some quadratic forms and its applications on levels and sublevels of algebras
本文给出了由Cayley-Dickson过程得到的代数的层和子层的一些性质。我们将强调一些二次型的各向同性如何影响由Cayley-Dickson过程得到的代数的层次和子层次。
2012-01-28 math.RA
Octonions as Clifford-like algebras
本文基于八元数与Clifford代数的相似性，引入Kingdon代数，通过泛性质刻画八元数及分裂八元数，并赋予其超代数结构。
2023-10-15 math.RA
Determinant Factorization of Left Multiplication in the 32 Dimensional Cayley Dickson Algebra
Hiroshima University High School（广岛大学附属高中）
该研究针对32维Cayley-Dickson代数$A_5$，构造14次齐次多项式$D_{14}$并证明左乘法行列式的分解式，得到$A_5$左零因子的判据，还分析了其与十六元数$A_4$对应结构的差异。
2026-08-11 math.RA
Presto! Digitization, Part I: From NKS Number Theory to "XORbitant" Semantics, by way of Cayley-Dickson Process and Zero-Divisor-based "Representations"
伟大的非线性革命的对象-20世纪60年代至70年代的灾难和混沌（以下简称CT）;以及最近出现的小世界和无标度网络理论（NT）-将被一种新的数论拼接在一起，专注于数字化（即，二进制字符串）。NT节点，然后成为CT内容的功能丰富的代表（结节在“根际”）。零因子（ZD's）的“盒风筝”形式主义-首先在16-D Sedenions中显示，然后在通过Cayley-Dickson Process（CDP）从Imaginaries导出的所有更高的2^N-离子中显示-可以模拟这种“富集”的结节。它的（位串异或与矩阵相乘）操作展开为CT中链接的对象的“表示”，具有“零分区”：奇点。从这里到分形和混沌的路线，通过CDP扩展到2^N-离子以增加N，将使我们陷入高维“进位溢出”的图形中，正如曼荼罗般的“射气表”模式所表现的那样（对ZD来说，这大致相当于群理论家的凯莱表）。我将引用一段关于“Hjelmslev的网”（我声称这是CDP的伪装）的话，引自一本著名的后现代文本，德勒兹和瓜塔里的“一千高原”（“根际”意象出现的地方）。在Jean Petitot基于CT的结构主义的有力帮助下，Algirdas Greimas的“符号学广场”将向我们展示如何通过ZD“表征”将CT与符号学基础明确联系起来，而无限维的ZD元分形或“天空”，盒子风筝飞行-首先出现在32-D Pathion中，并包含更高的2^N离子-将为列维…
2006-03-13 math.RA
Quasilinear multiplication in the Cayley-Dickson tower
本文提出实Cayley-Dickson代数乘法的拟线性算法，将乘法化为虚子空间交错积并用两次递归求值，实现$O(N\log N)$复杂度，在$N\ge32$时优于现有方法，并已实现为fastCD库。
2026-10-30 cs.NA cs.SC math.NA
Cayley Integers (long version)
我们在这里提出了一些结果，应用凯莱-迪克森过程中的某些交错代数（特别是建立在伽罗瓦领域和同余环），在某种程度上，可能会产生新的积木密码系统。我们专注于枚举性质，而不是分类和比较的问题，在其他地方被广泛研究，至少代数领域。这里提出的结果是技术性的，但本质上并不困难。
2005-06-18 math.NT math.RA
Hopf construction map in higher dimensions
本文研究了由F_n（x，y）=（2xy，|y|其中A_n是实数域上2^n维Cayley-Dickson代数.
2004-04-07 math.AT math.RA
