Center Manifolds of Differential Equations in Banach Spaces
中心流形对于描述微分方程系统的长期行为是有用的。本文考虑了巴拿赫空间中的一类自治微分方程，该方程的线性项具有指数可分性，非线性项具有Lipschitz连续性.利用谱间隙条件证明了中心流形的存在唯一性。此外，我们证明了流形的正则性与一些额外的非线性项的假设。我们使用著名的Lyapunov-Perron方法来处理这个问题，该方法依赖于Banach不动点定理。证明可以推广到非自治系统。
2017-10-19 math.CA
Shuffle and Faà di Bruno Hopf Algebras in the Center Problem for Ordinary Differential Equations
本文讨论了微分方程$\frac{dv}{dx}=\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}(x)v^{i+1}$，$x\in [0,T]$中心问题的霍普夫代数方法，并研究了该方程第一返回映射的一些组合性质.本文总结和扩展了以前开发的方法，由于Devlin和作者的中心问题。
2016-02-28 math.CA math.CO
A counterexample to the composition condition conjecture for polynomial Abel differential equations
多项式Abel微分方程被认为是平面多项式常微分方程组的经典Poincaré中心焦点问题的模型问题。近几十年来，有不少文献指出，多项式Abel微分方程的中心都满足复合条件（又称泛中心）。在这项工作中，我们提供了一个简单的反例，这个猜想。
2017-05-15 math.CA
Limit cycles by perturbing quadratic isochronous centers inside piecewise smooth polynomial differential systems
本文研究了分段光滑多项式微分系统的一阶Melnikov函数的零点个数，估计了在具有间断直线$x=0$的$n$次分段光滑多项式微分系统类内，由二次等距中心的周期环分支出的极限环的个数.给出了一阶Melnikov函数关于二次等距中心$S_1, S_2$和$S_3$的零点个数的一个精确上界.对于二次等距中心$S_4$，由于一阶Melnikov函数的复杂性，我们给出了其零点个数的一个粗略估计.进一步，当$S_4$在所有$n$次光滑多项式微分系统内扰动时，我们将$S_4$的上界从$14n+11$ in \cite{LLLZ}，$12n-1$ in \cite{SZ}改进为$[(5n-5)/2]$.此外，还得到了分段光滑多项式微分系统的一阶Melnikov函数与一阶平均函数等价的一些证据。
2017-05-19 math.CA
Moments Finiteness Problem and Center Problem for Ordinary Differential Equations
研究了像在紧致Lipschitz可三角化曲线$Γ$上的Lipschitz映射类$F: [a,b]\rightarrow\mathbb R^n$的矩有限性问题.我们将所得结果应用于常微分方程的中心问题，描述在某些情况下（包括方程的解析系数），这类方程的普遍中心的集合，消失的许多时刻，从他们的系数。
2013-05-18 math.CA math.DS
Global Centers in Piecewise linear Differential Equations in the Cylinder
Universidad de Extremadura（埃斯特雷马杜拉大学）；Universitat de les Illes Balears（巴利阿里群岛大学）
研究分段线性方程在系数为三角多项式时全局中心的特征，通过多项式和三角多项式的组合条件确定其存在性。
2025-03-05 math.CA
Universal Curves in the Center Problem for Abel Differential Equations
研究Abel微分方程类$\mathcal E_Γ$的中心问题$\frac{dv}{dt}=a_1 v^2+a_2 v^3$，$a_1,a_2\in L^\infty ([0,T])$，使得Lipschitz路$\tilde A:=\bigl(\int_0^\cdot a_1(s)ds, \int_0^\cdot a_2(s)ds\bigr): [0,T]\rightarrow\mathbb R^2$的映象属于一条固定的紧致可求长曲线$Γ$ .这样的曲线称为泛曲线，如果每当$\mathcal E_Γ$中的方程在$[0,T]$上具有中心时，该中心必须是泛的，即该方程的系数$a_1, a_2$中的所有迭代积分必须为零。研究了泛曲线的一些基本性质。我们的主要结果包括一个代数描述的泛曲线的基本组到一组局部收敛可逆幂级数的产品是系列的组成，显式的例子，泛曲线和逼近Lipschitz三角化曲线的泛。
2014-05-20 math.CA
Solution of the parametric center problem for the Abel differential equation
具有$p,q\in \mathbb R[x]$的Abel微分方程$y'=p(x)y^2+q(x)y^3$称为在$[a,b]$上有中心，如果它的所有解，当初始值$y(a)$足够小时，满足条件$y(b)=y(a)$ .描述阿贝尔方程有中心的条件的问题可以解释为经典的庞加莱中心焦点问题的简化版本。如果对于每个$\varepsilon \in \mathbb R$，方程$y'=p(x)y^2+\varepsilon q(x)y^3$都有一个中心，则称阿贝尔方程有一个“参数中心”。本文证明了Abel方程有参数中心当且仅当反导数$P=\int p(x) dx,$ $Q=\int q(x) dx$满足等式$P=\widetilde P \circ W,\ $ $Q=\widetilde Q\circ W$，对于某些多项式$\widetilde P,$ $\widetilde Q,$和$W$使得$W(a)=W(b)$ .我们还证明了最后一个条件是“广义矩”$\int_a^b P^id Q$和$\int_a^b Q^id P$对所有$i\geq 0.$为零的充要条件
2014-07-01 math.CA math.DS
Algebraic Geometry of the Center-Focus problem for Abel Differential Equation
具有多项式系数$p,q$的Abel微分方程$y'=p(x)y^3 + q(x) y^2$称为中心在$[a,b]$上，如果它的所有解，当初始值$y(a)$足够小时，满足条件$y(a)=y(b)$ .在$(p,q,a,b)$上给出暗示阿贝尔方程中心的条件的问题类似于平面向量场的经典庞加莱中心焦点问题。中心条件是由一个无限的“中心方程”系统提供的。通过对两个相关结构的详细分析，获得了关于这些方程的重要新信息：组成代数和矩方程（中心方程的一阶近似）。最近在这个方向上的基本开放问题之一-“多项式矩问题”-已完全解决在\cite{mp1,pak}。本文主要在以下两个方面取得了进展：第一，把\cite{mp1,pak}的结果翻译成中心方程代数几何的语言。在此基础上，我们得到了中心条件的新信息，特别是显著地推广了\cite{broy}的结果。其次，我们研究了“第二Melnikov系数”（中心方程的二阶近似），表明在许多情况下，消失的时刻，这些系数是足够的，以完全表征中心。
2014-07-06 math.CA math.CV math.DS
Floquet Theory for Quaternion-valued Differential Equations
本文描述了四元数值微分方程的Floquet理论。给出了具有周期系数的线性QDE基本矩阵的Floquet标准形，并据此研究了四元数周期系统的稳定性。作为Floquet理论的一个重要应用，我们讨论了四元数值Hill方程的稳定性。最后给出了算例来说明所提出的结果。
2019-02-26 math.CA
On the Group Classification of Systems of Two Linear Second-Order Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients
本文给出了两个二阶常系数线性常微分方程组群分类的完备性。新的情况下，扩展了在文献中所做的。这些情况对应的类型的方程的系数矩阵的交换属性相对于因变量和一阶导数在所考虑的系统不成立。对所得结果进行了讨论，并给出了推广到含有两个以上方程的二阶常微分方程线性系的注记。
2013-03-26 math.CA
Quadratic conservation laws and collineations: a discussion
每一个二阶自治微分方程组都可以用一个具有拉格朗日部分、一个有效势和一组广义力的自治完整动力学系统来描述。拉格朗日量的运动学部分定义了动力学度量，随后定义了位形空间中的黎曼几何。我们考虑一般的功能$I=K_{ab}(t,q^{c})\dot{q}^{a}\dot{q}^{b}+K_{a}(t,q^{c})\dot{q}% ^{a}+K(t,q^{c})$，并要求二次第一积分条件$dI/dt=0$不涉及任何类型的对称李或诺特。条件$dI/dt=0$导致涉及系数$K_{ab}% (t,q^{c}),K_{a}(t,q^{c}),K(t,q^{c})$的方程组，其解将产生自治微分方程的原始系统的所有可能的二次第一积分。我们表明，新的方程组与完整系统的二次第一积分的几何collineations的动力学度量，特别是与Killing张量的二阶。我们简要地考虑各种结果有关的Killing张量的二阶，并证明了一个通用的公式，给出了在一个平坦的动力学度量的情况下，通用的Killing张量的向量的特殊投影代数的动力学度量。这建立了由动力学度量定义的几何与原始微分方程系统的二次第一积分之间的联系。
2018-07-25 gr-qc math-ph math.CA
On asymptotic properties of solutions to fractional differential equations
给出了Caputo分数阶微分方程解的一些明显的渐近性质。首先，我们证明了FDE的非平凡解不能比$t^{-α}$更快地收敛到不动点，其中$α$是FDE的阶。然后，我们引入了Mittag-Leffler稳定性的概念，它适用于分数阶系统。接下来，我们使用这个概念来描述的渐近行为的两种方法：李雅普诺夫的第一种方法和李雅普诺夫的第二种方法。最后，讨论了利普希茨条件、稳定性和衰减速度、轨迹分离与标量FDE的关系。
2018-10-31 math.CA
Matrix Biorthogonal Polynomials: eigenvalue problems and non-Abelian discrete Painlevé equations
本文利用矩阵双正交多项式的黎曼-希尔伯特问题，在复平面上的适当的曲线上进行跳跃，并将其应用于求解正交多项式及其第二类函数的Sylvester微分方程组。为了这个目的，西尔维斯特型微分皮尔逊方程的矩阵的权重被证明是有用的。几个应用程序中，以增加复杂性。首先，一般性讨论非阿贝尔Hermite双正交多项式在实数线，理解为那些的权重矩阵是一个解决方案的Sylvester型皮尔逊方程系数一阶矩阵多项式，给出。所有这些应用于讨论导致具有矩阵特征值的二阶线性微分算子的本征值问题的可能情形。接下来讨论非线性矩阵差分方程。首先，对于一般的Hermite情形，得到了递归系数的一般非线性关系（非平凡的，因为集合的非交换性）。在下一个更高难度的情况下，皮尔逊方程中允许二次多项式，但通过只考虑左皮尔逊方程来简化讨论。在这种情况下，该措施的支持是在一个适当的分支的双曲线。的递归系数示出，以满足交替离散Painlevé I方程的非阿贝尔扩展。最后，讨论了三次多项式作为左皮尔逊方程中的系数的情况下，特征的重量矩阵。然而，为了简单起见，只允许奇数多项式。在这种情况下，一个新的和更一般的矩阵扩展的离散Painlevé I方程被发现。
2018-07-18 math-ph math.CA math.MP
Quadratic Differential Systems on $\mathbb{R}^{3}$ Having a Semisimple Derivation
本文给出了定义在$\mathbb{R}^{3}$上的齐次二次微分系统在中心仿射意义下的分类，证明了该系统至少有一个半单非奇异导数.证明了这类系统只存在四个仿射等价类。
2014-01-09 math.CA math.DS math.RA
