A new graph related to conjugacy classes of finite groups
Xingzhong You, Guohua Qian, Wujie Shi
本文对满足以下性质$P_4$的有限群进行了分类：对于任意4个不同的非中心共轭类，它们的代表阶是集合式的互素.
In this paper we classify the finite groups satisfying the following property $P_4$: their orders of representatives are set-wise relatively prime for any 4 distinct non-central conjugacy classes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Counting conjugacy classes and automorphism-conjugacy classes of ZM-groups
本文研究ZM-群中元素的共轭类与自同构共轭类，给出了两类等价关系下的类数及各类大小的计数结果。
Split extensions of group with infinite conjugacy classes
我们刻画了群的分裂扩张具有无穷共轭类（或ICC，即除1外的所有共轭类都是无穷的）的群性质。
Wreath product of groups with infinite conjugacy classes
证明了群的圈积具有无穷共轭类的群性质
On extensions of group with infinite conjugacy classes, I
我们刻画了具有无穷共轭类（或ICC，其中除1外的所有共轭类都是无穷的）的某些特定群的扩张的群性质;即阿贝尔群、无中心群、ICC群或字双曲群的扩张。
Conjugacy classes in parabolic subgroups of general linear groups
本文证明了有限一般线性群的极大抛物子群中的幂幺共轭类数与较小维数的各种抛物子群中的幂幺共轭类数之间的关系式。我们推广了这个公式，并推导出一些推论，特别是，我们表示的数量共轭类的unitriangular矩阵在一个有限域的数量幂单共轭类的极大抛物子群在同一领域。我们证明了如何计算小维数的抛物子群中幂幺共轭类的个数。
On the number of conjugacy classes of a permutation group
本文证明了任意次数为$n \geq 4$的置换群至多有$5^{(n-1)/3}$共轭类.
It is proved that every finitely generated profinite group with fewer than $2^{\aleph_0}$ conjugacy classes of elements of infinite order is finite
A lower bound for the number of conjugacy classes of a finite group
每一个其阶可被素数$p$整除的有限群至少有$2 \sqrt{p-1}$共轭类。
On conjugacy classes of GL(n,q) and SL(n,q)
设GL（n，q）是q元域上n × n可逆矩阵群，SL（n，q）是q元域上行列式为1的n × n矩阵群.证明了GL（n，q）中任意两个非中心共轭类的乘积至少是q-1个不同共轭类的并，SL（n，q）中任意两个非中心共轭类的乘积至少是$\lceil\frac{q}{2} \rceil$个不同共轭类的并.
Products of conjugacy classes in $SL_2(R)$
本文针对SL₂(R)中的共轭类乘积问题，提出了计算任意n元组共轭类乘积的方法，解决了该代数结构下共轭类组合运算的计算问题
Finite groups have even more conjugacy classes
在他的论文“有限群具有许多共轭类”（J. London Math. Soc（2）46（1992），239-249）中，L. Pyber证明了迄今为止最好的一般下界的数量共轭类的一个有限群的顺序组。在本文中，我们加强了Pyber的文件中的主要结果。
Finite Groups With Many Product Conjugacy Classes
我们对所有有限群G进行分类，使得G的任意两个非逆共轭类的乘积总是G的共轭类。我们还对所有的有限群G进行了分类，对于G，任何两个G-共轭类的乘积都不是G的模中心的逆，它们又是G的共轭类。
For simple algebraic groups defined over algebraically closed fields of good characteristic, we give upper bounds on the covering numbers of unipotent conjugacy classes in terms of their (co)ranks and in terms of their dimensions.
Some problems about products of conjugacy classes in finite groups
本文总结了与共轭类乘积或幂中类数量相关的有限群非单性、可解性及正规结构的结果，并收集了部分尚未完全解决的问题。
Morse theory and conjugacy classes of finite subgroups II
本文构造了一个双曲群，它具有无穷多个有限阶元的共轭类。我们还使用了一个版本的莫尔斯理论与高维水平细胞和使用处理取消参数产生的CAT（0）群的子群的其他例子，无限多共轭类的有限阶元素。
Powers of conjugacy classes in a finite group
本文研究有限群中共轭类的幂为单个或两个共轭类之并对群可解性的影响，并证明这些条件可由字符表判定。
Breaking points in the poset of conjugacy classes of subgroups of a finite group
本文确定了子群共轭类的偏序集具有断点的有限群。这导致了广义四元数$2$ -群的一个新的特征。本文还研究了这一性质的推广。
Symmetric groups and conjugacy classes
设S_n是n个字母上的对称群。固定n> 5。对任意非平凡的$α,β\in S_n$，我们证明了共轭类$α^{S_n}$和$β^{S_n}$的乘积$α^{S_n}β^{S_n}$决不是共轭类.此外，如果n不是偶数并且$n$不是3的倍数，则$α^{S_n}β^{S_n}$是至少三个不同共轭类的并集。我们还描述了元素$α,β\in S_n$的情况下，当$α^{S_n}β^{S_n}$是工会的两个不同的共轭类。
Products of conjugacy classes of the alternating group
设A_n是n个字母的交错群.当n>5时，我们描述了A_n中的元素alpha，beta，当alpha^{A_n} beta^{A_n}是至多四个不同共轭类的并时.
Twisted conjugacy classes of the unit element
研究了单位元在不同群中的扭共轭类。Fel'shtyn和Troitsky证明了阿贝尔群的单位元的扭共轭类是每个自同构的子群。研究了单位元的扭共轭类对每个自同构（内自同构）都是子群的群的结构。
Groups with exactly two conjugacy classes
利用代数闭群的概念，证明了存在可数的无挠的群，它恰好有两个共轭类。
Homogeneous products of conjugacy classes
设$G$是有限群，且$a\in G$ .设$a^G=\{g^{-1}ag\mid g\in G\}$是$a$在$G$中的共轭类。假设$a^G$和$b^G$是$G$的共轭类，其性质是${\bf C}_G(a)={\bf C}_G(b)$。则$a^G b^G$是共轭类当且仅当$[a,G]=[b,G]=[ab,G]$和$[ab,G]$是$G$的正规子群.
Finite 2-groups with odd number of conjugacy classes
本文考虑具有奇数个实共轭类的有限2-群。一方面证明了如果$k$是小于24的奇自然数，则只有1000个有限2-群具有恰好$k$实共轭类.另一方面，我们构造了无穷多个具有25个实共轭类的有限2-群。这两个结果证明使用亲$p$技术，特别是，我们使用Kneser分类半简单的$p$ -进代数群。
In this paper, we study the structure of finite groups with a large number of conjugacy classes of $p$-elements for some prime $p$. As consequences, we obtain some new criteria for the existence of normal $p$-complements in finite groups.
On nilpotent groups and conjugacy classes
设$G$是幂零群，$a\in G$ .设$a^G=\{g^{-1}ag\mid g\in G\}$是$G$中$a$的共轭类。假设$a^G$和$b^G$是$G$的共轭类，具有$|a^G|=|b^G|=p$的性质，其中$p$是奇素数。设置$a^G b^G=\{xy\mid x\in a^G, y\in b^G\}$。则$a^G b^G=(ab)^G$或$a^G b^G$是至少$\frac{p+1}{2}$不同共轭类的并集。作为前面结果的应用，给定任意幂零群$G$和任意大小为$p$的共轭类$a^G$，我们用$G$的共轭类描述了$a^G$的平方$a^G a^G$.
Topological properties of Ad-semisimple conjugacy classes in Lie groups
证明了连通李群$G$中的Ad-半单共轭类是$G$的闭嵌入子流形.证明了若$α:H\to G$是连通李群的同态，且$α$的核在$H$中是离散的，则对于$G$中的Ad-半单共轭类$C$，$α^{-1}(C)$的每个连通分支都是$H$中的共轭类.证明了实李代数中伴随轨道的相应结果。
For a finite group $G$, we consider the problem of counting simultaneous conjugacy classes of $n$-tuples and simultaneous conjugacy classes of commuting $n$-tuples in $G$. Let $α_{G,n}$ denote the number of simultaneous conjugacy classes of $n$-tuples, and $β_{G,n}$ the number of simultaneous conjugacy classes of commuting $n$-tuples in $G$. The generating functions $A_G(t) = \sum_{n\geq 0} α_{G,n}t^n,$ and $B_G(t) = \sum_{n\geq 0} β_{G,n}t^n$ are rational functions of $t$. This paper concern studied of normalized functions $A_G(t/|G|)$ and $B_G(t/|G|)$ for finite $p$-groups of rank at most $5…
Squares of real conjugacy classes in finite groups
本文研究有限群中实共轭类平方的结构，证明满足特定平方形式的共轭类生成可解正规子群，并完全刻画其结构及相应群类。
Conjugacy classes and finite $p$-groups
设$G$是一个有限的$p$ -群，其中$p$是一个素数，而$a\in G$ .用$\Cl(a)=\{gag^{-1}\mid g\in G\}$表示$G$中$a$的共轭类。假设$|\Cl(a)|=p^n$。则$\Cl(a)\Cl(a^{-1})=\{xy\mid x\in \Cl(a), y\in \Cl(a^{-1})\}$是至少$n(p-1)+1$的不同共轭类的联合，其中$G$。
Morse theory and conjugacy classes of finite subgroups
我们构造了一个CAT（0）群，它包含一个具有无穷多个有限阶元共轭类的非线性表示子群。与前面的例子（基于直角Artin群）不同，我们的环境CAT（0）群不包含任何秩为3的自由阿贝尔子群。我们还构造了具有无穷多个有限阶元素共轭类的映射类群、Aut（F）和Out（F）中的F_n型群的例子。
A group is nested if the centers of the irreducible characters form a chain. In this paper, we will show that there is a set of subgroups associated with the conjugacy classes of group so that a group is nested if and only if these subgroups form a chain.
Finite groups have more conjugacy classes
证明了对每个$ε> 0$都存在一个$δ> 0$，使得每个$n \geq 3$阶群至少有$δ\log_{2} n/{(\log_{2} \log_{2} n)}^{3+ε}$共轭类.这使Pyber和Keller的早期结果更加尖锐。Bertram推测是否每个$n$阶的有限群都有多于$\log_{3}n$的共轭类。对于具有平凡可解根式的群，我们对伯特伦的问题给出了肯定的回答。
A lower bound for the number of conjugacy classes of finite groups
2000年，L. Héthelyi和B. Külshammer证明了，如果$p$是一个素数划分有限可解群$G$的阶，那么$G$至少有$2\sqrt{p-1}$共轭类。在本文中，我们证明了，如果$p$是大的，结果仍然适用于任何有限群。
On the number of conjugacy classes of $π$-elements in finite groups
设$G$是有限群，$π$是素数集.证明了如果$G$中$π$ -元的共轭类的个数大于$5/8$乘以$|G|$的$π$ -部分，则$G$具有满足$G$中$π$ -元的每个共轭类的交换Hall $π$ -子群.这推广了W. H.古斯塔夫森
Upper bounds on the number of conjugacy classes in unitriangular groups
给出了有限域上单三角矩阵群$U_n(q)$共轭类个数的一个新的上界。我们还计算了类似的上界为每个组的下中心序列的$U_n(q)$。
Let $G$ be a primitive permutation group of degree $n$ with nonabelian socle, and let $k(G)$ be the number of conjugacy classes of $G$. We prove that either $k(G)<n/2$ and $k(G)=o(n)$ as $n\rightarrow \infty$, or $G$ belongs to explicit families of examples.
In analogy to the disjoint cycle decomposition in permutation groups, Ore and Specht define a decomposition of elements of the full monomial group and exploit this to describe conjugacy classes and centralisers of elements in the full monomial group. We generalise their results to wreath products whose base group need not be finite and whose top group acts faithfully on a finite set. We parameterise conjugacy classes and centralisers of elements in such wreath products explicitly. For finite wreath products, our approach yields efficient algorithms for finding conjugating elements, conjugacy c…
Conjugacy classes of trialitarian automorphisms and symmetric compositions
本文考虑的试探自同构是任意域上D_4型伴随典型群的3阶外自同构。在8维二次空间上建立了它们的共轭类与对称合成的相似类之间的一一对应关系。利用已知的对称合成分类，我们区分了代数闭域上的两类共轭trialitarian自同构。对于I型，不动点群是G_2型的，而对于II型试探自同构，它是A_2型的。
Conjugacy classes and characters for extensions of finite groups
令$H$是有限群$Q$被有限群$G$的扩展。受Orbifolds上的对偶定理结果的启发，我们描述了映射到$Q$的相同共轭类的$H$的共轭类的数目。进一步证明了$G$特征标间正交关系的推广。
In this paper, we set $η(G)$ to be the number of conjugacy classes of maximal cyclic subgroups of $G$. We prove that if $G$ is a $p$-group of order $p^n$ and nilpotence class $l$, then $η(G)$ is bounded below by a linear function in $n/l$.
Let $G$ be a finite group. This expository article explores the subject of commuting probability in the group $G$ and its relation with simultaneous conjugacy classes of commuting tuples in $G$. We also point out the relevance of this topic in context of topology where similar problems are studied when $G$ is a Lie group.
Expansion of conjugacy classes in PSL(2,q)
对于G=PSL（2，q）中的任意共轭类C，我们计算C^2，并讨论C是否包含生成G的乘积为1的元素的三元组。此外，我们确定G中的哪些元素可以写为生成G的两个共轭元的积。
Conjugacy classes of solutions to equations and inequations over hyperbolic groups
本文研究了无挠双曲群上的方程组和不等式组的解的共轭类，并描述了一种算法来识别这样一个方程组是否存在多个共轭类的解.介绍了双曲群的不变子群类，这类子群是研究这类方程的基础。我们应用我们的结果来枚举一个挠自由双曲群的不变子群。
In this paper we consider the {\em conjugacy stability} property of subgroups and provide effective procedures to solve the problem in several classes of groups. In particular, we start with free groups, that is, we give an effective procedure to find out if a finitely generated subgroup of a free group is conjugacy stable. Then we further generalize this result to quasi-convex subgroups of torsion-free hyperbolic groups and finitely generated subgroups of limit groups.
Derived Length and Products of Conjugacy Classes
设$G$是超可解群，$A$是$G$的共轭类.观察到对于某个整数$η(AA^{-1})>0$，$AA^{-1}=\{a b^{-1}\mid a,b\in A\}$是$G$的$η(AA^{-1})$不同共轭类的并集。设置${\bf C}_G(A)=\{g\in G\mid a^g=a\text{for all} a\in A\}$。则$G/{\bf C}_G(A)$的导出长度小于或等于$2η(A A^{-1})-1$。
Conjugacy Classes of Centralizers in $G_2$
令$G$是特征为$\neq 2,3$的域$k$上的$G_2$类型的代数群。本文计算了各向异性$G_2$中半单元的中心化子。利用这些，我们明确地表明，有六个共轭类的中心化的紧实型的$G_2$。
Subracks and second homology of the conjugacy classes of finite projective special linear groups of degree two
基于Dickson子群定理描述PSL(2,q)共轭类子rack，确定其极小非交换子rack，给出完全群共轭类关联群与Schur乘子关系的一般结果，进而明确q>3时PSL(2,q)共轭类关联群及二阶同调。
On the distribution of conjugacy classes between the cosets of a finite group in a cyclic extension
设G是有限群，H是正规子群，使得G/H是循环群.给定G的一个共轭类g^G，我们定义它的中心化子群为HC_G（g）.设K使得H \le K \le G.我们证明了K中包含的G-共轭类（其中心化子群为K）均匀分布在K中H的陪集之间。这个结果的证明是完全初等的。作为应用，我们找到了K在其自身作用下的共轭类数的表达式，其形式为仅与G的作用相关的量。
Bounds on the number of conjugacy classes of the symmetric and alternating groups
设$G$是具有Sylow子群$P_1,\ldots,P_n$的有限群，$k(G)$表示$G$的共轭类的个数. Pyber问是否$k(G) \leq \prod_{i=1}^n k(P_i)$对所有有限群$G$。借助于GAP，我们证明了Pyber不等式对所有对称交错群成立.
The semisimple conjugacy classes in the symplectic groups
本文确定了辛群${\rm Sp}(2m,F)$中半单元的共轭类，其中$F$是非$2$的任意特征域.这封信最初是2006年3月23日G.E.饰Cheryl E.他的作品是在他的许可下复制的。
For a simple algebraic group $G$ over an algebraically closed field, we study products of normal subsets. For this we mark the nodes of the Dynkin diagram of $G$. We use two types of labels, a binary marking and a labeling with non-negative integers. The first is used to recognize large conjugacy classes which appear in a product of two conjugacy classes while the second is used to keep track of multiplicities of regular diagrams. In particular, we formulate sufficient conditions in terms of marked diagrams, for a product of normal subsets in $G$ to contain regular semisimple elements.
Finite groups with conjugacy classes number one greater than its same order classes number
设$k(G)$是有限群$G$的共轭类数，$π_e(G)$是$G$中元素的阶的集合.则存在非负整数$k$使得$k(G)=|π_e(G)|+k$ .我们称这样的群为$co(k)$群。本文对有限$co(1)$群进行了分类。它们同构于以下基团之一：$A_5, L_2(7), S_5, Z_3, Z_4, S_4, A_4$、$D_{10}, Hol(Z_5)$或$Z_3\rtimes Z_4$。
In this paper, we set $η(G)$ to be the number of conjugacy classes of maximal cyclic subgroups of a finite group $G$. We compute $η(G)$ for all metacyclic $p$-groups. We show that if $G$ is a metacyclic $p$-group of order $p^n$ that is not dihedral, generalized quaternion, or semi-dihedral, then $η(G) \ge n-2$, and we determine when equality holds.
Induced conjugacy classes, prehomogeneous varieties, and canonical parabolic subgroups
我们推广的概念，诱导共轭类的还原组，介绍了由Lusztig和Spalanche的幂等类，任意类。研究了准齐次仿射空间的等变纤维化的性质，特别是相对不变式的存在性。我们还检测准齐次仿射空间的典范抛物子群的subjectivents附加到Jacobson-Morozov意义下的约化群的元素。这些结果是使Arthur-Selberg迹公式的几何展开更加明确的先决条件。
Squares of Conjugacy Classes in Alternating Groups
本文将对称群中共轭类平方覆盖非平凡元素的结论推广至交错群，给出相应条件。
Conjugacy classes of finite groups and graph regularity
给定一个有限群$G$，用$Γ(G)$表示其顶点是$G$的非中心共轭类的不同大小的简单无向图，并设$Γ(G)$的两个顶点相邻当且仅当它们不是互质数.本文证明了：若$Γ(G)$是一个具有$k\geq 1$的$k$正则图，则$Γ(G)$是一个具有$k+1$顶点的完全图.
z-Classes and Rational Conjugacy Classes in Alternating Groups
本文计算了对称群S_n（n ≥ 3）和交错群A_n（n ≥ 4）中Z-类（中心化子的共轭类）的个数。证明了S_n的共轭类数与z-类数之差是由n-2中1和2不出现的限制分拆决定的。并且，在交错群的情况下，它由n-3的那些限制划分确定，这些限制划分的所有部分都是不同的，奇数的，并且其中1（和2）不作为其部分出现，以及误差项。误差项由n的每个部分都是不同的、奇数的和完满平方的那些分区给出。进一步证明了A_n的有理值不可约复特征标的个数与有理共轭类的个数相同。
Triangles in the graph of conjugacy classes of normal subgroups
研究有限群正规子群共轭类图无三角形或恰有一个三角形时的结构，给出了相应的刻画。
The geometry of twisted conjugacy classes in wreath products
本文在Eskin，Fisher和Whyte最近工作的基础上给出了一个几何证明，证明了只有当$n$可被2或3整除时，点灯群$L_n$对任何自同构$\vp$都有无穷多个扭曲共轭类，这一证明最初是由Gonçalves和Wong证明的.我们确定了几类有限群$G$，包括对称群和某些幂零群幂群的圈积$G \wr \Z$何时具有相同的性质。
Twisted conjugacy classes in Chevalley groups
证明了零特征域$F$上的Chevalley群具有$R_{\infty}$性质，如果$F$具有自同构的扭群或$F$是$\mathbb{Q}$上的有限超越度的代数闭域.由此得到单位元的扭共轭类$[e]_φ$是Chevalley群的子群当且仅当$φ$是中心自同构.
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