关于Harris-Kesten定理的一个注记

A note on Harris' ergodic theorem, controllability and perturbations of harmonic networks

We show that elements of control theory, together with an application of Harris' ergodic theorem, provide an alternate method for showing exponential convergence to a unique stationary measure for certain classes of networks of quasi-harmonic classical oscillators coupled to heat baths. With the system of oscillators expressed in the form $\mathrm{d} X_t = A X_t \,\mathrm{d} t + F(X_t) \,\mathrm{d} t + B \,\mathrm{d} W_t$ in $\mathbf{R}^d$, where $A$ encodes the harmonic part of the force and $-F$ corresponds to the gradient of the anharmonic part of the potential, the hypotheses under which w…

再论马尔可夫链的Harris遍历定理

Yet another look at Harris' ergodic theorem for Markov chains

本文给出了马尔可夫链的Harris遍历定理的一个变形的初等证明。这个定理，可以追溯到50年代，基本上说，一个马尔可夫链是唯一遍历，如果它允许一个“小”集，这是访问无限频繁。这给出了一个扩展的想法Doeblin的无界状态空间设置。通常这是通过找到一个具有“小”水平集的李雅普诺夫函数来建立的。这个问题已经研究了许多作者（cf. Harris，Hasminskii，Nummelin，Meyn and Tweedie）.如果李雅普诺夫函数足够强，则在加权上确界范数中存在谱间隙（参见图1）。Meyn和Tweedie）。传统的证明这一结果依赖于分解的马尔可夫链到远足远离小集和仔细分析的指数尾的长度，这些远足。还有其他的变体，它们利用了泊松方程，或致力于得到显式常数。本证明是非常直接的，而是依赖于引入一个家庭的等价加权范数索引的参数$β$，并作出适当的选择，这个参数，允许结合在一个非常基本的方式的两个成分（存在的李雅普诺夫函数和不可约），这是至关重要的，在获得一个频谱间隙。这个证明的最初动机是作者对Wasserstein度量中的谱隙的研究。本说明中的证明是我们在全变差设置中推理的一个版本，我们使用该设置来指导arXiv：math/0602479中的计算。虽然我们最初是为此目的编写这份报告的，但我们希望它本身将引起人们的兴趣。