Braid Groups of the Sun Graph
Alice Neels, Stephen Privitera
在这篇文章中，我们计算了某些不可收缩图的n-串辫群。我们使用A. Abrams，F. Connolly和M. Doig结合Van Kampen定理证明了这些结果。
In this article we calculate the n-string braid groups of certain non-contractible graphs. We use techniques from the work of A. Abrams, F. Connolly and M. Doig combined with Van Kampen's Theorem to prove these results.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Braid presentation of spatial graphs
我们定义的辫子表示的边导向的空间图作为一个自然的推广辫子表示的导向链接。我们证明了每个空间图都有一个辫子表示。对于定向链环，已知辫状指数等于塞弗特圆的最小数目。我们表明，类比不适用于空间图。
Bisected vertex leveling of plane graphs: braid index, arc index and delta diagrams
本文引入了一个平面图的二等分顶点拉平。使用这种平面嵌入，我们提出了著名的上界的最小交叉数的辫子指数$b(L)$和弧指数$α(L)$的任何结或非分裂链接$L$，这是$b(L) \leq \frac{1}{2} c(L) + 1$和$α(L) \leq c(L) + 2$的初等证明。我们还找到了$L$的delta图的最小交叉数的一个二次上界。
Characteristics of graph braid groups
利用图论不变量给出了有限图上的$n$ -辫群和纯2-辫群的第一同调的计算公式.作为直接结果，一个图是平面的当且仅当图上的$n$ -辫群的第一同调是无挠的，并且关于图上的纯2-辫群的第一同调的定理在\cite{FH}中是可验证的.我们发现了图辫群的更多的特征：可平面图上的$n$ -辫群和任意图上的纯2-辫群都有一个关系子是交换子的字的表示，可平面图上的2-辫群和纯2-辫群都有一个关系子是交换子的表示.后者是一个猜想在\cite{FS2}，所以我们提出了一个类似的猜想更高的辫子指数。
Recognizing trace graphs of closed braids
一个封闭的辫子在一个坚实的环面，我们相关联的轨迹图在加厚环面在这样一种方式，封闭的辫子是同位素的当且仅当他们的轨迹图可以相关的三面体和四面体移动。对于一个固定数量的股封闭的辫子，我们认识到迹图的同伦和三面体的移动在多项式时间相对于辫子的长度。
The algebraic structure of hyperbolic graph braid groups
本文研究了 $3$ 股图形辫群的字双曲性，证明了 sun 图的 $3$ 股辫群是自由的，并为大多数 pulsar 图的 $3$ 股辫群包含曲面子群提供了简单证明及额外的结构定理。
Graphical Constructions for the sl(3), so(3) and G2 Invariants for Virtual Knots, Virtual Braids and Free Knots
我们构造了虚结点的Kuperberg sl（3）和G2不变量的图值类似物。经典纽结的sl（3）或G2不变量的限制与通常的Homflypt sl（3）不变量和G2不变量一致。对于虚拟节点和图形，这些不变量提供了新的图形信息，允许证明极小定理，并为自由节点（抽象Reidemeister移动的无方向和无标记高斯码）构建新的不变量。这种方法的一个新的特点是，一些结是足够的复杂性，他们评估自己的意义上说，不变的是结本身被视为一个组合结构。本文将这些结构推广到虚拟辫子，并讨论了与原来的彭罗斯括号图着色的关系。
Graph braid groups and right-angled Artin groups
本文给出了一个图的辫子群为直角Artin群且辫子指数为$\ge 5$的充要条件。为了具有必要部分，将图组织成小类，以便直角Artin群的同调或上同调特征之一可以应用。最后证明了一个图是平面图当且仅当它的2-辫群的第一同调是无挠的，并将$n$ -辫群的相应陈述作为一个猜想，同时也给出了一些关于其指数为$\le 4$的辫群是直角Artin群的图的证明.
Graph 4-braid groups and Massey products
我们首先证明了拓扑上不含$Θ$形子图的图上的辫群具有仅与交换子有关的表示。然后利用离散莫尔斯理论和三重Massey积，证明了一个图拓扑不含四个指定图的充要条件是它的4-辫群是直角Artin群.
Checkerboard graph monodromies
我们关联一个开放的书与任何连接的平面棋盘图，从而提供了一个共同的扩展类的主要积极的辫子链接和积极的树一样的霍普夫管道。作为应用，我们证明了一个素数正辫闭包的链接类型是由与该辫相关联的链接图决定的。
3-braids with 4-valent vertices and knot invariant
利用群$G_n^3$和辫子的plat闭包构造经典纽结的图值不变量，通过修改群$G_n^3$定义从辫子群到带叶子的6价图的映射，得到图等价类模局部移动的纽结不变量。
Computing braid groups of graphs with applications to robot motion planning
我们设计了一个算法，写下图辫群的表示。发电机表示的实际运动的机器人移动没有碰撞在一个给定的图形。一个关键因素是一个新的运动规划算法，其复杂性是线性的边缘和机器人的数量平方。该算法表明所有轻可平面图的2-点辫群都有关系子是交换子的表示。
Embedding right-angled Artin groups into graph braid groups
我们构造了由图$Δ$定义的任意直角Artin群$G(Δ)$到图辫群的嵌入.辫群所需的股数等于$Δ$的色数。这种构造产生了一个嵌入在两股可平面图辫群中的双曲曲面子群的例子。
Spatial graph as connected sum of a planar graph and a braid
本文证明了每一个有限空间图都是一个可平面图的连通和，而平面图是一个森林，即有限棵树与一个缠结的不交并。由此我们得到任何有限空间图都是一个可平面图与一个辫子的连通和。利用这些分解，不难找到3-空间$\mathbb{R}^3$中空间图的基本补群的生成元集和定义关系。
Abrams's stable equivalence for graph braid groups
在他的博士论文中，Abrams证明了，对于一个自然数n和一个至少有n个顶点的图G，G的形变收缩核的n股配置空间收缩到一个紧的子空间，即离散化的n股配置空间，只要G满足两个条件：不同基本顶点之间的每条路径（顶点的次数不等于2）的长度至少为n+1条边，并且从顶点到其自身的不是零同伦的每条路径的长度至少为n+1条边。利用Forman的CW-复形的离散莫尔斯理论，我们证明了第一个条件可以放宽到只要求不同的基本顶点之间的每条路径的长度至少为n-1。
On the genericity of pseudo-Anosov braids II: conjugations to rigid braids
我们证明了辫群的类元是伪Anosov的，在以下意义下：在n个$\ge$ 3股辫群的Cayley图中，关于Garside的生成集，我们证明了当l趋于无穷大时，半径为l的球中伪Anosov辫子的比例以指数方式迅速趋于1.此外，与一个类似的概念的genericity，我们证明了一般的辫群的元素对，共轭搜索问题可以解决在二次时间。这两个结果背后的想法是，通用的编织物可以“容易地”结合成一个刚性的编织物。
Connectivity at Infinity for the Braid Group of a Complete Bipartite Graph
完全二部图的图辫群是图上点的位形空间的基本群，它是CAT（0）立方复形。我们结合分析的拓扑结构的链接的顶点在这个复杂的，隐藏的对称参数之间的描述，和已知的结果从文献中明确计算的确切程度，这些复杂的和组连接在无穷大。
On the second homology of planar graph braid groups
我们证明了可平面图的构形空间的第二同调是由三个原子图（单边圈图、三边星形图和四边θ图）在嵌入、不交并和边稳定操作下生成的.我们给出了一个非可平面图的例子，对于这个例子，这种说法是错误的。
The topological complexity of pure graph braid groups is stably maximal
证明了Farber关于图的构型空间的稳定拓扑复杂性的猜想。该猜想来自于最近对非球面空间拓扑复杂性的认识所得出的一般下界。我们的论点同样适用于更高的拓扑复杂性。
Topological Entropy of Surface Braids and Maximally Efficient Mixing
通过Nielsen-Thurston分类定理，辫子和动力学之间的深层联系导致了广泛的实际应用。辫子已被用于检测相干结构和海洋流动中的混合区域，驱动工业混合机的设计，情境化太妃糖拉拔机的演变，以及表征活性向列相中拓扑缺陷的混沌运动。在这些例子中，混合起着核心作用，与每个系统自然相关的辫子配备了一个有用的混合效率度量，即每次操作的拓扑熵（TEPO）。这引发了以下问题。编织物的最大混合效率是多少，什么编织物实现了这一点？答案取决于我们如何定义辫子。对于标准的Artin演示，具有与黄金和白银比率相关的混合效率的众所周知的编织物已被证明是最大的。然而，它是富有成效的考虑表面辫子，辫子的自然推广，与Artin一样编织生成器的嵌入式图形构建的演示文稿。在这项工作中，我们介绍了一个有效的和优雅的算法来寻找拓扑熵和TEPO的任何配对的可定向曲面和平面嵌入图的表面辫子。在无数可能的图形和曲面中，可以作为晶格嵌入到$\mathbb{R}^2$中的图形是一种简单的、高度对称的选择，并且产生的辫子更自然地模拟了平面上点的运动。我们广泛地搜索平面格图上的最大混合效率辫子，并检查一个新的候选辫子，我们推测有这个最大的属性。
Generalizations of the groups $G_{n}^{k}$: graphs, moduli spaces, algebraic geometry, spherical braids
本工作将$G_n^k$理论推广到任意超图，结合球形辫子的模空间分层研究相关群的映射性质，并提出其在阿贝尔簇上适用性的待解决问题。
Representation asymptotics in the homology of pure graph braid groups
该研究针对图的有序构型空间同调问题，给出了任意域上渐近Betti数的显式公式，并在特征零情形下得到对称群不可约表示同调渐近重数的显式公式，推进了表示稳定性相关研究。
Quasi-isometry classification of certain graph $2$-braid groups and its applications
本文利用交复形理论完成周长≤1的图2-辫群拟等距分类，给出其与右角Artin群拟等距的充分条件，并提出判定两棵树4-辫群拟等距的算法。
Manifold models for hyperbolic graph braid groups on three strands
本文研究了超几何图辫群作为3维流形群的条件，证明B_3(Θ_5)是3维流形群，而m≥7时则不是。
Cubical structures and the large-scale geometry of graph braid groups
本文通过立方结构研究图辫群的大规模几何，揭示其超几何性、未扭曲表面子群及群论分解，分类其与自由群的准等距关系，并探讨图2-辫群的准等距性质及相对超几何性新现象。
On the genericity of pseudo-Anosov braids I: rigid braids
证明了在具有$n \geqslant 3$链的辫群的Cayley图的$l$ -球中，刚性伪Anosov辫子的比例独立于$l$有界于下。
Minimal asymptotic translation lengths of Torelli groups and pure braid groups on the curve graph
本文证明了亏格为$g$的曲面$S_g$的Torelli群$\mathcal{I}_g$在曲线图上的最小渐近平移长度渐近地表现为$1/g$，而映射类群$Mod(S_g)$表现为$1/g^2$ .我们还证明了纯辫群$PB_n$在曲线图上的最小渐近平移长度渐近地表现为$1/n$，而辫群$B_n$的行为则类似于$1/n^2$ .
On the stabilization of the topological complexity of graph braid groups
本文研究了图辫群拓扑复杂度的稳定性，证明大多数图的拓扑复杂度最终稳定在最大值，并通过三元顶点数量估计稳定范围。
Configuration spaces and braid groups on graphs in robotics
平面上不同标记点的配置空间在设计工业环境中自动引导车辆（机器人）的安全控制方案中具有实际意义。在这个公告中，我们考虑的问题的建设和分类的配置空间的图。与这些空间相关的拓扑数据（例如，维数、辫群）提供了控制问题复杂性的有效度量。空间本身是拓扑有趣的对象：我们表明，他们是$K(π_1,1)$空间的同调维数是有界的基本顶点的数量。因此，辫群是无扭转的。
Hierarchical geometry and right-angled Artin groups in graph braid groups
本文在图辫群的万有覆盖上构造显式因子系统，建立分层双曲群结构，给出自由阿贝尔子群最大秩的有限公式，并证明所有RAAG均可无扭曲嵌入，且对图2-辫群给出二分图限制与图论判据。
On the structure of braid groups on complexes
我们考虑有限单纯复形$X$上的辫群$\mathbf{B}_n(X)$，它是流形和图上的辫群的推广.我们指出了$X$的几何分解与它们对辫群的影响之间的关系，并提供了一种利用它们计算$\mathbf{B}_n(X)$的群表示的算法.作为应用，我们给出了$X$的曲面可嵌入性和平面性的完备判据，分别是辫群$\mathbf{B}_n(X)$的无挠性和它的交换化$H_1(\mathbf{B}_n(X))$。
Products of free groups inside graph braid groups
该研究针对图辫群的子群结构问题，在Świątkowski的自由阿贝尔子群结论基础上，证明可通过添加额外点得到同上同调维数的非阿贝尔自由群直积子群，并给出相关应用。
Diagrammatics for Coxeter groups and their braid groups
利用修饰的可平面图给出了Coxeter群和辫子2-群的么半群表示。这个演示扩展了Coxeter演示。我们推导出Coxeter群或辫群作用于范畴的一个简单判据。
Discrete Morse theory and graph braid groups
如果Gamma是任何有限图，则Gamma上n个点的未标号配置空间，记为UC^n（Gamma），是Gamma的n元子集的空间。Gamma在n股上的辫群是UC^n（Gamma）的基本群。我们应用离散版本的莫尔斯理论，这些UC^n（伽玛），任何n和任何伽玛，并提供了一个清晰的描述，在每种情况下的关键细胞。因此，我们可以计算出任何树的辫群的表示，对于任何数量的股。我们也给出了Ghrist的一个定理的简单证明：空间UC^n（Gamma）强形变收缩核到一个维数至多为k的CW复形上，其中k是Gamma中次数至少为3的顶点数（因此k与n无关）。
About presentations of braid groups and their generalizations
本文综述了辫子理论中一些较新的概念和结果，它们推广了辫子理论中的经典概念和结果。在这些概念中有各种部分辫子的逆幺半群。我们还观察到不同的介绍从标准的Artin介绍概括的辫子。也就是说，我们认为介绍了少量的发电机，Sergiescu图介绍和Birman-Ko-Lee介绍。V. V. Chaynikov关于奇异辫幺半群在Birman-Ko-Lee生成元中的字和共轭问题的工作也被描述。
Subdivisional spaces and graph braid groups
研究了有限胞腔复形$X$的位形空间的同调计算问题。我们继续观察$X$，连同它的细分，作为一个细分的空间-一种图表对象在一个类别的胞腔复形。在发展了一个版本的莫尔斯理论的子空间，我们分解$X$和显示的同源性的配置空间的$X$计算的派生张量积的Morse复的分解，一个类似的monoidal切除性质的因式分解同源。将这一理论应用到图的构型空间中，我们恢复了由于Escherwietkowski的胞腔链模型。我们的方法来推导这个模型增强了它与各种方便的功能，确切的序列，和模块结构，我们利用在众多的计算，旧的和新的。
Braid groups and right angled Artin groups
图X的n-弦辫群定义为空间X的n-点位形空间的基本群。该位形空间是有限维非球面空间。A. Abrams和R. Ghrist证明了如果X是平面的，那么这个辫群是直角Artin群.我们证明了他们的猜想，如果X是一棵树，其节点都位于X的一个单一的区间。
On the inverse braid monoid
逆辫幺半群描述了辫上的结构，其中串的数量不固定。因此，可以删除初始$n$的某些字符串。本文证明了基于辫群的许多性质和对象可以推广到逆辫幺半群上。即证明了自由群的部分单态包含在么半群中。这给出了字问题的一个解决方案。另一个解决方案是通过类似于Garside的方法获得的。我们也给出了类似的Artin表示与两个生成元和Sergiescu图表示。
Edge stabilization in the homology of graph braid groups
我们在图的配置空间上引入了一种新型的稳定化映射，它增加了占据边的粒子数。由边集生成的多项式环对同调模有诱导作用，并证明了这个同调模是同调模生成的.一个类似的经典同调和表示稳定的流形，这一结果意味着最终的多项式增长的贝蒂数。我们计算了这个多项式的确切次数，特别是验证了Ramos提出的一个上界。由于该作用源于一族连续映射，因此它提升为奇异链级别的作用，该作用比同调级别的作用包含严格更多的信息。我们证明了所得到的微分分次模在边环上几乎从来不是形式的。
Robertson's conjecture and universal finite generation in the homology of graph braid groups
本文提出 Robertson 猜想的范畴化版本，证明其与范畴图子式猜想可推出图构形空间同调的有限原子图生成性，并由既有结果推出 cographs 范畴的 Noetherian 性。
Garside theory and subsurfaces: some examples in braid groups
辫群中共轭问题的Garside理论解依赖于任何给定辫群的共轭类的特征子集的确定，例如滑动圈集。它被证实，在刚性编织物与固定数量的股，这组的大小是由一个多项式的编织物的长度的限制。在本文中，我们建议一个更精确的界限：刚性编织与$N$股和Garside长度$L$，滑动电路集应该有最多$C\cdot L^{N-2}$元素，为某些常数$C$。我们构建了一系列编织物，以实现这种潜在的最差情况。我们的示例辫子表明，具有大的滑动电路集是辫子的几何特性，因为我们的示例具有多个具有大的次表面投影的子表面;因此它们以多种方式“几乎可约”，并且以小的平移距离作用于曲线图。
A 1-parameter approach to links in a solid torus
对于实心环面中的有向链路，我们将加厚环面中的迹图以这样一种方式关联起来，即链路是同位素的当且仅当它们的迹图可以通过许多标准类型的移动来关联。关键部分是对链图的余维~2奇异性的研究。对于具有固定股数的闭合编织物，迹图可以被识别为等价，不包括相对于编织物长度在多项式时间内的一种类型的移动。
Divisor braids
研究了可定向闭曲面$Σ$上一类新的辫群.这些是某些流形的基本群，它们是$Σ$上的点的对称乘积和位形空间之间的混合;在规范理论中自然出现了一类例子，如$Σ$上复曲面纤维丛中涡旋的模空间。这些辫子群的元素，我们称之为除数辫子，有彩色的线，可以根据图$Γ$指定的规则相交。在有一个以上的每种颜色的链的情况下，我们表明，相应的辫子群承认作为一个中心的自由阿尔贝群$H_1(Σ;\mathbb{Z})^{\oplus r}$，其中$r$是颜色的数量，并描述其阿贝尔交换子的亚阿贝尔介绍。该计算关键地依赖于为每个图$Γ$在三流形$S^1 \times Σ$中产生（闭合除数辫子的）链接不变量。我们还描述了冯诺依曼代数与这些群体的环，熟悉的非交换几何。
Cluster braid groups of Coxeter-Dynkin diagrams
本文为任意有限Coxeter-Dynkin图引入交换广群，并证明其基本群同构于对应的辫群。
Finite subset spaces of graphs and punctured surfaces
拓扑空间X的第k个有限子集空间是X的大小不超过k的非空有限子集的空间exp_k X，拓扑化为X^k的商。这个构造是一个同伦函子，可以看作是X中不同无序点的构形空间的并。本文计算了连通图Gamma的有限子集空间的同调，并研究了两个连通图之间由映射φ：Gamma -> Gamma'诱导的映射（exp_k φ）_*.通过同伦函子性，结果也适用于穿孔曲面。辫群B_n可以看作是n个穿孔圆盘D_n的映射类群，它作用于H_*（exp_k D_n）.我们证明了这个作用的一个结构定理，证明了纯辫群的象在至多（（n-1）/2）层是类幂零的.
Diagrams for primitive cycles in spaces of pure braids and string links
欧几里得空间中的点的位形空间的基闭路空间可以被看作是高一维的欧几里得空间中的纯辫的空间。我们继续我们的研究，这样的空间Kontsevich的CDGA的图表和陈的迭代积分。我们构造了一个幂级数联络，它使得纯辫子空间的同调与图上的cobar构造之间存在一个霍普夫代数同构.它将迭代的Whitehead产品映射到三价树模IHX关系。作为应用，我们建立了Brunnian球面链环的Milnor不变量与某些Chen积分之间的对应关系。最后，我们表明，绘图诱导注射的同伦的配置空间的某个子模块到同伦的许多空间的高维字符串链接。我们猜想图在所有的有理同伦类上都是内射的。
Anti-trees and right-angled Artin subgroups of braid groups
证明了任意直角Artin群$G$允许拟等距群嵌入到由树的对向图定义的直角Artin群中。因此，$G$允许拟等距群嵌入到纯辫群和2-圆盘与2-球面的保面积同构群中，回答了Crisp-Wiest和M.卡波维奇另一个推论是纯辫群包含一个闭双曲流形群作为一个直到8维的拟等距嵌入子群。最后，我们证明了辫群的同构问题、共轭问题和隶属问题在群的n-表现子群类中是不可解的。
Quasi-isometrically embedded subgroups of braid and diffeomorphism groups
我们表明，一大类直角Artin群（特别是，那些与平面互补定义图）可以嵌入拟等距纯辫群和组的区域保持固定边界的磁盘的同构（相对于$L^2$ -范数度量），这延伸了Benaim和Gambaudo的结果谁给拟等距嵌入的$F\_n$和$\Z^n$的所有$n>0$。因此，我们也能够嵌入各种Gromov双曲群拟等距纯辫群和在的圆同态群的磁盘。例子包括双曲曲面群，这些曲面群沿循环子群的一些HNN-扩张和某个闭双曲3-流形的基本群。
Normal subgroups of the braid group and the metaconjecture of Ivanov
我们表明，许多正规子群的辫群模其中心，和映射类群的领域与标记点，有性质，他们的自同构和抽象的映射映射类群等领域。作为一个应用，我们建立了纯辫群的下中心序列和导出列中每一项的自同构群。我们还得到了Dyer-Grossman和Orevkov结果的新证明，证明了辫群的自同构群与它的换位子群的自同构群是同构的.然后，我们计算超椭圆约翰逊过滤中的每一项的自同构和抽象分解群，恢复了Childers对Torelli情况的结果。本文中使用的技术依赖于解决尼古拉·伊万诺夫的“区域图”的元概念，扩展了Brendle-Margalit的工作。
Braid-based architecture search
本文提出了一种基于编织理论的神经网络结构优化方法。本文介绍了基本的辫子理论，适用于神经网络的图形结构的描述。它示出了如何使用神经网络层之间的编织结构可以建立各种拓扑结构的网络。将基于编织理论的神经网络的操作与均匀深度神经网络和层之间具有不对应于编织物的排序的随机交叉的网络进行比较。结果表明，辫子为基础的网络在分类问题中的优势，可比的架构。
On graphic arrangement groups
有限单图$Γ$确定纯辫群的商$P_Γ$，称为图形排列群。我们使用之前与R联合工作中开发的方法，分析了通过删除顶点集定义的这些群的同态。兰德尔我们证明了，对于一个$K_4$ -自由图$Γ$，删除映射的乘积是内射的，嵌入$P_Γ$在自由群的乘积中。则$P_Γ$是剩余自由的、无挠的、剩余无挠幂零的，并且正确地作用在CAT（0）立方复形上。我们还表明$P_Γ$是同调有限型$F_{m-1}$，但不是$F_m$，其中$m$是$Γ$中$K_3$的拷贝数，除了在微不足道的情况下。将嵌入结果推广到4-团最多共享一条边的图，给出了$P_Γ$注入到$Γ$的最大团所对应的纯辫群的乘积中.我们给出的例子表明，这张地图可以注入在更一般的情况下。我们定义图辫群$B_Γ$为$P_Γ$通过$Γ$的自同构群的自然扩张，并将我们的同调有限性结果推广到这些群.
On the cycling operation in braid groups
循环运算是一种特殊的共轭运算，可以应用于Artin辫群中的元素，以减少它们的长度。它是辫群中共轭问题的常用解的一个关键成分。在他们关于辫子密码学的开创性论文中，Ko，Lee等人提出了{\it循环问题}作为辫群中的一个难题，这可能对密码学很有意义。在本文中，我们给出了一个多项式的解决方案，主要是通过显示，循环是满射，并使用结果Maffre这表明，在循环下的前像可以快速计算。这一结果也适用于每一个球型的Artin-Tits群。另一方面，辫群中的共轭搜索问题通常是利用辫群的左正规形，通过计算一些称为（左）超顶点集（左USS）的有限集来解决的。但我们同样可以使用右范式和计算右USS。共轭搜索问题的硬实例对应于具有大（左和右）USS的元素。人们可能会认为，即使某个元素有一个大的左USS，它也可能有一个小的右USS。我们表明，这是不是这种情况下，在重要的特殊情况下，刚性辫子。更确切地说，我们表明，左USS和右USS的一个给定的刚性辫子确定同构图，箭头颠倒，同构被定义使用迭代循环。我们猜想，同样是真实的每一个元素，不一定刚性，在辫群和Artin-Tits集团的球形类型。
Computing the Khovanov homology of 2 strand braid links via generators and relations
本研究拓展Murakami等人的相关构造，通过组合定义的有向三价平面图形式复形等价类范畴表示Khovanov-Rozansky同调，规避矩阵分解计算难题，实现任意参数下2股辫链环的n级Khovanov-Rozansky不变量计算，证实并拓展多项先前结果与猜想。
Extending Goldberg's Exact Sequence to Braid Groups of Graphs and Simplicial Complexes
该研究将Goldberg关于闭曲面纯辫群链映射核的定理推广到任意有限连通单纯复形，定义了弱Goldberg与Goldberg复形的概念，刻画了其等价条件，还分类了核平凡的复形并解决了例外曲面等情形。
Morse elements in Garside groups are strongly contracting
本文证明在具有循环中心的有限型 Garside 群模中心的 Cayley 图中，任意 Morse 元素的轴是强压缩的，并推论得出 Morse 元素在附加长度图上以斜驶方式作用。
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