The Microstates Free Entropy Dimension of any DT--operator is 2
Ken Dykema, Kenley Jung, Dimitri Shlyakhtenko
设μ是复平面上的任意Borel测度，且c > 0.若Z是Dykema和Haagerup定义的DT（μ，c）-算子，则Z的微观态自由熵维数为2
Suppose that μis an arbitrary Borel measure on the complex plane with compact support and take c > 0. If Z is a DT(μ,c)-operator as defined by Dykema and Haagerup, then the microstates free entropy dimension of Z is 2
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Notes on microstate free entropy of projections
研究了投影的微观状态自由熵，建立了它类似于自伴变量情形的基本性质。我们的主要贡献是通过自由熵的可加性来表征投影的对块自由度（定理4.1），在证明中，运输成本不等式起着重要的作用。我们还简要地讨论了自由压力与投影微观自由熵的关系。
The non-microstates free entropy dimension of DT-operators
Dykema和Haagerup引入了DT-算子类，并证明了每个DT-算子生成由两个生成元上的自由群生成的vonNeumann代数。本文证明了Voiculescu的非微观态自由熵维数对所有DT-算子都是2。
A Microstates Approach to Relative Free Entropy
我们定义并研究了一个相对自由熵量，它的性质类似于Voiculescu的相对自由熵Chi^*（. B）。我们的定义使用矩阵微观状态，不像他的定义，它涉及非交换的希尔伯特变换。我们证明了一个变量变换公式和一定的最大化结果，我们的数量。我们还展示了一个矩阵的自由熵与运营商的条目之间的连接，相对于代数的标量矩阵，与自由熵的条目的矩阵。
For certain generating sets of the subfactor pair $M\subset M\rtimes G$ where $G$ is a finite abelian group we prove an approximate inequality between their non-microstates free entropy dimension, resembling the Shreier formula for ranks of finite index subgroups of free groups. As an application, we give bounds on free entropy dimension of generating sets of crossed products of the form $M\rtimes(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\oplus\infty}$ for a large class of algebras $M$.
Some estimates for non-microstates free entropy dimension, with applications to $q$-semicircular families
给出了非微观态自由熵维数$δ^{*}(X_{1},..., X_{n})$的一般估计。如果$X_{1},..., X_{n}$生成一个扩散冯诺依曼代数，我们证明了$δ^{*}(X_{1},..., X_{n})\geq 1$。在$X_{1},..., X_{n}$的情况下，$q$ -半圆形变量介绍Bozejko和Speicher和$q^{2}n<1$，我们表明，$δ^{*}(X_{1},..., X_{n})>1$。我们还表明，对于$|q|<\sqrt{2}-1$，冯诺依曼代数生成的有限家庭的$q$ -高斯随机变量满足小泽的条件，因此是固体：任何扩散子代数的相对交换子必须是超有限的。特别地，当这些代数是因子时，它们是素的并且不具有性质$Γ$。
A Note about proving non-$Γ$ under a finite non-microstates free Fisher information Assumption
证明了在具有有限非微观自由Fisher信息的$W^{*}$ -概率空间中，若$X_{1},...,X_{n} (n >1)$是自伴的，则由它们生成的von Neumann代数$W^{*}(X_{1},...,X_{n})$不具有性质$Γ$（尤其是不服从性质）.这是Voiculescu关于微观状态自由熵的一个著名结果的模拟。我们还证明了有限非微观状态熵下的阶乘性。
In this paper, we extend the notion of microstate free entropy to the bi-free setting. In particular, using the bi-free analogue of random matrices, microstate bi-free entropy is defined. Properties essential to an entropy theory are developed, such as the behaviour of the entropy when transformations on the left variables or on the right variables are performed. In addition, the microstate bi-free entropy is demonstrated to be additive over bi-free collections provided additional regularity assumptions are included and is computed for all bi-free central limit distributions. Moreover, an orbi…
We show that in a tracial and finitely generated $W^\ast$-probability space existence of conjugate variables excludes algebraic relations for the generators. Moreover, under the assumption of maximal non-microstates free entropy dimension, we prove that there are no zero divisors in the sense that the product of any non-commutative polynomial in the generators with any element from the von Neumann algebra is zero if and only if at least one of those factors is zero. In particular, this shows that in this case the distribution of any non-constant self-adjoint non-commutative polynomial in the g…
In this paper, we extend the notion of non-microstate free entropy to the bi-free setting. Using a diagrammatic approach involving bi-non-crossing diagrams, bi-free difference quotients are constructed as analogues of the free partial derivations. Adjoints of bi-free difference quotients are discussed and used to define bi-free conjugate variables. Notions of bi-free Fisher information and non-microstate entropy are defined and properties of free entropy are extended to the bi-free setting.
Bi-Free Entropy with Respect to Completely Positive Maps
本文构造了关于完全正映射的非微观态双自由熵概念，通过扩展算子值双自由结构建立共轭变量，并将自由Fisher信息和熵扩展至该设置，证明在双R对角元素处取得极值。
Non-microstates free entropy dimension for groups
我们证明了对任意离散有限生成群G和任意自伴n元组X_1，.，G的群代数的生成元X_n，Voiculescu的非微观自由熵维数δ^*（X_1，.，X_n）恰好等于β_1（G）-β_0（G）+1，其中β_i是G的L^2贝蒂数.
Establishing strong 1-boundedness via non-microstates free entropy techniques
针对满足非素性、含Cartan子代数或Γ性质的迹von Neumann代数，利用非微状态自由熵技术找到特定扩散超有限子代数，给出其强1-有界性的简短证明。
Lower estimates on microstates free entropy dimension
通过证明某些自由随机微分方程有定常解，给出了某些$n$ -元组$X_{1},...,X_{n}$的微观状态自由熵维数的一个较低估计：我们证明了.通过证明某些具有解析系数的自由随机微分方程有定常解，给出了某些n元组X_{1}，.的微观状态自由熵维数的较低估计，X_{n}。特别地，我们证明了δ_{0}（X_{1}，.，X_{n} M=W^{*}（\dim_{M\bar{\otimes}M^{o}}，.，X_{n}）和V=\{（\partial（X_{1}），.，\partial（X_{n}））：\partial \in \mathcal{C} \}是导数A= \mathbb{C} [ X_{1}，. X_{n} ] \otimes A具有以下性质：\partial^{*} \partial（A）\subset A.我们证明，对于q足够小（取决于n）和X_{1}，.，X_{n}是一个q-半圆族，δ_{0}（X_{1}，.，X_{n}）>1。特别地，对于小q，q-变形自由群因子没有Cartan子代数。在我们的分析中，一个重要的工具是一个自由的模拟沃瑟斯坦距离和Fisher信息之间的不平等介绍了奥托和Villani（也研究了在自由的情况下，由Biane和Voiculescu）。
Free Entropy Dimension in Amalgamated Free Products
本文计算了超有限子代数上某些von Neumann代数的合并自由积中自然生成元的微观态自由熵维数。特别是，一些“异国情调”波帕代数发电机的自由群因素所示，具有预期的自由熵维数。我们还证明了微观态和非微观态的自由熵维数对于许多群的生成集是一致的。在沃尔夫冈·吕克的附录中，计算了某些群的合并自由积的第一个L^2-贝蒂数。
Fractal entropies and dimensions for microstate spaces, II
对于迹von Neumann代数中的自伴元x和$α= δ_0(x)$，我们计算$\mathbb H^α(x),$的界，其中$\mathbb H^α(x)$是$x.$的自由Hausdorff $α$ -熵。界是根据$\int \int_{\mathbb R^2 -D} \log |y-z| dμ(y) dμ(z)$的，其中$μ$是迹诱导的x的谱上的Borel测度，$D \subset \mathbb R^2$是对角线。我们计算类似的界限的自由Hausdorff熵的自由家庭的自伴。
Orbital approach to microstate free entropy
受Voiculescu的自由理论的启发，我们引入了非交换自伴随机变量（也适用于“超有限随机多变量”）的轨道自由熵$χ_orb$。除了它的基本性质外，还给出了$χ_orb$与通常的自由熵$χ$的关系.讨论了$χ_orb$的维数对应物$δ_{0,orb}$，得到了$δ_{0,orb}$与原自由熵维数$δ_0$的关系，并应用于$δ_0$本身.
Maximality of the microstates free entropy for R-diagonal elements
一个非交换非自伴随机变量z称为R-对角，如果它的 *-分布在与自由幺正元相乘时不变：如果幺正元w与z是 *-自由的，则z的 *-分布与wz的相同。使用Voiculescu的自由熵的微观状态定义，我们证明了R-对角元素的特征在于具有所有变量y中最大的自由熵，具有固定的分布y^*y。更一般地，设Z是d*d矩阵，其条目是非交换随机变量X_{ij}。则Z的元素族{ X_{ij} }的自由熵在所有Z中最大，且Z^*Z的分布是固定的，当且仅当Z是R-对角的，并且从标量d*d矩阵的代数中 *-free。本文的结果类似于我们的文件“一些最小化问题的自由模拟的Fisher信息”，其中我们认为同样的问题的框架内的自由熵的非微观状态定义的结果。
Microstates free entropy and cost of equivalence relations
我们定义了一个类似的Voiculescu的自由熵的n元组的酉（u_{1}，.，u_{n}），对M中的有单位元的扩散交换子代数B进行正规化.利用这个量，我们定义了自由维数δ_{0}（u_{1}，.，u_{n} \btw B）。此数字取决于（u_{1}，.，u_{n}）只在B上方“轨道当量”。特别地，如果R是[0，1]上由n个自同构α_{1}，..生成的可度量等价关系，α_{n}，设u_{1}，.，u_{n}是实现α_{1}，.，设M=W^{*}（[0，1]，R）中的L^ \infty函数在M中的标准拷贝为B.这样，我们得到了一个不变量δ（R）=δ_{0}（u_{1}，.，u_{n}，\btw B）的等价关系（R）。如果R是可树的，则δ（R）与R的成本C（R）在Gaboriau意义下一致。对于具有有限图的一般等价关系R，δ（R）\leq C（R）.利用自由维数的概念，我们定义了一个可测等价关系（或更一般的r-离散测度广群）的自同构的动力学熵不变量，并给出了例子。
Inequality for Voiculescu's free entropy in terms of Brown measure
研究了非自伴随机变量的Voiculescu微观状态自由熵。主要结果是，对微观态本征值的某些附加约束不会改变自由熵。我们的工具是最近由Haagerup和作者研究的Brown测度的随机正则化方法。作为一个简单的应用，我们给出了单个非自伴算子自由熵的一个上界。我们还证明了这个不等式对于Dykema和Haagerup最近提出的一类DT-算子是等价的。
The free entropy dimension of some $L^{\infty}[0,1]$-circular operators
在对角子代数的生成元存在的情况下，我们找到了一大类$L^{\infty}[0,1]$ -循环算子的微观态自由熵维数。
Fractal entropies and dimensions for microstate spaces
使用Voiculescu的概念的一个matricial微观状态，我们介绍分形维数和熵的有限集的自伴运营商在tracial冯诺依曼代数。我们表明，他们拥有类似于他们的经典前辈的属性。我们将这些新的量与自由熵和自由熵维数联系起来，并证明了自由豪斯多夫维数的一个修正形式是一个代数不变式。我们计算自由豪斯多夫维数的情况下，该集生成一个有限维代数或该集由一个单一的自伴。我们表明，自由的豪斯多夫维数成为添加剂的存在下，这样的集合。
A Free Stochastic Partial Differential Equation
得到了一类自由随机偏微分方程的平稳解。作为应用，我们证明了在共轭变量的类Lipschitz条件下，在R^ω可嵌入的条件下，非微观态和微观态的自由熵维数相等.这包括q-高斯随机变量的N元组，例如对于|q| N \leq 0.13。
We introduce a free probabilistic quantity called free Stein irregularity, which is defined in terms of free Stein discrepancies. It turns out that this quantity is related via a simple formula to the Murray--von Neumann dimension of the closure of the domain of the adjoint of the non-commutative Jacobian associated to Voiculescu's free difference quotients. We call this dimension the free Stein dimension, and show that it is a $*$-algebra invariant. We relate these quantities to the free Fisher information, the non-microstates free entropy, and the non-microstates free entropy dimension. In t…
An Elementary Proof of the Inequality $χ\leq χ^*$ for Conditional Free Entropy
本文为自由概率中联系 Voiculescu 两个熵类似物的不等式 $χ\leq χ^*$ 提供了一个不依赖随机微分方程与大偏差理论的初等证明，并将其推广到条件微观态和非微观态自由熵。
On Classical Analogues of Free Entropy Dimension
我们定义了一个古典概率模拟Voiculescu的自由熵维，我们将调用古典概率熵维的概率测度$\mathbb{R}^n$。我们证明了测度的古典概率熵维数与其它维数概念有关。首先，它可以被看作是一种分形维数。第二，如果一个扩展的Bochner的不等式的措施，要求这个措施周围的微观状态渐近满足经典的Bochner的不等式，那么我们表明，古典概率熵维控制Bochner不等式的最佳常数的增加率的措施正规化卷积与高斯定律的正规化被删除。引入了Bochner不等式的一个自由类比，并研究了相应的自由熵维数。我们证明了它大于或等于非微观态自由熵维数。
This paper is part of a series aiming at proving that the $\limsup$ and $\liminf$ variants of Voiculescu's free entropy coincide. This is based on a Laplace principle (implying a large deviation principle) for hermitian brownian motion on $[0,1]$. In the current paper, we show that microstates free entropy $χ(X_1,...,X_m)$ and non-microstate free entropy $χ^*(X_1,...,X_m)$ coincide for self-adjoint variables $(X_1,...,X_m)$ satisfying a Schwinger-Dyson equation for subquadratic, bounded below, strictly convex potentials with Lipschitz derivative sufficiently approximable by non-commutative pol…
We continue our study of when topological and measure-theoretic entropy agree for algebraic action of sofic groups. Specifically, we provide a new abstract method to prove that an algebraic action is strongly sofic. The method is based on passing to a "limiting object" for sequences of measures which are asymptotically supported on topological microstates. This limiting object has a natural poset structure that we are able to exploit to prove a max-min principle: if the sofic approximation has ergodic centralizer, then the largest subgroup on which the action is a local weak$^{*}$-limit of mea…
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