一类$L^{\infty}[0,1]$ -循环算子的自由熵维数

关于Banach-Mazur紧的度量熵

On the metric entropy of the Banach-Mazur compactum

本文研究了所有n维Banach空间的度量空间$B_n$的度量熵（即所谓的Banach-Mazur紧空间），它具有Banach-Mazur（乘性）“距离”$d$ .我们感兴趣的估计独立的维数或渐近估计时，维数趋于$\infty$。例如，我们证明，如果$N({B_n},d, 1+\varepsilon)$是最小数量的“球”的“半径”$1+\varepsilon$，覆盖$ B_n$，那么对于任何$\varepsilon>0$，我们有$$0<\liminf_{n\to \infty}n^{-1} \log\log N(B_n,d,1+\varepsilon)\le \limsup_{n\to \infty}n^{-1} \log\log N(B_n,d,1+\varepsilon)<\infty.$$我们还证明了一个类似的结果为度量熵的一组n维算子空间配备了距离$d_N$自然相关的$N\times N$ -矩阵与运营商的条目。在这种情况下，$N$是任意的，但我们的估计独立于$N$是有效的。在Banach空间的情况下（即N=1），上述上限是民间传说的一部分，下限至少部分已知（但显然没有出现在印刷品中）。虽然我们在这两种情况下遵循相同的方法，但矩阵的情况需要更精细的成分，即对$N\times N$酉矩阵的某些$n$元组的估计（来自我们以前的工作），称为“量子扩展器”。