Time-periodic linear boundary value problems on a finite interval
研究了有限区间上线性色散偏微分方程解的大时间行为，当边界条件为时间周期时。我们使用Fokas & Lenells 2012中开创的方法来处理非线性可积偏微分方程。然后应用于Fokas & van der Weele 2021中的半直线上的线性问题，证明了这样一个问题的解至少在渐近意义上是周期性的必要条件。然后，我们充分描述的解决方案中的三个重要的说明性的例子，恢复已知的结果为二阶的情况下，并建立新的第三阶的周期性。
2022-01-23 math.AP
Solving PDEs of fractional order using the unified transform method
我们考虑求解偏微分方程的统一变换方法，也称为Fokas方法。我们适应和修改的方法，在必要的地方纳入新的想法，以应用它来解决一大类的分数阶偏微分方程。我们证明了该方法的适用性，通过实施它来解决模型分数问题。
2018-08-27 math.AP math.CV
On symmetry and uniqueness of ground states for linear and nonlinear elliptic PDEs
研究了具有任意阶（伪）微分算子的$\mathbb{R}^n$中线性和非线性椭圆型偏微分方程的基态解.我们证明了一般的对称性结果在非线性的情况下，以及在线性的情况下基态的唯一性结果。特别是，我们可以处理问题（例如，G.高阶偏微分方程），不能解决的常用方法，如最大值原理，移动平面，或波利亚-Szegö不等式。相反，我们使用的参数的傅里叶变换的基础上，我们申请的Hardy-Littlewood优势问题在$\mathbb{R}^n$最近获得的最后两位作者的本文件的刚性结果。
2022-03-29 math-ph math.AP math.MP
Invariant subspace method to the initial and boundary value problem of the higher dimensional nonlinear time-fractional PDEs
本文提出利用变量变换将(k+1)维非线性时间分数阶偏微分方程降为(1+1)维，并结合不变子空间方法求精确解，首次求解了(3+1)维对流扩散反应方程及含时滞方程。
2023-04-05 math-ph math.AP math.MP
From PDEs on standard domains to self-similar particle systems on fractals
Drexel University（德雷塞尔大学）；Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, Inria, Laboratoire Jacques-Louis Lions, LJLL（索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，法国研究与数字发展署，雅克-路易·利翁斯实验室）
本文通过将标准区间上的参考方程转化为自相似分形上的运输PDEs，并构建了近似的自相似粒子系统，探讨了非局部一致性和Galerkin网络项的误差分离。
2026-04-27 math.AP
Output Feedback Stabilization of Semilinear Parabolic PDEs using Backstepping
本文研究了一类具有边界测量和激励位于同一位置的半线性抛物型偏微分方程的输出反馈边界镇定问题。该方法使用backstepping变换，其中的状态和误差系统被证明是局部指数稳定的$\mathbb{H}^4$规范。通过构造一个严格的李雅普诺夫函数，得到了变换后系统的稳定性。一个数值例子使用FitzHugh-Nagumo方程表明，所提出的控制律稳定系统到其平衡解。
2016-12-12 math.AP
The Kadomtsev-Petviashvili I Equation on the Half-Plane
\cite{F1997}于1997年提出了一种求解一维\textit{linear}和\textit{integrable nonlinear}演化偏微分方程初边值问题的新方法.这种方法随后被扩展到两个空间维度的演化偏微分方程的初边值问题，首先是线性偏微分方程\cite{F2002b}的情况，最近，在可积非线性偏微分方程的情况下，半平面上的Davey-Stewartson和Kadomtsev-Petviashvili II方程（分别参见\cite{FDS2009}和\cite{MF2011}）。本文研究了Kadomtsev-Petviashvili I方程的类似问题;特别地，通过经由d-杆形式主义的相关Lax对的同时谱分析，我们能够获得解的整表示，其涉及所有初始值和边界值的某些变换，以及恒等式，所谓的整体关系，其在复谱平面的适当区域中关联这些变换。
2011-07-28 math-ph math.AP math.MP
Moving localized observations and Ces{à}ro asymptotic observability for conservative PDEs
Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, Inria, Laboratoire Jacques-Louis Lions（索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，法国国家数字计算研究所，雅克-路易·利翁斯实验室）
本文提出一种确定性长时机制，通过移动局部观测获得Cesàro渐近可观察性不等式，利用凸化替代全观测，并通过切换实现移动观测器，最终适用于多种PDEs的内部观测和边界模型。
2026-05-12 math.AP
Validated matrix multiplication transform for orthogonal polynomials with applications to computer-assisted proofs for PDEs
本文针对复杂几何上非线性PDE的严格计算分析，提出验证矩阵乘法变换（MMT）算法以可靠评估谱方法中的非线性项，并结合Zernike多项式构建了圆盘上两类非线性椭圆PDE解存在性的计算机辅助证明。
2024-11-27 cs.NA math.AP math.NA
Continuous dependence on data for linear evolution PDEs on the quarter-plane
本文基于 Fokas 统一变换方法，系统分析了半线上扩散方程初边值问题在经典空间中对数据的连续依赖性，补充了适定性框架并展示了一种通用技术。
2024-03-21 math-ph math.AP math.MP
Symmetry operators and generation of symmetry transformations of partial differential equations
本文提出一种基于抽象算子（特征导数）的代数方法，解决标量与矩阵值偏微分方程的对称性问题，克服了几何方法在矩阵值情况下的概念困难。
2025-10-31 math.AP
The Unified Transform for the modified Helmholtz equation in the exterior of a square
统一变换为分析线性和可积非线性偏微分方程的边值问题提供了一种新的方法。这种方法的数值实现线性椭圆型偏微分方程制定的{ \it内部}的多边形已经研究了几个作者（见文章Iserles，Smitheman，和作者之一，在这本书中）。在这里，我们表明，统一变换也产生了一种新的数值计算技术的解决方案的线性椭圆偏微分方程的{ \it外部}的多边形。这种新技术的优点之一是它实际上直接产生散射振幅。详细介绍了修正的亥姆霍兹方程在一个正方形的外部。
2014-01-11 math.AP
Fourier Transform on the Homogeneous Space of 3D Positions and Orientations for Exact Solutions to Linear Parabolic and (Hypo-)Elliptic PDEs
福克-普朗克偏微分方程（包括扩散）的稳定Lévy过程（包括。Wiener过程）在机械学、机器人学、图像分析、方向统计和概率论中起着重要作用。精确的解析设计和解决方案是已知的，在2D的情况下，他们已经获得了使用傅里叶变换在$SE(2)$。在这里，我们将这些方法扩展到3D使用傅里叶变换李群$SE(3)$的刚体运动。更准确地说，我们将3D位置和方向的齐次空间$\mathbb{R}^{3}\rtimes S^{2}:=SE(3)/(\{\mathbf{0}\} \times SO(2))$定义为$SE(3)$中的商。在我们的构造中，两个群元素是等价的，如果它们在绕参考轴旋转时相等。在这个商上，我们设计一个特定的傅里叶变换。我们应用这个傅里叶变换导出了$\mathbb{R}^{3}\rtimes S^{2}$上$α$稳定Lévy过程的Fokker-Planck偏微分方程的新的精确解.这减少了经典的分析计算，并提供了一个明确的代数谱分解的解决方案。我们将$α= 1$的精确概率核（扩散核）与$α=\frac12$的核（Poisson核）进行比较。我们建立了Lévy过程关于商的随机微分方程，并导出了相应的Monte-Carlo方法。我们验证了精确的概率核出现的限制的蒙特卡洛近似。
2018-12-13 math.AP math.FA math.PR
Quasi-Lie schemes for PDEs
本研究将拟李系统理论推广至偏微分方程组，通过推广拟李概型理论提出拟李系统构造方法，分析其在含时叠加规则与可积性条件中的应用，并通过多个物理数学相关的微分方程验证了技术有效性。
2018-03-29 math-ph math.AP math.DG
Prescribed-time boundary control of second-order hyperbolic PDEs modeled flexible string systems via backstepping design
本文针对柔性弦系统，提出基于反步法的预设时间边界控制方案，通过时变核Volterra变换和核方程适定性分析，实现闭环系统预设时间稳定，并经仿真验证有效性。
2025-09-08 math.AP math.OC
Beyond periodic revivals for linear dispersive PDEs
研究了有限区间上线性薛定谔方程和艾里方程在几种非周期边界条件下的回复现象.与线性薛定谔方程的情况下，最近检查（我们进一步发展），我们证明，值得注意的是，艾里方程一般不表现出复苏，即使边界条件非常接近周期。我们还描述了一种新的，较弱形式的复苏现象，目前在某些罗宾型边界条件的线性薛定谔方程的情况下。在这个弱的复苏，在合理的和不合理的时间的解决方案的行为之间的二分法仍然存在，但与经典的周期性的情况下，解决方案不是由初始条件的副本的有限叠加。
2021-07-09 math.AP
Robust stabilization of $2 \times 2$ first-order hyperbolic PDEs with uncertain input delay
针对带不确定边界输入时滞的$2\ imes2$一阶双曲PDE系统，提出含仿射Volterra变换的新型反步补偿器，通过特征线法等解决适定性难题，证明对小时滞变化鲁棒，数值算例验证了性能。
2023-07-21 cs.SY eess.SY math.AP
Bäcklund Transformations an Zero-Curvature Representations of Systems of Partial Differential Equations
本文证明了偏微分方程组的贝克隆变换与零曲率表示是密切相关的。这种连接是由ZCR下的对称群的非线性表示建立的，ZCR引起了与不同BT相关的规范变换。该连接用于从ZCR构造BT（反之亦然）。此外，一个程序的概述，它允许一个给定的偏微分方程系统的ZCR的系统搜索。
1994-05-10 hep-th math.AP
Genuine Lie semigroups and semi-symmetries of PDEs
任何作用在欧氏非空开子集M上的李群G都可以看作是M到自身的光滑同态Diff^ \infty（M，M）的子群。因此，这样的李群G的作用对应于M上的光滑坐标变换，特别是具有光滑逆。在Rosinger [1，chap. [13]中，对M到自身的光滑映射的极大半群C^ \infty（M，M）中的李半群G的研究开始了。这样的半群被称为“真正的李半群”，或者简称为GLS，因为它们不再包含在Diff^ \infty（M，M）中，因此它们对应于不需要有光滑逆的光滑坐标变换。真正的李半群，或GLS，有一个主要的兴趣，因为它们仍然可以将线性或非线性偏微分方程的解转化为相应方程的其他解，从而导致此类方程的“半对称”的类别大大增加。某些李半群在文献Hilgert等人中已经被研究过，然而，这样的半群总是包含在合适的李群中，因此它们作为子半群包含在Diff^ \infty（M，M）中。特别是，由它们定义的坐标变换总是可逆的，不像这里研究的“真正的李半群”或GLS。
2006-04-26 math.AP math.GR
A sharp rearrangement principle in Fourier space and symmetry results for PDEs with arbitrary order
证明了$\mathbb{R}^d$中函数在Fourier空间中的降序重排的尖锐不等式。我们的主要结果可应用于任意阶$\mathbb{R}^d$中具有径向Fourier乘子的一般类（伪）微分算子.例如，我们可以取拉普拉斯算子$(-Δ)^s$与$s> 0$的任何正幂，特别是任何具有整数$m \geq 1$的多调和算子$(-Δ)^m$。作为应用，我们证明了径向对称性和实值性（直到平凡对称性）的优化：i）Gagliardo-Nirenberg不等式与衍生物的任意阶，ii）基态的双和多调和NLS，和iii）亚当斯-Moser-Trudinger型不等式$H^{d/2}(\mathbb{R}^d)$在任何尺寸$d \geq 1$。作为一个技术关键，我们解决了相位恢复问题的傅里叶变换的$\mathbb{R}^d$。为了实现这一点，我们分类的情况下，在相应的Hardy-Littlewood优问题的傅里叶变换$\mathbb{R}^d$的平等。
2019-03-05 math-ph math.AP math.CA
On the variational dual formulation of the Nash system and an adaptive convex gradient-flow approach to nonlinear PDEs
University of Coimbra（科英布拉大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究基态对二次偏微分方程组对偶变分公式一致性的影响，确定一致性成立条件，证明无噪声纳什系统变分对偶解存在性，提出基于希尔伯特梯度流的方案以生成收敛到原偏微分方程解的新基态序列。
2026-07-23 cs.NA math.AP math.NA
Evolution PDEs and augmented eigenfunctions. Half-line
射线上线性发展偏微分方程的初边值问题的解可以用复（谱）平面上的积分表示。该表示是由Fokas在90年代引入的{ \em统一变换}获得的。另一方面，众所周知，许多初边值问题可以通过一个经典的变换对，通过相关的空间算子的谱分析构建解决。例如，热方程的狄利克雷问题可以通过应用傅里叶正弦变换对来求解。然而，对于许多其他的初边值问题，在经典文献中{ \em no}合适的变换对。在这里，我们提出并回答两个相关的问题：给定任何适定的初边值问题，是否存在一个（非经典）变换对适合解决这个问题？如果是这样的话，这个变换对可以通过微分算子的谱分析来构造吗？这两个问题的答案是肯定的，并给出了在{ \em增广本征函数}，一类新的谱泛函。这些是一个合适的微分算子在某种广义意义上的本征函数，它们提供了一个有效的谱表示的运营商，并与一个变换对适合解决给定的初边值问题。
2016-02-05 math.AP math.SP
Novel exact solutions for PDEs with mixed boundary conditions
本文针对半直线上线性抛物型偏微分方程的非齐次Robin型边值问题及其二阶推广，利用奇偶Hilbert变换求解，获得了适用于数学金融、随机分析等多个领域的新非标准精确解。
2023-11-20 math.AP q-fin.MF
Evolution equations on time-dependent intervals
研究了一类在不定常含时区间$l_1(t)<x<l_2(t)$，$0<t<T$上的线性发展型偏微分方程的初边值问题，其中$l_1(t)$和$l_2(t)$是实可微函数，$T$是任意常数.对于这样的问题，我们展示了如何在给定的初始和边界条件的未知边界值。作为说明性的例子，我们考虑热方程和线性薛定谔方程。在第一种情况下，未知的Neumann边界值通过具有显式核的两个线性积分方程的系统的唯一解表示为Dirichlet边界值和初始值。在第二种情况下，可以证明类似的结果，但仅适用于限制性更强的一类边界曲线。
2019-08-10 math.AP
How important are specialized transforms in Neural Operators?
Tata Consultancy Services Research（塔塔咨询服务研究中心）
本文通过将基于变换的神经算子中的变换层替换为可学习线性层，发现线性层即可达到相当性能并具备计算时间优势，从而质疑专用变换层的关键作用。
2023-08-18 cs.AI cs.CE cs.LG
Reduced Order Modeling of One-Dimensional Conservative PDEs via the Cumulative Distribution Transform
George Mason University（乔治梅森大学）；Florida State University（佛罗里达州立大学）；University of Virginia（弗吉尼亚大学）
该研究针对一维守恒偏微分方程提出基于累积分布变换的降阶建模框架，通过分析不同方程在CDT坐标下的解流形得到估计，据此开发CDT - POD数值方案，实验表明其能用更少模态捕捉解流形。
2026-07-21 cs.NA math.AP math.NA
Representation and Stability Analysis of 1D PDEs with Periodic Boundary Conditions
针对带周期边界条件的一维偏微分方程解常收敛于非平稳轨迹的问题，提出基于偏积分方程的状态分解表示方法，定义仅需单分量收敛的指数稳定性并通过线性算子不等式验证，可用于热方程、波动方程的稳定性分析。
2025-09-02 cs.SY eess.SY math.AP
A Deep Fourier Residual Method for solving PDEs using Neural Networks
当使用神经网络作为测试函数来数值求解偏微分方程时，要做出的关键选择是要最小化的损失函数，其理想地应该对应于误差的范数。在多个问题中，这个误差范数与残差的$H^{-1}$范数一致或等价;然而，通常很难准确地计算它。这项工作假设矩形域，并提出使用离散正弦/余弦变换来准确有效地计算$H^{-1}$范数。由此产生的基于深度傅立叶的残差（DFR）方法有效地和准确地近似解的偏微分方程。当溶液缺乏$H^{2}$规律性并且涉及PDE的强制剂的方法失败时，这是特别有用的。我们观察到，$H^1$误差与训练期间的离散损失高度相关，这允许通过损失进行准确的误差估计。
2022-10-25 cs.NA math.AP math.NA
A Unified Truncation Method for Infinitely Many Solutions Without Symmetry
本文在无对称性条件下，通过改进的变分截断方法，证明了非线性问题存在无限多个解，并解决了非变分椭圆PDEs的梯度依赖问题，首次证明了此类PDEs存在无限多个解，同时克服了周期性Hamilton系统在实数轴上的解的多重性问题。
2026-04-30 math.AP
Cancellations for dispersive PDEs with random initial data
Université de Lorraine（洛林大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IECL（洛林计算与系统控制实验室）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）
本文提出了一种组合形式化方法，用于处理随机初始数据下色散PDEs中出现的抵消现象，通过将由装饰树编码的迭代积分转化为单词，提供了一种替代Deng和Hani（2023）分子形式化的框架，用于计算波湍流中的抵消以及证明三维立方波方程的吉布斯测度在动力学下的不变性。
2026-05-20 math.AP math.PR math.RA
A rigorous integrator and global existence for higher-dimensional semilinear parabolic PDEs via semigroup theory
该研究提出结合半群理论与计算机辅助证明的构造性方法，通过切比雪夫级数展开与压缩不动点定理实现半线性抛物PDE解的严格验证，还应用于Swift-Hohenberg等方程证明全局存在性。
2025-01-20 cs.NA math.AP math.DS
A comparison principle for Wasserstein PDEs with state- and law-dependent common noise
University of Michigan（密歇根大学）；University of Southern California（南加州大学）；New York University（纽约大学）
针对Wasserstein空间上带有一般共同噪声Hessian的二阶Hamilton-Jacobi-Bellman方程，通过引入非线性测度流并建立空间、测度导数和负Sobolev估计，证明了半连续粘性次解和超解的比较原理，首次为滤波驱动方程提供了此类粘性比较框架，并应用于受控随机滤波问题的值函数唯一性。
2026-06-03 math.AP math.OC math.PR
