Evolution PDEs and augmented eigenfunctions. Finite interval
所谓的统一方法是将有限区间内的发展型偏微分方程的初边值问题的解表示为复傅立叶（谱）平面上的积分。简单的IBVP，这将被称为第一类问题，可以通过一个经典的变换对解决。例如，热方程的狄利克雷问题可以用与傅里叶正弦级数相关的变换对来求解。这样的变换对可以经由相关联的空间算子的谱分析来构造。对于更复杂的IBVP问题，我们称之为Ⅱ型问题，\emph{not}存在经典变换对，解\emph{cannot}可用无穷级数表示.在这里，我们提出并回答两个相关的问题：第一，是否存在一个（非经典）变换对能够解决第二类问题，第二，可以通过谱分析构造这种变换对？这两个问题的答案都是肯定的，这激发了引入一类新的光谱实体。我们称这些光谱实体为增广本征函数，以区别于60年代由Gel'fand和他的合著者描述的广义本征函数。
2016-02-03 math.AP math.SP
Level Spacings and Nodal Sets at Infinity for Radial Perturbations of the Harmonic Oscillator
本文研究了谐振子径向微扰的高频本征函数和准模的节集性质。特别是，我们认为节点集上的领域的大半径（在经典的禁止区域）的准模式的能量位于一个固定的能量$E$周围的间隔。对于精心选择的间隔，我们表明，这些节点集表现出定量不同的行为相比，未扰动的谐振子。这些能量区间的定义通过仔细分析的扰动算子的本征值间距，基于解析扰动理论和线性化公式的Laguerre多项式。
2017-08-21 math-ph math.AP math.MP
Time-periodic linear boundary value problems on a finite interval
研究了有限区间上线性色散偏微分方程解的大时间行为，当边界条件为时间周期时。我们使用Fokas & Lenells 2012中开创的方法来处理非线性可积偏微分方程。然后应用于Fokas & van der Weele 2021中的半直线上的线性问题，证明了这样一个问题的解至少在渐近意义上是周期性的必要条件。然后，我们充分描述的解决方案中的三个重要的说明性的例子，恢复已知的结果为二阶的情况下，并建立新的第三阶的周期性。
2022-01-23 math.AP
Carleman weight functions for a globally convergent numerical method for ill-posed Cauchy problems for some quasilinear PDEs
在第二作者的一系列出版物中，包括与合作者的一些出版物中，对一些非线性不适定问题构造了全局严格凸Tikhonov类泛函。这种功能的主要元素是存在的Carleman权函数。与以前的出版物相比，本文的主要新颖之处在于，正则化的解决方案（即极小）的存在性证明，而不是假设。该方法适用于不适定的柯西问题的拟线性偏微分方程的二阶和一些系数反问题。然而，为了简化演示，我们在这里只关注不适定的柯西问题。随着理论，数值结果的情况下，1-D拟线性抛物型偏微分方程的横向柯西数据上的区间（0，1）的一个边缘。
2016-08-07 math-ph math.AP math.MP
Instability of two-pulse periodic waves with long wavelength in some Hamiltonian PDEs
Univ Rennes, CNRS, IRMAR - UMR 6625（雷恩大学、法国国家科学研究中心、IRMAR）
研究了某些哈密顿PDEs中长波长两脉冲周期波的不稳定性，通过分析作用积分的Hessian矩阵和谱收敛性，证明了当极限孤立波稳定时的不稳定性。
2026-02-19 math.AP
From PDEs on standard domains to self-similar particle systems on fractals
Drexel University（德雷塞尔大学）；Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, Inria, Laboratoire Jacques-Louis Lions, LJLL（索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，法国研究与数字发展署，雅克-路易·利翁斯实验室）
本文通过将标准区间上的参考方程转化为自相似分形上的运输PDEs，并构建了近似的自相似粒子系统，探讨了非局部一致性和Galerkin网络项的误差分离。
2026-04-27 math.AP
On evolution PDEs on co-evolving graphs
本文为协同演化图上的非局部连续性方程建立了适定性理论，利用 Banach 不动点定理证明了解的存在唯一性，并探讨了不同时间尺度下的动力学行为及顶点趋于无穷时的离散到连续极限。
2024-03-27 math.AP
Moving localized observations and Ces{à}ro asymptotic observability for conservative PDEs
Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, Inria, Laboratoire Jacques-Louis Lions（索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，法国国家数字计算研究所，雅克-路易·利翁斯实验室）
本文提出一种确定性长时机制，通过移动局部观测获得Cesàro渐近可观察性不等式，利用凸化替代全观测，并通过切换实现移动观测器，最终适用于多种PDEs的内部观测和边界模型。
2026-05-12 math.AP
Conditions for semi-boundedness and discreteness of the spectrum to Schrödinger operator and some nonlinear PDEs
本文研究高维薛定谔算子谱的半有界性与离散性，在不假设势函数下有界时给出充要条件，并借助Riccati方程、非增重排、数学期望及Neumann问题给出充分条件。
2023-10-29 math-ph math.AP math.MP
Nonlinear elliptic Partial Differential Equations and p-harmonic functions on graphs
本文研究了有限图上非线性椭圆型偏微分方程的适定性（解的唯一性和存在性）。这些结果是利用图的离散比较原理和连通性得到的。这项工作是在偏微分方程的黏性解理论的精神。这些方程包括图拉普拉斯算子、$p$ -拉普拉斯算子、无穷拉普拉斯算子、中曲率方程和图上的Eikonal算子。
2013-02-28 math.AP
Mean field limit of interacting filaments and vector valued non linear PDEs
家庭的$N$相互作用曲线被认为是长程，平均场型，相互作用。一系列曲线定义了一个1-电流，集中在曲线上，模拟了相互作用点粒子的经验测量。证明了当$N$趋于无穷大时，该电流收敛于平均场电流，即非线性向量值偏微分方程的解。在极限情况下，每条曲线都与平均场电流相互作用，如果两条不同的曲线在零时刻独立，则它们具有独立性。这种设置的灵感来自于湍流流体中的涡丝，尽管由于技术原因，我们必须限制到光滑的相互作用，而不是奇异的Biot-Savart内核。所有这些结果都是基于对1-电流的非线性流动方程的仔细分析，它与向量值PDE的关系以及对初始条件的连续依赖性。
2016-02-01 math.AP
A simple rigorous integrator for semilinear parabolic PDEs
VU Amsterdam（阿姆斯特丹自由大学）；CMAP, CNRS, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris（巴黎综合理工学院）
本文提出了一种简单且高效的严格积分方法，用于半线性抛物型PDEs的误差界推导，通过自适应时间步长策略和稳定性证明，适用于长时积分和非平凡动态捕捉。
2026-01-08 cs.NA math.AP math.DS
Deep learning methods for stochastic Galerkin approximations of elliptic random PDEs
University of Stuttgart（斯图加特大学）
本文提出利用深度学习方法，如物理信息神经网络和深度Ritz方法，高效求解具有随机系数的椭圆随机偏微分方程。
2026-01-09 cs.NA math.AP math.NA
Galoisian approach for a Sturm-Liouville problem on the infinite interval
研究了无穷区间上二阶微分方程的Sturm-Liouville型本征值问题.这里本征函数是在无穷远处指数衰减的非零解。证明了在一般假设下，在微分伽罗瓦论的背景下，对于任意离散特征值，微分方程都是可积的。我们的结果说明了两个例子，一个固定的薛定谔方程具有广义Hulthen势和一个本征值问题的旅行前的Allen-Cahn方程。
2010-09-07 math-ph math.AP math.DS
A note on uniqueness for linear evolution PDEs posed on the quarter-plane
本文针对四分之一平面上的一类线性演化偏微分方程，利用统一变换方法分析积分表示的边界渐近行为，并结合能量估计建立唯一性结果，同时给出构造非唯一性反例的算法，并以热方程、线性 KdV 方程及线性化 BBM 方程为例加以说明。
2024-01-16 math-ph math.AP math.MP
Beyond periodic revivals for linear dispersive PDEs
研究了有限区间上线性薛定谔方程和艾里方程在几种非周期边界条件下的回复现象.与线性薛定谔方程的情况下，最近检查（我们进一步发展），我们证明，值得注意的是，艾里方程一般不表现出复苏，即使边界条件非常接近周期。我们还描述了一种新的，较弱形式的复苏现象，目前在某些罗宾型边界条件的线性薛定谔方程的情况下。在这个弱的复苏，在合理的和不合理的时间的解决方案的行为之间的二分法仍然存在，但与经典的周期性的情况下，解决方案不是由初始条件的副本的有限叠加。
2021-07-09 math.AP
PDEs in Moving Time Dependent Domains
在这项工作中，我们研究偏微分方程定义在一个域中，移动的时间根据一个给定的常微分方程的流量，从一个给定的初始域。我们首先推导出一个特殊情况下的偏微分方程称为平衡方程的制定。对于这类方程，我们在初始区域找到了等价的偏微分方程，然后研究了有扩散和无扩散的一些特殊情况。我们还分析了一般的二阶微分方程，不一定是平衡型的。用特征线法求解无扩散方程组。我们还证明了具有Dirichlet边界条件和初值的扩散方程在运动区域中的适定性。为此，我们证明了等价方程的主部在初始区域是一致椭圆的。然后，我们证明了一个版本的弱最大值原理的一个方程在一个移动的区域。最后，我们进行适当的能量估计在移动的区域，并给出充分条件的解决方案收敛到零的时间趋于无穷大。
2014-03-04 math.AP
Asymptotic estimate of eigenvalues of pseudo-differential operators in an interval
对于完全Bernstein函数psi使得xpsi ′（x）在x趋于无穷大时收敛于无穷大，证明了算子psi（-Delta）在区间上的特征值的一个两项Weyl型渐近律，误差项为O（1/n），且外条件为零.这推广了作者以前对分数Laplace算子（psi（x）= x^{alpha/2}）和Klein-Gordon平方根算子（psi（x）=（1+x^2）^{1/2} - 1）的结果。（-a，a）中本征值的公式为lambda_n = psi（mu_n^2）+ O（1/n），其中mu_n是mu_n =（npi）/（2 a）- theta（mu_n）/a的解，而theta（mu）是关于psi的积分。
2015-07-20 math.AP math.PR math.SP
Evolution equations on time-dependent intervals
研究了一类在不定常含时区间$l_1(t)<x<l_2(t)$，$0<t<T$上的线性发展型偏微分方程的初边值问题，其中$l_1(t)$和$l_2(t)$是实可微函数，$T$是任意常数.对于这样的问题，我们展示了如何在给定的初始和边界条件的未知边界值。作为说明性的例子，我们考虑热方程和线性薛定谔方程。在第一种情况下，未知的Neumann边界值通过具有显式核的两个线性积分方程的系统的唯一解表示为Dirichlet边界值和初始值。在第二种情况下，可以证明类似的结果，但仅适用于限制性更强的一类边界曲线。
2019-08-10 math.AP
Unique continuation from infinity in asymptotically Anti-de Sitter spacetimes
通过研究一类大的渐近Anti-de Sitter时空上的Klein-Gordon型方程$\Box_g ϕ+ σϕ= \mathcal{G} ( ϕ, \partial ϕ)$，$σ\in \mathbb{R}$，讨论了这类时空的唯一延拓性质.我们的主要结果建立，如果$ϕ$消失到足够高的顺序（取决于$σ$）在一个足够长的时间间隔沿共形边界$\mathcal{I}$，那么解决方案必然消失在附近的$\mathcal{I}$。特别是，在$σ$ -范围内的Dirichlet和Neumann条件是可能的$\mathcal{I}$的正向问题，我们证明了唯一性，如果这两个条件都施加。时间间隔的长度可以与这些背景上的零测地线的重新聚焦时间有关，并且预期是尖锐的。本文还讨论了引力摄动的一些全局应用和唯一性结果。证明是基于新的Carleman估计建立在这种设置。
2016-08-05 gr-qc hep-th math.AP
Instability, index theorem, and exponential trichotomy for Linear Hamiltonian PDEs
考虑Hilbert空间$X$中的一般线性Hamilton系统$\partial_{t}u=JLu$.我们假设$\ L: X \to X^{*}$在$X$上诱导出一个有界的对称双线性形式$\left\langle L\cdot,\cdot\right\rangle $，它只有200个负维数$n^{-}(L)$ .对反自对偶算子$J: X^{*} \supset D(J) \to X$没有限制。我们首先得到一个结构分解的$X$几个封闭的子空间的直和，使$L$是块对角化和$JL$是上三角形的形式，其中的块更容易处理。在此基础上，我们首先证明了$e^{tJL}$的线性指数可分性。特别地，$e^{tJL}$在有限余维中心子空间中至多具有代数增长。接下来，我们证明了一个不稳定性指数定理，$n^{-}\left( L\right) $和$\ JL$的特征值的广义特征空间的维数，其中一些可能是嵌入在连续谱。这推广和改进以前的结果，其中大多数$J$被假定为有界逆。对于具有纯虚特征值的指数，也得到了更明确的信息。此外，当考虑哈密顿扰动时，我们给出了一个关于虚轴不稳定谱产生的尖锐的结构不稳定性条件。最后，我们讨论了色散长波模型（BBM，KDV和良Boussinesq方程），二维理想流体的Euler方程，以及无穷远处非零条件下的二维非线性Schr dinger方程的Hamilton偏微分方程，其中我们的一…
2021-06-28 math.AP
Representation and Stability Analysis of 1D PDEs with Periodic Boundary Conditions
针对带周期边界条件的一维偏微分方程解常收敛于非平稳轨迹的问题，提出基于偏积分方程的状态分解表示方法，定义仅需单分量收敛的指数稳定性并通过线性算子不等式验证，可用于热方程、波动方程的稳定性分析。
2025-09-02 cs.SY eess.SY math.AP
A Unified Truncation Method for Infinitely Many Solutions Without Symmetry
本文在无对称性条件下，通过改进的变分截断方法，证明了非线性问题存在无限多个解，并解决了非变分椭圆PDEs的梯度依赖问题，首次证明了此类PDEs存在无限多个解，同时克服了周期性Hamilton系统在实数轴上的解的多重性问题。
2026-04-30 math.AP
Liouville theorems and optimal regularity in elliptic equations
该研究建立了含可测系数椭圆偏微分方程解的最优正则性与无穷远刘维尔性质的关联，通过单调性公式、填洞技巧等方法分别处理二维与高维情形，探讨了增长性与正则性指数的相互作用。
2024-02-22 math.AP
A rigorous integrator and global existence for higher-dimensional semilinear parabolic PDEs via semigroup theory
该研究提出结合半群理论与计算机辅助证明的构造性方法，通过切比雪夫级数展开与压缩不动点定理实现半线性抛物PDE解的严格验证，还应用于Swift-Hohenberg等方程证明全局存在性。
2025-01-20 cs.NA math.AP math.DS
A Probabilistic approach to classical solutions of the master equation for large population equilibria
研究了一类定义在$\mathbb{R}^d \times \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d),$上的非线性偏微分方程，其中$\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$是$\mathbb{R}^d$上具有有限二阶矩的概率测度的Wasserstein空间.我们证明了这样的方程在足够小的时间间隔内存在一个经典解。在附加的约束条件下，我们证明了他们的解决方案可以扩展到任意大的区间。这些非线性偏微分方程是在大种群随机控制理论的最新发展中出现的。更确切地说，它们是所谓的主方程，对应于具有平均场相互作用的大量受控参与者的渐近平衡，并受到最小化约束。本文中的结果就是利用这种联系推出的。特别地，我们研究了McKean-Vlasov型向前-向后随机系统产生的流关于初始条件的可微性。作为副产品，我们证明了由向前向后系统产生的解耦场是相应主方程的经典解。最后，我们给出了几个应用平均场游戏和McKean-Vlasov扩散过程的控制。
2015-04-21 math.AP math.OC math.PR
An initial-boundary value problem of the general three-component nonlinear Schrodinger equation with a 4x4 Lax pair on a finite interval
通过推广Fokas统一方法，研究了有限区间上具有4 × 4拉克斯对的一般三分量非线性Schrodinger（gtc-NLS）方程的初边值问题. gtc-NLS方程的解可以表示为在复k平面中制定的4x 4矩阵Riemann-Hilbert（RH）问题的解。此外，RH问题的相关跳跃矩阵可以通过由初始数据、Dirichlet-Neumann边界数据产生的三个谱函数显式地找到。还建立了全局关系以推导两种不同但等价的表示类型（即，一个是利用特征函数的大k渐近性，另一个是利用Gelfand-Levitan-Marchenko（GLM）方法）求解Dirichlet和Neumann边值问题。当区间长度趋于无穷大时，有限区间上边值问题的有关公式可化为半直线上的公式。最后，我们还给出了GLM表示的可线性化边界条件。
2017-04-27 math-ph math.AP math.MP
The Vanishing Moment Method for Fully Nonlinear Second Order Partial Differential Equations: Formulation, Theory, and Numerical Analysis
The University of Tennessee（田纳西大学）；University of Pittsburgh（匹兹堡大学）
本文提出消失矩方法，通过拟线性高阶（四阶）PDE族逼近完全非线性二阶PDE，并在径向对称情形下给出收敛性分析，对消失矩方程进行有限元数值分析，应用于Monge-Ampère方程、预定高斯曲率方程和无穷拉普拉斯方程。
2011-09-07 cs.NA math.AP math.NA
Dedekind order completion of C(X) by Hausdorff continuous functions
在Hausdorff逼近理论中发展起来的Hausdorff连续区间值函数的概念，最初是为一个实变量的区间值函数定义的，本文将其推广到定义在拓扑空间X上的区间值函数。主要结果是：任意拓扑空间X上的有限Hausdorff连续函数的集合是Dedekind序完备的.因此它包含了定义在X上的所有连续实函数的集合C（X）的Dedekind序完备化以及X上所有有界连续函数的集合C_b（X）的Dedekind序完备化。在关于拓扑空间X的一般假设下，C（X）和C_b（X）的Dedekind序完备化被刻画为Hausdorff连续函数的子集.这解决了C（X）的Dedekind序完备化的一个长期悬而未决的公开问题。此外，它有主要的应用程序的正则性的解决方案的大类非线性偏微分方程。
2004-07-15 math.AP
A class of supercritical/critical singular stochastic PDEs: existence, non-uniqueness, non-Gaussianity, non-unique ergodicity
本文研究了具有不规则空间扰动$$ \partial_{t }θ+ u\cdot\nablaθ= -ν(-Δ)^{γ/2}θ+ ζ,\qquad u=\nabla^{\perp}(-Δ)^{-1}θ, $$的地面准地转方程，对某些$κ>0$，用$ν\geq 0$，$γ\in [0,3/2)$和$ζ\in B^{-2+κ}_{\infty,\infty}(\mathbb{T}^{2})$.这涵盖了用于$α<1$和$ξ$的$ζ= (-Δ)^{α/2}ξ$的情况，$ξ$是$\mathbb{T}^{2}$上的空间白噪声。根据$γ$和$α$之间的关系，我们的设置是亚临界，临界或超临界的Hairer的正则性结构\cite{Hai14}的语言。基于凸积分的纯分析工具，在不需要任何概率参数（包括重正化）的情况下，我们证明了在$L^{p}_{\rm{loc}}(0,\infty;B_{\infty,1}^{-1/2})\cap C_{b}([0,\infty);B^{-1/2-δ}_{\infty,1})\cap C^{1}_{b}([0,\infty);B^{-3/2-δ}_{\infty,1})$中存在无穷多个解析弱解，对于所有$p\in [1,\infty)$和$δ>0$.我们能够规定一个初始以及终端条件在有限时间$T>0$，并构建稳定状态，即时间无关，解决方案。在所有情况下，解都是非高斯的，但…
2023-02-21 math.AP math.PR
Stability of traveling waves of nonlinear Schrödinger equation with nonzero condition at infinity
利用约束变分方法研究了无穷远点非零条件下非线性薛定谔方程行波解的稳定性。两个重要的物理模型是Gross-Pitaevskii（GP）方程和五次方程。首先，在非简并条件下，我们证明了（GP）的三维行波的一个尖锐的不稳定性判据，该判据已在物理文献中给出。这一结果也被扩展为一般的非线性和更高的维度，包括4D（GP）和3D五次方程。其次，对于五次型亚临界或临界非线性，我们构造了慢行波，并证明了它们在任意维上的非线性不稳定性。对于行波无涡（即非零）的一般非线性在任何维度上，我们发现线性不稳定的尖锐条件。第三，我们证明了（GP）的任意二维行波都是横向不稳定的，并找到了不稳定横波数的尖锐区间。在上述情形的不稳定行波附近，我们构造了不稳定和稳定的不变流形。
2016-03-14 math.AP
Distributed Consensus Observers Based H-infinity Control of Dissipative PDE Systems Using Sensor Networks
本文研究了一类由高度耗散偏微分方程描述的非线性空间分布过程的有限维输出反馈H无穷控制问题，通过传感器网络拓扑结构构建有限维分布式一致性观测器，并利用BMI不等式设计控制器以实现系统指数稳定和扰动抑制。
2014-10-16 cs.SY eess.SY math.AP
Two-species competition model with chemotaxis: well-posedness, stability and dynamics
我们研究了一个系统的偏微分方程建模的两个竞争物种的空间运动的扩散和相互排斥的趋化作用的种群动态。我们证明了这个系统的解决方案是全球适定的，没有任何小的假设上的趋化系数。此外，在弱竞争制度中，我们证明了，无论趋化系数有多强，都不能被驱动到灭绝的时间到无穷大。最后，系统的长时间行为进行了研究，分析在弱非线性政权，并在完全非线性政权的数值。
2021-05-18 math.AP
Convergence and non-convergence of many-particle evolutions with multiple signs
我们解决的问题，不断发展的相互作用的粒子系统的粒子数趋于无穷大的收敛。我们考虑两种类型的粒子，称为正粒子和负粒子。同号粒子互相排斥，异号粒子互相吸引。相互作用势对所有粒子都是相同的，直到符号为止，并且在零处具有对数奇点。这种系统的主要例子是晶体中的位错。由于相互作用势的奇异性，离散演化导致有限时间内的爆破。我们纠正这种情况，通过调整在长度尺度的相互作用势$δ_n>0$，它收敛到零的粒子数$n$趋于无穷大。我们建立两个主要结果。第一个是一个进化收敛的结果表明，经验措施的积极和消极的粒子收敛到一组耦合偏微分方程的解决方案，描述其连续密度的演变。在位错的情况下，这些偏微分方程被称为Groma-Balogh方程。在证明中，我们依赖于$λ$ -凸梯度流理论，Groma-Balogh方程和Orlicz空间的先验估计.证明要求$δ_n$足够慢地收敛到零。第二个结果是一个反例，证明了如果$δ_n$足够快地收敛到零，则正位错和负位错的经验测量的极限不满足Groma-Balogh方程。这些结果表明，格罗马-巴洛格方程作为多粒子系统极限的有效性如何以微妙的方式依赖于势的奇异性被正则化的尺度。
2018-10-11 math.AP
Stabilization of higher order Schrödinger equations on a finite interval: Part I
研究了有限区间上高阶线性和非线性薛定谔方程的反步镇定问题，其中边界反馈作用于左Dirichlet边界条件.植物以规定的衰变率稳定下来。反推核的构造是基于具有挑战性的逐次逼近分析。这与二阶偏微分方程的情况相反。其次，我们考虑无法始终测量系统的完整状态，但可以获得一些部分信息（例如边界迹线的测量）的情况。对于这个问题，我们同时构造一个观测器和相关的反推控制器，它能够稳定原植物。所有偏微分方程模型的适定性和正则性结果。虽然该模型的线性部分类似于KdV方程，但幂型非线性带来了额外的困难。我们给出两个边界条件和部分测量的例子。我们还提出了数值算法和模拟验证我们的理论结果，以最大程度上。我们的数值方法是新颖的，在这个意义上，我们解决了目标系统，并获得反馈系统的解决方案，通过使用有界可逆的反推变换。
2020-09-13 math.AP math.OC
Spectral partitions for Sturm-Liouville problems
我们寻找最好的分区的单位间隔，最小化某些泛函定义的特征值的Sturm-Liouville问题。利用Γ-收敛理论，研究了当划分的区间数趋于无穷大时极小解的渐近分布。然后，我们讨论了几个例子，适合在我们的框架，如总和（正和负）权力的特征值和近似的热斯特姆-刘维算子的轨迹。
2018-12-18 math.AP math.CA math.OC
Choices and intervals
考虑随机区间分裂过程，其中分裂规则依赖于区间长度的经验分布。我们表明，这一经验分布收敛到一个极限几乎肯定的间隔数趋于无穷大。我们给出了这个限制的一个常微分方程的解决方案的一个特征，并使用它来获得精确的尾部估计。收敛性的建立表明，尺寸偏置的经验分布的发展在极限根据一定的确定性发展方程。虽然这个方程涉及到一个非局部的、非线性算子，但由于这个算子是压缩的，所以可以仔细选择一个范数来研究它。在有限维的情况下，像这样的收敛结果通常被称为随机逼近，可以用库什纳和克拉克的一般方法来逼近。这篇文章的一个重要的技术贡献是这种方法的无限维设置的扩展。
2018-06-19 math.AP math.DS math.PR
Turnpike in optimal control of PDEs, ResNets, and beyond
当代宏观经济学中的\emph{turnpike property}认为，如果一个经济规划者试图将一个经济体从一个资本水平转移到另一个资本水平，那么只要规划者有足够的时间，最有效的路径就是迅速将库存转移到接近最佳静态或恒定路径的水平，然后允许资本沿着这条路径发展，直到接近预期的期限，此时，股票应该被转移到最终目标。在过去的十年中，由于其作为资源分配策略的性质，收费公路性质也被证明适用于力学中出现的几类偏微分方程。当数学形式化时，收费公路理论证实了经济学的见解：对于有限时间范围内的最优控制问题，最优控制和相应的状态在大多数时间内（除了接近初始和最终时间）接近（通常是指数）相关静态最优控制问题的最优控制和相应的状态。特别是，前者大多是随着时间的推移而恒定的。这一事实提供了一个严格的意义，渐近简化，一些最优控制问题似乎享受在很长的时间间隔，允许考虑相应的平稳问题的计算和应用。我们回顾了过去十年中开发的理论的一部分-底层系统的可控性是一个重要的组成部分，甚至可以用来设计简单的类似收费公路的策略，这些策略几乎是最优的-并提出了几个新的应用，包括Hamilton-Jacobi-Bellman渐近的表征，以及通过残差神经网络进行深度学习的稳定性估计。
2022-02-08 math.AP math.OC stat.ML
Singular limits of sign-changing weighted eigenproblems
考虑一个固定的微分算子在特征值项上具有变号权所产生的本征值问题。我们证明了，作为负的部分的重量是重新缩放到负无穷的一些子区域，频谱收敛到原来的问题限制在互补区域。在区域之间的界面上，极限问题获得Dirichlet型边界条件。我们的主要定理涉及希尔伯特空间上变号双线性型的本征值问题。我们将我们的结果应用到广泛的偏微分方程：二阶和四阶方程的Dirichlet和Neumann型边界条件，和一个问题的特征值出现在方程和边界条件。
2020-11-12 math.AP math.SP
A rough analytic relation on partial differential equations
在二元偏微分方程组上引入了一些解析关系。它依赖于一种新的比较方法来给出服从不同偏微分方程解的粗略渐近估计。它使用一种称为热带几何的尺度变换，将自动机与真正的理性动力学联系起来。两个不同的解决方案，可以考虑当他们的定义方程转化为同一个自动机在无穷远。我们有一个系统的方法来构造不同的偏微分方程的相关对，也具体地构造一些不相关的对。这些证明了新的关系是不平凡的。我们还进行了数值计算，并比较了相关和不相关的偏微分方程对的结果。
2010-04-28 math.AP math.DS math.MG
