Multiplicative rule in the Grothendieck cohomology of a flag variety
Haibao Duan
在旗簇G/H的Grothendieck上同调中，存在两个典型的可加基，即Demazure基和Grothendieck基.本文给出了将这两个基元素的乘积约化为G的Cartan数的显式公式.
In the Grothendieck cohomology of a flag variety G/H there are two canonical additive bases, namely, the Demazure basis and the Grothendieck basis We present explicit formulae that reduce the multiplication of these basis elements to the Cartan numbers of G.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Independence of the Grothendieck classes of twisted symplectic flag varieties
本文利用非交换动机理论，证明扭曲辛旗簇的格罗滕迪克类在线性及齐次二次意义下，在代数簇的格罗滕迪克环中具有独立性。
Equivariant K-theory of affine flag manifolds and affine Grothendieck polynomials
研究了仿射旗流形关于Borel群作用的等变K-群。我们证明了K-群中（无限维）Schubert簇的结构层由唯一的多项式表示，我们称之为仿射Grothendieck多项式。
Positivity in the Grothendieck group of complex flag varieties
证明了A. S. Buch关于旗簇的Grothendieck环关于其Schubert结构层基的结构常数的一个结果。对于这一点，我们表明，在这个基础上的结构层的任何子品种的合理奇点的系数，有交替的迹象。等价地，这样一个子簇的对偶层的类是舒伯特簇的对偶层类的非负组合。
Quantum integrable model for the quantum cohomology/K-theory of flag varieties and the double $β$-Grothendieck polynomials
本文提出推广非对称五顶点自旋链的GL$(n)$量子可积系统，证明其可编码旗簇等变量子上同调与K-理论的环关系，且系统贝特假设态生成双$β$-格罗滕迪克多项式。
Equivariant $K$-theory of flag varieties revisited and related results
本文得到了旗簇$G/B$的$T$ -等变Grothendieck环的乘法结构常数的许多结果。我们这样做是通过提升类的舒伯特品种的结构层的$K_{T}(G/B)$的$R(T)\otimes R(T)$，其中$R(T)$表示环$T$。我们进一步应用我们的结果描述了$K(X)_{\mathbb Q}$的乘法结构常数，其中$X$是$G$的伴随群的奇妙紧化，根据$G/B$的Grothendieck环中Schubert簇的结构常数。
A presentation of the torus-equivariant quantum $K$-theory ring of flag manifolds of type $A$, Part II: quantum double Grothendieck polynomials
本文证明了量子双重Grothendieck多项式在A型旗流形的环面等变量子K-理论环的呈现中代表对偶Schubert类，其关键工具是半无限Schubert类的显式公式。
A multiplicative formula for structure constants in the cohomology of flag varieties
设G是一个复半单李群，P，Q是G的一对抛物子群，使得Q包含P.考虑旗簇G/P，G/Q和Q/P.我们证明了H^*（G/P）中关于Schubert基的某些结构常数可以很自然地表示为H^*（G/Q）和H^*（Q/P）的结构常数的乘积.主要应用是计算Belkale和Kumar定义的Levi可动结构常数。在分支Schubert演算的背景下，我们也给出了这个乘积公式的推广.
K-theorie equivariante des varietes de Bott-Samelson. Application a la structure multiplicative de la K-theorie equivariante des varietes de drapeaux
我们构造了Bott塔的等变$K$ -理论的一个基，并精确地描述了这些代数的乘法结构。我们推导出类似的结果Bott-Samelson品种。由于旗簇和Bott-Samelson簇之间的联系，我们给出了在Kostant和Kumar构造的基上计算旗簇的等变$K$ -理论的结构常数的方法.
Multiplicative rule of Schubert classes
设G是紧连通李群，H是G中单参数子群的中心化子。结合Schubert簇的Bott-Samelson结论的思想和{Du 2]中关于2-球面的扭曲积的计数公式，得到了旗流形G/H中Schubert类相乘的一个闭公式.
Motivic multiplicative McKay correspondence for surfaces
我们重新审视经典的二维麦凯对应在两个方面：第一个，这是这项工作的要点，是我们考虑到的乘法结构所给出的orbifold产品;第二，而不是使用上同调，我们处理的周动机。更确切地说，我们证明了对于任意光滑的具有粗糙的射影模空间的真二维orbifold，在复Chow动机范畴内，在最小分解动机和orbifold动机之间存在代数对象的同构.特别是，复杂的Chow环（分别为Grothendieck环，上同调环，拓扑K理论）的最小分解同构于复orbifold Chow环（分别为. Grothendieck环，上同调环，拓扑K理论）。这证实了二维Motivic Crepant Resolution猜想。
On the Grothendieck ring of varieties
设$\operatorname{K}_0(\operatorname{Var}_k)$表示代数闭域$k$上的$k$ -簇的Grothendieck环. Larsen和Lunts问两个在$\operatorname{K}_0 (\operatorname{Var}_k)$中具有相同类的$k$ -变种是否分段同构。Gromov问一个$k$ -簇的双有理自映射是否可以扩展为分段自同构。我们证明了这两个问题在任何代数闭域上都是等价的。如果这两个问题都有肯定的答案，那么我们证明了它的基础阿贝尔群是一个自由阿尔贝群。进一步，若$\mathfrak B$表示不可约$k$ -簇的双有理等价类的乘法幺半群，则我们还证明了Grothendieck环的伴随分次环是幺半群环$\mathbb Z[\mathfrak B]$ .
Quantum Grothendieck Polynomials
量子K-理论是量子上同调的K-理论版本，最近由Y. P.李。基于经典旗簇Fl_n的量子K-理论，定义并研究了量子Grothendieck多项式.我们猜想它们表示Schubert类（即，Fl_n的量子K理论中的自然基元），并为这一猜想提供了有力的证据。本文描述了一个有效的算法，如果猜想成立，该算法计算Fl_n的Gromov-Witten型量子K-不变量。给出了量子Grothendieck多项式的两种显式构造。自然推广的几个性质的格罗滕迪克多项式和量子舒伯特多项式由于Fomin，Gelfand，Postnikov证明了我们的量子格罗滕迪克多项式。例如，我们使用一个量化映射满足类似于上同调量化映射的因式分解性质，我们推导出一个蒙克型乘法公式。我们还定义了量子双Grothendieck多项式，并推导出一个柯西恒等式。我们的构造比量子舒伯特多项式复杂得多。特别是，在我们的工作中的一个重要组成部分是皮耶里公式格罗滕迪克多项式由于第一作者和Sottile。
Twisted gamma filtration and algebras with orthogonal involution
对于分裂单线性代数群的Grothendieck群，扭曲Gamma-滤子为构造扭曲旗簇的Gamma-环中的扭元提供了一个有用的工具.本文在用PGO-扭子扭的完备旗簇的γ-环中构造了一个非平凡的扭元。这推广了以前由Zainoulline得到的HSpin情况下的构造。我们利用这个扭元来研究具有正交对合的代数。
Poincare polynomials of hyperquot schemes
Hyperquot方案是Grothendieck的Quot方案对部分标志的推广。使用Bialynicki-Birula分解，我们得到的组合数据的贝蒂数，并收集这些信息的庞加莱多项式的有理生成函数的形式。
Multiplicative formulas in Cohomology of $G/P$ and in quiver representations
考虑一个部分旗型变种$X$，它不是一个草型变种。也考虑它的上同调环${\rm H}^*(X,\ZZ)$，它具有由舒伯特簇的庞加莱对偶类构成的基。在\cite{Richmond:recursion}中，E. Richmond表明，${\rm H}^*(X,\ZZ)$中乘积的某些系数结构是较小旗型品种的两个此类系数的乘积。现在考虑一个没有定向的循环。如果$α$和$β$表示两个维向量，则$α\circβ$表示一般$α+β$维表示的$α$维子表示的数目。在\cite{DW:comb}中，H. Derksen和J. Weyman将某些数$α\circβ$表示为两个较小数的乘积。本文的目的是用同样的方法证明上述两个结果的两个推广。
Kazhdan-Laumon Category O, Braverman-Kazhdan Schwartz space, and the semi-infinite flag variety
本文在Kazhdan-Laumon粘合构造下定义并研究O范畴类比，刻画其单对象并证明其Grothendieck群同构于Lusztig周期Hecke模的子模，进而通过半无限旗簇上的反常层范畴实现范畴化。
Positivity in $T$-Equivariant $K$-theory of partial flag varieties associated to Kac-Moody groups
本文证明了与任意 Kac-Moody 群相关的部分旗流形 $G/P$ 的环面等变 $K$-理论中乘积结构常数的符号交替性，将 Kumar 关于 $G/B$ 的先前工作推广至 $G/P$。
Two-flag degenerations and real circles tangent to three conics
本文构造了定义在有理数上的强一般光滑圆锥曲线三元组，证明其有160个实切圆，反驳了至多136个的猜想，并给出了Grothendieck-Witt计数及局部符号的精确表达。
Motivic decompositions of twisted flag varieties and representations of Hecke-type algebras
设G是域k 0上的可裂半单线性代数群.设E是k ~ 0的一个域扩张k上的G-扭子。设h是Levine-Morel意义下的代数上同调理论。考虑k上博雷尔子群G/B簇的扭型E/B.根据Kostant-Kumar关于旗簇的等变上同调的结果，我们建立了由E/B生成的h-motivic子范畴的Grothendieck群与依赖于G的根数据、Torsor E和理论h的形式群律的某个Heck型代数H的非生成投射模范畴之间的同构.特别地，设h为有限系数Fp的Chow群，E为一般的G-挠子，我们证明了G的系数在Fp中的仿射nil-Hecke代数H的所有不可分解子模是同构的，并且对应于（G，p）的（非分次）广义Rost-Voevodsky动机.
The motivic class of the space of genus $0$ maps to the flag variety
本文研究了 genus 0 映射到旗 manifold 的动机类，并在正性条件下证明其在 K_0(Var) 中的类为 GL_n×A^a。
Algorithm for multiplying Schubert classes
基于文献[Du3]中Schubert类的乘法规则，给出了一个计算任意两个Schubert类乘积的算法.因此，该算法也给出了一种计算旗流形的积分上同调环的方法，与Leray和Borel的经典谱序列技术无关。
Cohomology of flag supervarieties and resolutions of determinantal ideals
研究广义旗超簇的凝聚层上同调，揭示其与行列式理想自由消解的关联；在超Grassmann流形情形完全计算结构层上同调，并借助Grothendieck–Springer消解类似物的几何给出Pragacz–Weyman结果的概念性解释。
The Grothendieck Group of the Variety of Spanning Line Configurations
研究 spanning line configurations 变种的 Grothendieck 组，证明其与广义 coinvariant 代数同构，并扩展了经典 flag 变种的同构结果。
Combinatorial Aspects of Elliptic Schubert Calculus
本研究将旗流形舒伯特演算的两个组合结果推广到等变椭圆上同调，推导了椭圆舒伯特类的Billey型局部化公式与A型旗流形的pipe dream模型，还验证了其退化为K-理论时可还原经典公式。
Hessenberg varieties are subvarieties of the flag variety parametrized by a linear operator $X$ and a nondecreasing function $h$. The family of Hessenberg varieties for regular $X$ is particularly important: they are used in quantum cohomology, in combinatorial and geometric representation theory, in Schubert calculus and affine Schubert calculus. We show that the classes of a regular Hessenberg variety in the cohomology and $K$-theory of the flag variety are given by making certain substitutions in the Schubert polynomial (respectively Grothendieck polynomial) for a permutation that depends o…
Buch, Kresch, Shimozono, Tamvakis, and Yong defined Hecke insertion to formulate a combinatorial rule for the expansion of the stable Grothendieck polynomials $G_π$ indexed by permutations in the basis of stable Grothendieck polynomials $G_λ$ indexed by partitions. Patrias and Pylyavskyy introduced a shifted analogue of Hecke insertion whose natural domain is the set of maximal chains in a weak order on orbit closures of the orthogonal group acting on the complete flag variety. We construct a generalization of shifted Hecke insertion for maximal chains in an analogous weak order on orbit closu…
Quasi-flag manifolds and moment graphs
本文引入拟旗流形作为旗流形的推广，证明其等变上同调同构于拟不变多项式代数，并利用余仿射层和矩图计算其拓扑不变量。
A Giambelli formula for the $S^1$-equivariant cohomology of type A Peterson varieties
本文的主要结果是$A$型Peterson簇的$S^1$ -等变上同调环中Peterson Schubert类的Giambelli公式。我们的结果依赖于蒙克公式的等变结构常数的彼得森舒伯特类原田和Tymoczko。此外，我们还证明了H.成濑：第一，Peterson簇的$S^1$ -等变上同调的乘法结构中出现的某些常数是第二类Stirling数;第二，Peterson Schubert类在旗簇的$T$ -等变上同调中满足与经典等变Schubert类的稳定性类似的稳定性性质.
Cohomology of tilting modules over quantum groups and $t$-structures on derived categories of coherent sheaves
研究了系数在倾斜模中的小量子群在单位根上的上三角子代数的上同调。我们把它与Springer分解上的等变相干层的导出范畴上的某种t-结构和诣零锥上的等变相干IC层联系起来。这些上同调的支持是用仿射外尔群中的胞元来描述的，它们提供的格罗滕迪克群中的基与J. Humphreys和V. Ostrik预测的Kazhdan-Lusztig基有关。证明是基于较早的结果Arkhipov，Ginzburg和作者，使我们能够减少问题的纯度IC层仿射旗品种。
A Gröbner basis for Kazhdan-Lusztig ideals
Kazhdan-Lusztig理想，一个家庭的广义行列式理想研究[吴勇'08]，提供了一个明确的选择的坐标和方程编码的一个邻域的环面不动点的舒伯特品种上的一个类型A旗品种。我们的主要结果是这些理想的Grobner基础。这提供了一个单一的几何设置，以透明地解释自然的白日梦的Rothe图的排列，以及它们的外观：* 组合公式[Fomin-Kirillov '94]舒伯特和Grothendieck多项式[Lascoux-Schutzenberger '82]; * 等变K-理论特化公式[Buch-Rimanyi '04];和 * 一个积极的组合公式的多重性舒伯特品种在良好的情况下，包括那些相关的Kazhdan-Lusztig理想是齐次下的标准分级。我们的结果推广了[Knutson-Miller '05]关于Schubert行列式理想的Grobner基定理及其对Schubert多项式的单项正性的几何解释。我们还补充了最近的工作[Knutson '08，' 09]退化的Kazhdan-Lusztig品种一般李型，以及工作[戈尔丁'01]等变本地化和[Lakshmibai-韦曼'90]，[Rosenthal-Zelevinsky '01]，和[Krattenthaler '01]对格拉斯曼多重公式。
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