完成k-1任务

随机指派问题的一个推广

A Generalization of the Random Assignment Problem

本文给出了m × n-矩阵中最优k-分配的期望值的一个猜想，其中元素都是exp（1）-分布的随机变量或零.我们证明了这个猜想的情况下，有一个零成本的$k-1$ -分配。假设我们的猜想，我们确定了一些限制，作为$k=m=n\to \infty$，在一个n × n-矩阵的最佳n -分配的期望成本在某些区域中的零。如果我们取方阵内接的四分之一圆以外的区域，则此极限被证明为$π^2/24$。我们给出了Parisi猜想（k=m=n=7）和Coppersmith和Sorkin猜想（$k\leq 5$）的计算机验证.我们也用同样的计算机程序对k=6的情况验证了这个猜想。

完成欧几里得距离矩阵的哈达玛幂的秩恒等式

Completing the rank identity for Hadamard powers of Euclidean distance matrices

解决欧几里得距离矩阵哈达玛幂秩恒等式的开放问题，通过展示核分解$D^{(n)} = \Phi_V\, M\, \Phi_V^T$，利用核的三项式展开表明$M$非奇异，从而完成秩恒等式。

关于随机指派问题的Parisi猜想的一个证明

A Proof of Parisi's Conjecture on the Random Assignment Problem

分配问题是一个最优化问题，在一个m × n的非负实数矩阵中，找到k个元素，没有两个元素在同一行或列中，使得它们的和最小。如果矩阵元素是随机变量，则这样的最优化问题称为随机分配问题。本文给出了一个矩阵中最优k-分配的期望值的公式，其中某些元素为零，所有其他元素都是均值为1的独立指数分布随机变量。因此，我们证明了公式1+1/4+1/9+...+ 1/k^2，由G. Parisi的猜想，以及D. Coppersmith和G. B.对于任意的k，m和n.

关于最小赋值的期望值

On the expected value of the minimum assignment

m × n矩阵X的最小k-赋值是X的k个元素的最小和，其中没有两个属于同一行或列。如果X是通过从均值为1的指数分布中独立地选择每个条目而生成的，那么Coppermith和Sorkin证明了它的最小k-分配的期望值是\sum_{i,j \ge 0, i+j<k} 1/（（m-i）（n-j）），并且他们（与Alm一起）已经证明了k < 5和k=5或k=6时的某些情况。他们的动机是k=m=n的特殊情况，其中期望值由Parisi证明为\sum_{i=1}^k 1/（i^2）。在本文中，我们描述了我们的努力证明Coppersmith-Sorkin猜想。我们给出了以下更强的猜想，这推广了他们的证据。猜想假设r_1，.，r_m和c_1，...，C_n是正实数。设X是一个随机m × n矩阵，其中元素x_{ij}独立于平均值为1/（r_ic_j）的指数分布。则X的最小k分配的期望值是\sum_{I,J}（-1）^{k - 1 - |I| - |J| } \binom{m + n - 1 - |I| - |J|}{k - 1 - |I| - |J|} \frac{1}{(\sum_{i \notin I}r_i) (\sum_{j \notin J} c_j)}。这里的和是在{1，...，m}和{1，...，n}，其基数|I|和PDMATHBMR满足|I| + |J|

A deterministic theory of low rank matrix completion

The problem of completing a large low rank matrix using a subset of revealed entries has received much attention in the last ten years. The main result of this paper gives a necessary and sufficient condition, stated in the language of graph limit theory, for a sequence of matrix completion problems with arbitrary missing patterns to be asymptotically solvable. It is then shown that a small modification of the Candès-Recht nuclear norm minimization algorithm provides the required asymptotic solution whenever the sequence of problems is asymptotically solvable. The theory is fully deterministic…

可数状态空间上的最优分配问题

The optimal assignment problem for a countable state space

给定一个具有实数项的方阵B=（b_{ij}），最优分配问题是找到行和列之间的双射s，使b_{is(i)}的和最大化。在离散最优控制和离散事件系统理论中，经常遇到对给定向量g求解方程Bf=g的问题，其中相同的符号B表示相应的最大加线性算子，（Bf）_i：=max_j（b_{ij} +f_j）。当存在一个向量g使得方程Bf=g有唯一解f时，称矩阵B是强正则的。Butkovic和Hevery的一个结果表明B是强正则的当且仅当相关的最优分配问题有唯一解。我们在这里建立一个推广的结果，适用于最大加线性算子在可数状态空间。证明使用的理论在以前的工作中，我们的特点是独特的可解性方程涉及莫罗共轭在无限状态空间，在某些覆盖的状态空间的最小广义次微分。