具有分布数据的边值问题的内部数值逼近
Interior numerical approximation of boundary value problems with a distributional data
AI总结：
针对具有分布数据的边值问题，利用广义有限元方法（GFEM）在相对紧子域上逼近调和函数，并建立了误差估计。
摘要：
我们研究了调和函数 $u \in H^{1-k}(\Omega)$, $k > 0$, 在 $\Omega$ 的相对紧子域 $A$ 上的逼近性质，使用了广义有限元方法。对于光滑有界区域 $\Omega$，我们得到 GFEM 逼近 $u_S$ 满足 $\|u - u_S\|_{H^{1}(A)} \le C h^\gamma \|u\|_{H^{1-k}(\Omega)}$，其中 $h$ 是定义 GFEM 空间 $S$ 的“单元”的典型尺寸，$\gamma \ge 0$ 使得局部逼近空间包含所有次数为 $k + \gamma + 1$ 的多项式。主要技术结果是 Nitsche 和 Schatz \cite{NitscheSchatz72} 以及特别是 \cite{NitscheSchatz74} 的经典超逼近结果的推广。结果表明，除了通常的“能量”Sobolev 空间 $H^1$ 外，还必须使用负阶 Sobolev 空间 $H^{-l}$, $l \ge 0$，这些空间通过对偶定义并包含分布边界数据。
英文摘要：
We study the approximation properties of a harmonic function $u \in H\sp{1-k}(Ω)$, $k > 0$, on relatively compact sub-domain $A$ of $Ω$, using the Generalized Finite Element Method. For smooth, bounded domains $Ω$, we obtain that the GFEM--approximation $u_S$ satisfies $\|u - u_S\|_{H\sp{1}(A)} \le C h^γ\|u\|_{H\sp{1-k}(Ω)}$, where $h$ is the typical size of the ``elements'' defining the GFEM--space $S$ and $γ\ge 0 $ is such that the local approximation spaces contain all polynomials of degree $k + γ+ 1$. The main technical result is an extension of the classical super-approximation results of Nitsche and Schatz \cite{NitscheSchatz72} and, especially, \cite{NitscheSchatz74}. It turns out that, in addition to the usual ``energy'' Sobolev spaces $H^1$, one must use also the negative order Sobolev spaces $H\sp{-l}$, $l \ge 0$, which are defined by duality and contain the distributional boundary data.
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