Bi-Lipschitz embedding metric triangles in the plane
Stevens Institute of Technology（史蒂文斯理工学院）；University of Hawaii at Manoa（夏威夷大学马诺阿分校）
本文研究了度量三角形在平面中的双-Lipschitz嵌入问题，证明了三脚架嵌入的精确失真界为$4\sqrt{7/3}$，并通过四个代表性示例验证其精确性与最优失真下界，同时证明该定理无法推广至度量四边形。
2025-11-05 math.MG
Definitions of quasiconformality on metric surfaces
本文研究任意度量曲面上平面映射的不同畸变定义，证明解析有限畸变与沿路径极值拉伸定义在局部可积畸变条件下等价，并给出拟共形性概念统一及新的单值化结论。
2024-05-13 math.MG
High dimensional analogue of metric distortion for simplicial complexes
我们提出了一个新的可能的高维模拟度量失真。然后，我们展示了一种可能的方法，提供下界，这种失真，并使用这种方法来证明一个“Bourgain型”失真定理的Linial-Meshulam随机复合物。
2014-12-22 math.CO math.MG
Intrinsic metrics under conformal and quasiregular mappings
在几个简单区域$G\subsetneq\mathbb{R}^n$上研究了六种不同的内蕴度量和拟度量在共形映射和拟正则映射下的畸变.通过限制点$x,y$的绝对值，改进了单位球$\mathbb{B}^n$中点$x,y$的双曲度量与这些本征度量之间的已知不等式，并将新结果用于研究本征度量的共形畸变.对于两点之间的三角形比率度量$x,y\in\mathbb{B}^n$，共形畸变是有界的双曲中点和双曲距离的$x,y$。进一步研究了拟正则映射和拟共形映射，并引入了Schwarz引理的新的尖锐形式。
2021-03-29 math.MG
Dimension Distortion by Right Coset Projections in the Heisenberg Group
研究了海森堡群$\mathbb{H}^n$中纤维为水平面右陪集的垂直投影族。我们证明下界豪斯多夫维数失真的集合下，这些映射，相对于欧几里德度量，也是自然商度量，我们表现出的行为就像欧几里德度量在这方面。我们的边界是尖锐的，在很大一部分的尺寸范围内，我们给了尖锐的下界的其余范围。我们的方法还可以让我们提高已知的几乎必然的下界为标准的家庭的垂直投影$\mathbb{H}^n$为$n \geq 2$。
2020-09-21 math.MG
A note on dichotomies for metric transforms
本文证明了：对每个非减凹函数w：R+ --> R+，其中w（0）=0，或者每个有限度量空间对X上的某个度量d以任意接近1的偏差嵌入到形式为（X，w o d）的度量空间中，或者存在a=a（w）>0和n_0=n_0（w）\in N使得对所有n>n_0，{0，. n}到一个形式为（X，w o d）的度量空间中，至少会引起n^a.
2011-02-09 math.MG
A Union of Euclidean Metric Spaces is Euclidean
设度量空间$X$是两个度量子空间$A$和$B$的并，这两个度量子空间分别嵌入到具有畸变的欧几里得空间$D_A$和$D_B$中.我们证明，然后$X$嵌入到欧几里得空间有界失真（即失真最多$7D_A D_B + 2(D_A+D_B)$）。我们的结果解决了Naor提出的一个公开问题。此外，我们给出了这个结果的一些推论和推广。特别是，我们引入并研究了一个新的概念，“外部双Lipschitz扩张”。在文章的最后，我们列出了几个相关的开放问题。
2017-01-23 math.MG
Average distortion embeddings, nonlinear spectral gaps, and a metric John theorem (after Assaf Naor)
我们调查的各个方面的非线性光谱间隙的理论。特别是，我们提出了一个自包含的证明Naor的平均约翰定理。
2022-01-29 math.FA math.MG
Metric spaces admitting low-distortion embeddings into all $n$-dimensional Banach spaces
对于固定的$K\gg 1$和$n\in\mathbb{N}$，$n\gg 1$，我们研究了度量空间，它允许带畸变嵌入$\le K$到每个$n$维Banach空间中.经典的例子包括可嵌入到$\log n$维欧几里得空间和等边空间中的空间。我们证明了在度量空间的度量合成运算下保持了良好的可嵌入性。特别地，我们证明了任何$n$ -点超度量都可以带一致有界畸变嵌入到任何$\log n$维的Banach空间中。本文的主要结果是一族有限度量空间的一个新例子，它不是经典例子的度量组合，而是以一致有界畸变嵌入到任何$n$维的Banach空间中.这部分回答了G.谢克曼
2015-08-18 math.FA math.MG
Mappings of finite distortion on metric surfaces
该研究针对度量曲面上的有限畸变映射，引入下梯度补充上梯度理论，推广了Iwaniec-Šverák定理与Hencl-Koskela定理，明确了相关映射的连续性、开离散性及逆映射的Sobolev性质。
2024-05-14 math.CV math.MG
Wasserstein distance and metric trees
研究度量空间$X$上概率测度空间$P(X)$上的Wasserstein度量.我们证明了，如果一个有限度量空间$X$在一个有限度量树族中嵌入了带畸变$D$的随机数，那么$P(X)$在带畸变$D$的$\ell^1$中嵌入了双Lipschitz.接下来，我们重新访问的闭公式的Wasserstein度量有限度量树由于埃文斯-马特森\cite{EvMat}。我们主张这个公式的正确框架是真正的树，我们给这个公式的扩展的两个证明：一个从巴拿赫空间理论与Lipschitz自由空间的联系，另一个算法（后减少到有限度量树）。
2021-10-05 math.MG
On the quantitative quasi-isometry problem: transport of Poincaré inequalities and different types of quasi-isometric distortion growth
我们考虑一个定量形式的拟等距问题。我们讨论了几个参数，导致我们不同的结果和准等距失真的界限：比较体积，连接等，然后我们研究了运输庞加莱常数准等距，我们给尖锐的上下上界同伦失真增长的一类有趣的双曲度量空间。
2014-01-28 math.MG
A new approach to low-distortion embeddings of finite metric spaces into non-superreflexive Banach spaces
本文的主要目标是发展一种新的嵌入方法，我们使用它来证明某些有限度量空间允许低失真嵌入到所有的非超自反空间中。该方法是基于Brunel和Suchester（1975-1976）提出的等号可加序列理论。我们还表明，使用该方法获得的一些低失真嵌入性结果不能使用基于$\ell_1$的求和基和单位向量基之间的因式分解的方法获得，该方法由Bourgain（1986）和Johnson and Schechtman（2009）使用。
2017-02-23 math.FA math.MG
Metric structures in L_1: Dimension, snowflakes, and average distortion
研究了L_1的有限子集的度量性质。这些指标的分析是中央的一些重要的算法问题，涉及的切割结构的加权图，包括稀疏切割问题，最引人注目的开放问题之一，在该领域的近似算法。另外，几何非线性泛函分析中的许多未解决的问题涉及L_1的有限子集的性质。
2004-07-15 math.CO math.MG
The Distortion of the Reeb Quotient Map on Riemannian Manifolds
给定度量空间$X$和函数$f: X \to \mathbb{R}$，Reeb构造给出度量空间$X_f$和商映射$X \to X_f$ .在适当的条件下，$X_f$成为度量图，因此可以用作$X$的图近似。从$X_f$到$X$的Gromov-Hausdorff距离以商映射的度量失真的一半为界。本文考虑了$X$是紧致黎曼流形，$f$是优良Morse函数的情形.在这种情况下，我们提供的商映射，其中涉及到第一个贝蒂数的原始空间和一个新的不变量，我们称之为厚度的失真的界限。
2018-01-08 math.DG math.MG
Dimension distortion by Sobolev mappings in foliated metric spaces
在度量测度空间支持Poincaré不等式的情况下，我们量化了超临界Sobolev映射可以增加其定义域子集维数的程度。对于度量空间X上由David-Semmes正则映射定义的叶理，我们用豪斯多夫维数定量地估计了映射到高维集合上的叶理的叶子集合的大小.我们讨论了这样的叶理的关键例子，包括叶理的海森堡组的左和右陪集的水平子群。给出的例子证明我们的结果是尖锐的程度。事实上，我们表明，一组映射扭曲的尺寸集的最大可能的金额是一个普遍的子集的相关函数空间，后者的结果是新的，即使在欧几里得空间。
2013-07-09 math.AP math.MG
Constant approximation algorithms for embedding graph metrics into trees and outerplanar graphs
在本文中，我们提出了一个简单的因子6算法，用于近似将图度量嵌入到树度量中的最佳乘法失真（从而改进和简化了Bidodoiu，Indyk和Sidiropoulos（2007）以及Bidodoiu，Demaine，Hajiaghayi，Sidiropoulos和Zadimoghouth（2008）的因子100和27算法）。我们还提出了一个常数因子算法的最佳失真的嵌入到一个外平面度量图度量近似。为此，我们引入了度量松弛子图的一般概念，并证明了如果G包含α-度量松弛H-子图，则G的任何嵌入到由H-子图自由引起的任何度量中的失真至少为α。然后，对于H= K_{2,3}，我们提出了一个算法，找到一个α-松弛小调，或产生一个O（α）-嵌入到一个outerplanar度量。
2010-07-03 cs.DS math.MG
$L_1$-distortion of Wasserstein metrics: a tale of two dimensions
本文为Kislyakov论证提供新的维度解释，证明等周维度与Lipschitz-谱维度均为δ的图序列上1-Wasserstein度量的L1-畸变下界为(log|G|)^(1/δ)的常数倍，并据此得出钻石图的相应下界，回答了Dilworth等人的问题。
2023-04-07 math.FA math.MG
Distortion in the finite determination result for embeddings of locally finite metric spaces into Banach spaces
给定一个Banach空间$X$和一个实数$α\ge 1$，我们记为：（1）$D(X)\leα$如果对任何局部有限度量空间$A$，其所有有限子集都允许有带畸变的Bilipschitz嵌入$X$ $\le C$，则空间$A$本身也允许有带畸变的Bilipschitz嵌入$X$ $\le α\cdot C$ ;（2）$D(X)=α^+$，如果对于每个$\varepsilon>0$，条件$D(X)\leα+\varepsilon$成立，而$D(X)\leα$不成立;（3）$D(X)\le α^+$，如果$D(X)=α^+$或$D(X)\le α$。已知$D(X)$受一个普适常数的限制，但该常数的可用估计值相当大。本文证明了以下结果：（1）对于有限维巴拿赫空间的每个套族$\{X_n\}_{n=1}^\infty$和每个$1\le p\le \infty$，都有$D((\oplus_{n=1}^\infty X_n)_p)\le 1^+$. (2)$D((\oplus_{n=1}^\infty \ell^\infty_n)_p)=1^+$用于$1<p<\infty$。(3)对每个没有非平凡余型的Banach空间$X$，都有$D(X)\le 4^+$。陈述（3）是对Baudier-Lancien结果（2008）的加强。
2017-12-20 math.FA math.MG
Metric Cotype
引入度量空间的余型概念，证明了对于巴拿赫空间，它与经典的Rademacher余型概念是一致的.这产生了一个具体版本的里贝定理，解决了一个长期悬而未决的问题，在非线性理论的巴拿赫空间。我们应用我们的结果在度量几何的几个问题。也就是说，我们将度量余型用于均匀嵌入和粗嵌入的研究，特别是解决了L_p粗嵌入或均匀嵌入L_q时的分类问题。我们还证明了一个非线性模拟的Maurey-Pisier定理，并用它来回答一个问题所提出的阿罗拉，Lovasz，纽曼，Rabani，Rabinovich和Vempala，并获得定量界限度量拉姆齐定理由于Matousek。
2011-02-08 math.FA math.MG
Stochastic approximation of lamplighter metrics
我们观察到，嵌入到随机度量可以卓有成效地用于研究的$L_1$ -嵌入的lampighter图或组，更一般的lampighter度量空间。一旦这种连接已经建立，几个新的上限估计的$L_1$失真的点灯度量遵循从已知的相关估计随机嵌入到占主导地位的树度量。例如，$n$ -点度量空间上的每个点灯度量都将双Lipschitzly嵌入到具有失真$O(\log n)$的$L_1$中。特别地，对于每个有限群$G$，点灯者群$H = \mathbb{Z}_2\wr G$ bi-Lipschitzly嵌入到具有失真的$L_1$中$O(\log\log|H|)$。在点灯器构造中的地面空间是具有某些拓扑限制的图的情况下，可以实现更好的失真估计。最后，我们讨论了如何从有限$d$维网格上的点灯图的双Lipschitz嵌入构造$d$维无限格$\mathbb{Z}^d$上的点灯图群到$L_1$的粗嵌入，并对有限度量空间上的Lipschitz自由空间作了一个注记.
2020-05-25 math.FA math.GR math.MG
On the dimension distortion under fractionally smooth mappings
Amherst College（阿默斯特学院）；University of Tennessee, Knoxville（田纳西大学）
该研究确定了分数阶光滑连续映射在度量空间间对豪斯多夫、上闵可夫斯基及上中间维数的失真程度，扩展至加权欧几里得空间和加倍度量测度空间，并量化了拟对称映射的维数失真性质。
2025-10-15 math.CA math.DS math.MG
Length distortion of volume-preserving Lipschitz mappings
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；University of Jyväskylä（于韦斯屈莱大学）
本文证明度量曲面间保面积Lipschitz映射几乎不畸变曲线长度，给出两种证明方法，并推广到高维及非光滑情形。
2026-09-10 math.CV math.DG math.MG
Small Transformers Compute Universal Metric Embeddings
McMaster University（麦克马斯特大学）；Universität Basel（巴塞尔大学）
本研究证明小型概率Transformer能以低失真双Hölder嵌入任意度量空间中的有限数据集，避免维数灾难，并推广到黎曼流形、度量树等结构，实现通用度量嵌入。
2022-10-18 cs.LG cs.NE math.CO
